第25讲弧度制及任意角的三角函数

第25讲弧度制及任意角的三角函数1.角的概念的推广(1)正角、负角和零角：一条射线绕顶点按逆时针方向旋转所形成的角叫作正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫作负角；如果射线没有作任何旋转，那么也把它看成一个角，叫作零角．(2)象限角：以角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，这样，角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角．终边落在坐标轴上的角(轴线角)不属于任何象限．(3)终边相同的角：与角α的终边相同的角的集合为{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}．2.弧度制①1弧度的角：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．②规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，|α|＝__eq\f(l,r)__，l是以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r为半径．③弧度与角度的换算：360°＝_2π_rad；180°＝__π__rad；1°＝__eq\f(π,180)__rad；1rad＝__eq\f(180,π)__度．④弧长公式：__l＝|α|r__．扇形面积公式：S扇形＝__eq\f(1,2)lr__＝__eq\f(1,2)|α|r2__．3.任意角的三角函数(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么sinα＝__y__，cosα＝__x__，tanα＝eq\f(y,x)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x≠0))．(2)特殊角的三角函数值角α0°30°45°60°90°180°270°α弧度数_0__eq\f(π,6)__eq\f(π,4)__eq\f(π,3)__eq\f(π,2)__π__eq\f(3π,2)_sinα_0__eq\f(1,2)__eq\f(\r(2),2)__eq\f(\r(3),2)__1__0__－1_cosα_1__eq\f(\r(3),2)__eq\f(\r(2),2)__eq\f(1,2)__0__－1__0_tanα_0__eq\f(\r(3),3)__1__eq\r(3)__0_1、若α是第四象限角，则π＋α是第____象限角()A．一B．二C．三D．四【答案】B【解析】eq\f(π,2)＋2kπ<π＋α<π＋2kπ，k∈Z，故π＋α是第二象限角．2、（2022·日照一模）已知角θ的终边经过点P（eq\f(1,2)，－eq\f(\r(3),2)），则角θ可以为()A.eq\f(5π,6)B.eq\f(2π,3)C.eq\f(11π,6)D.eq\f(5π,3)【答案】D【解析】因为角θ的终边经过点P（eq\f(1,2)，－eq\f(\r(3),2)），所以θ是第四象限角，且cosθ＝eq\f(1,2)，sinθ＝－eq\f(\r(3),2)，则θ＝eq\f(5π,3).3、（多选）下列结论中，正确的是()A.－eq\f(7π,6)是第三象限角B.若圆心角为eq\f(π,3)的扇形的弧长为π，则该扇形的面积为eq\f(3π,2)C.若角α的终边过点P(－3，4)，则cosα＝－eq\f(3,5)D.若角α为锐角，则角2α为钝角【答案】BC【解析】对于A，－eq\f(7π,6)与eq\f(5π,6)的终边相同，为第二象限角，故A错误；对于B，设扇形的半径为r，则eq\f(π,3)r＝π，所以r＝3，则扇形的面积为eq\f(1,2)×3×π＝eq\f(3π,2)，故B正确；对于C，角α的终边过点P(－3，4)，根据三角函数的定义，得cosα＝－eq\f(3,5)，故C正确；对于D，因为0<α<eq\f(π,2)，所以0<2α<π，故D错误．故选BC.4、（2022·山东高三开学考试）在平面直角坐标系中，角α的顶点在坐标原点，始边在x轴的非负半轴，终边过点(－2，y)，且tan(π－α)＝2，则sinα＝．【答案】eq\f(2\r(5),5)【解析】因为角α终边过点(－2，y)，所以tanα＝－eq\f(y,2).又tan(π－α)＝2，所以tanα＝－2，所以y＝4，所以sinα＝eq\f(4,\r((－2)2＋42))＝eq\f(2\r(5),5).考向一角的表示及象限角例1、(1)终边在直线y＝eq\r(3)x上的角的集合为；【答案】eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|α＝\f(π,3)＋kπ，k∈Z))【解析】因为在(0，2π)内，终边在直线y＝eq\r(3)x上的角是eq\f(π,3)，eq\f(4π,3)，与eq\f(π,3)，eq\f(4π,3)终边相同的角分别为2kπ＋eq\f(π,3)，2kπ＋eq\f(4π,3)＝(2k＋1)π＋eq\f(π,3)，k∈Z，所以终边在直线y＝eq\r(3)x上的角的集合为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|α＝\f(π,3)＋kπ，k∈Z)).