山西省阳泉市第十一中学2022-2023学年高三数学文下学期期末试卷含解析

山西省阳泉市第十一中学2022-2023学年高三数学文下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数，又为锐角三角形两锐角，则（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：B2.设函数的定义域为R,,当时,,则函数在区间上的所有零点的和为(A)

(B)

(C)

(D)参考答案：A考虑两图象的交点的横坐标之和，由于两图象都关于＝1成轴对称图形，在共有7个交点，故零点之和为7。3.已知函数的图象在点A(1，f(1))处的切线的斜率为3，数列的前项和为，则的值为（

）A．

B．

C． D．参考答案：D略4.已知是实数集，，则()A．

B． C.

D．参考答案：D略5.椭圆与双曲线有相同的焦点，则实数的值是（

）A．

B．1或

C．1或

D．1参考答案：D略6.在平面几何中有如下结论：正三角形ABC的内切圆面积为S1，外接圆面积为S2，则＝，推广到空间可以得到类似结论；已知正四面体P－ABC的内切球体积为V1，外接球体积为V2，则＝()参考答案：B7.如图，长方形的四个顶点为，曲线经过点．现将一质点随机投入长方形中，则质点落在图中阴影区域的概率是A．

B．

C．

D．参考答案：C8.对于任意非零实数a、b、c、d,命题①;②③;④;⑤.其中正确的个数是 （）A．1 B．2 C．3 D．4

参考答案：B9.将一枚骰子先后抛掷两次得到的点数依次记为，，则直线与圆无公共点的概率为

A.

B. C.

D.

参考答案：B

【知识点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．K2解析：直线与圆无公共点,则有

，满足该条件的基本事件有15种，基本事件总数是36种，故所求概率为．故选B.【思路点拨】由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件数是36，求出满足条件的事件是直线ax+by=0与圆（x﹣2）2+y2=2无公共点的基本事件个数，代入古典概型概率公式得到结果．10.设向量，若，则A．

B．

C．

D．0

参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知，则的值为 .参考答案：12.给定平面上四点、、、，满足，，，，则的面积的最大值为______________.参考答案：

13.设分别表示不大于的最大整数，如.则集合表示的平面区域的面积为

.参考答案：514.若点的坐标为，是抛物线的焦点，点在抛物线上移动时，使取得最小值的的坐标__________________参考答案：（2，2）15.过点且平行于极轴的直线的极坐标方程为___________．参考答案：略16.已知数列{an}满足,,若[x]表示不超过x的最大整数，则

