北京市海淀区教师进修学校高二上学期期中考试数学（文）试题

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2016-2017学年度第一学期期中练习高二数学（文科)一、选择题（本大题共8小题，每小题4分,共32分)1。“”是“”的（）．A。充分必要条件B.必要而不充分条件C。充分而不必要条件D。既不充分也不必要条件【答案】C【解析】当时，，故“”是“”的充分不必要条件，故选．2。命题“若，则”的逆否命题是（）．A.若，则或B.若，则C.若或,则D。若或,则【答案】D【解析】原命题“若则"的逆否命题为“若则"，所以命题“若,则”的逆否命题是若或，则故选．3。如图，若是长方体被平面截去几何体后得到的几何体，其中为线段上异于的点,为线段上异于的点，且,则下列结论中不正确的是（）．A.B。四边形是矩形C。是棱柱D.是棱台【答案】D【解析】第三个平面与两平行平面的交线相互平行，所以,，即四边形是矩形由题知是棱柱,而非棱台，选项错误．4.若是两条异面直线、外的任意一点，则（）．A。过点有且仅有一条直线与、都平行B.过点有且仅有一条直线与、都垂直C.过点有且仅有一条直线与、都相交D。过点有且仅有一条直线与、都异面【答案】B【解析】项,设过点的直线为,若与，都平行，则,平行，与，异面矛盾，错;项，,只有唯一的公垂线，而过点与公垂线平行的直线只有条，对；项，如图所示，在正方体中,设为直线，为直线，若点在点，显然无法作出直线与两直线都相交,错；项，若在点，则直线及均与，异面，错．故选．5.，表示两个不同的平面,直线，则“”是“”的（）．A。充分不必要条件B.必要不充分条件C。充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】当时，直线可能与平面只是相交，不一定垂直，∴“”条件无法推出“",当时，∵，∴,∴“”条件可推出“"，∴“”是“”的必要不充分条件，故选．点睛：充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法:直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒”为真，则是的充分条件．2．等价法：利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非,⇔与非⇔非的等价关系,对于条件或结论是否定式的命题,一般运用等价法．3．集合法：若⊆，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．6.下列存在性命题为假命题的是（）．A。存在这样的数列，既是等比数列，又是等差数列B.存在这样的函数，在其定义域内,既是偶函数又是单调增函数C。四棱柱中有的是平行六面体D.空间内存在这样的两条直线，既不相交，也不平行【答案】B【解析】项，如常数列是等差数列又是等比数列；项,偶函数的图象关于轴对称,一定不是单调函数；项,如长方体即为四棱柱中的平行六面体；项，空间中的两条直线可能平行,重合，相交，故选．7.一个棱锥的三视图如图,则该棱锥的全面积(单位：）为（）．A.B.C.D。【答案】A【解析】由三视图可知，棱锥的底面积,两个相同的侧面积，另一个侧面积，全面积．故选．点睛：空间几何体表面积的求法(2）多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理．(3)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用．8。如图，正方体的棱长为，动点、在棱上,动点,分别在棱，上，若，，,，则四面体的体积(）．A。与有关，与，无关B。与有关，与,无关C。与有关，与，无关D.与，,都有关【答案】A【解析】由图可知,的面积为定值,当点在棱上变化时,其到平面的距离随之改变，由此导致四面体的体积改变，而，不会影响四面体体积的改变，所以选A．点睛:利用等积法不仅可以用来求解几何图形的高或几何体的高或内切球的半径，而且可研究体积变化的规律，特别高定底面积变化或底面积定高变化或两者按规律对应变化．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．9.空间四边形中,、、、分别是、、、的中点．①若，则四边形是__________．②若，则四边形是__________．【答案】(1)。①菱形(2）.②长方形【解析】①∵在空间四边形中，，∴,，∴，即为菱形．