数学同步新导学案人教B选修11ppt课件第三章导数及其应用332第2课时

第2课时利用导数研究函数的最值第三章

3.3.2利用导数研究函数的极值第2课时利用导数研究函数的最值第三章3.3.2利用导数1学习目标XUEXIMUBIAO1.理解函数最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系.2.会求某闭区间上函数的最值.学习目标XUEXIMUBIAO1.理解函数最值的概念，了解其NEIRONGSUOYIN内容索引自主学习题型探究达标检测NEIRONGSUOYIN内容索引自主学习题型探究达标检测31自主学习PARTONE1自主学习PARTONE4知识点一函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值函数f(x)在闭区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，则该函数在[a，b]上一定能够取得最大值与最小值，函数的最值必在

处或

处取得.特别提醒：(1)闭区间上的连续函数一定有最值，开区间内的连续函数不一定有最值.若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值.(2)函数的最大值和最小值是一个整体性概念.(3)函数y＝f(x)在[a，b]上连续，是函数y＝f(x)在[a，b]上有最大值或最小值的充分不必要条件.端点极值点知识点一函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值端点极值点知识点二求函数y＝f(x)在[a，b]上的最值的步骤(1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的

.(2)将函数y＝f(x)的各极值与

的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是

，最小的一个是

.知识点三最值与极值的区别与联系(1)极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间的整体而言.(2)在函数的定义区间内，极大(小)值可能有多个，但最大(小)值只有一个(或者没有).(3)函数f(x)的极值点为定义域中的内点，而最值点可以是区间的端点.极值端点处最大值最小值知识点二求函数y＝f(x)在[a，b]上的最值的步骤极值端(4)对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点取得.如图是y＝f(x)在区间[a，b]上的函数图象，显然f(x1)，f(x3)，f(x5)为极大值，f(x2)，f(x4)，f(x6)为极小值.最大值y＝M＝f(x3)＝f(b)分别在x＝x3及x＝b处取得，最小值y＝m＝f(x4)在x＝x4处取得.(4)对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区1.函数的最大值一定是函数的极大值.(

)2.开区间上的单调连续函数无最值.(

)3.函数f(x)在区间[a，b]上的最大值和最小值一定在两个端点处取得.(

)思考辨析判断正误SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU√××1.函数的最大值一定是函数的极大值.()思考辨析判断2题型探究PARTTWO2题型探究PARTTWO9题型一求函数的最值命题角度1不含参数的函数求最值例1

求下列各函数的最值.(1)f(x)＝4x3＋3x2－36x＋5，x∈[－2，＋∞)；多维探究题型一求函数的最值命题角度1不含参数的函数求最值多维探究解f′(x)＝12x2＋6x－36，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x－2f′(x)0－0＋f(x)57↘↗解f′(x)＝12x2＋6x－36，x－2f′(x)0－0所以当x＝0时，f(x)有最小值f(0)＝0；当x＝2π时，f(x)有最大值f(2π)＝π.所以当x＝0时，f(x)有最小值f(0)＝0；反思感悟求解函数在固定区间上的最值，需注意以下几点：(1)对函数进行准确求导，并检验f′(x)＝0的根是否在给定区间内.(2)研究函数的单调性，正确确定极值和端点函数值.(3)比较极值与端点函数值大小，确定最值.反思感悟求解函数在固定区间上的最值，需注意以下几点：数学同步新导学案人教B选修11ppt课件第三章导数及其应用332第2课时解易知f(x)的定义域为(0，＋∞)，令f′(x)＝0，得x＝1.当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：解易知f(x)的定义域为(0，＋∞)，令f′(x)＝0，得数学同步新导学案人教B选修11ppt课件第三章导数及其应用332第2课时命题角度2含参数的函数求最值例2

已知函数f(x)＝(x－k)ex.(1)求f(x)的单调区间；命题角度2含参数的函数求最值解由f(x)＝(x－k)ex，得f′(x)＝(x－k＋1)ex，令f′(x)＝0，得x＝k－1.当x变化时，f(x)与f′(x)的变化情况如下表：所以，f(x)的单调递减区间是(－∞，k－1)；单调递增区间是(k－1，＋∞).x(－∞，k－1)k－1(k－1，＋∞)f′(x)－0＋f(x)↘－ek－1↗解由f(x)＝(x－k)ex，得f′(x)＝(x－k＋1)(2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值.解当k－1≤0，即k≤1时，函数f(x)在[0,1]上单调递增.所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(0)＝－k，当0<k－1<1，即1<k<2时，由(1)知f(x)在[0，k－1)上单调递减，在(k－1,1]上单调递增，所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(k－1)＝－ek－1.当k－1≥1，即k≥2时，函数f(x)在[0,1]上单调递减.所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(1)＝(1－k)e.综上可知，当k≤1时，f(x)min＝－k；当1<k<2时，f(x)min＝－ek－1；当k≥2时，f(x)min＝(1－k)e.(2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值.解当k－1≤0反思感悟对参数进行讨论，其实质是讨论导函数大于0，等于0，小于0三种情况.若导函数恒不等于0，则函数在已知区间上是单调函数，最值在端点处取得；若导函数可能等于0，则求出极值点后求极值，再与端点值比较后确定最值.反思感悟对参数进行讨论，其实质是讨论导函数大于0，等于0，跟踪训练2

