2023-2024学年河南省菁师联盟高三8月质量检测联考数学试题（含解析）

8.正四棱柱ABCD-中，AB8.正四棱柱ABCD-中，AB=BC=2,二面角B-为。】一。为60。，则直线为乌与直线AB】所成角的余弦值为()a.旦b.nc*dn二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）9.教材泌修一少上有结论：对neN*且7122,0，竺+0，理++0、迪=0占11竺+sin++snin—=0,则()A.COS—+COS亏+COS—+COS—=—1dc2n4n1C.COSy+COS—=—-D.sm—4-sm—=-10.双曲线E:x2-y2=4左右焦点分别为f〔,F2,右支上有点M,△&MF2的面积为4,则()A.双曲线E的渐近线斜率为±1B.|MF］|-\MF2\=2C.Z-F1MF2=90°D.△F1MF2外接圆半径为2后11.平面区域｛(x,y)|0<y<V4-工2｝被直线y=(x+2)tan0(O<0<tt)分成两部分，则()A.0=£B.。?C.sin20V?D.20+sin2。=:12.O<2：(x+I)2+(y-I)2=2^hy=-x交于A,B,M为曲线y=§(x>0)上的动点，PM()A.M到直线［距离最小值为后B.M4AW>0C.存在点M,使得^MAB为等边三角形D.威•布最小值为1及果树种植技术，该县举办“及果树种植技术，该县举办“果树种植技术知识竞赛”，竞赛规则如下：先进行预赛，预赛共进行四轮答题比赛，在每轮答题比赛中，选手可选易，中，难三类题中的一题，答对得分，答错不得分，四轮答题中，易，中，难三类题中的每一类题最多选两个，预赛的四轮答题比赛得分不低于10分的进入决赛，某选手A答对各题相互独立，答对每类题的概率及得分如下(1)若选手4前两轮都选择了中等难度题，且对了一题，错了一题，请你为选手4计划后两轮应该怎样选择答题，使得进入决赛的可能性更大，并说明理由；(2)选手A四轮答题中，选择了一个容易题，两个中等难度题，一个难题，已知容易题答对，记选手A预赛四轮答题比赛得分总和为X,求随机变量X的分布列和数学期望.椭圆5+£=1(。＞力＞0)的左右顶点分别为是梢圆上一点，kMA•kMB=(1)求椭圆方程；(2)动直线x=m交椭圆于P,Q两点，求。PQM面积取最大时的m的值.(l)a=0时，求b的范围；(2)b=-1且。V:时，求证：x2-x1<2V5-4a.表：答对概率答对得分表：答对概率答对得分容易题中等题难题答案和解析答案和解析B【解析】【分析】根据复数的乘方和四则运算即可得到答案.对B，z2-2z=(1-V~3i)2-2(1-\T3i)=-4>则其为实数，故B正确；对C,z2+3z=(1-<3t)2+3(1-Af3i)=1->其不是实数，故C错误；对D，z2__3z=(l—/@)2__3(l—Ci)=—5+Ci，其不是实数，故。错误.故选：B.【解析】【分析】根据题意结合对数函数单调性求集合N,进而根据集合间的运算求解.解：令log2x<2=log2^，解得0VxV4,所以N=(x|0<x<4),因为为={x\x<2}，则C/M={x\x>2},所以(C/M)n/V=(2,4).故选：C.【解析】【分析】利用特殊点法判断即可.解：因为川)=盘(-并*《)，所以故排除c；=云与=-孕V而虑)=寿=穿<*俺)，所以f(x)在(0,；)不可能单调递减，故排除D；因为排除了BCD,而4又满足上述性质，故A正确.故选：A.BBinBiDi=务,8务,&»1BBinBiDi=务,8务,&»1u平面,贝I]Ai。】1平面,又BO,»Ou平面BBXDXD,于是B。1AiCi，DO1，Ci,即匕BOD是二面角B-A^-D的平面角，有LBOD=60°,而四边形BB]D[D是正四棱柱ABCD-的对角面，则四边形BB.D.D为矩形，令AAi=Q,由AB=2,得BD=AC==缶劣=2\T2,显然BO=V2+a2=DO,因此0BOD是正三角形，V24-a2=2y/~2»解得a=，则AB±=CB±=V10,由于四边形ACC^是矩形，则有ACHA[C\,从而LCABV是异面直线为%与AB】所成的角,cos*福l云=而=舌9.