2020-2021学年甘肃省金昌市永昌第一高级中学高二（上）期末数学试卷（理科）

2020-2021学年甘肃省金昌市永昌第一高级中学高二（上）期末

数学试卷（理科）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的。

1.（5分）从装有4个黑球、2个白球的袋中任取3个球，若事件A为“所取的3个球中至

多有1个白球”，则与事件4互斥的事件是（）

A.所取的3个球中至少有一个白球

B.所取的3个球中恰有2个白球1个黑球

C.所取的3个球都是黑球

D.所取的3个球中恰有1个白球2个黑球

2.（5分）已知直线/过圆/+（y-3/=4的圆心，且与直线x+y+l=0垂直，则/的方程

是（）

A.x+y-2=0B.x-y+2=0C.x+y-3=0D.x-y+3=0

3.（5分）已知空间向量（1,3,x）,n=（f，-1，2）,则“x=l"是"mln"的

（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.（5分）以原点为圆心，且截直线3x+4y+15=0所得弦长为8的圆的方程是（）

A./+）/=5B./+丁=16C.x2+y2=4D.x2+>,2=25

5.（5分）以下说法中正确的是（）

①VxWR,x2-x+1>0；

②若pVq为真命题，则?八夕为真命题；

③VxCR,/>0的否定是axoWR,使x（）2W0；

@“若x>y,则产’的逆否命题为真命题.

A.①②B.①③C.②③D.③④

6.（5分）如果执行右面的程序框图，输入〃=6,皿=4,那么输出的p等于（)

A.720B.360C.240D.120

2

7.（5分）若命题“Vx€[l,4]时，x-4JC-是假命题，则机的取值范围（）

A.[-4,-3]B.（-8,-4）C.[-4,+8）D.[-4,0]

8.（5分）为比较甲、乙两地某月14时的气温状况，随机选取该月中的5天，将这5天中

14时的气温数据（单位：℃）制成如图所示的茎叶图.考虑以下结论：

①甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温；

②甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温；

③甲地该月14时的平均气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差.

④甲地该月14时的平均气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标准差；

其中根据茎叶图能得到的统计结论的标号为（）

甲乙

986289

113012

A.①③B.①④C.②③D.②④

9.（5分）在区间5三，工]上随机取一个数x,则cosx的值介于返到1的概率为（）

442

A.AB.Ac.2D.3

3234

10.（5分）如图，在三棱柱ABC-AIB1C1中，底面为正三角形，侧棱垂直底面，AB=4,

AAi=6,若E,F分别是棱CC1上的点，且BE=BiE,CiF=lcCi,则异面直线

3

A1E与A尸所成角的余弦值为（)

7B4D•噜

11.（5分）某校为了解高二年级学生某次数学考试成绩的分布情况，从该年级的1120名学

生中随机抽取了100名学生的数学成绩，发现都在[80,150]内现将这100名学生的成绩

按照[80,90）,[90,100）,[100,110）,[110,120）,[120,130）,[130,140）,[140）

150]分组后，得到的频率分布直方图如图所示则下列说法正确的是（）

频率

B.样本数据低于130分的频率为0.3

C.总体的中位数（保留1位小数）估计为123.3分

D.总体分布在[90,100）的频数一定与总体分布在[100,110）的频数相等

12.（5分）直线y=k（x-2）+4与曲线有两个不同的交点，则实数的k的取

值范围是（）

A.（-L,3]B.（旦，4w）c.（•1,3】D.（o,互）

'124」'124’12,

二.填空题（每小题5分，共20分）

x+y-4〉0

13.（5分）若x,y满足约束条件，x-2y-440，则z=2x+y的最小值为

x-y》0

14.（5分）总体由编号为01,02,03,…，49,50的50个个体组成，利用随机数表（以

下摘取了随机数表中第31行和第32行）选取5个个体，选取方法是从随机数表第31行

的第9列和第10列数字开始由左向右读取，则选出的第4个个体的编号为.

66674067146405719586110565096876832037

90571600116614908445II7573880590522741

148622981222080752749580

15.（5分）用秦九韶算法求多项式/（x）—X6+2X5+3%4+4X3+5X2+6X,当x=2时多项式的值

为.

16.（5分）若如图程序中输入的“值为2017,则输出的S值为.