已知函数f(x)＝lnx＋

.(1)当a<0时，求函数f(x)的单调区间；∵a<0，∴f′(x)>0，故函数在其定义域(0，＋∞)上单调递增.跟踪训练2已知函数f(x)＝lnx＋.∵a<0，∴(2)若函数f(x)在[1，e]上的最小值是

，求a的值.(2)若函数f(x)在[1，e]上的最小值是，求a的值当x∈[1，e]时，分如下情况讨论：①当a<1时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增，其最小值为f(1)＝a<1，这与函数在[1，e]上的最小值是

相矛盾；②当a＝1时，函数f(x)在[1，e]上单调递增，其最小值为f(1)＝1，同样与最小值是

相矛盾；③当1<a<e时，函数f(x)在[1，a)上有f′(x)<0，f(x)单调递减，在(a，e]上有f′(x)>0，f(x)单调递增，所以，函数f(x)的最小值为f(a)＝lna＋1，当x∈[1，e]时，分如下情况讨论：数学同步新导学案人教B选修11ppt课件第三章导数及其应用332第2课时题型二由函数的最值求参数例3

(2018·四川省雅安中学期中)已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b(a≠0)，问是否存在实数a，b，使f(x)在[－1,2]上取得最大值3，最小值－29？若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由.题型二由函数的最值求参数例3(2018·四川省雅安中学期解由题设知a≠0，由f(x)＝ax3－6ax2＋b，求导得f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)，令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝4(舍去).①当a>0时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x－1(－1,0)0(0,2)2f′(x)

＋0－

f(x)－7a＋b

b↘－16a＋b解由题设知a≠0，由f(x)＝ax3－6ax2＋b，x－1由表可知，当x＝0时，f(x)取得极大值b，也是函数f(x)在[－1,2]上的最大值，∴f(0)＝b＝3.又f(－1)＝－7a＋3，f(2)＝－16a＋3<f(－1)，∴f(2)＝－16a＋3＝－29，解得a＝2.②当a<0时，同理可得，当x＝0时，f(x)取得极小值b，也是函数f(x)在[－1,2]上的最小值，∴f(0)＝b＝－29.又f(－1)＝－7a－29，f(2)＝－16a－29>f(－1)，∴f(2)＝－16a－29＝3，解得a＝－2.综上可得，a＝2，b＝3或a＝－2，b＝－29.由表可知，当x＝0时，f(x)取得极大值b，也是函数f(x)反思感悟已知函数的最值求参数的步骤(1)求出函数在给定区间上的极值及函数在区间端点处的函数值；(2)通过比较它们的大小，判断出哪个是最大值，哪个是最小值；(3)结合已知求出参数，进而使问题得以解决.反思感悟已知函数的最值求参数的步骤数学同步新导学案人教B选修11ppt课件第三章导数及其应用332第2课时解析f′(x)＝－x2＋x＋2a，当x∈(－∞，x1)∪(x2，＋∞)时，f′(x)<0，当x∈(x1，x2)时，f′(x)>0，所以f(x)在(－∞，x1)，(x2，＋∞)上单调递减，在(x1，x2)上单调递增.当0<a<2时，有x1<1<x2<4，所以f(x)在[1,4]上的最大值为f(x2).解析f′(x)＝－x2＋x＋2a，当x∈(－∞，x1)∪(数学同步新导学案人教B选修11ppt课件第三章导数及其应用332第2课时题型三与最值有关的恒成立问题解f′(x)＝x2＋a，由f′(2)＝0，得a＝－4；令f′(x)＝x2－4>0，得x>2或x<－2.所以f(x)的单调递增区间为(－∞，－2)，(2，＋∞).题型三与最值有关的恒成立问题解f′(x)＝x2＋a，由f解得m≥2或m≤－3.所以实数m的取值范围是(－∞，－3]∪[2，＋∞).解得m≥2或m≤－3.反思感悟不等式恒成立问题常用的解题方法反思感悟不等式恒成立问题常用的解题方法跟踪训练4

