【三角函数的性质解析9000字（论文）】

高中数学三角函数的教学策略研究三角函数的性质解析目录TOC\o"1-3"\h\u10487引言 317081.1研究背景 3132601.2研究目的和意义 335501.3研究现状 3324511.3.1国内的研究现状 311441.3.2国外的研究现状 310526第二章三角函数相关概念与公式 474322.1三角函数及其图像 4210332.2三角函数的性质 573832.3三角函数相关公式 526762第三章三角函数在数学用几何题中的解析辅助中的应用 711363.1三角函数在计算曲线在某一点的切线斜率中的应用 7279513.2三角函数在分析函数的性质与图像中的运用 844313.2.1已知函数图像，画出其导函数的图像 937843.2.2已知导函数图像，画出其原函数的图像 1025593.2.3已知导函数图像，求解原函数 11271123.3三角函数在求解方程的根中的应用 1241453.3.1利用三角函数解决根的唯一性 12233573.3.2利用三角函数求解方程根的个数 13206303.3.3利用三角函数求解待定系数的取值范围 14318743.3.4利用三角函数求解有关超越方程的根 14262433.4三角函数在证明不等式中的应用 16271673.4.1利用三角函数的定义证明不等式 16147543.4.2利用函数的单调性来证明不等式 1778153.4.3利用最值性证明不等式 1836463.4.4利用构造函数证明不等式（换元法） 19230023.5三角函数在判断函数单调性中的应用 2012653.6三角函数在求解最值和最优化问题中的运用 21326043.6.1三角函数在求解函数的最大(小)中的应用 21278343.6.2三角函数在求解最优化问题中的应用 2124498第四章三角函数在数学用几何题中的解析辅助时的几点评注及易错点 2389004.1对三角函数的几何意义不明确而导致在应用中的错误 23240784.2三角函数在用几何题中的解析辅助时对极值点、驻点和拐点的区分 23218624.3三角函数在高中用几何题中的解析辅助时不可导点的判定 2440104.4三角函数在高中数学用几何题中的解析辅助时忽视了定义域的错误分析 24276854.5三角函数在用几何题中的解析辅助中因极值点与三角函数为零的点区分不清的错误分析 2512365结束语 279404参考文献 28引言1.1研究背景三角函数在数学和天文学、力学、电磁学、工程学、射电天文学、医学等学科中起着重要的作用。近年来，虽然高中三角函数难度有所降低，但从未中断。三角函数也是高中数学必学的内容，学好三角函数可以为将来大学的高等数学做铺垫。三角函数属于较重要的平面几何数学模型，也是数学模型中必须要掌握的一种，以及也是高中数学函数中要深入了解的一种函数。1.2研究目的和意义三角函数的教学还是要遵循学生情况和教学实际情况相结合来定制教学方案，并要在实际情况中不断找出学生学习三角函数的问题。教学中也要注重教学原则，注重结合数学思想、数学基本理论、逻辑思维能力培养等方面去加强学生理解三角函数的作用和价值。在这个过程中一定要谨慎，很多细节不注意就会导致学生对三角函数掌握不全面，以至于最后学生无法理解三角函数。1.3研究现状1.3.1国内的研究现状我国学者认为，从基础出发，对解决三角函数问题中常见的几种误差类型进行综合分析。国内大多数的学者都认为学生应先要了解三角函数学习的必要性和学习难度，清楚认识学习三角函数之前学生应该具备什么样的知识。教师也应该活用教育学知识，在教学时进行对比，来优化自己的教学方案。近几年国内新课程改革对三角函数的学习有着不小的影响，各个方面都影响着教师大幅度的改变教学的策略。