【答案】AC【解析】【分析】利用给定的结论计算判断AB；利用诱导公式结合4选项计算判断C；利用正弦函数性质判断D作答.解：依题意,取”=5,贝Ucos华+cos*+cos零+cos*+cos半=0,.因此cosy4-cos?+cosy+cos?=—cos2tt=一1,A正确；siny4-sin?4-sin芝+sin岑=—sin2;r=0,B车昔误；由选项A知，cos藉+cosg+cosg+cos华=一1,因此cos芝+海暨=一?,C正确;显然sin芝+sin芝>sin^=sin?>sin7=故选：AC10.【答案】ACD【解析】【分析】利用双曲线的方程得到渐近线方程可判断A;利用双曲线的定义可判断B;利用△F】MF2的面积求得M的坐标，从而利用向量垂直的坐标表示判断C;利用直角三角形的性质可判解：因为双曲线E:x2-y2=4可化为孕一*=1，44所以Q=2,b=2,c=2”，I&F2I=2c=4C，^(-2^,0),F2(2yT2,0),则双曲线E的渐近线方程为y=±x,即斜率为±1,故A正确；由双曲线的定义可得IMFJ-\MF2\=2q=4,故8错误；不妨设M(不妨设M(xQty0Xx0fy0>0),因为△FXMF2的面积为4,|x4V~2xy0=4,则y°=后，又琮-谄=4,则x°=g故所以砧=(一2<1-",一声),硝=(2〃一",一序)，则而.硝=(-2/1-C)(2C-")+(-Cl=0，所以布两弓，则匕FiMF2=90°,故C正确；因为0为&F2的中点，匕F〔MF2=90。，所以0为日皿2外接圆的圆心，所以AFiMF?外接圆半径为|OFi|=c=2C，故D正确.故选：ACD.11.【答案】BD【解析】【分析】因为平面区域表示以。为圆心，半径为2的上半圆与x轴组成的封闭区域，直线［表示倾斜角为0,过定点4(-2,0)的直线，根据面积关系可得sin2&+20-：=O,构建函数/'(x)=sin2x+2x-^xG(0^),利用判断其单调性，结合单调性逐项分析判断.解：因为y=顼4—工2,整理得x2+y2=4。20),表示以。为圆心，半径为2的上半圆，可知04一>2,表示以。为圆心，半径为2的上半圆与x轴组成的封闭区域，又因为直线=(x+2)tan0(0V。V7T),表示倾斜角为。，过定点A(-2,0)的直线，设直线［与半圆的另一个交点为D,8(2,0),可知：乙DOB=2匕DAB=20,且06(0成)，则Z-DOA=n-20,可得直线I的下半部分的面积为?X2X2Xsin/.DOA+|x20x22=2sin20+40,4整理得sin20+20=；,艮［Jsin2。+令f(x)=sin2x4-2x-^,xG(0,；)，则。为f(x)的零点，且尸(x)=2cos2x+2=2(cos2x+1)>0,所以/■(对在(。成)上单调递增.X对X对B,D,联立有｛3；¥+(?-1)2=2,解得｛捉S或g;(-2-x,2-i),MF=(f,一§,则AMM5=(-2-x)-(-x)+(2-i)(-i)=x2+^+2(x-i)=(x-i)2+2(x-i)+2>x>0,令x-i=t,x>0,因为y=x,y=—§在(0,+8)上均为单调增函数，则t=在(0,+00)上也为单调增函数，且x->0,X>0时，t-oo,X4-00时，tT+8,且函数图象在(0,+00)上连续不间断，贝Ijte/?,对于选项A：因为/(9=洲2'芝+2'.§=¥-»0，即。黄§故A错误；对于选项B：因为f僖)=sin2x|+2x|—=岫一：v0=f(。),且/"(x)在(0,切上单调递增，所以0>1，故B正确；对于选项C：因为sin29+20=m，Msin2^=^-26>,由选项8可知：所以sin2。萼lx卜？故C错误；对于选项D：因为sin28+20=3故。正确；故选：BD.12.