量子力学补充习题

物理系理论物理教研室第一章量子力学的实验基础温度较高时，普朗克公式简化为瑞利—金斯公式。1-2已知，试确定普朗克常数的数值和此金属的脱出功。射后的波长。试用光量子假说推出其波长改变量与散射角的关系为4isin2其中m为电子质mc21-7根据相对论，能量守恒定律及动量守恒定律，讨论光子与电子之间的碰撞：(1)证明处于静止的自由电子是1-8能量为15ev的光子被氢原子中处于第一玻尔轨道的电子吸收而形成一光电子。问此光电子远离质子时的速1-9两个光子在一定条件下可以转化为正负电子对，如果两个光子的能量相等，问要实现这种转化光子的波长最1-10试证明在椭圆轨道情况下，德布罗意波长在电子轨道上波长的数目等于整数。第二章波函数和薛定谔方程2-1设粒子的波函数为(x,y,z)，求在(x,xdx)范围内发现粒子的几率。(1)v(x,t)=u(x)eix-Et+v(x)eix-Et1xtuxeituxeitEE1232-6由下列定态波函数计算几率流密度：(1)v=1eikr(2)v=1e-ikr从所得的结果说明v表示向外传1r2r1播的球面波，v表示向内(向原点)传播的球面波22-7如在势能U(r)上加一常数，则其薛定谔方程的定态解将如何变化？试说明此变化后为何不能观察到(选择2?t2m122?t2m12第三章简单体系定态薛定谔方程的解n几率是多少？(2)n取何值在此处找到粒子的几率最大？(3)当n)w时，这个几率的极限是多少？这个结果说明了什么问题？全透射过势垒。3-8对于谐振子的基态v(x)，计算粒子在经典振幅以外出现的几率。03-9对于谐振子的第一激发态v(x)，(1)求振子出现几率最大的位置；(2)求经典振幅A；(3)计算振子在经1现的几率。3-11将一维谐振子置于额外的均匀力场中，势能成为U(x)=1mO2x2+ax，求能级的变化。2(U(x共0)3-12粒子在势能为U(x)10(2的势场中运动(U1＜U2)，在U1，U2＞E下，求解粒子的能级和波函第四章态叠加原理及力学量的算符表示4-1下列算符哪些是线性的？为什么？(1)3x2d2(2)()2(3)jdx(4)xni=1 2dx0ddd2d24-4证明下列算符哪些是厄米算符：,i,4,idxdxdx2dx2x4-8对于一维运动，求+x的本征函数和本征值。进而求(+x)2的本征值。xxdx2d4-12试证明线性算符的有理函数也是线性算符。UCUU()+C时，粒子的波函数与时间无关的那部分改变否？能2(2)它的动量有没有确定值？4-15在时间t=0时，一个线性谐振子处于用下列波函数所描写的状态：tt4-16证明下列对易关系：xxxyyyzzz4-17证明下列对易关系：xyxyyxzyzyzzyxzxzxxzyixyxyyxz[,]=-=iiyzyzzyx[,]=-=iizxzxxzy4-19参考矢量情况下的斯密特正交化步骤，试阐述由属于同一本征值而并一定正交的本征函数构成正交函数的4-20有两个归一化的但不是正交的波函数0及0，j0*0dt=a(实数)，0<a<1，试将0及0进行叠加组121212成两个正交归一化的函数v及v。24-21证明一维谐振子不管处于哪一个定态，它的动量都没有确定值。4-22电子在原子大小范围(数量级为10-10m)内运动，试用测不准关系估计电子的最小能量。22xd入4-32证明下列几个关于厄米算符的定理：(1)在任何定态下，厄米算符的平均值都是实数。(2)在任何态下。平均值均为实数的算符必为厄米算符。4-33证明几个关于一维定态薛定谔方程的定理：(1)对于一维定态薛定谔方程，如果v和v是属于同一个本2征值E的两个独立的解，则v(x)v,(x)-v(x)v,(x)=C(常数)。1221态v(x)都有一定的宇称性。E4-34用测不准关系估计原子核中核子(质子和中子)的动能的数量级。曾经设想电子也是原子核的构成单元之一，试利用测不准关系判断这个设想是否正确。4-35对于Hˆ的任何一个本征束缚态v,E，证明公式?H=?En，其中入为包含在Hˆ中的任何一个常数nn?入?入(i，m,等等)。 4-36对于一维谐振子，证明U=p2pr0zxyzxyz第五章表象理论xxx?xx?x(2)在P表象中的表示为：=ii?，=p，Fˆ(,)=F(ii?,p)?pxxx?px5-2求线性谐振子哈密顿量在动量表象中的矩阵元。5-3求一维无限深势阱中粒子的坐标和动量在能量表象中的矩阵元。?t=ii(vVv*-v*Vv)?t=ii(vVv*-v*Vv)及Tr不因表象而异，或者说矩阵的本征值之和以及本征值之积不因表象而异。iii5-9设任何一个厄米矩阵能用一个么正变换对角化。