IXPVTn

WHILEk=n

S=S+V（r（l+l））

1=1+1

WTXD

PR15TS

END

三、解答题：本大题共6个大题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（10分）已知圆C：7+y2-8y+12=0,直线/：ax+y+2a=0,

（1）当。为何值时，直线/与圆C相切.

（2）当直线/与圆C相交于A、B两点,且|AB|=2加时，求直线/的方程.

18.（12分）新冠肺炎疫情期间，为确保“停课不停学“，各校精心组织了线上教学活动开

学后，某校采用分层抽样的方法从三个年级的学生中抽取一个容量为150的样本进行关

于线上教学实施情况的问卷调查.已知该校高一年级共有学生660人，抽取的样本中高

二年级有50人，高三年级有45人.如表是根据抽样调查情况得到的高二学生日睡眠时

[8.5,9]z

合计501

（1）求该校学生总数；

（2）求频率分布表中实数x,y,z的值；

（3）已知日睡眠时间在区间[6,6.5）的5名高二学生中，有2名女生，3名男生，若从

中任选2人进行面谈，则选中的2人恰好为一男一女的概率.

19.（12分）在如图所示的几何体中，四边形ABC。为平行四边形，ZACB=90°,EA_L平

®ABCD,EF//AB,FG//BC,EG//AC,AB=2EF.

（1）若M是线段4。的中点，求证：GM〃平面AB尸£；

（2）若AC=BC=2AE=2,求二面角A-BF-C的余弦值.

20.（12分）据了解，温带大陆性气候，干燥，日照时间长，昼夜温差大，有利于植物糖分

积累.某课题研究组欲研究昼夜温差大小（x『C）与某植物糖积累指数Cy/GI）之间的关

系，得到如下数据：

组数第一组第二组第三组第四组第五组第六组

昼夜温差1011131286

x/℃

某植物糖积202430281815

累指数y/G/

该课题研究组确定的研究方案是先从这6组数据中选取4组数据求线性回归方程，再用

剩下的2组数据进行检验，假设这剩下的2组数据恰好是第一组与第六组数据.

（1）求y关于的线性回归方程丫=及+2；

（2）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的差的绝对值均不超过

2.58,则认为得到的线性回归方程是理想的，试问（1）中所得线性回归方程是否理想？

(参考公式：回归直线方程y=b》+a的斜率和截距的最小二乘估计b=

n__

Z(Xi-x)(y--y)

工=11

n„'a-bx)

21.(12分)已知命题p：在尤日1,2］内，不等式/+依-2>0恒成立；命题夕：函数/(X)

=logl(x2-2ax+3a)是区间［1，+~)上的减函数，若命题“pYq”是真命题，求实

~2

数4的取值范围.

22.(12分)如图，在四棱锥P-ABCQ中，B4_L平面A8CD,B4=AB=4D=2,四边形ABC。

满足BC//AD,BC=4,点M为PC中点，点E为8c边上的动点，且巫=人.

EC

(I)求证：DW〃平面PAB-,

(I!)求证：平面AQM_L平面PBC；

(III)是否存在实数入，使得二面角P-DE-B的余弦值为2?若存在，试求出实数人

3

的值；若不存在，说明理由.

2020-2021学年甘肃省金昌市永昌第一高级中学高二（上）期末

数学试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的。

1.（5分）从装有4个黑球、2个白球的袋中任取3个球，若事件A为“所取的3个球中至

多有1个白球”，则与事件A互斥的事件是（）

A.所取的3个球中至少有一个白球

B.所取的3个球中恰有2个白球1个黑球

C.所取的3个球都是黑球

D.所取的3个球中恰有1个白球2个黑球

【分析】事件A为“所取的3个球中至多有1个白球”即所取的3个球是3黑或2黑1

白，由此能求出与事件4互斥的事件.

【解答】解：从装有4个黑球、2个白球的袋中任取3个球，

事件A为“所取的3个球中至多有1个白球”即所取的3个球是3黑或2黑1白，

与事件A互斥的事件是所取的3个球中恰有2个白球1个黑球.

故选：B.

【点评】本题考查样本中最大的编号的求法，考查系统抽样的性质等基础知识，考查运

算求解能力，是基础题.

2.（5分）己知直线/过圆/+（y-3）2=4的圆心，且与直线x+y+l=0垂直，则/的方程

是（）

A.x+y-2=0B.x-y+2=0C.x+y-3=0D.x-y+3=0

【分析】由题意可得所求直线/经过点（0,3）,斜率为1,再利用点斜式求直线/的方

程.

