2020-2021学年七年级数学下学期期中测试卷01（北师大版）教师版

2020-2021学年七年级数学下学期期中测试卷01(北师大版)

(满分100分考试时间120分钟)

一、选择题(共10题，每小题3分，共30分)

1.若“和，化简下列各式，正确的个数有()

(1)(2)(n2)3—a6；(3)(-2a4)3--6a12；(4)a-^a^—a3；(5)a6+a6—2an；

(6)2-2+25X2』32；(7)(-a)7«a"=-a20

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【分析】分别根据零整数指数基的定义，同底数基的乘除法法则，弃的乘方与积的乘方运算法则，合并同

类项法则以及负整数指数塞的定义逐一判断即可.

【详解】解：故(I)错误；

(。2)3=°6,故(2)正确;

(-2a4)3=-8a12,故(3)错误；

­/2=。3,故(4)正确；

"+"=2小故(5)错误；

2-2*5x28=2,故(6)错误；

a2*(-a)1*a'i=-a20,故(7)正确,

所以正确的个数为3个.

故选：C.

【点睛】本题考查零整数指数塞的定义，同底数塞的乘除法法则，辕的乘方与积的乘方运算法则，合并同

类项法则以及负整数指数累等知识，熟练掌握法则是关键.

4

2.在球的体积公式丫=—万火3中，下列说法正确的是()

4

A.V、乃、R是变量，一为常量B.V、R是变量，乃为常量

3

_44

C.V、R是变量，一、乃为常量D.V、R是变量，一为常量

33

【答案】C

【分析】根据变量和常量的定义：在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量：数值始终不变的量

称为常量可得答案.

44

【详解】解：在球的体积公式丫=一"火3中，V、R是变量，—、力为常量

33

故选：C.

【点睛】此题主要考查了常量和变量，熟练掌握常量和变量的定义是解题的关键.

3.如图，它由两块相同的直角梯形拼成，由此可以验证的算式为()

A.a2-b2=(a+b)(a-b)B.(a+b)2=a2+lab+b~

C.(a-b)2=a2-2ab+h2D.(a-1)2=(/>+l)2

【答案】A

【分析】根据图中边的关系，可求出两图的面积，而两图面积相等，从而推导出了平方差的公式.

【详解】如图，拼成的等腰梯形如下：

上图阴影的面积s=a2-b?,下图等腰梯形的面积s=2(a+b)(a-b)+2=(a+b)(a-b),

两面积相等所以等式成立a?-b2=(a+b)(a-b).这是平方差公式.

bb

aa

【点睛】本题考查了平方差公式的几何背景，解决本题的关犍是求出两图的面积，而两图面积相等，从而

推导出「平方差的公式.

4.如图，CD为NAOB的角平分线，射线0E经过点。且NAOE=90。，若NOOE=63。，则N80C的度数

是()

E

DO

A.63°B.33°C.28°D.27°

【答案】D

【分析】先根据平角的定义求出/AOC的度数，再利用角平分线定义即可求解.

【详解】解：VZAOE=90°,NOOE=63。，

•*.ZAOC=1800-ZAOE-ZDOE=27°,

♦.•8为NAOB的角平分线，

；./BOC=/AOC=27。.

故选：D.

【点睛】本题考查了平角的定义，余角和补角，角平分线定义，求出NAOC的度数是解题的关犍.

5.下列各多项式相乘：①(-2ab+5x)(5x+2ab);②(ax—y)(-ax-y);③(-ab-c)(ab-c);④(m+n)(-m-n).其中可以用

平方差公式的有()

A.4个B.3个C.2个D.1个

【答案】B

【详解】解：①(-2ab+5x)(5x+2ab)=(5x-2ab)(5x+2ab),符合平方差公式，故①正确；

②(ax—y)(-ax-y)=-(ax—y)(ax+y),符合平方差公式，故②正确；

@(-ab-c)(ab-c)=-(a+-c)(ab-c),符合平方差公式，故③正确；

④(m+n)(-m-n)=-(m+n)(m+n),不符合平方差公式，故④错误.

正确的有①②③.

故选B.