由此证明，两个厄米矩阵能用同一个么正变换对角化的充要易。5-11设Hˆ=2+U()，证明求和规则x(E-E)X2=i2/2m2mnknknknknk2nnnn!nnn!0)10)|2L=|2L=iy2 (0-i0i0)-i0)0)-i0)化本征矢为n，则第六章角动量初步zzxy6-3设体系处在v=CY+CY的状态中，试：(1)将此波函数归一化；(2)求力学量L2的测量值及相应的10几率；(3)求力学量L的可能值及相应的几率；(4)L和L的可能值及相应的几率。zxyzz征函数，并将它表示成Y的线性叠加。0i0)0)0)6-5求粒子处在态Y时，轨道角动量的x分量和y分量的平均值L和L，并证明lmxyxy26-6设体系处于的本征态Y，求证轨道角动量沿与z轴成θ角方向上的分量的平均值为micos9了。zlmzxyx6-9对于Y11，求Lx的取值及相应的{几率。}xxxxxxxxr2r2?r?rzzmmzz1士r2r2?r?rzzmmzz1士6-13对于(2,)的共同本征态Y(9,Q)，计算L2和L2的平均值，以及编L,编L，验证测不准关系。zlmxyxyz6-15将(2,z)的共同本征态Ylm，记为lm，证明x00lm2=xjY00Ylmd业2=1mm)的共同本征矢作为基矢，写出表示轨道角动量算符2,,和的矩阵。指出从l=0到zz士y6-17(1)在2和是对角的，即以jm作为基矢的表象中，对j=1的体系写出和矩阵。z2+_(2)对于(1)中的体系导出,,的矩阵。xyz6-18(1)已知j=1的体系在2和的表象中的矩阵(见上题)，试求通过变换S_1JS使对角化的么正2zxxxxyz11z2222z21122221216-20设=+代表两个角动量与之和,求证： mmz士6-22.证明2和V2的球坐标表达式第七章中心力场rr2rr?r?rrr221102211一1z能值及其几率，并由此求出它们的平均值。22(1)通过对v的考察，求量子数n,l和m的数值。(2)从v产生具有相同n,l值，但磁量子数等于m+1的另一个本征函数。(3)当Z=1时，求为v所规定的状态中某电子的最可几r值。0最大(a0为第一玻尔轨道半径)07-7氢原子处于基态，(1)求距核二倍玻尔轨道半径以外发现电子的几率。(2)如果我们画一个球面，使得在此这个球面的半径是多少？7-8如坐标轴绕z轴旋转一个α角，试问氢原子波函数的角度部分Y(9,Q)将如何变化？此种变化是否观察到？7-9试求出在Y及Y态下，电子按角度的分布几率取极大值和极小值的9角。zzlm7-12求出氢原子基态波函数在动量表象中的表示。bZe(Z+1)e。对于衰变前处于原子Z的K层(1S层)的电子，在原子核衰变后仍旧处于原子(Z+1)的K层的几率等于多少？7-14粒子在半径为a，高度为h的圆筒中运动，在筒中粒子是自由的，在筒壁及筒外势能为无限大，求粒子的能征函数。rrs4冗e007-16对于类氢原子(核电荷Ze)l=n一1(nr=0)的状态，计算：(1)最可几半径rn(2)平均半径r(3)涨落编r，并将它和r相比较。7-17讨论二维氢原子，其中的电子为库仑力束缚于原子核，并限制在一个平面中运动。(1)试求此体系的本征7-18三维各向同性谐振子势U(r)如下：U(r)=mO2r2，式中m为粒子质量，O是常数。试求该体系的2能级和波函数，并讨论能级的简并情况。7-19一个电子被限制在一块电介质(无限大)平面的上方(x>0)运动。介质的介电常数为e，不可穿透。按xe+1第八章自旋一Z议xxxxxyzxyxyxy8-7求的本征值和本征函数(取S表象)。yzxxyznnxxzz方向上自旋分量的平均值。Zi测S，可能得何值，各值的几率为多少？平均值为何？xzei08-15证明eiz0eiii一上”，即S，求t>0时电子自旋S的几率和S的平均值。z2z2函1212ii8-18设体系有两个自旋为1/2的非全同粒子组成，粒子1处于S态，粒子2处于S态，(1)写出粒z2x28-19将两个自旋为1/2的粒子组成的体系置于均匀磁场中，设磁场沿Z轴方向，体系哈密顿量与自旋有关部分zz28-20两个自旋1/2的定域非全同粒子的哈密顿量为HˆAS•S，t=0时粒子1自旋“向上”(Si)，粒子1z2i2自旋“向下”(S)，求t>0时(1)粒子1自旋“向上”的几率；(2)粒子1和2自旋均“向上”的几率；S=1和0的几率；(4)S和S的平均值。1R(r)Y(,)221103R(r)Y(,)221108-22若电子处于d态，试问它的总角动量可以取哪些值？这时轨道角动量矢量和自旋角动量矢量之间的夹角是8-23对于三电子体系，求总自旋量子数的取值。