2020-2021学年安徽省某中学九年级上学期期中数学试卷 （解析版）

2020-2021学年安徽省某中学

九年级第一学期期中数学试卷

一、选择题

1.（4分）抛物线尸-（x-2）2+1的顶点坐标是（）

A.（2,1）B.（-2,1）C.（1,2）D.（1,-2）

2.（4分）下列图形一定是相似图形的是（）

A.两个钝角三角形B.两个直角三角形

C.两个等腰三角形D.两个等腰直角三角形

3.（4分）二次函数尸的图象如图所示，则不等式ax

的解集是（）

A.x>\B.x<\C.x>D.x<-\

4.（4分）生活中到处可见黄金分割的美.如图，在设计人

体雕像时,使雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近

0.618,可以增加视觉美感.若图中6为2米，则a约为

（）

b

A.1.24米B.1.38米C.1.42米D.1.62米

5.（4分）如图，卜〃LJIk,直线4G所这与三条平行线

分别交于点4B、。和点〃、E、F.已知31,BC=3,

DE=2,则跖的长为（）

A.4B.5C.6D.8

6.（4分）已知点（a,2H）,（6,n）在反比例函数y=-

卷的图象上，且则（）

A.m>nB.m<n

C.m=nD."、〃的大小无法确定

7.（4分）如图，△板中，ZJ=60°,AB=4,AC=Q,

将△板沿图示中的虚线剪开，剪下的三角形与△放不

相似的是（）

B

BB

c.D.

8.（4分）已知一个函数图象经过（L-4）,（2,-2）

两点，在自变量x的某个取值范围内，都有函数值y随x

的增大而减小，则符合上述条件的函数可能是（）

A.正比例函数B.一次函数C.反比例函

数D.二次函数

9.（4分）如图，已知二次函数的图象与x轴的两个交点分

别为（-L0）,（3,0）,对于下列结论：①2K6=0；

②mcVO；③力90>0；④当x>l时，y随x的增大而

减小；其中正确的有（）

10.（4分）如图，在矩形能力中，AB=6,BC=10,点反

分在曲边上，以和力交于点G,若E4菅加,则图中阴

影部分的面积为（）

A.25B.30C.35D.40

二、填空题（每小题5分，共20分）

11.（5分）一副地图，图上20厘米表示实际距离10千米,

这幅地图的比例尺是.

12.（5分）在广安市中考体考前，某初三学生对自己某次

实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）

与水平距离x（米）之间的关系为尸-+由

aL乙OO

此可知该生此次实心球训练的成绩为米.

13.（5分）如图所示，RtZU仍中，NAOB=90°,而=4,

OB=2,点8在反比例函数尸?图象上，则图中过点力的

双曲线解析式是.

14.（5分）已知二次函数y=a*+6（&W0）经过点力（1,

-1）,6（3,3）,且当1（庶3时，-则a

的取值范围是.

三、（本大题共2小题，每小题8分，共16分）

15.（8分）已知：亭菖.

（1）求？的值；

（2）求言的值.

16.（8分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成

的12X12的网格中，已知点0、4、夕均为格点.

(1)在给定的网格中，以点。为位似中心将线段四放大

为原来的2倍，得到线段/B'.(点43的对应点分

别为点HW),画出线段/B'.

(2)以线段/B'为一边，作一个格点四边形/B'CD,

使得格点四边形ArB'CD是轴对称图形(作出一个格点

四边形即可).

四、(本大题共2小题，每小题8分，共16分)

17.(8分)已知二次函数7=3/+(A+1)*k.

(1)求证：该函数图象与x轴一定有两个不同的交点；

(2)若该函数图象关于y轴对称，求图象与x轴的交点

坐标.

18.(8分)如图正比例函数打卷乂与反比例函数丫2千的图象

在第一象限内的交点A的横坐标为4.

(1)求A值；

(2)求它们另一个交点6的坐标；

(3)利用图象直接写出：当x在什么范围内取值时，历

五、（本大题共2小题，每小题10分，共20分）

19.（10分）阅读与计算，请阅读以下材料，并完成相应的

问题.

角平分线分线段成比例定理，如图L在△板中，四平

分乙BAC,则患=黑.下面是这个定理的部分证明过程.

证明：如图2,过。作龙〃物.交胡的延长线于反…

任务：

（1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；

（2）填空：如图3,已知Rt△板中，册=3,BC=4,Z

ABC=^°,AD平分4BAC,则△板的周长是.

E.