．参考答案：117.某程序框图如图所示，若输入的，则输出的结果是

．参考答案：5略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.己知等比数列{an}的各项均为正数，且a1+2a2=5，4a32=a2a6．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若数列{bn}满足b1=2，且bn+1=bn+an，求数列{bn}的通项公式；（3）设cn=，求数列{cn}的前n项和为Tn．参考答案：【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．【分析】（1）设等比数列的公比为q＞0，运用等比数列的通项公式，结合条件可得首项和公比的方程组，解方程即可得到所求通项公式；（2）运用bn=b1+（b2﹣b1）+（b3﹣b2）+…+（bn﹣bn﹣1），结合等比数列的求和公式，计算即可得到所求通项公式；（3）求得cn===﹣，运用数列的求和方法：裂项相消求和，即可得到所求和．【解答】解：（1）等比数列{an}的各项均为正数，且公比q＞0，a1+2a2=5，4a32=a2a6，可得a1+2a1q=5，4（a1q2）2=a12q6，解得a1=1，q=2，则an=a1qn﹣1=2n﹣1，n∈N*；（2）数列{bn}满足b1=2，且bn+1=bn+an，可得bn+1﹣bn=an=2n﹣1，则bn=b1+（b2﹣b1）+（b3﹣b2）+…+（bn﹣bn﹣1）=2+1+2+…+2n﹣2=2+=2n﹣1+1，n∈N*；（3）cn===﹣，则数列{cn}的前n项和为Tn=﹣+﹣+…+﹣=﹣．19.（12分）如图，对每个正整数，是抛物线上的点，过焦点的直线角抛物线于另一点。（Ⅰ）试证：；（Ⅱ）取，并记为抛物线上分别以与为切点的两条切线的交点。试证：；参考答案：解析：证明：（Ⅰ）对任意固定的因为焦点F（0,1）,所以可设直线的方程为将它与抛物线方程联立得:,由一元二次方程根与系数的关系得．（Ⅱ）对任意固定的利用导数知识易得抛物线在处的切线的斜率故在处的切线的方程为：，……①类似地，可求得在处的切线的方程为：，……②由②－①得：，……③将③代入①并注意得交点的坐标为．由两点间的距离公式得：．现在，利用上述已证结论并由等比数列求和公式得：20.已知．（I）求函数f（x）的最小值；（II）（i）设0＜t＜a，证明：f（a+t）＜f（a﹣t）．（ii）若f（x1）=f（x2），且x1≠x2．证明：x1+x2＞2a．参考答案：考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．专题：综合题．分析：（Ⅰ）确定函数的定义域，并求导函数，确定函数的单调性，可得x=a时，f（x）取得极小值也是最小值；（Ⅱ）（ⅰ）构造函数g（t）=f（a+t）﹣f（a﹣t），当0＜t＜a时，求导函数，可知g（t）在（0，a）单调递减，所以g（t）＜g（0）=0，即可证得；（ⅱ）由（Ⅰ），f（x）在（0，a）单调递减，在（a，+∞）单调递增，不失一般性，设0＜x1＜a＜x2，所以0＜a﹣x1＜a，利用（ⅰ）即可证得结论．解答： （Ⅰ）解：函数的定义域为（0，+∞）．求导数，可得f′（x）=x﹣=．…当x∈（0，a）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（a，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．当x=a时，f（x）取得极小值也是最小值f（a）=a2﹣a2lna．…（Ⅱ）证明：（ⅰ）设g（t）=f（a+t）﹣f（a﹣t），则当0＜t＜a时，g′（t）=f′（a+t）+f′（a﹣t）=a+t﹣+a﹣t﹣=＜0，…所以g（t）在（0，a）单调递减，g（t）＜g（0）=0，即f（a+t）﹣f（a﹣t）＜0，故f（a+t）＜f（a﹣t）．…（ⅱ）由（Ⅰ），f（x）在（0，a）单调递减，在（a，+∞）单调递增，不失一般性，设0＜x1＜a＜x2，因0＜a﹣x1＜a，则由（ⅰ），得f（2a﹣x1）=f（a+（a﹣x1））＜f（a﹣（a﹣x1））=f（x1）=f（x2），…又2a﹣x1，x2∈（a，+∞），故2a﹣x1＜x2，即x1+x2＞2a．…点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性、极值、最值，考查不等式的证明，解题的关键是构造函数，确定函数的单调性．21.某市环保研究所对市中心每天环境污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合污染指数f（x）与时间x（小时）的关系为，x∈[0，24]，其中a是与气象有关的参数，且，若用每天f（x）的最大值为当天的综合污染指数，记作M（a） （1）令，x∈[0，24]，试求t的取值范围 （2）试求函数M（a） （3）市政府规定每天的综合污染指数不得超过2，试问目前该市的污染指数是否超标．参考答案：【考点】在实际问题中建立三角函数模型． 【分析】（1）利用正弦函数的性质，可求t的取值范围； （2）分类讨论求最值，即可求函数M（a）的解析式； （3）由（Ⅱ）知M（a）的最大值，它小于2，即可得出结论． 【解答】解：（1）由0≤x≤24得

当即x=0时tmin=0当即x=18时 所以t的取值范围是… （2）令， 当时，即时， 当时，即时， 所以… （3）当时，易知M（a）单调递增，所以 当时，由M′（a）=0得 当时，M′（a）＞0，M（a）单调递增 当时，M′（a）＜0M（a）单调递减 所以函数，所以没有超标 答：目前该市的污染指数没有超标．… 【点评】本题考查三角函数的性质，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． 22.某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X依次为1,2，……，8，其中X≥5为标准A，X≥3为标准B，已知甲厂执行标准A生产该产品，产品的零售价为6元/件；乙厂执行标准B生产该产品，产品的零售价为4元/件，假定甲、乙两厂得产品都符合相应的执行标准（I）已知甲厂产品的等级系数X1的概率分布列如下所示：且X1的数字期望EX1=6，求a，b的值；（II）为分析乙厂产品的等级系数X2，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：3

5

3

3

8

5

5

6

3

46

3

4

7

5

3

4

8

5

38

3

4

3

4

4

7

5

6

7用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数X2的数学期望.（III）在（I）、（II）的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由.注：（1）产品的“性价比”=；（2）“性价比”大的产品更具可购买性.参考答案：（I），；（II）4.8；（III）乙工厂的产品更具可购买性，理由见详解.【详解】(1)∵EX1=6，∴5×0.4+6a+7b+8×0.1=6，即6a+7b=3.2，又由X1的概率分布列得0.4+a+b+0.1=1，即a+b=0.5，由6a+7b=3，2a+b=0.5，解得，；.(2)由已知得，样本的频率分布列如下：X2345678f0.30.20.20.10.10.1

用这个样本的频率分布估计总体分布,将频率视为概率,可得等级系数X2的概率分布列如下：X2345678P0.30.20.20.10.1