1.3.2国外的研究现状许多外国学者认为，学生三角函数经常会不理解和犯错，就是因为很大一部分学生无法理解几何概念，也没有把三角函数作为函数用函数思维去理解，从而忽略三角函数本质，并认为学习三角函数时需要大量外力辅助，比如计算机、几何图、作图工具等。以及要熟记好三角函数公式，从而方便解题。第二章三角函数相关概念与公式2.1三角函数及其图像三角函数是六个基本的初等函数。它是对客观世界数学量的抽象概括，主要是对角度函数的概括。三角函数有六个基本函数，即正弦函数（y=sinx）、余弦函数（y=cosx）、切线函数（y=tanx）、余弦函数（y=cotx）、正弦函数（y=secx）和余弦函数（y=cscx）。在高中阶段，前三者的学习和应用较多，后三者，特别是后者，不需要高中生掌握。然而，由于图像直观性和图像的特点，定量关系不能准确显示，仅凭图像很难区分近点之间的定量关系。在直角三角形ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，∠C为直角。则定义以下运算方式：sinA=∠A的对边长/斜边长，sinA记为∠A的正弦；sinA＝a/ccosA=∠A的邻边长/斜边长，cosA记为∠A的余弦；cosA＝b/ctanA=∠A的对边长/∠A的邻边长，tanA＝sinA/cosA＝a/btanA记为∠A的正切；当∠A为锐角时sinA、cosA、tanA统称为“锐角三角函数”。SinA＝cosBsinB＝cosA在平面直角坐标系xOy中，从点O引出一条射线OP，设旋转角为θ，设OP=r，P点的坐标为(x,y)。该直角三角形中，θ对边为y临边为x斜边为r，运算方法见表一表1基本函数英文表达式语言描述正弦函数Sinesinθ=y/r角θ的对边比斜边余弦函数Cosinecosθ=x/r角θ的邻边比斜边正切函数Tangenttanθ=y/x角θ的对边比邻边余切函数Cotangentcotθ=x/y角θ的邻边比对边正割函数Secantsecθ=r/x角θ的斜边比邻边余割函数Cosecantcscθ=r/y角θ的斜边比对边2.2三角函数的性质与其他函数一样，三角函数具有极限性、单调性、奇偶性、周期性和连续性等基本性质。但由于三角函数是一种描述单位圆上各种线长的函数，中学生应掌握三角函数的单调性、周期性、奇偶性和对称性等特点。并在高考中对这些特点进行了研究。以上四点表明，三角函数的性质与其图像密切相关。高中生在学习这两个方面的知识时，可以把这两个方面结合起来，尤其是以前的学习。这不仅使中学生掌握了三角函数的相关知识，而且使中学生掌握了图形组合的思维方法，取得了良好的学习效果。2.3三角函数相关公式同角三角函数基本关系式诱导公式一其中诱导公式二诱导公式三诱导公式四诱导公式五诱导公式六第三章三角函数在数学用几何题中的解析辅助中的应用3.1三角函数在计算曲线在某一点的切线斜率中的应用在计算曲线在某一点的切线斜率的问题时，主要就是利用到三角函数的几何意义：在某一点的三角函数就是曲线在处切线的斜率.例2.1[1]已知曲线L：，求经过点的曲线的切线方程.分析：主要是计算出曲线L在P点处的斜率，又因为点，此时便可根据点斜式能够计算出过点P的曲线的切线方程了.解：由题意可知：曲线L：,,过点P的斜率K为：,曲线L过P点的切线方程为：,化简得：.点评：本题在计算曲线的切线方程时，主要考查的对象是三角函数的几何意义.例2.22在上求一点P，使P到直线的距离最短.分析：本题的解法有多种，它可以利用初等解法，也可以利用三角函数的几何意义进行计算.下面我将用不同的解法进行作答，进行对比.便可以充分的体现出三角函数用几何题中的解析辅助时的便利性.