【答案】ABD【解析】【分析】设M(x，9，x>0,利用点到直线的距离结合基本不等式即可判断1求出4B坐标，计算出祐•而的表达式，利用换元法和配方法即可判断助，通过假设存在这样的等边三角形，利用等边三角形性质求出点M的坐标，再进行验证即可.本题的关键是利用设点M(x,i),x>0,再求出点瓦B坐标，写出相关向量，利用点到直线的距离公式、基本不等式以及换元法等进行求解相关最值.解：设M(x,：),x>0,对人，则点m到直线1的距离日二二崎拦2居二c当且仅当x=-,即x=l时等号成立，故A正确；此时|MB|=此时|MB|=J(一A+<!)'+(1+<7)2=<6*而|AB|=J(-2)2+22=则\MB\\AB\.则不存在点M,使得^MAB为等边三角形，故C错误.则砺•MF=t24-2t4-2=(t+l)2+1>1，当t=-1,即x-?=-l,即x=或工=毛竺(舍去)时取等，故8。正确.对C,若要^MAB为等边三角形，则首先点M为线段的垂直平分线和曲线y=§(x>0)的交点,因为4(一2,2),8(0,0),则的中点坐标为(一1,1),则垂直平分线的所在直线的方程为y-1=x+1,即x-y+2=0,将其与曲线y=i(x>。)联立得{二？2=。解得£二代溥或匕:UjC>A>B【解析】【分析】根据给定条件，利用作差法结合不等式性判断作答.解：由Q>b>c>0,得a?>ab,b2>be,因此C=a2+b2>ab+be=所以4、B、C大小关系是C>A>B.故答案为：C>A>B【解析】【分析】根据给定条件，推理论证QM与抛物线准线垂直，再借助抛物线定义求解作答.解：抛物线y2=2px(p>0)焦点为F,点在准线x=-|±,在等边0MQF中，\QM\=\QF\,因此QM长等于点Q到准线的距离，即有QM与抛物线准线垂直,当n>2时,可得。2=%=2,当n>2时,可得。2=%=2,且On+l=ala2…an=（。1。2an-l）an=则bn+1=log2an+1=log2a^=2log2an=2bn,可得：从第二项开始，数列｛如｝是以公比为2的等比数列，综上所述：+b2+…+S。=1+1+2+22+...+28=1+13^=29=512-故答案为:512.17.【答案】解：(1)由题意可得：四一1=2,。2-2=4,则捋=§=2,所以数列-n｝为等比数列是以首项为2,公比为2的等比数列，则-n=2x2n-1=2n,可得=2n+n.(2)因为a”=2"+n,则S”=Qi+a?H---an=(2+1)+(22+2)+…+(2n+n)=(2+22+...+2n)+(1+2+...+n)=2(：-+=2n+1-2+当b=y时，a2+/)2-c2<52+62-82<0,即cosCVO,cC是钝角，不符合题意，(2)由(1)知Z.ABC=60°,设匕MBC=0(0°<0<60°),由匕BMC=90。,得BM=5cos。,CM=5sin0,sin3BM=sin(60°—0)=^^cos0—fsinO,所以，“=2"+】一2+匹羿.整理得7/一88b+7x39=0,解得b=7或b=岁,30-/叩，cosC=—=2x5x8。=，COSB=―2;--2x5x8—成'此时匕B,£A,"都是锐角，符合题意，勇=60°,【解析】【分析】（1）根据题意分析可知：数列｛Qn-n｝为等比数列是以首项为2,公比为2的等比数列，结合等比数列的通项公式运算求解；（2）根据题意利用分组求和结合等差、等比数列的求和公式运算求解.18.【答案】解：⑴在锐角124BC中，由余弦定理得q2=b2+c2-2bccosA,即25=b2+64-岑b,MAB所以BMMAB所以BM=cos£=16£3C在^ABM中，Z-BMA=120%由正弦定理得AM=竺迎誓零=8cos。一MsinO,显然Z.AMC=150°,由S^BMC+S^BMA+Sp^Mc=Smbc，得•CM+?AM•BMsinl20°+^AM■CMsinl50°=|acsin60°,即25sinOcos。+、(8cos。—-^=sin0)•5cos。