图1图2图3

20.（10分）如图，已知二次函数y=x+ax^-3的图象经过

点尸（-2,3）.

（1）求H的值和图象的顶点坐标.

（2）点Q（如n）在该二次函数图象上.

①当勿=2时，求〃的值；

②若点0到y轴的距离小于2,请根据图象直接写出n的

六、（本大题共2小题，每小题12分，共24分）

21.（12分）如图，将矩形阳初沿位向上折叠，使点3

落在血边上的点尸处.

（1）找出图中的相似（不全等）三角形，并证明；

（2）若AE=^BE,则长曲与宽裕的比值是多少？

22.（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=《V+bx+c

与x轴交于46（4,0）两点，与y轴交于点C（0,4）.

（1）求此抛物线的函数表达式及点4的坐标；

（2）已知点〃（1,-1）,在直线池上方的抛物线上有

一动点尸（x,y）（1<JT<4），求面积的最大值.

七、(本大题满分14分)

23.(14分)如图，在△四。中，点。，£分别在边幽BC

上，丝与切相交于点E过点£作斑〃少交4c的延长

线于点G.若四平分/&C,CE=CF.

(1)①求证：NABC=NACD；

②求证：XEGCsXCBD

(2)如图2,若N班C=90°,AD=2,BD=6,求％的长.

/\D

D//\

GG

图1图2

参考答案

一、选择题(每小题4分，共40分)

1.(4分)抛物线y=-(x-2)2+1的顶点坐标是()

A.(2,1)B.(-2,1)C.(1,2)D.(1,-2)

【分析】根据顶点式y=a(x-h)顶点坐标是(h,

k),可直接得到答案.

解：•・•顶点式尸a(x-力)”+k,顶点坐标是(h,k),

・•・抛物线尸-(x-2)2+1的顶点坐标是(2,1).

故选：A.

2.(4分)下列图形一定是相似图形的是()

A.两个钝角三角形B.两个直角三角形

C.两个等腰三角形D.两个等腰直角三角形

【分析】根据相似三角形的判定方法进行判断.

解：力、两个钝角三角形不一定相似；

及两个直角三角形不一定相似；

a两个等腰三角形不一定相似；

〃、两个等腰直角三角形一定相似.

故选：D.

3.(4分)二次函数尸af的图象如图所示，则不等式ax

>a的解集是()

【分析】由图象可知aVO,然后利用不等式性质即可解不

等式.

解：由图象可知aVO,

・・・不等式aQa的解集为xV1.

故选：B.

4.（4分）生活中到处可见黄金分割的美.如图，在设计人

体雕像时,使雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近

0.618,可以增加视觉美感.若图中6为2米，则方约为

A.1.24米B.1.38米C.1.42米D.1.62米

【分析】根据雕像的腰部以下a与全身6的高度比值接近

0.618,因为图中b为2米，即可求出a的值.

解：・・♦雕像的腰部以下a与全身6的高度比值接近0.618,

・・b,90.618,

・“为2米，

工a约为1.24米.

故选：A.

5.（4分）如图，直线4。、所这与三条平行线

分别交于点从B、。和点〃、E、F.已知31,BC=3,

DE=2,则斯的长为（）

A.4B.5C.6D.8

【分析】根据平行线分线段成比例和题目中的条件，可以

求得郎的长，从而可以解答本题.

解：-IJ/IJ/U,

.AB_DE

,•而WP

";AB=1,BC=3,DE=2,

・12

**7=EF,

解得，EF=6,

故选：C.

6.（4分）已知点（a,%），Qb,n）在反比例函数尸-

《的图象上，且贝（I（）

A.m>nB.m<n

C.m=nD.以、〃的大小无法确定

【分析】根据外6与0的大小关系利用反比例函数的性

质确定答案即可.

解：,反比例函数尸-三中A=-2V0,

・・・在每一象限内y随着x的增大而增大，

・・•点(a,m),(b,Z7)在反比例函数尸-《的图象上,

且a>bf

・••当a>b>。时，a>n>Of

当0>&>6时，m>n>Of

当a>0>6时，m<O<nf

：.m、刀的大小无法确定，

故选：D.

7.(4分)如图，△板中，ZJ=60°,AB=4,4=6,

将△板沿图示中的虚线剪开，剪下的三角形与△上不

相似的是()

【分析】根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判

定即可.