【解答】解：由题意可得所求直线/经过点（0,3）,斜率为1,

故I的方程是y-3=x-0,即x-y+3=0,

故选：D.

【点评】本题主要考查用点斜式求直线的方程，两条直线垂直的性质，属于基础题.

3.（5分）已知空间向量7=（1.3,x）,n=（/，-1.2）,则“x=l”是唳1；”的

（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【分析】若a，b为空间向量，且@=（m，2i）,b=（必Z2）,若a-Lb，则a，

b=0,即xi%2+yiy2+ziz2=0

本题中当时，由向量垂直的充要条件求得1X/+3X（-1）+2x=0,

解得x=-3或尤=1,

即的充要条件为：-=-3或》=1"，

又“x=l”是。=-3或》=1”的充分不必要条件，

所以“x=l”是“、！％’的充分不必要条件，

【解答】解：空间向量ir=（1>3,x）,n=（/，-1-2）,

当登时，有lXx2+3X（-l）+2x=0,

解得x=-3或x=1,

又。=1"是。=-3或》=1”的充分不必要条件，

所以~=1”是的充分不必要条件，

故选：A.

【点评】本题考查了充分条件、必要条件、充要条件及向量垂直的充要条件，属简单题

4.（5分）以原点为圆心，且截直线3x+4y+15=0所得弦长为8的圆的方程是（）

A./+尸=5B./+/=16C.x2+y2=4D.7+丁=25

【分析】先求弦心距，再求半径，可得圆的方程.

【解答】解：弦心距是：-JL=3,弦长为8,所以半径是5

V253

所求圆的方程是：/+）2=25

故选：D.

【点评】本题考查直线与圆的位置关系，圆的标准方程，是基础题.

5.（5分）以下说法中正确的是（）

①Vx€R,x2-x+1>0；

②若pVq为真命题，则p/\q为真命题；

③VxeR,/>0的否定是axoWR,使x（）2W0；

©“若x>y,则/>）?”的逆否命题为真命题.

A.①②B.①③C.②③D.③④

【分析】利用二次函数的图象判断选项①，利用复合命题的真假法判断选项②，利用含

有量词的命题的否定判断选项③，利用原命题的真假可判断选项④.

【解答】解：函数y=/-x+l的图象开口向上，且4=（-1）2-4<0,

所以Vx6R,x2-x+1>0,故选项①正确；

因为p\/q为真命题，则其中一个为假命题或者都是真命题，

因此pAq不一定为真命题，故选项②错误；

含有量词的命题的否定是：先改变对应的量词，再否定结论，

所以VxCR,f>0的否定是mxoWR,使x（）2wo,故选项③正确；

取x=-l,y--3,则x>y,但

所以原命题为假命题，则它的逆否命题为假命题，故选项④错误.

故选：B.

【点评】本题考查了全称命题的判断、''且"和“或”的理解、复合命题真假的判断、原

命题与逆命题之间的关系.若想判断一个命题的真假，从它的逆否命题入手是常见的思

路，原理是：互为逆否命题的两个命题同真假.

6.（5分）如果执行右面的程序框图，输入〃=6,根=4,那么输出的0等于（）

A.720B.360C.240D.120

【分析】讨论％从1开始取，分别求出p的值，直到不满足％<4,退出循环，从而求出

p的值，解题的关键是弄清循环次数.

【解答】解：第一次：k=l,p=lX3=3；

第>_•次：k=2,p=3X4=12；

第三次：k=3,p=12X5=60；

第四次：k=4,p=60X6=360

此时不满足k<4.

所以p=360.

故选：B.

【点评】本题主要考查了直到形循环结构，循环结构有两种形式：当型循环结构和直到

型循环结构，当型循环是先判断后循环，直到型循环是先循环后判断，属于基础题.

7.（5分）若命题“Vx€[l,4]时，/-41-加¥0”是假命题，则机的取值范围（）

A.[-4,-3]B.（…，-4）C.[-4,+8）D.[-4,0]

【分析】根据全称命题是假命题，得到命题的否定是真命题，利用参数分离法进行求解

即可.