6.如果二次三项式x2-16x+m2是一个完全平方式，那么m的值是()

A.±8B.4C.±4D.8

【答案】A

【分析】先根据乘积二倍项确定出这两个数是8和x,再根据完全平方公式的平方项列式求解即可.

【详解】解：；-16*=-2><8咏，

/.m2=82=64,解得m=±8.故选：A.

【点睛】本题考查了完全平方公式.能够掌握完全平方公式的运用，两数的平方和，再加上或减去它们积

的2倍，就构成了一个完全平方式，根据乘积二倍项确定出这两个数是求解的关键.

7.如图，现有正方形卡片A类，8类和长方形卡片C类若干张，若要拼一个长为（。+2切，宽为

（3。+〃）的大长方形，则需要C类卡片（）

A.5张B.6张C.7张D.8张

【答案】C

【分析】根据长方形的面积等于长乘以宽列式，再根据多项式的乘法法则计算，然后结合卡片的面积即可

作出判断.

【详解】解：长为（。+勿），宽为（3a+b）的大长方形的面积为：

（a+2b）（3a+b）=3a2+7ab+2b2,

A图形面积为a?,B图形面积为b?,C图形面积为ab,

则可知需要A类卡片3张,B类卡片2张,C类卡片7张，

故选：C.

【点睛】此题主要考查了多项式乘多项式，掌握多项式乘以多项式的法则是本题的关键，注意不要漏项，

漏字母，有同类项的合并同类项.

8.如图，下列条件：①/1=N2；②N4=N5；③N2+N5=180°；Nl=N3;⑤N6+N4=180°；其

中能判断直线的有（）

C.②④⑤D.②④

【答案】D

【分析】根据平行线的判定方法，对每一项进行分析判断即可解决.

【详解】根据同为角相等两直线平行可以判断②N4=N5,④N1=N3正确；

①Nl=N2非同位角非内错角无法判断直线平行，错误

③N2+/5=180°,⑤N6+N4=180°非同旁内角，无法判断两直线平行.

故选D.

【点睛】本题考查了平行线的判定，解决本题的关键：正确理解题意能够从图形中找到同位角、同旁内

角、内错角，熟练掌握平行线的判定方法.

9.点P为直线m外一点，点A,B,C为直线m上三点,PA=4cm,PB=5cm,PC=2cm,则点P到直线m的距离为

()

A.4cmB.2cm;C.小于2cmD.不大于2cm

【答案】D

【分析】根据点到直线的距离是直线外的点与直线上垂足间的线段的长，再根据垂线段最短，可得答案.

【详解】当PC_L1时，PC是点P到直线1的距离，即点P到直线1的距离2cm,

当PC不垂直直线1时，点P到直线1的距离小于PC的长，即点P到直线1的距离小于2cm,

综上所述：点P到直线1的距离不大于2cm,

故选D.

【点睛】考查了点到直线的距离，利用了垂线段最短的性质.

io.如图，火车匀速通过隧道（隧道长大于火车长）时，火车在隧道内的长度y随着火车进入隧道的时间

x的变化而变化的大致图象是（）

【答案】A

【分析】先分析题意，把各个时间段内y与x之间的关系分析清楚，本题是分段函数，分为三段.

【详解】解：根据题意可知火车进入隧道的时间x与火车在隧道内的长度y之间的关系具体可描述为：当

火车开始进入时y逐渐变大，当火车完全进入隧道，由于隧道长大于火车长，此时y最大，且保持一段时

间的最大值，当火车开始出来时y逐渐变小.

故选A.

【点睛】上要考查了根据实际问题作出函数图象的能力.解题的关键是要知道本题是分段函数，分情况讨

论y与x之间的函数关系.

二、填空题(共6题，每小题3分，共18分)

11.若a+3b-3=0,贝I3a・27b=.

【答案】27

【分析】先将原式化为同底，然后利用条件即可求出答案.

【详解】解：原式=3*(33)b=3a+3b,•.•a+3b-3=0

；.a+3b=3,.•.原式=33=27,故答案为：27.

【点睛】本题考查幕的乘方、同底数幕的乘法，解题的关键是熟练掌握运算法则.

12.(a-2018)2+(2020-a)2=20,则a-2019=.