解法1：平移直线，使其与曲线相切，可知P点即为所求.设切线，代入曲线方程，得：,（1）又因为直线与曲线相切，,解得：,所以（1）式为,故切点为.解法2：设点则点P到直线的距离为：,由上式可知，当时取得最小值,故点P为.解法3：由题可知，点P必为平行于直线的直线与抛物线的切点,因此过P点的切线必定平行于直线,由三角函数的几何意义可知，在P点的数值为1,又设则,，故.点评：利用不同的解法，我们可以清楚地认识到利用三角函数工具进行求解的简洁性与便利性，掌握三角函数这一工具，可以提高我们用几何题中的解析辅助的效率.本题在三角函数方面主要运用的是三角函数求解曲线的斜率的知识，即利用三角函数的几何意义进行求解.3.2三角函数在分析函数的性质与图像中的运用在利用三角函数分析图像时应着重注意其切线变化的大小关系.理清三角函数与函数图像之间的关系.倒数图像与函数的图像有者密不可分的联系，下面我将用3个例题来简单讲解他们之间的关系.3.2.1已知函数图像，画出其导函数的图像例2.3已知函数的图像如图2.1、图2.2所示，请画出其导函数图像的大致情况[3]yy0图2.1函数图像yx0图2.2函数图像分析：根据三角函数与函数图像之间的关系，在已知函数图像的情况下要求其导函数的图像，我们就只需判断出其函数图像在其各个切点的斜率的变化情况，便可以得出其导函数图像的大致情况.解：=1\*GB3①图2.1的的曲线上的切点的斜率变化是越来越大，当时，斜率大于0；当时，斜率等于0；当时，斜率小于0.其图2.1的导函数图像如图2.3所示.=2\*GB3②图2.2的的曲线上的切点的斜率变化是各切点每处都不小于0，当时斜率越来越大；当时，斜率等于0；当时斜率越来越小.其图2.2的导函数图像如图2.4所示.yyx0图2.3导函数图像yx0图2.4导函数图像点评：此类题目在用几何题中的解析辅助时主要应用的是三角函数与函数图像之间的关系以及利用到三角函数的几何意义，在解决此类问题时要紧紧抓住切线的斜率的大小变化的情况.3.2.2已知导函数图像，画出其原函数的图像例2.4[4]已知函数的图像如图2.5所示，下面4个图像中能大致表示的图像是（）-10-101图2.5导函数图像图图2.5-2选择原函数图0-123A0-112B0-2-11C0-112D分析：根据的符号变化，可以得到的符号变化.因此而得到其的单调性的变化，便能够以此来画出其原函数的大致图像.解：由图2.5可知，当时，则，原函数为增函数，图像上升；当时，则，原函数为减函数，图像下降；当时，则，原函数为减函数，图像下降；当时，则，原函数为增函数，图像上升.综上所述，只有C选项满足上述条件，故选C.点评：本题用几何题中的解析辅助时所用方法与例2.3相同，但例2.3与例2.4是两个完全相反的问题，在做此类题目时要注意题目要求，分清两个题目类型之间的区别.3.2.3已知导函数图像，求解原函数例2.5已知函数在点处取得极大值5，其导函数的图像经过点，如图2.6所示，求：（1）的值；（2）函数的解析式.[5]0012图2.6导函数图像分析：首先根据图像信息，判断出其极大值点即的值.再利用题干信息，找出三个已知点，再分别代入其相应的函数式中，解出待定系数，从而得到函数的解析式.解：（1）由图像可知，当时,，在上递增；当时,，在上递减；当时,，在上递增.因此在处取得极大值,.（2）由题意可知：,,又,,,解得故函数的解析式为.点评：本题主要利用的是导函数的性质，结合图像信息来进行用几何题中的解析辅助的.在利用三角函数用几何题中的解析辅助时，我们不仅要找寻题干中蕴含的信息，同时也不能忽视图像中所包含的信息.3.3三角函数在求解方程的根中的应用利用三角函数求解方程的根可以分为以下几个方面:1.