【解答】解：若命题“Vx曰1,4]时，/-4x-zn#0”是假命题，

则命题“3隹[1,4]时,/-4x-"?=0"是真命题

贝ijin—jr-4x,

设/1（x）—x1-4x—（x-2）2-4,

当1WXW4时，-4W/（x）WO

则-4W/»W0,

故选：D.

【点评】本题主要考查命题真假的应用，利用全称命题的否定是特称命题转化为特称命

题是解决本题的关键.难度中等.

8.（5分）为比较甲、乙两地某月14时的气温状况，随机选取该月中的5天，将这5天中

14时的气温数据（单位：。C）制成如图所示的茎叶图.考虑以下结论：

①甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温；

②甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温；

③甲地该月14时的平均气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差.

④甲地该月14时的平均气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标准差；

其中根据茎叶图能得到的统计结论的标号为（）

甲乙

986289

113012

A.①③B.①④C.②③D.②④

【分析】利用茎叶图分别求出甲、乙两地某月14时的气温的平均值和标准差，由此能求

出结果.

【解答】解：由茎叶图，得:

甲地该月14时的平均气温二=2（26+28+29+31+31）=29,

X甲5

甲地该月14时的平均气温的标准差S=^l［（_3）2+（_1）2+02+22+22pVT6-

乙地该月14时的平均气温二=1（28+29+30+31+32）=30,

乙5________________________

22222

乙地该月14时的平均气温的标准差S-Jl［（_2）+（_1）+0+1+2］=42>

...甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温，

甲地该月14时的平均气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差.

••・根据茎叶图能得到的统计结论的标号为①③.

故选:A.

【点评】本题考查平均值、标准差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意茎叶图、

平均值、标准差的合理运用.

9.（5分）在区间［--,2口上随机取一个数x,则cosx的值介于返到1的概率为（）

442

A.AB.Ac.2D.3

3234

【分析】根据题意，由余弦函数的图象和性质，求出COSX的值介于返到1的龙的取值

2

范围，由几何概型公式计算可得答案.

【解答】解：根据题意，区间［-三，若返VcosxVl,则有-工<xV匹，

44266

兀（冗）

则cosx的值介于返到1的概率P=-^-----2

2J工）3

4、4/

故选：C.

【点评】本题考查几何概型的计算，涉及余弦函数的性质以及应用，属于基础题.

10.(5分)如图，在三棱柱ABC-481cl中，底面为正三角形，侧棱垂直底面，AB=4,

A4i=6,若E,尸分别是棱CO上的点，且BE=BiE,CiF^lcCi,则异面直线

3

A1E与A尸所成角的余弦值为()

A.返B.返C.返D.返

661010

【分析】以C为原点，C4为x轴，在平面ABC中过作AC的垂线为y轴，CC1为z轴，

建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线A1E与AF所成角的余弦值.

【解答】解以C为原点，C4为x轴，在平面ABC中过作AC的垂线为y轴，CG为z轴,

建立空间直角坐标系，

•.•在三棱柱ABC-AIBICI中，底面为正三角形，侧棱垂直底面，AB=4,AAi=6,

E,尸分别是棱8Bi,CC1上的点，且BE=8iE,C\F=l.CCi,

3

AAi(4,0,6),E(2,2M,3),F(0,0,4),A(4,0,0),

(-2,2M,-3),AF=(-4,0,4),

设异面直线AiE与AF所成角所成角为6,

IATE-AFA而

则cos0=-^A一=I一=—

lAjEl-lAFl2啦10

异面直线4E与AF所成角的余弦值为返.

10

故选：D.

【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注

意向量法的合理运用.

11.（5分）某校为了解高二年级学生某次数学考试成绩的分布情况，从该年级的1120名学

生中随机抽取了100名学生的数学成绩，发现都在［80,150］内现将这100名学生的成绩

按照［80,90）,［90,100）,［100,110）,［110,120）,［120,130）,［130,140）,［140,

150］分组后，得到的频率分布直方图如图所示则下列说法正确的是（）

频率

B.样本数据低于130分的频率为0.3

C.总体的中位数（保留1位小数）估计为123.3分

D.总体分布在［90,100）的频数一定与总体分布在［100,110）的频数相等

【分析】由频率分布直方图得的性质求出。=0.030；样本数据低于130分的频率为：1-

（0.025+0.005）X10=0.7；［80,120）的频率为0.4,［120,130）的频率为0.3.由此求

出总体的中位数（保留1位小数）估计为：120+°.5-0・4义3^123.3分；样本分布在［90,

0.3

100）的频数一定与样本分布在［100,110）的频数相等，总体分布在［90,100）的频数不

一定与总体分布在［100,110）的频数相等.