(2)若角θ的终边与eq\f(6π,7)角的终边相同，则在[0，2π）内，终边与角eq\f(θ,3)的终边相同的角的个数为；【答案】3【解析】因为θ＝eq\f(6π,7)＋2kπ(k∈Z)，所以eq\f(θ,3)＝eq\f(2π,7)＋eq\f(2kπ,3)(k∈Z).依题意有0≤eq\f(2π,7)＋eq\f(2kπ,3)<2π，k∈Z，所以－eq\f(3,7)≤k<eq\f(18,7)，所以k＝0，1，2，即在[0，2π）内，终边与角eq\f(θ,3)的终边相同的角为eq\f(2π,7)，eq\f(20π,21)，eq\f(34π,21)，共3个．(3)已知角α的终边在如图所示阴影表示的范围内（不包括边界），则角α用集合可表示为．【答案】eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|2kπ＋\f(π,4)<α<2kπ＋\f(5π,6)，k∈Z))【解析】因为在[0，2π]内，终边落在阴影部分角的集合为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(5π,6)))，所以所求角的集合为{α|2kπ＋eq\f(π,4)<α<2kπ＋eq\f(5π,6)，k∈Z}．变式、（1）集合eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(kπ≤α≤kπ＋\f(π,4)))，k∈Z))中的角所表示的范围(阴影部分)是()（2）若角α是第二象限角，则eq\f(α,2)是()A．第一象限角 B．第二象限角C．第一或第三象限角 D．第二或第四象限角【答案】（1）B（2）C.【解析】（1）当k＝2n(n∈Z)时，2nπ≤α≤2nπ＋eq\f(π,4)(n∈Z)，此时α的终边和0≤α≤eq\f(π,4)的终边一样，当k＝2n＋1(n∈Z)时，2nπ＋π≤α≤2nπ＋π＋eq\f(π,4)(n∈Z)，此时α的终边和π≤α≤π＋eq\f(π,4)的终边一样．（2）∵α是第二象限角，∴eq\f(π,2)＋2kπ<α<π＋2kπ，k∈Z，∴eq\f(π,4)＋kπ<eq\f(α,2)<eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z.当k为偶数时，eq\f(α,2)是第一象限角；当k为奇数时，eq\f(α,2)是第三象限角．故选C.方法总结：1.象限角的两种判断方法：(1)图象法：在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角．(2)转化法：先将已知角转化为k·360°＋α(0°≤α<360°，k∈Z)的形式，找出与已知角终边相同的角α，再由角α终边所在的象限判断已知角是第几象限角．2.由角所在的区域写出角的集合，由角的集合画出区域．考向二扇形的有关运算例2、已知扇形的圆心角是α，半径为R，弧长为l.(1)若α＝eq\f(π,3)，R＝10cm，求扇形的弧长l.(2)若扇形的周长是20cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？(3)若α＝eq\f(π,3)，R＝2cm，求扇形的弧所在的弓形的面积.【解析】(1)因为α＝eq\f(π,3)，R＝10cm，所以l＝|α|R＝eq\f(π,3)×10＝eq\f(10π,3)(cm).(2)由已知得，l＋2R＝20，所以S＝eq\f(1,2)lR＝eq\f(1,2)(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25.所以当R＝5时，S取得最大值，此时l＝10，α＝2.(3)设弓形面积为S弓形，由题意知l＝eq\f(2π,3)cm，所以S弓形＝eq\f(1,2)×eq\f(2π,3)×2－eq\f(1,2)×22×sineq\f(π,3)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－\r(3)))cm2.变式1、（1）中国折叠扇有着深厚的文化底蕴.如图，在半圆O中作出两个扇形OAB和OCD，用扇环形ABDCABDC的面积为S1，扇形OAB的面积为S2，当S1与S2的比值为eq\f(\r(5)－1,2)时，扇面的形状较为美观，则此时扇形OCD的半径与半圆O的半径之比为()A.eq\f(\r(5)＋1,4)B.eq\f(\r(5)－1,2)C.3－eq\r(5)D.eq\r(5)－2【答案】B【解析】设∠AOB＝θ，半圆的半径为r，扇形OCD的半径为r1，依题意，有eq\f(\f(1,2)θr2－\f(1,2)θreq\o\al(2,1),\f(1,2)θr2)＝eq\f(\r(5)－1,2)，即eq\f(r2－req\o\al(2,1),r2)＝eq\f(\r(5)－1,2)，所以eq\f(req\o\al(2,1),r2)＝eq\f(3－\r(5),2)＝eq\f(6－2\r(5),4)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5)－1,2)))eq\s\up12(2)，从而得eq\f(r1,r)＝eq\f(\r(5)－1,2).