【答案】±3

【分析】将(a-2018)、(2020-a)分别转化为含有(a-2019)的形式，然后利用完全平方公式解答.

【详解】解：,/(a-2018)2+(2020-a)2

=[(a-2019)+1]2+[(a-2019)-I]2

=2(a-2019)2+2

=20.

(a-2019)2=9.

；.a-2019=±3.

故答案是：±3.

【点睛】此题主要考查求代数式的值，解题关键是根据题意整理式子.

13.若/A与NB的两边分别平行，且/A比/B的3倍少40。，则/B=度.

【答案】55或20

【分析】根据平行线性质得出/A+/B=180。①，NA=NB②，求出NA=3NB-40。③，把③分别代入

①②求出即可.

【详解】解：...NA与NB的两边分别平行，

.•.NA+/B=180°①，NA=NB②，

VZA比NB的3倍少40°,

.♦.NA=3NB-40。③，

把③代入①得：3ZB-40°+ZB=180°,

ZB=55°,

把③代入②得：3ZB-40°=ZB,

NB=20。，

故答案为：55或20.

【点睛】本题考查平行线的性质，解题的关键是掌握由/A和NB的两边分别平行，即可得/A=/B或

ZA+ZB=1800,注意分类讨论思想的应用.

14.己知BD、CE是AABC的高，BD、CE所在的直线相交所成的角中有一个角为60。，则NBAC=

【答案】60。或120°.

【分析】分两种情况：(D当/A为锐角时，如图1；(2)当NA为钝角时，如图2；根据四边形的内

角和为360。即可得出结果.

【详解】解：分两种情况：

(1)当NA为锐角时，如图1,

VZDOC=60o,

/.ZEOD=120°,

VBD.CE是AABC的高，

.*.ZAEC=ZADB=90°,

ZA=360°-90°-90°-120°=60°；

(2)当NA为钝角时，如图2,

VZF=60°,

同理：ZADF=ZAEF=90°,

二/DAE=360°-90°-90°-60°=120°,

.,.ZBAC=ZDAE=120°,

综上所述，ZBAC的度数为60。或120°,

故答案为：60。或120°.

A

B匕-------------

图1

图2

【点睛】本题考查了三角形高线的定义，四边形的内角和等知识，掌握相关定理，能分类讨论是解题关

键.

15.一个等腰三角形的周长是21,其中两边之差为6,则腰长为.

【答案】9

【分析】分底小于腰和底大于腰两种情况分别计算三角形的三边，再根据三边关系进行取舍即可.

【详解】解：(1)设底为x,则腰为(x+6),由题意得：x+2(x+6)=21,

解得：x=3,

当x=3时，x+6=9,此时等腰三角形的三边为：3,9,9；

(2)设底为X,则腰为(x-6),由题意得：

x+2(x-6)=21,

解得：x=ll,

当x=11时，x-6=5,

11,5,5不能构成三角形，不符合题意；

因此，腰为9,

故答案为：9.

【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，三角形的三边关系，根据题意分类讨论，并对答案根据三边关系

进行分析取舍是解题关键.

16.南宋数学家杨辉在研究(a+b)11展开式各项的系数时，采用了特殊到一般的方法，他将(a+b)。，(a+b)1,

(a+b)2,(a+b>,…，展开后各项的系数画成如图所示的三角阵，在数学上称之为杨辉三角.已知(a+b)o=

1,(a+b)1=a+b,(a+b)2=a2+2ab+b2,(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3.按杨辉三角写出(a+b"的展开式是

1

11

121

1331

【答案】a5+5a4b+1Oa3b2+10a2b3+5ab4+b5

【分析】根据杨辉三角确定出展开项系数，写出展开式即可.

【详解】根据题意得：(a+b)5=a5^-5ci4h+1Oa3h2+10a2h3-^5ah4^-h5.

故答案为：a5+5a4b+1Oa^b2+1Oa2b3+5ab4+b5.

【点睛】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键.

三、解答题(共52分)

17.计算

(1)(-a)3*a2+(-2a4)2-?a3

(2)20192-2018X2020+(%-3.14)°-1-g

【答案】(1)3a5；(2)10.

