将军饮马(最完整讲义)

第1讲将军饮马模型知识点睛“将军饮马”问题主要利用构造对称图形解决两条线段和差、三角形周长、四边形周长等一类问题，会与直线、角、三角形、四边形、圆、抛物线等图形结合，在近年的中考和竞赛中经常出现，而且大多以压轴题的形式出现。定直线与两定点模型作法结论当两定点在直线异侧时，在直线上找上点，使最小.当两定点在直线同侧时，在直线上找上点，使最小.当两定点在直线同侧时，在直线上找上点，使最大.当两定点在直线异侧时，在直线上找上点，使最大.当两定点在直线同侧时，在直线上找上点，使最小.二、角到定点模型作法结论点在的内部，在上找一点，在上找一点,使得周长最小.点在的内部，在上找一点，在上找一点,使得最小.点在的内部，在上找一点，在上找一点,使得四边形周长最小.点在的外部，在射线上找一点，使与点到射线的距离和最小.点在的内部，在射线上找一点，使与点到射线的距离和最小.点分别在的边是，在上找一点，在上找一点,使得最小.两定点一定长模型作法结论如图在直线上找上两点（在左），使最小,且.如图，，之间的距离为，在上分别找两点，使，且最小.如图，，,之间的距离为，之间的距离为，在上分别找两点，使，在上分别找两点，使且最小.如图，在⊙上找一点，在直线找一点,使得最小.精讲精练例1：如图，点P是∠AOB内任意一点，∠AOB=30°，OP=8，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，则△PMN周长的最小值．例2：如图，正方形ABCD的边长是4，M在DC上，且DM=1，N是AC边上的一动点，则△DMN周长的最小值．例3：如图，在Rt△ABO中，∠OBA=90°，A（4,4），点C在边AB上，且AC:CB=1:3，点D为OB的中点，点P为边OA上的动点，当点P在OA上移动时，使四边形PDBC周长最小的点P的坐标为 B．， C．， D．第3题图第4题图第5题图例4：如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D在BC上，BD=3，DC=1，点P是AB上的动点，则PC+PD的最小值为A．4 B．5 C．6 D．7例5：如图，在等边△ABC中，AB=6，N为AB上一点且BN=2AN，BC的高线AD交BC于点D，M是AD上的动点，连结BM，MN，则BM+MN的最小值是___________．例6：如图，在Rt△ABD中，AB=6，∠BAD=30°，∠D=90°，N为AB上一点且BN=2AN，M是AD上的动点，连结BM，MN，则BM+MN的最小值．例7：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6．AB=12，AD平分∠CAB，点F是AC的中点，点E是AD上的动点，则CE+EF的最小值为A．3 B．4 C． D．第7题图第8题图第9题图例8：如图，在锐角三角形ABC中，BC=4，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，交AC于点D，M、N分别是BD，BC上的动点，则CM+MN的最小值是 B．2 C． D．4例9：如图，在菱形ABCD中，AC=，BD=6，E是BC的中点，P、M分别是AC、AB上的动点，连接PE、PM，则PE+PM的最小值是A．6 B． C． D．4.5例10：如图，矩形ABOC的顶点A的坐标为（-4,5），D是OB的中点，E是OC上的一点，当△ADE的周长最小时，点E的坐标是 B． C． D．第10题图第11题图第12题图例11：如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=3，动点P满足，则点P到A、B两点距离之和PA+PB的最小值为A． B． C． D．例12：如图，矩形ABCD中，AB=10，BC=5，点E、F、G、H分别在矩形ABCD各边上，且AE=CG，BF=DH，则四边形EFGH周长的最小值为A． B． C． D．例13：如图，∠AOB=60°，点P是∠AOB内的定点且OP=，若点M、N分别是射线OA、OB上异于点O的动点，则△PMN周长的最小值是A． B． C．6 D．3第13题图第14题图例14：如图，∠AOB的边OB与x轴正半轴重合，点P是OA上的一动点，点N（3,0）是OB上的一定点，点M是ON的中点，∠AOB=30°，要使PM+PN最小，则点P的坐标为．例15：如图，已知正比例函数y=kx（k>0）的图像与x轴相交所成的锐角为70°，定点A的坐标为（0，4），P为y轴上的一个动点，M、N为函数y=kx（k>0）的图像上的两个动点，则AM+MP+PN的最小值为___________．第15题图第16题图例16：如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点B在原点，点A、C在坐标轴上，点D的坐标为（6，4），E为CD的中点，点P、Q为BC边上两个动点，且PQ=2，要使四边形APQE的周长最小，则点P的坐示应为______________．例17：如图，矩形ABCD中，AD=2，AB=4，AC为对角线，E、F分别为边AB、CD上的动点，且EF⊥AC于点M，连接AF、CE，求AF+CE的最小值．例18：如图，正方形ABCD的面积是12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，求PD+PE的最小值。例19：如图，已知△ABC为等腰直角三角形，AC=BC=4，∠BCD=15°，P为CD上的动点，求的最大值。巩固练习练习1：如图，在△ABC中，AC=BC=2，∠ACB-90°，D是BC边的中点，E是AB边上一动点，求EC+ED的最小值。练习2：如图，点C的坐标为（3，），当△ABC的周长最短时，求的值。练习3：如图，正方形ABCD中，AB-7，M是DC上的一点，且DM-3，N是AC上的一动点，求的最小值与最大值。练习4：如图，∠AOB=30°，∠AOB内有一定点P，且OP=10，在OA上有一点Q，OB上有一点R。若△PQR周长最小，则最小周长是多少？练习5：如图，∠MON=40°，P为∠MON内一定点，A为OM上的点，B为ON上的点，当△PAB的周长取最小值时：（1）找到A、B点，保留作图痕迹；（2）求此时∠APB等于多少度。如果∠MON=，∠APB又等于多少度？练习6：如图，四边形ABCD中，∠BAD=110°，∠B=∠D=90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN周长最小，并求此时∠AMN+∠ANM的度数。练习7：如图，在轴上找一点C，在轴上找一点D，使AD+CD+BC最小，并求直线CD的解析式及点C、D的坐标。练习8：如图∠MON=20°，A、B分别为射线OM、ON上两定点，且OA=2，OB=4，点P、Q分别为射线OM、ON上两动点，当P、Q运动时，线段AQ+PQ+PB的最小值是多少？练习9：在平面直角坐标系中，矩形OABC如图所示，点A在轴正半轴上，点C在轴正半轴上，且OA=6，OC=4，D为OC中点，点E、F在线段OA上，点E在点F左侧，EF=2。