+1(8cos0—亮sin。)•5sin。=20V~3>整理得25sin0cos0+2O>J~3cos20-^=sin20=20y/~3,即25sin0cos。=^=sin20,显然sin0>O,因此竺£=¥=坦旦，【解析】【分析】（1）利用余弦定理求出边b，再利用余弦定理求出匕B作答.（2）设匕MBC=B,利用sinO,cos。表示线段CM,BM,再利用正弦定理求出AM,然后利用三角形面积公式求解作答.19.【答案】解1）四棱锥P-ABCD中，底面A8CD是矩形，PD1平面ABCD,则DA,DC,DP两两垂直，以点。为原点，射线DA,DC,DP分别为x,y,z轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图，Zk/Tb设BC=2t,由PD=DC=2,则而=(t,2,-2),AC=(一2t,2,0)，由PE1AC,得而•AC=-2t2+4=0,而t>0,解得Z=C，所以BC=2y/~l.(2)由(1)知，4(2/1,0,0),E(¥,2,0)，则赤=(-<2,2,0),DE=(<2,2,0),PF=(C,2,-2)，设平面时£的法向量沉=3i，y],zi),则仲•竺=切云1设平面时£的法向量沉=3i，y],zi),则仲•竺=切云1+2无=°,令得万=[m-PE=yT2x1+2yr-2z1=0(Cl,2),设平面DPE的法向ln=(x2,y2,z2),则.竺=仔此+2无=。，令无=1,得元=(-”,1,0),令二面角A-PE-D的夹角为0,则cos。=|cos〈尻，元〉|=•^普=门;门=舟j，sine=【解析】【分析】(1)根据给定条件，以点D为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量垂直的坐标表示求解作答.(2)利用(1)中的坐标系，利用空间向量求出二面角的正弦作答.20.【答案】解：(1)依题意，选手A前两轮都选择了中等难度题，两轮得分和为4,于是选手4后两轮的选择有3种方案，方案一：都选择容易题，则必须都答正确，于是进入决赛的概率P】=§x§=芸；方案二：都选择难题，则必须都答正确，于是进入决赛的概率p2=AxA=2.方案三：容易题、难题各选1道，则必须都答正确，于是进入决赛的概率p3=|x^显然P1>P2>P3f所以后两轮都选择容易题进行答题，进入决赛的可能性更大.(2)依题意，X的可能值为：3,7,8,11,12,16,则P(X=3)=#捉％=£;P(X=7)=©X捉捉佥=爵P(X=8)=1»x3&=3；P(X=ll)=1|x1i-=-7；P(X=12)=Qx»»&=&P(X=16)品x捉会=茶所以X的分布列为:所以二面角刀-PE-D的正弦值为当羿.=^,数学期望为E0)=3x会+7X务+8x^+llx会+12X会+16'若=号.XP34077XP3407720840740320340【解析】【分析】(1)根据给定条件，确定后两轮的选择方案【解析】【分析】(1)根据给定条件，确定后两轮的选择方案，再利用相互独立事件的概率公式计算比较作答.(2)求出X的可能值及各个值对应的概率，列出分布列并求出数学期望作答.21.［答案】解：⑴在椭圆g+#=l(Q>b>0)中，A(-q,O),B(q,O)，而1)在椭圆上,因此身解得a2=4,显然§+£=1,则/=2,所以椭圆方程为孕+*=1.42(2)直线x=m与椭圆手+g=1交于P,Q两点，则一2VmV2,把x=m代入方程斗+号=1得:y2=,由椭圆的对称性知|PQ|=2|y|=2•V4—m2>点M(C,1)到直线x=m的距离d=\y/~2-m|，当tn。后时，得◎PQM的面积Sqpqm=|\PQ\•d=•V4-m2•-m\=*(4-m2)(V^-m)2>令f(m)=(4—m2)(V~2—m)2,—2<m<2^由广(m)=0,侍mi=,m2=V2,m3=，当-2<m<屿或<m<%时，f'(m)>0,当皿<m<7_7或皿3<m<2时，f'(m)