解：4两三角形的对应边成比例，但夹角不相等，故两三

角形不相似，故本选项符合题意；

B、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，

故本选项不符合题意；

C、阴影三角形与原三角形有两个角相等,故两三角形相似，

故本选项不符合题意；

D、阴影三角形与原三角形有两个角相等,故两三角形相似，

故本选项不符合题意；

故选：A.

8.（4分）已知一个函数图象经过（1,-4）,（2,-2）

两点，在自变量x的某个取值范围内，都有函数值y随x

的增大而减小，则符合上述条件的函数可能是（）

A.正比例函数B.一次函数C.反比例函

数D.二次函数

【分析】求出一次函数和反比例函数的解析式，根据其性

质进行判断.

解：设一次函数解析式为：尸k»b,

由题意得，偿尚

解得，信6，

VA>0,

・・・y随x的增大而增大，

，43错误，

设反比例函数解析式为：尸之

由题意得，k=-4,

k<0,

・・・在每个象限，y随x的增大而增大，

・・・。错误，

当抛物线开口向上，时，y随x的增大而减小.

故选：D.

9.（4分）如图，已知二次函数的图象与x轴的两个交点分

别为（-1,0）,（3,0）,对于下列结论：①2m•入二。；

②助cVO；③新出。>0；④当x>l时，y随x的增大而

减小；其中正确的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【分析】根据抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线

x=L根据抛物线对称轴方程得到-*=L则可对①进

行判断；由抛物线开口方向得到aVO,由6=-2a得至U6

>0,由抛物线与y轴的交点在x轴上方得到。>0,则可

对②进行判断；利用x=l时，y>0可对③进行判断；根

据二次函数的性质对④进行判断.

解：・・♦二次函数的图象与x轴的两个交点分别为（-L0）,

（3,0）,

・•・抛物线的对称轴为直线户1,

・♦・-/a上=1,即2a+6=0,所以①正确；

・・•抛物线开口向下，

:.a<0,

■:b=-2a,

:・b>0,

•・•抛物线与y轴的交点在x轴上方，

・・・c>0,

：.abc<Of所以②正确；

,k1时，y>0,

・・・加加。>0,所以③正确；

・・•抛物线的对称轴为直线户1,抛物线开口向下，

・•・当x>l时，y随x的增大而减小，所以④正确.

故选：D.

10.（4分）如图，在矩形能力中，AB=6,BC=10f点反

户在加边上，如和龙交于点G,若EF=苴AD,则图中阴

影部分的面积为（）

A.25B.30C.35D.40

【分析】过点G作刖助于“延长用交即于四通过

证明△斯Gs/iC%,可得GN：GM=EF：BC=1：2,可求

GN,副的长，由面积的和差关系可求解.

解：过点G作加初于M延长NG交BC千M,

・・•四边形极力是矩形，

：.AD=BCfAD〃BC,

'：EF=%AD,

:・EF=^BC,

■:AD〃BC,NGLAD,

：./\EFG^^CBG,GMLBC,

：.GNxGM=EFtBC=\：2,

又,：MN=AB=6,

:.GN=2,GM=^

=

:.S^BCG=*X10X420,

=

•*•S/\EFG=^X5X25,S矩形侬»=6X10=60,

，S阴影=60-20-5=35.

故选：C.

二、填空题（每小题5分，共20分）

11.（5分）一副地图，图上20厘米表示实际距离10千米,

这幅地图的比例尺是1：50000.

【分析】根据比例尺的意义求解即可.

解：10千米=1000000厘米，

20：1000000=1：50000.

所以这幅地图的比例尺是1：50000.

故答案为：1；50000.

12.（5分）在广安市中考体考前，某初三学生对自己某次

实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）

与水平距离x（米）之间的关系为尸-力+兴由

此可知该生此次实心球训练的成绩为3—米.

【分析】根据铅球落地时，高度尸0,把实际问题可理解

为当尸o时，求x的值即可.

解：当y=0时，y=--^x+^^=0,

解得，x=-2（舍去），x=10.

故答案为：10.

13.（5分）如图所示，RtZU如中，ZAOB=90°,2=4,

OB=2,点，在反比例函数尸日图象上，则图中过点N的

双曲线解析式是尸.

-------------X------

【分析】要求函数的解析式只要求出点力的坐标就可以，

过点4夕作4C_Lx轴，血Lx轴，分别于C,D.根据条

件得到△力如△她，得到：*莽罂4=今然后用待

AvUVUn.-x乙

定系数法即可.