【解答】解：由频率分布直方图得：

(0.005+0.010+0.010+0.015+^+0.025+0.005)X10=1,

解得“=0.030,故A错误；

样本数据低于130分的频率为：1-（0.025+0.005）X10=0.7,故B错误；

[80,120）的频率为：（0.005+0.010+0.010+0.015）X10=0.4,

[120,130）的频率为：0.030X10=0.3.

.••总体的中位数（保留1位小数）估计为：120+0・5-0-4x102123.3分,故C正确；

0a3

样本分布在[90,100）的频数一定与样本分布在[100,110）的频数相等，

总体分布在[90,100）的频数不一定与总体分布在[100,110）的频数相等，故。错误.

故选：C.

【点评】本题考查命题真假的判断，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算

求解能力，考查数形结合思想，是基础题.

12.（5分）直线y=k（x-2）+4与曲线有两个不同的交点，则实数的人的取

值范围是（）

A.（-L,3]B.（-L,4W）C.（•1,3]D.（0,互）

'124」<12<24’12,

【分析】要求的实数&的取值范围即为直线/斜率的取值范围，由于曲线），=1+八不表

示以（0,1）为圆心，2为半径的半圆，在坐标系中画出相应的图形，直线/与半圆有不

同的交点；当直线/与半圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，利用点到直线的

距离公式列出关于左的方程，求出方程的解得到左的值；当直线/过8点时，由A和B

的坐标求出此时直线/的斜率，根据两种情况求出的斜率得出k的取值范围.

【解答】解：根据题意画出图形，如图所示：

由题意可得：直线/过A（2,4）,8（-2,1）,

又曲线y=l+T^图象为以（0,1）为圆心，2为半径的半圆，

当直线/与半圆相切，C为切点时，圆心到直线/的距离d=r,即।产k|=2,

解得：/:=—；

12

当直线/过B点时，直线/的斜率为4T=3,

2-（-2）4

则直线/与半圆有两个不同的交点时，实数k的范围为（巨，1].

124

故选：A.

【点评】此题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有：恒过定点的直线方程，点到

直线的距离公式，以及直线斜率的求法，利用了数形结合的思想，其中抓住两个关键点

是解本题的关键.

二.填空题（每小题5分，共20分）

x+y-4》0

13.（5分）若x,y满足约束条件x-2y-440，则z=2x+y的最小值为6.

,x-y）0

【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优

解，把最优解的坐标代入目标函数得答案.

'x+y-4>0

【解答】解：由约束条件x-2y-440作出可行域，

x-y》0

\x+y-4=0

化目标函数z—2x+y为y=-2x+z,

由图可知，当直线y=-2r+z过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为6.

故答案为：6.

【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题.

14.（5分）总体由编号为01,02,03,…，49,50的50个个体组成，利用随机数表（以

下摘取了随机数表中第31行和第32行)选取5个个体，选取方法是从随机数表第31行

的第9列和第10列数字开始由左向右读取，则选出的第4个个体的编号为09.

66674067146405719586110565096876832037

90571600116614908445II7573880590522741

148622981222080752749580

【分析】直接利用随机数表的应用求出结果.

【解答】解：选取方法是从随机数表第31行的第9列和第10列数字开始由左向右读取,

依次是：14,05,11,09,

则第四个数字为09.

故答案为：09.

【点评】本题考查的知识要点：随机数表的应用，主要考查学生对基础知识的理解，属

于基础题.

15.(5分)用秦九韶算法求多项式/(x)=/+2?+3%4+4?+5?+6^,当x=2时多项式的值

为240.

【分析】由于函数/(x)=X6+2X5+3X4+4X3+5X2+6X=(((((X+2)X+3)X+4)X+5)X+6)

x,当冗=2时，带入计算即可得出.

【解答】解:由于函数/(x)=X6+2X5+3X4+4X3+5X2+6X=(((((X+2)X+3)X+4)X+5)

x+6)x,

当x=2时，可得f(2)=(((((2+2)2+3)2+4)2+5)2+6)2=240,

故答案为：240

【点评】本题考查了秦九韶算法计算函数值，考查了计算能力，属于基础题.