(x:a(1)a(2)a(3)|x1:3-1/2(a(1)a(2)b(3)+a(1)b(2)a(3)+b(1)a(2)a(3))(x:6-1/2(a(1)a(2)b(3)+a(1)b(2)a(3)-2b(1)a(2)a(3))66(x:2-1/2(a(1)a(2)b(3)-a(1)b(2)a(3))bz-1-2-3-第九章多粒子系的量子力学121222出体系的总能量算符及单粒子状态的基态和第一激发态(作为一维问题)。(2)将Hˆ用质心坐标X和相对坐标x表示，讨论质心运动和相对运动的特征。(3)如一个粒子处于基态，一个粒子处于第一激发态，写出体系的对称和反对称的轨道波函数，并用质心坐标和相对坐标表示。12212129-3设有一体系由两个自旋量子数为3/2的全同粒子组成。问体系对称的自旋波函数有几个？反对称的自旋波函Urmor的库仑能和U(r)相9-5一体系由三个全同的玻色子组成，玻色子之间无相互作用。玻色子只有两个可能的单粒子态。问体系可能的9-6考虑由3个玻色子组成的全同粒子体系。限定单粒子状态只能是v,v和v，试写出体系的所有可能状态abY9-7考虑在无限深势阱(0<x<a)中运动的两电子体系，略去电子间的相互作用以及一切与自旋有关的作用。求体系的基态和第一激发态波函数。9-8考虑一个由相同粒子组成的两粒子体系，设可能的单粒子态为0,0,0，试求体系的可能态数目。分三种情3况讨论：(1)粒子为玻色子(玻色统计)，(2)粒子为费米子(费米子统计)，(3)粒子为经典粒子(玻尔兹曼统第十章微扰论与变分法10-1假定类氢原子的核不是点电荷，而是半径为r(r~10-12cm)均匀带电小球，试计算类氢原子基态的能量00(子看成是受到微扰的关在盒子中的粒子，求其能量和波函数的一级近似。值；(2)求波函数的一级近似。2ab2210-5一维非线性谐振子的势能为U(x)=1kx2+cx3+dx4，若把非谐振项看作微扰，试求基态和第一激发态能2IDc能10-7把正常塞曼效应中磁场引起的附加项看作微扰，试计算碱金属原子能级Enl的一级修正。2L1210-8耦合谐振子的哈密顿算符为Hˆ2(1m2x2)xx，其中为常数。试用微扰法求其第一激发2L122m2i12i110-9在类氢原子中，电子与原子核的库仑作用能为U(r)ze，当原子核的电荷增加e时，库仑能增加rHˆ'e，试用微扰法计算它引起的能量一级修正，并与严格解比较。r10-10设电子受到晶格的一维周期势U(x)作用，Hˆ'(x)U(x)Ucos2x，其中a为晶格常数，可将U0a(x)看作微扰，无微扰时，电子是自由的，波函数为(x)Lei(kxEkt/i)，Ei2k2/2m，LNa是间距kLL10-11设有自由粒子在长度L的一维区域中运动，波函数满足周期性边界条件()()，简并的波函数LL22LL0求基态和第一激发态(是二重简并态)的能量修正。10-13设在H0表象中，HE0)ab(a,b为实数)，用微扰论求能量修正(到二级近似)，并与严bE0)a10-15一维谐振子受到微扰Hˆ'm2x2(1)的作用，试求能级的一、二级微扰修正，并与精确解比较。22(一级近似)，计算。扰Hˆ'xyz2x2y2z2(1)的作用，(1)计算基态的能级移动(准确到2)，(2)用微扰后的基态(一级近似)，计算。10-17将由两个自旋为1/2粒子组成的体系置于沿Z方向的均匀磁场中，与自旋有关的哈密顿量为zz2能级(二级近似)，并与精确解比较。02b*a)bbmdx0"1/4mdx0"1/40s数，求基态能量并与精确解比较。00取质子与中子的相对运动试探波函数为R(r)=Ne_入r/2a，试用变分法求氘核的基态能量和基态半径。Hˆ=_i2d2_DccosQ，Q为旋转角(从x轴算起)，设电场很强，Dc>>i2/I求基态能量近似值。设试10-24转动惯量为I，电偶极矩为D的空间转子受到沿Z轴方向的均匀电场c作用，其哈密顿量为00000分法求基态能级近似值(准确到c2量级)，和微扰论结果比较。mUrUerarUaU值，0a00(1)用测不准关系估算，(2)用变分法估算，取试探波函数为v(入,r)=ce_入r/2a。第十一章量子跃迁11-1电荷为e的谐振子，在时间t=0时处于基态，t>0时，处于c=ce_t/T的电场中(T为常数)，求谐振子处于0第一激发态的几率。r选择定则。r11-3设在时刻t=0时，氢原子处于基态，以后受到单色光的照射而电离。设单色光的电场可以近似地表示为sint，与均为常数，电离后电子的波函数近似地以平面波表示。求这单色光的最小频率和在时刻t跃0