(2)一个扇形的面积是1cm2，它的周长是4cm，则圆心角为________弧度，弧长为________cm.【答案】22【解析】设扇形的圆心角为α，半径为r.则由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S＝\f(1,2)αr2＝1，,αr＋2r＝4，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(α＝2，,r＝1，))所以弧长l＝αr＝2，所以扇形的圆心角为2弧度，弧长为2cm.变式2、已知在半径为10的圆O中，弦AB的长为10.(1)求弦AB所对圆心角α的大小；(2)求α所在的扇形弧长l及弧所在弓形的面积S.【解析】(1)如图，过点O作OC⊥AB，垂足为C，则AC＝5.在Rt△ACO中，sin∠AOC＝eq\f(AC,AO)＝eq\f(5,10)＝eq\f(1,2)，所以∠AOC＝eq\f(π,6)，所以α＝2∠AOC＝eq\f(π,3).(2)由(1)及题意，得l＝eq\f(10π,3)，S扇形＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)×eq\f(10π,3)×10＝eq\f(50π,3).因为S△AOB＝eq\f(1,2)×10×10×sineq\f(π,3)＝25eq\r(3)，所以S弓形＝S扇形－S△AOB＝eq\f(50π,3)－25eq\r(3)＝50（eq\f(π,3)－eq\f(\r(3),2)）方法总结：有关弧长及扇形面积问题的注意点(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决．(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．考向三三角函数的定义及应用例3、已知角α的终边上一点P(－eq\r(3)，m)(m≠0)，且sinα＝eq\f(\r(2)m,4)，求cosα，tanα的值．【解析】：由题设知x＝－eq\r(3)，y＝m，∴r2＝|OP|2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\r(3)))2＋m2(O为原点)，r＝eq\r(3＋m2)．∴sinα＝eq\f(m,r)＝eq\f(\r(2)m,4)＝eq\f(m,2\r(2))，因为m≠0∴r＝eq\r(3＋m2)＝2eq\r(2)，即3＋m2＝8，解得m＝±eq\r(5)．当m＝eq\r(5)时，r＝2eq\r(2)，x＝－eq\r(3)，y＝eq\r(5)，∴cosα＝eq\f(－\r(3),2\r(2))＝－eq\f(\r(6),4)，tanα＝－eq\f(\r(15),3)；当m＝－eq\r(5)时，r＝2eq\r(2)，x＝－eq\r(3)，y＝－eq\r(5)，∴cosα＝eq\f(－\r(3),2\r(2))＝－eq\f(\r(6),4)，tanα＝eq\f(\r(15),3)．变式1、已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上一点M的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(3π,4)，cos\f(3π,4)))，则角α的最小正角为()A.eq\f(π,4) B.eq\f(3π,4) C.eq\f(5π,4) D.eq\f(7π,4)【答案】D【解析】角α的终边上一点M的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(3π,4)，cos\f(3π,4)))，即Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，－\f(\r(2),2)))，故点M在第四象限，且tanα＝eq\f(－\f(\r(2),2),\f(\r(2),2))＝－1，则角α的最小正角为eq\f(7π,4)，故选D变式2、已知角α的终边过点P(－8m，－6cos60°)，且cosα＝－eq\f(4,5)，则m＝．【答案】eq\f(1,2)【解析】由题意，得P(－8m，－3).由cosα＝－eq\f(4,5)，得eq\f(－8m,\r(64m2＋9))＝－eq\f(4,5)，解得m＝eq\f(1,2)（m＝－eq\f(1,2)不合题意，舍去）.方法总结：1．明确用定义法求三角函数值的两种情况：(1)已知角α终边上一点P的坐标，则可先求出点P到原点的距离r，然后用三角函数的定义求解；(2)已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求解．2．三角函数值只与角的大小有关，与点P在角的终边上的位置无关，由于P是除原点外的任意一点，故r恒为正，本题要注意对变量的讨论．1、（2022·湖北·模拟预测）若角的终边经过点，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】∵角的终边经过点，∴，，，∴．故选：D．2、（2022·山东日照·一模）已知角的终边经过点，则角可以为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】角的终边经过点，是第四象限角，且，，则．故选：D3、（2022·重庆市育才中学模拟预测）若点在角的终