利用三角函数解决根的唯一性.2.利用三角函数求方程根的个数.3.利用三角函数求解待定系数的取值范围.4.利用三角函数求解有关超越方程的根.下面本人将结合实例对以上几个方面进行分析.3.3.1利用三角函数解决根的唯一性判断方程在某区间内有唯一实根，即判断函数在该区间上有唯一零点.我们可以通过探究函数的单调性，利用零点存在定理进行判断.例2.6证明函数在区间上有唯一零点.[6]分析：对于证明函数有唯一零点（方程有唯一实根）的问题上，首先应考虑的是零点是否存在，利用三角函数研究函数区间的单调性，证明函数在该区间上单调就可证明出函数在该区间上有唯一零点.证明：对函数进行求导，得：.在区间上，为减函数,又,,.故函数在区间上有唯一零点.点评：在此问题上，如果区间两端的函数值是一正一负且函数单调，则在该区间内函数必有唯一零点（方程有唯一实根）.3.3.2利用三角函数求解方程根的个数用三角函数来求解方程根的个数，实际上用三角函数来探究函数的图像与函数的图像有几个交点的问题.例2.7已知，，若与在有两个不同的交点，求的取值范围.[7]分析：此题主要考查的是对数函数与二次函数的交点问题且含有参数，因为对数函数与二次函数曲线结构的特点，我们很难具体有效地把握它们交点的情况，所以对于此类问题我们可以用三角函数将曲线交点的问题转化为在有实根的问题.解：令,则,,构造函数,.要让则,时，在上递增；时，在上递减.故的极大值点为1，极大值为.又且,（1）转化为与的交点问题,要使（1）式在有两个不同的实根，则解得,当时（1）式有两个不同的实根，即在该区间与有两个不同的交点.点评：用三角函数工具来探究与的交点问题时有下面五个步骤：1.构造函数；2.求；3.求出的单调性与极值;4.找出与轴的交点情况,列出不等式;5.求解不等式,得出结论.3.3.3利用三角函数求解待定系数的取值范围例2.8：取何值时，关于的方程在上有解？[8]分析：可以先将与分离开，再利用三角函数求函数的值域.解：则将看作是的函数,，,在上是增函数,故.点评：此题也可以结合二次函数的图像，使其问题转变为区间根的分布问题，但需分类讨论，然而利用三角函数来求其函数的值域，就可以将其运算量减少，从这个方面看，也可以看出其三角函数用几何题中的解析辅助的简洁性.3.3.4利用三角函数求解有关超越方程的根例2.9证明方程有唯一解.[9]分析：此方程由观察易知是其一个实根，但我们无法说明此方程根的唯一性.我们可以利用三角函数工具来解决这一问题，在用几何题中的解析辅助过程中我们应注意函数的定义域，必须要在定义域范围内进行求解.证明：,移项得：,令,,.当即时，为增函数；当即时，为减函数.001图2.7函数图像,如图2.7所示，此时图像与轴相切，与轴只有唯一的一个交点.故方程有唯一解.点评：在解决有关超越方程根时，我们很难进行猜根求解，但我们可以通过构造函数后，进行求导，画出草图.结合图像，便可以找出其交点，使我们能够较快地解决问题.3.4三角函数在证明不等式中的应用利用三角函数证明不等式，可以根据三角函数的定义、函数的单调性、最值性以及构造函数来证明不等式.其中构造函数可以通过作差法、换元法、取对数等方法进行构造，然后再通过求导的方法加以证明.在构造函数证明不等式方面我将以其中的换元法来进行叙述.3.4.1利用三角函数的定义证明不等式例2.10已知函数，求证时，.[10]分析：令，.因为要证当时，即，只需证在上单调递增.证明：令则,当时,,,，在上单调递增故,即.点评：在利用三角函数的定义来证明不等式时，先要将函数的一阶三角函数给计算出来，然后在确定函数在某点的三角函数值和函数值，接着便利用三角函数的定义来证明其不等式.3.4.2利用函数的单调性来证明不等式例2.11已知，.