解：设点8的坐标是(加，n),

因为点8在函数的图象上，则的=2,

贝!IBD=n,OD=m,贝！|AC=2m,0C=2n,

设过点A的双曲线解析式是y=1,A点的坐标是(-2/7,

2加，

把它代入得到：2%=套，

则k=-4an=-8,

则图中过点A的双曲线解析式是尸-f.

故答案为：y=-

14.(5分)已知二次函数尸a*+加+c(a#O)经过点4(1,

-1),8(3,3),且当1/启3时，-则a

的取值范围是-IWaVO或OVaWl.

【分析】根据题意画出图象，根据图象即可求得.

解：二•二次函数尸经过点Z(1,-1),

B(3,3),

•[a+b+c=-l①

>el9a+3b+c=3@，

②-①得，8a+26=4,

:.b=2-4a,

・♦・抛物线的对称轴为：户-卷=签，

如图，当抛物线开口向上时，则3>0,且-焉〈1，

/a

:.-(2-4a)W2H

解得WL

・・・0«；

当抛物线开口向下时，则aVO,且-生，3,

/a

•2—4aQ

••一

：.2-4a2-6a,

解得4-1,

-1«0,

综上，a的取值范围是-IWaVO或OVWL

三、（本大题共2小题，每小题8分，共16分）

15.（8分）已知：等年.

（1）求？的值；

（2）求言的值.

【分析】根据已知条件等V，求得户2必把k2y分别

代入（1）和（2）的代数式即可得到结论.

解：・・・等普,

:.x=2y,

（2）W=然=看

x+y2y+y3

16.（8分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成

的12X12的网格中，已知点0、48均为格点.

（1）在给定的网格中，以点。为位似中心将线段四放大

为原来的2倍，得到线段HB'.（点43的对应点分

别为点/、〃），画出线段4B'.

（2）以线段/B'为一边，作一个格点四边形HB'CD,

使得格点四边形AfB'CD是轴对称图形（作出一个格点

四边形即可）.

【分析】（1）连接40,延长力。到H,使得加=2朋

同法作出点夕，连接/夕即可.

(2)以HB'为边构造矩形即可(答案不唯一).

解：(1)如图，线段/W即为所求.

(2)如图，矩形HB'少即为所求(答案不唯一).

四、(本大题共2小题，每小题8分，共16分)

17.(8分)已知二次函数尸3/+(A+1)户

(1)求证：该函数图象与x轴一定有两个不同的交点；

(2)若该函数图象关于y轴对称，求图象与x轴的交点

坐标.

【分析】(1)根据△=(A+1)2-4乂3女恒大于0即可证

明；

(2)抛物线关于y轴对称，则为+论=0,解方程即可求得

k=T,然后根据芯•%=4A,否+莅=0即可求得及=2,

莅=-2,即可得到结论.

解：(1)♦・•△=(A+l)2-4x1A=^+A+l=(A+1)2+|>

0,

・・・该函数图象与x轴一定有两个不同的交点；

（2）设二次函数图象与x轴两交点坐标分别为（为，0）

（冬，0）,

・・,抛物线关于y轴对称，

，石+莅=0,

即-4（衣1）=0,

解得：k=-1,

•:X，X2=4k,不+莅=0,

:•Xi=2,X2=-2,

，图象与x轴的交点为（2,0）或（-2,0）.

18.（8分）如图正比例函数y得x与反比例函数丫2千的图象

在第一象限内的交点A的横坐标为4.

（1）求A值；

（2）求它们另一个交点B的坐标；

（3）利用图象直接写出：当x在什么范围内取值时，历

【分析】⑴将4的横坐标4代入％=紧，求出N的纵

坐标,再将/的坐标代入解析式为即可而求出k的值.

（2）将两个函数的解析式组成方程组，求出方程组的解,

即为两函数图象的交点坐标.

（3）先找到两图象的交点，再从图上判断出x的取值范围.

解：⑴将4的横坐标4代入力=聂，得力=*X4=2,

由题意可得4点坐标为（4,2）,

由于反比例函数尸！的图象经过点A,

・・・A=2X4=8.（5分）

（y=_­1x

（2）将两个函数的解析式组成方程组得：

解得已，舄ex

所以4（4,2）,8（-4,-2）.

所以8点坐标为3（-4,-2）.（3分）

（3）由于4点横坐标4,3点横坐标为-4,由图可知：

当x>4或-4VxV0时，%>为.（4分）

五、（本大题共2小题，每小题10分，共20分）

19.（10分）阅读与计算，请阅读以下材料，并完成相应的

问题.

