北师大版八年级数学下册 （直角三角形）三角形的证明课件(第2课时)

第一章

三角形的证明直角三角形第2课时

情景导入舞台背景的形状是两个直角三角形，为了美观，工作人员想知道这两个直角三角形是否全等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量.你能帮工作人员想个办法吗？知识回顾由全等三角形的判定方法SSS，SAS，ASA，AAS知没有SSA，故三角形不一定全等.当对角为直角时，这两个三角形会全等吗？问题任意画一个Rt△ABC，使∠C=90°，再画一个Rt△A′B′C′，使∠C′=90°，B′C′=BC，A′B′=AB，然后把画好的Rt△A′B′C′剪下来放到Rt△ABC上，你发现了什么？获取新知acα已知：如图，线段a，c(a<c)，直角α.求作：Rt△ABC，使∠C=∠α，BC=a

，AB=c.ABC(1)画∠MC′N=90°；(2)在射线C′M上取B′C′=BC；(3)以B′为圆心，AB为半径画弧，交射线C′N于点A′；(4)连接A′B′．现象：两个直角三角形能重合．说明：这两个直角三角形全等．画法：A′NMC′B′已知：如图,在△ABC与△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，AB＝A′B′，求证：△ABC≌△A′B′C′ABCA′B′C′证明：在△ABC中，∵∠C＝90°,∴BC2＝

AB2－AC2(勾股定理).同理，B′C′2＝A′B′2－A′C′2.

∵AB＝A′B′，

AC＝A′C′，∴BC＝B′C′．∴△ABC≌△A′B′C′(SSS).ABCA′B′C′文字语言：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简写成“斜边、直角边”或“HL”）.几何语言：在Rt△ABC和Rt△A′B′C′

中，∴Rt△ABC

≌Rt△A′B′C′(HL).AB=A′B′,BC=B′C′,ABCA′B′C′例题讲解例如图,有两个长度相等的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角∠B和∠F的大小有什么关系？证明：在Rt△ABC和Rt△DEF中,∴Rt△BAC≌Rt△EDF(HL).∴∠B＝∠DEF(全等三角形的对应角相等).∵∠DEF＋∠F＝90°，(直角三角形的两锐角互余)，∴∠B＋∠F=90°

BC=EF,

AC=DF,随堂演练如图所示,P是∠BAC内一点,且点P到AB,AC的距离PF=PE,则能直接得到△PEA≌△PFA的理由是(

)A.HL

B.AAS

C.SSS

D.SAS

A2.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AB=4,则图中的直角三角形与Rt△ABC全等的是(

)

A3.如图，∠ACB=∠ADB=90，要证明△ABC≌△BAD，还需一个什么条件？把这些条件都写出来，并在相应的括号内填写出判定它们全等的理由.（1）

（）（2）

（）（3）

（）（4）

（）ABDCAD=BC∠DAB=∠CBABD=AC∠DBA=∠CABHLHLAASAAS4.如图,已知AC⊥BD于点P,AP=CP,请添加一个条件,使△ABP≌△CDP

(不能添加辅助线),你添加的条件是

.答案不唯一,如AB=CD(HL),BP=DP(SAS),∠A=∠C(ASA),∠B=∠D(AAS)等5.如图，已知AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，如果AD＝AF，AC＝AE.求证：BC＝BE.证明：∵AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，且AD＝AF，AC＝AE，∴Rt△ADC≌Rt△AFE(HL)．∴CD＝EF.∵AD＝AF，AB＝AB，∴Rt△ABD≌Rt△ABF(HL)．∴BD＝BF.∴BD－CD＝BF－EF，即BC＝BE.6.如图，有一直角三角形ABC，∠C＝90°，AC＝10cm，BC＝5cm，一条线段PQ＝AB，P、Q两点分别在AC上和过A点且垂直于AC的射线AQ上运动，问P点运动到AC上什么位置时△ABC才能和△APQ全等？解：(1)当P运动到AP＝BC时，∵∠C＝∠QAP＝90°，在Rt△ABC与Rt△QPA中，∵AB＝PQ，BC＝AP，∴Rt△ABC≌Rt△QPA(HL)，∴AP＝BC＝5cm；(2)当P运动到与C点重合时，AP＝AC.在Rt△ABC与Rt△PQA中，∵AB＝PQ，AC＝AP，∴Rt△ABC≌Rt△PQA(HL)，∴AP＝AC＝10cm.∴当AP＝5cm或10cm时，△ABC才能和△APQ全等．课堂小结“斜边、直角边”内容斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等前提条件在直角三角形中使用方法在判定直角三角形全等时，只需找除直角外的两个条件即可（其中至少有一个条件是一组对应边相等）第一章

