4-23 -高阶线性方程的例子、拉普拉斯变换

4.3高阶线性微分方程例子、拉普拉斯变换(ExamplesofhigherorderLinearODE、LaplaceTransformation)[教学内容]1.介绍简谐振动、节拍、共振、振幅反应等概念.2.介绍拉普拉斯变换的概念和性质.3.介绍线性高阶微分方程的拉普拉斯变换解法.[教学重难点]重点是知道振幅反应(AmplitudeResponse）；难点是知道常见函数的拉普拉斯变换和逆变换.[教学方法]预习1、2、3；讲授1、2、3[考核目标]1.知道共振现象.2.知道拉普拉斯变换的概念和性质.3.知道常见函数的拉普拉斯变换和逆变换.1.机械振动，表示偏离平衡位置的位移，k表示弹簧弹性系数(springconstant)，c表示阻尼系数（dampingconstant），F(t)表示外部力（externalforce）简谐振动(simpleharmonicmotion)：，定义，则得到方程的通解为令，则，称为周期(period)，为频率(frequency)，为圆频率（circularfrequency），称A为振幅(amplitude)，称为初相位(phaseangle).有阻尼自由振动（Freedampedmotion），改写为，其中.特征方程为.图1.临界阻尼(criticallydampedcase)重根(单摆在水中摆动)大阻尼（over-dampedcase）两不同实根无阻尼强迫振动（undampedforceoscillations），（naturalfrequency）.在初值下，节拍(Beat:anaudiblevariationintheamplitudeofthecombinedsoundwithafrequencyof)图2.共振（Resonance）,特解为，图3.AmplitudeResponse:考察，可得特解.Amplituderesponse=,图4.有阻尼强迫振动（dampedforcedOscillations），特解为，.方程的任一解为.图4.例62.Graphtheamplituderesponseforthefollowingsystems;(2).解：(1)特解为，.AmplitudeResponse图5.作为练习，自己独立完成.拉普拉斯变换拉普拉斯变换的概念广义积分敛散性：收敛（converge）.Gamma函数：.,.(b)概念：设函数f(t)定义在上，且满足为两正常数，则称变换为函数f(t)的拉普拉斯变换，F(s)为象函数，f(t)为原象函数.例63.求(1)f(t)=1,;(2);(3)的拉普拉斯变换.解：(1)..拉普拉斯变换的性质线性性质：设为实数，则.(直接验证即可)例64.求(1);(2)的拉普拉斯变换，其中k>0.解：(1)，.则由拉普拉斯变换的线性性质知，.(2)，.则由拉普拉斯变换的线性性质知，.作业55.求下列函数的拉普拉斯变换.(1);(2);.拉普拉斯逆变换由下面结论知，任两个在连续且不同的函数在拉普拉斯变换下不可能具有相同的象函数.因此，如果F(s)是某个连续函数f(t)在拉普拉斯变换下的象函数，则称f(t)是F(s)的拉普拉斯逆变换，记为.拉普拉斯逆变换也具有线性性质.例65.求.解：由知，.由知，.由知，.作业56.求.一些理论拉普拉斯变换存在性定理：如果函数f(t)在部分按段连续，且满足为两正常数，则存在.反例：拉普拉斯逆变换唯一性定理：假定函数f(t),g(t)满足上述拉普拉斯变换存在性定理条件，记分别表示f(t),g(t)在拉普拉斯变换下象函数.若，则在上每个连续点处都有.拉普拉斯变换的微分性质和平移性质如果函数f(t)在部分连续可导，且满足为两正常数，则存在，且.推论：如果函数f(t)在部分两阶连续可导，且满足为两正常数，则记，存在，且.(b)平移性质：.例如，..例66.Solvetheinitialvalueproblem.解：记，由拉普拉斯变换的微分性质知，，.将上述表达式代入原方程，由拉普拉斯变换的线性性质知，，解得，由遮挡法知，.因此，所求解函数为.注解：拉普拉斯变换求出微分方程