【分析】(1)直接利用同底数事的乘除运算法则以及积的乘方运算法则分别化简得出答案；

(2)直接利用乘法公式将原式变形进而得出答案.

【详解】解：(1)-a5+4a8-^a3=-a5+4a5=3as：

(2)原式=209-(2019-1)(2019+1)+1+8

=20192-(20192-1)+9

=20192-20192+1+9

=10.

【点睛】本题考查了整式的乘法运算，平方差公式，0指数幕，负整数指数幕等知识，熟知相关运算法则

是解题关键.

18.先化简，再求值：［(2x-y)2-(3x+y)(3x-y)+5x2F(-2y),其中x=-g,y=l.

【答案】-y+2x,-2

【分析】先根据整式的运算法则进行化简，然后将x与y的值代入原式即可求出答案.

【详解】解：原式=(4x2-4xy+y2-9x2+y24-5x2);(-2y)

=(2y2-4xy)=(-2y)

=-y+2x,

当x=-g,y=l时，

原式=-l+2x(--)

2

=-1-1

=-2.

【点睛】本题考查乘法公式的混合运算，熟记完全平方公式和平方差公式是解题的关键，需要注意把乘法公

式的结果用括号括起来.

19.如图，在四边形ABCD中，AB//CD,E为BC延长线上一点，AE交CD于点F,N1=N2,N3=

Z4,试说明AD〃BE.

证明：VZ3=Z4()

且/4=/AFD()

，N3=NAFD

在△ABC中，Z1+ZB+Z3=18O°

在4ADF中，=180°

VZ1=Z2,N3=NAFD

AZB=ZD()

VAB//CD

，NB=NDCE()

，(等量代换)

AAD//BE()

【答案】已知：对顶角相等；Z2+ZD+ZAFD；等式的性质；两直线平行，同位角相等：等量代换；内错

角相等，两直线平行.

【分析】利用平行线的性质定理和判定定理进行解答即可.

【详解】证明：：/3=N4（己知）

且/4=NAFD（对顶角相等）

.♦.N3=NAFD,

在△ABC中，Z1+ZB+Z3=18O°,

在AADF中，Z2+ZD+ZAFD=180°,

VZ1=Z2,N3=NAFD,

.♦./B=ND（等式的性质），

VAB//CD,

.♦.NB=NDCE（两直线平行，同位角相等）

/.ZD-ZDCE（等量代换），

/.AD//BE（内错角相等，两直线平行）.

故答案为：已知；对顶角相等：Z2+ZD+ZAFD；等式的性质；两直线平行，同位角相等；等量代换；内

错角相等，两直线平行.

【点睛】本题考查平行线的性质以及判定定理，熟练掌握相关定理是解决此题的关键.

20.如图，在AABC中，点D在边BC上，点G在边AB上，点E、F在边AC上，NAGF=NABC=

70°,Z1+Z2=1800.

（1）试判断BF与DE的位置关系，并说明理由；

（2）若DEJ_AC,N2=150。，求NA的度数.

3

B

G

【答案】（1）DE〃BF,理由见解析；（2）ZA=50°.

【分析】（1）依据FG〃CB,即可得出Nl=/3,再根据Nl+N2=180。，即可得到N2+/3=180。，进而

判定DE〃BF.

（2）依据三角形外角性质以及三角形内角和定理，即可得到NA的度数.

【详解】解：（1）BF与DE的位置关系为互相平行，理由：

VZAGF=ZABC=70°,

；.FG〃CB,

；.N1=N3,

又,../l+N2=180°,

.♦./2+/3=180°

，DE〃BF.

（2）VDE±AC,Z2=150%

:.NC=Z2-NCED=150°-90°=60°,

又,.•/ABC=70°,

r.ZA=1800-ZABC-ZC=I8O°-70°-60°=50°.

【点睛】此题主要考查平行线的判定和性质、三角形的内角和定理、三角形的外角性质，熟练进行逻辑推

理是解题关键.

21.如图，某市修建了一个大正方形休闲场所，在大正方形内规划了一个正方形活动区，连接绿地到大正

方形四边的笔直小路如图所示.已知大正方形休闲场所的边长为6a米，四条小路的长与宽都为b米和2

2

米.阴影区域铺设草坪，草坪的造价为每平米30元.