三角形的证明直角三角形（第1课时）北师大版

八年级下册

学习重点学习难点1.勾股定理逆定理的证明方法．2.了解逆命题、互逆命题的概念，知道原命题成立，其逆命题不一定成立.勾股定理及其逆定理的证明.学习目标1.会证明直角三角形的性质定理和判定定理，并能应用性质进行计算和证明.2.能写出一个命题的逆命题，并会判断其真假，会识别两个互逆命题.3.通过勾股定理及其逆定理的证明，体会同一个定理可以从不同角度，用不同方法加以证明，激发学生的探索热情，并在小组合作中体会交流与合作的重要性.前

言回顾旧知，导入新课问题1：我们曾经探索过直角三角形的哪些性质和判定方法？问题2：勾股定理的内容是什么？

实践探究，交流新知想一想：（1）直角三角形的两个锐角有怎样的关系？为什么？（2）如果一个三角形有两个角互余，那么这个三角形是直角三角形吗？为什么？定理1：直角三角形的两个锐角互余．几何语言：如图，∵∠C＝90°

∴∠A＋∠B＝90°定理1：有两个角互余的三角形是直角三角形．几何语言：如图，∵∠A＋∠B＝90°

∴∠C＝90°，即△ABC是直角三角形．实践探究，交流新知想一想：（1）直角三角形的三条边有什么样的数量关系？你能证明吗？（2）在一个三角形中，当两边的平方和等于第三边的平方时，它是直角三角形吗？勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．

实践探究，交流新知勾股定理逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．

实践探究，交流新知议一议：观察上面第一个定理和第二个定理，它们的条件和结论之间有怎样的关系？第三个和第四个定理呢？与同伴交流.再观察下面三组命题：（1）如果两个角是对顶角，那么它们相等；

如果两个角相等，那么它们是对顶角.（2）如果小明患了肺炎，那么他一定会发烧；

如果小明发烧了，那么他一定患了肺炎.（3）一个三角形中相等的边所对的角相等；

一个三角形中相等的角所对的边相等.上面每组中两个命题的条件和结论也有类似的关系吗？与同伴交流.实践探究，交流新知互逆命题：在两个命题中，如果一个命题条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题，相对于逆命题来说，另一个就为原命题．想一想：你能写出命题“如果有两个有理数相等，那么它们的平方相等”的逆命题吗？它们都是真命题吗？如果一个命题是真命题，那么它的逆命题一定是真命题吗？互逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称另一个定理的逆定理.！注意：一个命题是真命题，它的逆命题不一定是真命题.原命题：如果有两个有理数相等，那么它们的平方相等.（真）逆命题：如果两个有理数的平方相等，那么这两个有理数相等.（假）开放训练，体现应用

开放训练，体现应用例2

如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝10，点D是线段AB上一点，BD＝6，连接CD，且CD＝8.(1)求证：CD⊥AB；(2)求AC的长．

开放训练，体现应用变式训练1

1.下列正确叙述的个数是(

)①每个命题都有逆命题；②真命题的逆命题是真命题；③假命题的逆命题是真命题；④每个定理都有逆定理；⑤每个定理一定有逆命题；⑥命题“若a＝b，那么a3＝b3”的逆命题是假命题．A．1B．2C．3D．4B开放训练，体现应用变式训练2

如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝10，BC＝6，AC＝AD＝8.(1)求∠ACB的度数；(2)求CD的长．

课堂检测，巩固新知

B52°

课堂小结，整体感知1.课堂小结：请同学们回顾本节课所学的内容，有哪些收获？一、与直角三角形有关的定理（1）定理1：直角三角形的两个锐角互余．（2）定理2：有两个角互余的三角形是直角三角形．（3）勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．（4）勾股定理逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．二、