角平分线分线段成比例定理，如图L在△板中，血平

分/BAC,则祟=黑.下面是这个定理的部分证明过程.

证明：如图2,过。作龙〃物.交胡的延长线于反…

任务：

（1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；

（2）填空：如图3,已知Rt△上中，45=3,BC=4,Z

ABC=90°,AD平分NBAC,则△板的周长是_力|反

E.

图1图2图3

【分析】（1）如图2,过。作龙〃物.交胡的延长线于

E,利用平行线分线段成比例定理得到黑=普，利用平行

线的性质得N2=N4龙，N1=NE,由N1=N2得N4CE

=/E,所以/£=〃，于是有患=群

（2）先利用勾股定理计算出AC=5f再利用（1）中的结

论得到器，即£=舒，则可计算出BD=',然后利用

勾股定理计算出必=乎，从而可得到△声的周长.

【解答】（1）证明：如图2,过。作龙〃物.交胡的延

长线于£,

'：CEHAD,

ACD=EA,/2=4ACE,N1=N£,

VZ1=Z2,

・•・ZACE=4E,

：.AE=AC,

.AB_BD

**AC-CD；

（2）解：如图3,•:AB=3,BC=4,N极=90°,

：.AC=5f

•・・在平分N阴G

•AC_CD曰口5__CD

•eAB-BDJ即行—丽，

：.BD=lBC=l，

22

**•7BD2+AB2=（^）+3—，

・・・△板的周长=得+3+平=力普.

故答案为呼.

20.（10分）如图，已知二次函数y=x+ax^-3的图象经过

点产（-2,3）.

（1）求&的值和图象的顶点坐标.

（2）点Q（%，n）在该二次函数图象上.

①当"=2时，求〃的值；

②若点0到y轴的距离小于2,请根据图象直接写出n的

取值范围.

【分析】（1）把点尸（-2,3）代入尸产+雄+3中，即

可求出a；

（2）①把卬=2代入解析式即可求〃的值；

②由点0到y轴的距离小于2,可得-2VZ2,在此范围

内求〃即可；

解：（1）把点尸（-2,3）代入尸f+&户3中，

a=2,

+2户3=（K1）2+2,

・•・顶点坐标为（-1,2）；

（2）①当卬=2时，72=11,

②点0到y轴的距离小于2,

二|团|V2,

:.-2<ZT<2,

六、（本大题共2小题，每小题12分，共24分）

21.（12分）如图，将矩形被小沿位向上折叠，使点B

落在4?边上的点尸处.

（1）找出图中的相似（不全等）三角形，并证明；

（2）若AE=^BE,则长幼与宽裕的比值是多少？

O

【分析】（D由四边形的是矩形，于是得到N4=N〃

=/〃=90。，根据折叠的性质得/跖C=N〃=90°,推

出NAEF=NDFC,即可得到结论；

（2）设AE=2xy则BE=3x,由勾股定理求出AF=Ax,

由相似三角形的性质求出DF=2庭x,则可求出答案.

解：⑴匕AEFsXDFC.

证明：•.•四边形阳力是矩形，

・•・4=/〃=/*=90°,

根据折叠的性质得N4=NQ90°,

:・NAF班NAEF=NAF班NDFC=90°,

:.ZAEF=/DFC,

:.XAEFSXDFC.

(2)设4£=2x,则助=3x,

:.AB=5x,

•・•将矩形版力沿龙向上折叠，使点8落在么?边上的点尸

处，

:,BE=EF=3x,

AF=7EF2-AE2=•底x,

■:XAEFSXDFC,

.AF_AE

••记赤，

•V5x2x

••5x=5P

:.DF=2日x,

AD=APrDF—娓A+2娓x=3后Y,

.AD_3V5X375

**AB=5x"~5~"

22.(12分)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=~^x2+bx+c

与x轴交于A,5(4,0)两点，与y轴交于点C(0,4).

(1)求此抛物线的函数表达式及点4的坐标；

(2)已知点〃(1,-1),在直线初上方的抛物线上有

一动点尸(x,y)(1VXV4),求%面积的最大值.

A10\\Bx

【分析】(I)用待定系数法求得解析式，再把尸0代入

求得的解析式，便可求得力点坐标；

(2)用待定系数法求出直线AD的解析式，再过尸作用

_Lx轴于E与血交于点后由三角形的面积公式求出解

析式，进而根据二次函数的性质求得符合条件的最大值便

可.

解：(1)把3(4,0)和。(0,4)代入y=Tx?+bx+c中得