16.(5分)若如图程序中输入的"值为2017,则输出的S值为2017_.

—2018—

IXPVTD

S=0

1=1

WHILEk=n

S=S+V(i*(i+l))

1=1+1

0TXD

PRINTS

END

【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的

值，模拟程序的运行过程可得答案.

【解答】解：S=0,i=l,若程序中输入的〃值为2017,

第1次执行循环体后，S=二一，i=2,不满足退出循环的条件；

1X2

第2次执行循环体后，i=3,不满足退出循环的条件；

1X22X3

第3次执行循环体后，S=_J_,i=4,不满足退出循环的条件;

1X22X33X4

第2017次执行循环体后，S=-J—+」—+」—+……+-----1-----+-----1-----,

1X22X33X42016X20172017X2018

i=2018,满足退出循环的条件；

即s=―1—+—1—+―1—+..+______1_____=1-A+A-A+A-A++-1--

1X22X33X42016X2017223342016

11.1=1.1=2017.

20172017201820182018,

故输出S值为幽工，

2018

故答案为：2017_.

2018

【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得

出正确的结论，是基础题.

三、解答题：本大题共6个大题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（10分）已知圆C：，+9-8y+12=0,直线/：ax+y+2a=O,

（1）当“为何值时，直线/与圆C相切.

（2）当直线/与圆C相交于A、B两点,且|AB|=2正时，求直线/的方程.

【分析】（1）圆C的圆心C（0,4）半径r=2,由直线/：ax+y+2〃=0与圆相切，利用

点到直线距离公式列出方程，能求出〃的值.

（2）直线/与圆C相交于A、8两点，且|4用=2&时，2=&，再

由圆心到直线的距离4=其空亘L列出方程，求出“，由此能求出直线方程.

存

【解答】（12分）解：（1）设圆心到直线的距离为d,

圆C：7+/-8y+12=0的圆心C（0,4）半径，=气64-48=2,----------1分

;直线/：ax+y+2a=0与圆相切,

d=I"2a|=2,解得“=一2.----5分

⑶4

(2)•.•圆心到直线的距离d=」：+2a|

直线/与圆C相交于4、8两点，且|A8|=2A/5时，2=圾,-------

-7分

1产1=&,解得。=-7或。=-1.

，所求直线为7x-y+14=0或x-y+2=0.

【点评】本题主要考查直线和圆相切时实数值的求法，考查直线方程的求法，考查直线

与圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用等基础知识，考查推理论证能力、运算求

解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题.

18.(12分)新冠肺炎疫情期间，为确保“停课不停学“，各校精心组织了线上教学活动开

学后，某校采用分层抽样的方法从三个年级的学生中抽取一个容量为150的样本进行关

于线上教学实施情况的问卷调查.已知该校高一年级共有学生660人，抽取的样本中高

二年级有50人，高三年级有45人.如表是根据抽样调查情况得到的高二学生日睡眠时

间(单位：人)的频率分布表.

分组频数频率

[6,6.5)50.10

[6.5,7)80.16

[7,7.5)X0.14

[7.5,8)12y

[8,8.5)100.20

[8.5,9]Z

合计501

(1)求该校学生总数；

(2)求频率分布表中实数x,y,z的值；

(3)已知日睡眠时间在区间［6,6.5)的5名高二学生中，有2名女生，3名男生，若从

中任选2人进行面谈，则选中的2人恰好为一男一女的概率.

【分析】(1)由频率分布表能求出该校学生总数.

(2)由题意工=0.14,y=12=0.24,z=50-(5+8+x+12+10),由此能求出结果.

5050

(3)记”选中的2人恰好为一男一女“为事件A,记5名高二学生中女生为尸2,男

生为Ml,M2,M3,从中任选2人，利用列举法能求出选中的2人恰好为一男一女的概

率.

【解答】解：(1)设该校学生总数为小

由题意15°=150-50-45,

n660

解得“=1800,

,该校学生总数为1800人.

(2)由题意工=0.14,解得x=7,

50

y=-l^.=0.24,

-50

z=50-(5+8+7+12+10)=8.

(3)记”选中的2人恰好为一男一女“为事件4

记5名高二学生中女生为白，尸2,男生为Mi,M2,M3,

从中任选2人包含的基本事件有10种情况，它们是等可能的，这10种情况分别为：

(F1,尸2),(Fi,Mi),(Fi,M2),(Fl,M3),(F2,MI),(F2,M2),(F2,M3),(Mi,

M2),(MI,M3),(.M2,M3),

事件A包含的基本事件有6个，

，选中的2人恰好为一男一女的概率P(4)=」l=3.