且，求证：[11]分析：，在上单调递减.证明：令,则,在上单调递减又,即.点评：利用函数的单调性证明不等式，首先是利用三角函数工具先计算出函数的导函数，再利用导函数的性质判断出函数的单调性，再证明不等式.3.4.3利用最值性证明不等式例2.12：的定义域是，其中，，若，求证：,[12]分析：首先构造一个函数，然后求出在某区间中的全部驻点和不可导之处的函数的极值和区间两个端点之处的函数值，将它们进行比较，证明不等式成立.证明：,令时,则,即,化简得,或,,无解.由解得：或,时，在上单调递增；时，在上单调递减.是的极小值点,又在上只有一个极值点,是的最小值.故的最小值为：,的最小值为：,又,,时,成立.点评：根据连续函数在封闭区间上的连续性、顺序性等可得到如果函数在封闭区间上连续时，则一定存在其最大（最小）值.这就是我们用来求解连续函数的最大（最小）值的理论依据.如果函数在处可导.那么还是其稳定点.因此我们只需通过比较的稳定点、区间端点和不可导处的所有函数值，便可以找出在区间上的最大（最小）值，从而证明不等式的成立.3.4.4利用构造函数证明不等式（换元法）例2.13已知函数，，函数的图像在点处的切线平行于轴（1）求的值；（2）求函数的极小值；（3）设斜率为的直线与函数的图像交于两点，其中，证明[13]分析：此题是一道综合性较强、难度较大的题目，它属于函数与三角函数的综合性题目，主要运用到三角函数的几何意义以及三角函数的性质等方面来证明不等式，下面是利用换元法来构造函数，再利用三角函数知识对不等式进行证明.解：,的极小值为,（3）由题意，可得：即,令则,当时，在上为减函数；当时，在上为增函数.又,,故.点评：此题运用三角函数求函数的单调性、极值、柯西不等式的应用及不等式证明等方面的知识进行用几何题中的解析辅助，在本题的处理上运用换元法便大大减小了计算时的难度.3.5三角函数在判断函数单调性中的应用如果函数是连续函数，若在处其导函数，也就是指其该点处切线的斜率大于0，那么函数在点处附近单调递增；若在处其导函数，也就是指其该点处切线的斜率小于0，那么函数在点处附近单调递减.例2.14讨论函数的单调性.[14]分析：函数的单调性与其导函数的正负有关.如果导函数为正，则函数为增函数；如果导函数为负，则函数为减函数.解：,.令解得：,令解得：.在上单调递增，在上单调递减.点评：假设在上连续，在内处处可导，则有如果在内，则函数在上为增函数；如果在内，则函数在上为减函数；如果函数在内，则函数在上为常函数.3.6三角函数在求解最值和最优化问题中的运用3.6.1三角函数在求解函数的最大(小)中的应用例2.15求函数在闭区间上的最大值和最小值.[15]分析：先将函数进行求导，再找出其极值点，最后对所有的极值点、区间端点的函数值进行对比找出其最大值和最小值.解：,,令解得：且没有不可导的点存在.是的极值点,又,,,,比较上述四个值：.在上的最大值为142，最小值为7.点评：在求解可导函数的最值问题时要将所有的极值点、不可导点、区间端点的函数值进行对比，要做到不重不漏.3.6.2三角函数在求解最优化问题中的应用例2.16某新农村需要围建一个面积为矩形晒谷场，一边可以利用原来的石条沿，其它三边也需要砌新的石条沿.问：晒谷场的长和宽各为多少，才能使材料用得最省？分析：在求解本题时，首先设出晒谷场的宽为，则长为.因此，便可以设出一个关于的函数，再利用三角函数工具便可以算出材料最省的方案.解：设晒谷场的宽为，则长为令石条沿的总长为;,在内只有一个极值点即的极小值点为16.又,当晒谷场的长为，宽为，才能使材料用得最省.点评：在求解最优化问题时，应利用三角函数求出极值点，找出其最值.从中找到解决问题的最佳方案.