（1）用含a、b的代数式表示草坪（阴影）面积并化简.

（2）若a=10,b=5,计算草坪的造价.

【答案】(I)24ab-6b2；(2)31500元.

【分析】(1)根据已知条件，用大正方形的面积减去4个长方形的面积再减去中间小正方形的面积即可

求解.

(2)把a=10,b=5及草坪的造价为每平米30元代入代数式即可求解.

【详解】解：(1)•••阴影部分的面积为：大正方形的面积减去4个长方形的面积再减去中间小正方形的

面积，

.,.草坪(阴影)面积为:6ax6a-4xbx—xb-(6a-2b)2=24ab-6b2.

2

(2)当a=10,b=5时，

草坪的造价为：(24x10x5-6x52)x30=31500(元).

【点睛】本题考查了整式的应用和求整式的值，根据题意正确列出整式是解题的关键.

22.在△ABC中，ZB,NC均为锐角且不相等，线段AD,AE分别是△ABC中BC边上的高和△ABC

的角平分线.

(1)如图1,NB=70。,NC=30。，则NDAE的度数.

(2)若NB=a,ZDAE=10°,则/C=

(3)F是射线AE上一动点，G、H分别为线段AB,BE上的点(不与端点重合)，将△ABC沿着GH折

叠，使点B落到点F处，如图2所示，其中N1=/AGF,N2=/EHF,请直接写出Nl,N2与NB的数

量关系.

图1图2

【答案】(1)/DAE=20°；(2)a-20°；(3)Z1+Z2=2ZB

【分析】(1)三角形根据三角形内角和定理求出NBAC,再由角平分线性质求得/BAE,再根据三角形

的高和直角三角形的性质求得/BAD,进而由角的和差关系求得结果；

(2)根据直角三角形的性质求得/BAD,再由角的和差关系求得/BAE,由角平分线的定义求得

ZBAC,最后根据三角形内角和定理求得结果；

(3)根据邻补角性质和角平分线定义用Nl、N2分别表示NBGH和/BHG,再由三角形内角和定理得结

果.

【详解】

解:(1)VZB=70°,ZC=30°,

:.ZBAC=180°-70°-30°=80°,

,.•AE平分NBAC,

二ZBAE=40°,

VAD是4ABC的高，

.".ZADB=90°,

ZBAD=90°-ZB=20°,

ZDAE=ZBAE-ZBAD=40°-20°=20°：

(2)：NB=a,/ADB=90。，

，ZBAD=90°-a,

VZDAE=10°,

AZBAE=ZBAD+ZDAE=100°-a,

VAE平分NBAC,

，NBAC=2O0°-2a,

.♦.NC=180°-ZB-ZBAC=1800-a-200O+2a=a-20°,

故答案为:a-20。；

(3)Z1+Z2=2ZB.

理由：由折叠知，ZBGH=-ZBGF,ZBHG=-ZBHF,

22

VZBGF=180°-Zl,ZBHF=180°-Z2,

AZBGH=90°-—Zl,ZBHG=90°--Z2,

22

1八1八

AZB=180°-ZBGH-ZBHG=-Z1+-Z2,

22

即N1+N2=2NB.

【点睛】本题考查三角形内角和、邻角补角性质、角平分线、高线、直角三角形相关性质以及折叠图形的

特点，熟练掌握相关知识点并运用是解决此题的关键.

23.对于一个平面图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个关于整式乘法的等式.例如：

计算左图的面积可以得到等式(a+b)(a+2b)=〃+3必+2炉.

请解答下列问题：

(1)观察如图，写出所表示的等式：=；

(2)已知上述等式中的三个字母a,b,c可取任意实数，若a=7x-5,b=-4x+2,c=-3x+4,且

6f2+fe2+c2=37,请利用(1)所得的结论求a0+bc+4c的值

bc

图1abc

图2

【答案】(1)2,M2+c2+2ab+2hc+2ac；(2)-18.

【分析】(1)从图形的面积可分析出式子；(2)根据2ab+2bc+2ac=(a+b+c)2-(4?+按+/),代入可

得结果.

【详解】(1)由图形可得等式：(a+0+c)2=〃2+按+/+2〃。+