②∵在空间四边形中，，∴，，，，∴是矩形．10。如图所示，已知矩形所在的平面，图中互相垂直的平面有__________对．【答案】【解析】平面平面，平面平面,平面平面，共对平面互相垂直．11.一个正方体的八个顶点都在同一个球面上,则球的表面积与这个正方体的表面积之比为__________．【答案】【解析】设球的半径为为,∴正方体棱长为，则，球的表面积,正方体的表面积,．12.设方程有两个不相等的正根；方程无实根，则使为真，为假的实数的取值范围是__________．【答案】【解析】p:q：，即—2〈m<3。由题意知p与q一真一假.所以13。若“，”是真命题，则实数的最小值为__________．【答案】【解析】∵当,,∴．即的最小值为．点睛：不等式的恒成立问题，往往转化为最值问题，即恒成立⇔,恒成立⇔.14.如图，在棱长为的正方体中，点、分别是棱，的中点，是侧面内一点，若平面,则线段长度的取值范围是__________．【答案】【解析】取棱,中点，，连接，，∵、、、分别为棱,，，中点，∴,，∴,又∵平面，平面，∴平面,∵，∴四边形为平行四边形，∴，∵平面，平面，∴平面，又∵，∴平面平面，∵是侧面内一点，且平面，∴点一定在线段上,在中,．同理可得,在中，,∴为等腰三角形，当在中点时，，最短，而在处时，最长,．综上，长度取值范围为．三、解答题（本大题共4小题，共44分）15。如图，四棱锥中，底面是正方形，是正方形的中心,底面，是的中点，,．（Ⅰ）求证：平面平面．（Ⅱ)求四棱锥的体积．【答案】（1）见解析（2)【解析】试题分析:（1）由底面，得,由正方形性质得，再由线面垂直判定定理得平面，最后由面面垂直判定定理得结论（2）PO为高,利用锥体体积公式可得四棱锥的体积．试题解析：（Ⅰ）证明:∵在正方形中，，又∵底面，∴，∵，、平面，∴平面,∵平面，∴平面平面．（Ⅱ）在中,，,∴，∴四棱锥的体积，．16.如图，在多面体中,底面是边长为的正方形，四边形是矩形，平面平面，，和分别是和的中点．(Ⅰ）求证：平面．(Ⅱ）求证：平面平面．(Ⅲ）求多面体的体积．【答案】（1）见解析（2）见解析（3）8【解析】试题分析:（1）由面面垂直性质定理得平面，即得，而由正方形性质得,所以由线面垂直判定定理得平面．(2）设与相交于点，由三角形中位线性质易得,，再由线面平行判定定理以及面面平行判定定理得结论（3)即求两个四棱锥与棱锥体积之和，而AC为高，根据锥体体积公式求体积试题解析：(Ⅰ）证明：∵在正方形中，，∵平面平面，且平面平面,在矩形中，，∴平面，∴,∵点，、平面，∴平面．(Ⅱ）设与相交于点,∵、是、中点，∴，又∵、是、中点，∴,∵点，点，、平面,、平面,∴平面平面．（Ⅲ)将多面体分割为棱锥与棱锥，∵、到平面的距离均为的长度，∴．17。如图，已知矩形,过作平面,再过作于点，过作于点．(Ⅰ）求证：．(Ⅱ）若平面交于点，求证：．【答案】（1）见解析(2）见解析【解析】试题分析：(1）本题需经过多次线面垂直与线线垂直的转化：由平面，得，再得平面，即得,可得平面，即得，因此平面，即得结论(2)本题仍需经过多次线面垂直与线线垂直的转化：由平面，得，再得平面，即得,可得平面，即得结论试题解析:（Ⅰ）∵在矩形中,∴，∵平面，∴，∵点，、平面，∴平面，∴，又∵，点，、平面,∴平面，∴,又∵，点，、平面，∴平面，∴．(Ⅱ)∵在矩形中，∴，∵平面，∴，∵点，、平面,∴平面,∴，又∵平面,∴,∵点，、平面，∴平面，∴．点睛：垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.（1)证明线面、面面平行,需转化为证明线线平行.（2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.（3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.18.如图,在中,，为中点，于（不同于点），延长交于，将沿折起，得到三棱锥，如图所示．(Ⅰ）若是的中点，求证：直线平面．（Ⅱ)求证：．（Ⅲ）若平面平面，试判断直线与直线能否垂直？请说明理由．【答案】(1）见解析（2）见解析（3）不能垂直【解析】试题分析:（1）由三角形中位线性质得，再根据线面平行判定定理得结论（2)由折叠知，，由线面垂直判定定理得平面,即得结论（3)假设直线与直线垂直，则可得直线与直线垂直，与题设E与D不同矛盾，假设不成立.试题解析：（Ⅰ）证明：∵、分别为、中点,∴,又∵平面，平面，∴平面．（Ⅱ）∵，,点，、平面，∴平面,