第四章三角函数在数学用几何题中的解析辅助时的几点评注及易错点4.1对三角函数的几何意义不明确而导致在应用中的错误对三角函数的几何意义理解地不够透彻，也可能会使其在用几何题中的解析辅助时出错，函数在处的三角函数的几何意义是函数曲线在点处的切线斜率.利用三角函数的几何意义使我们更加容易求解函数的曲线的切线方程.例3.1求解曲线经过点的切线方程.错解：,,将代入，可得：.切线方程为:.错因：本题时由于思维上的定势而造成的错误，因为点不在曲线上，故在用几何题中的解析辅助时盲目地将代入三角函数方程求出的切线斜率是错误的.正解：设则,,又,联立得：.当时切线方程为；当时切线方程为.4.2三角函数在用几何题中的解析辅助时对极值点、驻点和拐点的区分极值点定义：令函数.给定的一个小邻域，对于任意，都有，称是的极小值点；否则，称是的极大值点.极小值点和极大值点统称为极值点.驻点定义：令函数，若，称是驻点.拐点定义：连续曲线弧上的上凹弧与下凹弧的分界点，称为曲线弧的拐点.拐点的判定定理：令函数，若，且，；时或，；时，，称点为的拐点.极值点的必要条件：令函数，在点处可导，且是极值点，则.在区分极值点、驻点与拐点时需从上述的几个定义、定理进行仔细理解与区分.驻点不一定是极值点，极值点也不一定是驻点.在可导的情况下，极值点一定是驻点.4.3三角函数在高中用几何题中的解析辅助时不可导点的判定在判定不可导点时可以从导函数、三角函数的定义以及假想延拓法来判定不可导点.例3.2为了使函数在处连续且可导，应该取何值.解：据已知函数在处连续且可导，因此在处左右三角函数均存在.根据假想延拓法知，函数在左三角函数为,于是再根据假想延拓法知，函数在处右三角函数为,再根据函数在处连续，得：,解得：.4.4三角函数在高中数学用几何题中的解析辅助时忽视了定义域的错误分析例3.3求函数的单调区间.错解：,,令即解得：,函数的单调增区间为，减区间为.错因：忽视了定义域.正解：,的定义域为.又,故函数的单调减区间为.4.5三角函数在用几何题中的解析辅助中因极值点与三角函数为零的点区分不清的错误分析例3.4已知函数在处有极值为10，求的值.错解：,,故即解得：或.错因：函数可导时在处取得极值的充要条件为=1\*GB3①；=2\*GB3②在左右两侧的三角函数值的符号相反.错解没有对条件=2\*GB3②加以检验.正解：,故即解得：或.当时,，易知在的两侧同号，故在处不存在极值.当时，在的两侧异号，故在处存在极值.综上所述：.本文将归纳总结出利用三角函数解决高中数学问题的若干方法及在利用三角函数用几何题中的解析辅助时需注意的方面和易错点，从而方便三角函数初学者便于查找，在学习三角函数的初级阶段能够有更多的资料进行学习借鉴，在利用三角函数用几何题中的解析辅助时注意到自己平时忽略到的方面.由于篇幅的原因，对于运用三角函数知识用几何题中的解析辅助的错误类型1.函数在某点的三角函数是一个函数值；2.曲线过某点的切线方程，其点不在曲线上；3.单调区间的记法错误；4.把极值误认为最值；5.忽视其定义域等不再一一列举.结束语前人的研究现状：三角函数可以说是微积分教学中的核心概念,是将初等数学和高等数学有机联系的重要桥梁,所以,这部分内容的学习对学生来说至关重要.所以，就几何题中的解析辅助的三角函数教学展开具体的叙述,探讨如何有效地加强高中三角函数的教学，前人研究没有利用几何题中的解析结合三角函数问题去研究，只是单一的通过课本知识，不能直观的展示函数的平均变化率到瞬间变化率的变化过程.进展：随着计算机多媒体的出现和飞速发展,在网络技术广泛应用于各个领域的同时,也给学校教育