已知函数f(x)＝xlnx.若对所有x≥1都有f(x)≥ax－1，则实数a的取值范围为_________.(－∞，1]解析由题意，得f(x)≥ax－1在[1，＋∞)上恒成立，当x>1时，g′(x)>0，故g(x)在(1，＋∞)上是增函数，所以g(x)的最小值是g(1)＝1.因此a≤g(x)min＝g(1)＝1，故a的取值范围为(－∞，1].跟踪训练4已知函数f(x)＝xlnx.若对所有x≥1都有核心素养之逻辑推理HEXINSUYANGZHILUOJITUILI已知最值求参数的范围典例(2018·太原检测)已知函数f(x)＝3x2＋1(x>0)，g(x)＝x3－9x，若函数f(x)＋g(x)在区间[k,2]上的最大值为28，则k的取值范围为____________.(－∞，－3]核心素养之逻辑推理HEXINSUYANGZHILUOJITU解析f(x)＋g(x)＝x3＋3x2－9x＋1.令F(x)＝f(x)＋g(x)，则F′(x)＝3x2＋6x－9＝3(x＋3)(x－1)，令F′(x)＝0，得x1＝－3，x2＝1.当x<－3或x>1时，F′(x)>0；当－3<x<1时，F′(x)<0.所以(－∞，－3)和(1，＋∞)为F(x)的单调递增区间，(－3,1)为F(x)的单调递减区间，则F(－3)＝28为函数F(x)的极大值，又F(2)＝3，结合函数图象(图略)，如果函数F(x)在区间[k,2]上的最大值为28，则该区间包含极大值点x＝－3，所以k≤－3.即k的取值范围是(－∞，－3].解析f(x)＋g(x)＝x3＋3x2－9x＋1.素养评析

(1)由函数的最值求参数的取值范围是利用导数求函数最值的逆向应用，一般先求导，利用导数研究函数的单调性和极值点，探索最值点，根据已知最值列不等式解决问题，其中注意分类讨论思想的应用.(2)利用极值点与最值点的关系，以极值点假定为最值点为突破口，利用单调性进行严密的逻辑推理，从本例体现出逻辑推理的意义和价值.素养评析(1)由函数的最值求参数的取值范围是利用导数求函数3达标检测PARTTHREE3达标检测PARTTHREE391.下列说法正确的是A.函数在其定义域内若有最值与极值，则其极大值便是最大值，极小值便

是最小值B.闭区间上的连续函数一定有最值，也一定有极值C.若函数在其定义域上有最值，则一定有极值；反之，若有极值，则一定

有最值D.若函数在给定区间上有最值，则有且仅有一个最大值，一个最小值，但

若有极值，则可有多个极值12345√解析由极值与最值的区别知选D.1.下列说法正确的是12345√解析由极值与最值的区别知选2.函数f(x)＝ex－x在区间[－1,1]上的最大值是A.1＋ B.1 C.e－1 D.e＋112345√2.函数f(x)＝ex－x在区间[－1,1]上的最大值是1212345解析由题意得f′(x)＝ex－1.令f′(x)＝0，得x＝0.当x∈[－1,0)时，f′(x)<0；当x∈(0,1]时，f′(x)>0.所以f(x)在[－1,0)上单调递减，在(0,1]上单调递增.所以f(－1)<f(1).所以f(x)max＝f(1)＝e－1.12345解析由题意得f′(x)＝ex－1.所以f(－1)12345由y′＝0，得x＝0或x＝－1.√12345由y′＝0，得x＝0或x＝－1.√123454.已知e是自然对数的底数，若函数f(x)＝ex－x＋a的图象始终在x轴的上方，则实数a的取值范围是____________.解析∵函数f(x)＝ex－x＋a的图象始终在x轴的上方，∴f(x)＝ex－x＋a>0对一切实数x恒成立，即f(x)min>0.f′(x)＝ex－1，令f′(x)＝0，解得x＝0，当x<0时，f′(x)<0，则f(x)在(－∞，0)上单调递减；当x>0时，f′(x)>0，则f(x)在(0，＋∞)上单调递增，∴当x＝0时，f(x)取得极小值即最小值，为f(0)＝1＋a，∴1＋a>0，即a>－1，故实数a的取值范围是(－1，＋∞).(－1，＋∞)123454.已知e是自然对数的底数，若函数f(x)＝ex－12345(1)求a，b的值及函数f(x)的单调区间.12345(1)求a，b的值及函数f(x)的单调区间.12345解由f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，得f′(x)＝3x2＋2ax＋b，所以f′(x)＝3x2－x－2＝(3x＋2)(x－1)，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：12345解由f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，所以f′(123451234512345(2)若对任意x∈[－1,2]，不等式f(x)<c2恒成立，求c的取值范围.因为f(2)＝2＋c，所以f(2)＝2＋c为最大值.要使f(x)<c2(x∈[－1,2])恒成立，只需c2>f(2)＝2＋c，解得c<－1或c>2.故c的取值范围为(－∞，－1)∪(2，＋∞).12345(2)若对任意x∈[－1,2]，不等式f(x)<c课堂小结KETANGXIAOJIE1.求函数在闭区间上的最值，只需比较极值和端点处的函数值即可；若函数在一个开区间内只有一个极值，则这个极值就是最值.2.已知最值求参数，用参数表示最值时，应分类讨论.3.“恒成立”问题可转化为函数最值问题.课堂小结KETANGXIAOJIE1.求函数在闭区间上的最值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