105

【点评】本题考查总数、频率、频数、概率的求法，考查频数分布表、列举法等基础知

识，考查运算求解能力，是基础题.

19.(12分)在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，ZACB=90Q,E4L平

ffiABCD,EF//AB,FG//BC,EG//AC,AB^2EF.

(1)若M是线段4。的中点，求证：GM〃平面48FE；

(2)若4C=BC=24E=2,求二面角A-BF-C的余弦值.

【分析】(1)由已知条件推导出NEGF=90°,XABCSXEFG,连结AF,推导出四边

形AFGM为平行四边形，由此能证明GM〃平面ABFE.

(2)分别以AC,AD,AE所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系A-xyz,

利用向量法能求出二面角A-BF-C的余弦值.

【解答】(1)证明：'：EF//AB,FG//BC,EG//AC,ZACB=90Q,

:.NEGF=90°,XABCs/XEFG.….(2分)

"：AB=2EF,：.BC=2FG,

连结AF,FG//BC,FG=/B(?(3分)

在平行四边形ABC。中，M是线段4。的中点，

J.AM//BC,且AM=』BC,—.(4分)

2

J.FG//AM,且FG=AM,

工四边形4FGM为平行四边形，〃胡，

又Mu平面4BFE,GM不包含于平面A8FE,

...GM〃平面A8FE.…(6分)

(2)解：VZACB=90°,/.ZACD=W,

又EA_L平面ABC。，.,.AC,AD,AE两两垂直.

分别以AC,AD,4E所在直线为x轴、y轴、z轴，

建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz.….(7分)

则由题意知A(0,0,0),B(2,-2,0),

C(2,0,0),D(0,0,1)(8分)

/.AB=(2,-2,0),BC=(0,2,0),

又EF=/杷，：.F(1,-1,1),BF=(-1,1,1).

设平面BFC的法向量ir=(x,y,z),

KJyBC=2y=0

mpBF=-x+y+z=O

取元=1,得口=（1，0,1）….（10分）

设平面AB尸的法向量2=(xi,yi,zi),

n*AB=2xi-2y.=0

则_____，

n.BF=_X[+y[+z[=0

取xi=l,得益=(1,1,0).(12分)

故二面角A-BF-C的余弦值为.（14分）

E

C

【点评】本题考查直线与平面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真

审题，注意向量法的合理运用.

20.（12分）据了解，温带大陆性气候，干燥，日照时间长，昼夜温差大，有利于植物糖分

积累.某课题研究组欲研究昼夜温差大小（x/℃）与某植物糖积累指数（y/G/）之间的关

系，得到如下数据：

组数第一组第二组第三组第四组第五组第六组

昼夜温差1011131286

x/℃

某植物糖积202430281815

累指数y/G/

该课题研究组确定的研究方案是先从这6组数据中选取4组数据求线性回归方程，再用

剩下的2组数据进行检验，假设这剩下的2组数据恰好是第一组与第六组数据.

（1）求y关于的线性回归方程丫=bx+a；

（2）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的差的绝对值均不超过

2.58,则认为得到的线性回归方程是理想的，试问（1）中所得线性回归方程是否理想？

（参考公式：回归直线方程丫=b》+a的斜率和截距的最小二乘估计b=

n__

Z（xs-x）（y--y）

i=l_________________—

n，a=y_bX）

2

Z（Xi-x）

i=l

【分析】（1）根据数据求出b与a的值，即可求出y关于x的线性回归方程；

（2）分别计算出1月份和6月份对应的预测值，与检验数据作差取绝对值，再与2.58

进行比较即可得到结论.

【解答】解：(1)由表中2月至5月份的数据，

得彳=1(11+13+12+8)=11,三」(24+30+28+18)=25,

4丫4

5__

故有£(X,-X)(yi-y)=0X(-1)+2X5+1X3+(-3)X(-7)=34,

i=2

5_

2222

£(xi-x)=0+2+l+(-3)2=14,

i=2

•3417-__1712

•,ub=y^—1a-y-bx-2255—Xll--

即y关于x的线性回归方程为

y77

(2)由上，当x=10时,17