第四章高数何满喜4.6定积分的应用选编课件

高等数学由杨艳制作第四章一元积分学高等数学由杨艳制作第四章一元积分学4.6定积分的应用4.6.1微元法4.6.2定积分在几何中的应用*4.6.3定积分在物理中的应用*4.6.4定积分在经济中的应用4.6.5小结4.6定积分的应用4.6.1微元法4.6.2定积分在几回顾曲边梯形求面积的问题abxyo4.6.1微元法回顾曲边梯形求面积的问题abxyo4.6.1微元法解决步骤:1)大化小.在区间[a,b]

中任意插入

n–1

个.用直线将曲边梯形分成n

个小曲边梯形;2)常代变.在第i

个窄曲边梯形上任取作以为底,为高的小矩形,并以此小梯形面积近似代替相应窄曲边梯形面积得分点解决步骤:1)大化小.在区间[a,b]中任意插入3)近似和.4)取极限.令则曲边梯形面积3)近似和.4)取极限.令则曲边梯形面积分析：在上述问题注意到:所求量(即面积)A满足：1.与区间[a,b]及[a,b]上连续函数f(x)有关;2.对[a,b]具有可加性，即3.局部量，且误差为.分析：在上述问题注意到:所求量(即面积)A满足：1.与区间表示为什么问题可以用定积分解决?1)所求量

F是与区间[a,b]上的某分布f(x)有关2)F在区间[a,b]上具有可加性,即可通过“大化小,常代变,近似和,取极限”定积分定义的一个整体量；表示为什么问题可以用定积分解决?1)所求量F是与区间如何应用定积分解决问题?第一步利用“化整为零,以常代变”求出微分表达式第二步利用“积零为整,无限累加”求出积分表达式这种分析方法成为微元分析法，简称微元法.整体量的精确值局部量的近似值如何应用定积分解决问题?第一步利用“化整为零,以常代变第四章高数何满喜4直角坐标系下求平面图形面积4.6.2定积分在几何中的应用4.6.2.1平面图形的面积（演示）1.由x=a,x=b,y=0

及y=f(x)(f(x)>0)所围成的平面图形的面积为2.由x=a,x=b,y=0

及y=f(x)所围成的平面图形的面积为直角坐标系下求平面图形面积4.6.2定积分在几何中的应用4X型平面图形Y型平面图形定理1

若函数f(x)和g(x)在[a,b]上连续且总有，则由两条连续曲线y=f(x),y=g(x)与两条直线x=a,x=b所围成的X型平面图形的面积为：X型平面图形Y型平面图形定理1若函数f(x)和g(x)在[定理2

若函数f(x)和g(x)在[a,b]上连续，则由两条连续曲线y=f(x),y=g(x)与两条直线x=a,x=b所围成的X型平面图形的面积为：定理3

若函数

、在[c,d]上连续，图形的面积为：与两条直线y=c,y=d所围成的Y型平面，则由两条连续曲线且总有定理2若函数f(x)和g(x)在[a,b]上连续，则由两条定理4

若函数

、在[c,d]上连续，线y=c,y=d所围成的Y型平面图形的面积为：则由两条连续曲线、与两条直例1求由曲线以及直线所围的平面图形的面积.解：这是一个Y型平面图形，可解得曲线的交点为：(1,-1)，(4,2)定理4若函数、例2求由曲线以及所围的平面图形的面积.解：这是一个X型平面图形，可解得曲线的交点为：(1,-1)，(0,0),(2,4)例2求由曲线以及极坐标系下求平面图形面积及射线围成，则面积为：定理5

设一平面图形由连续曲线极坐标系下求平面图形面积及射线例3求与内的公共部分的面积．解由对称性，只需求出上半部分的面积．极坐标系下两曲线的方程分别为

交点坐标为：．例3求与内的公共部分的面积．解由对称性，只需求出上半部例4求圆与双扭线围成的图形的面积．

交点为：，

由对称性可得：．解例4求圆与双扭线围成的图形的面积．交点为：参数方程形式下求平面图形面积定理6

设一平面图形的边界方程为且、可导，则该平面图形的面积为：

例5求椭圆所围成的面积．参数方程形式下求平面图形面积定理6设一平面图形的边界方程为平行截面面积已知的体积计算4.6.2.2空间几何图形的体积定理7

设有一空间几何体，该立体位于平面x=a和x=b之间.已知垂直x轴的截面面积函数为A(x)，且A(x)在[a,b]上连续，则该几何体的体积为平行截面面积已知的体积计算4.6.2.2空间几何图形的体积解由已知，取底圆的一条直径为x轴，在底圆则该底圆．例6已知一几何体的底面是以5为半径的圆，用垂直于底圆的平面去截该几何体，截得的截面是等边三角形，求该几何体的体积．上取一条垂直于x轴的直径作为y轴，的方程为.在[-5,5]之间任取一点x，过该点的截面面积为解由已知，取底圆的一条直径为x轴，在底圆则该底圆．例6第四章高数何满喜4第四章高数何满喜4第四章高数何满喜4第四章高数何满喜4

由平面图形D绕定直线l旋转一周生成的几何形体称为旋转体，定直线称为旋转轴．示例：圆锥、圆柱、圆台、等都是旋转体.旋转体的体积计算（演示1）（演示）（演示2）推论1

连续曲线y=f(x)与直线x=a,x=b及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周生成的旋转体体积为（演示）由平面图形D绕定直线l旋转一周生成的几何形体称为旋转第四章高数何满喜4围成的曲边梯形绕y轴旋转一周生成的旋转体体积为推论2

连续曲线

与直线y=c,y=d及y轴所（演示）例7求由曲线与直线以及x轴所围成的图形分别绕x轴、y轴旋转所成的立体的体积.解绕x轴旋转所得立体的体积为围成的曲边梯形绕y轴旋转一周生成的旋转体体积为推论2连续绕y轴旋转所得立体的体积为绕y轴旋转所得立体的体积为4.6.2.3平面曲线的弧长4.6.2.3平面曲线的弧长直角坐标系下求曲线的弧长定理8

设y=f(x)在[a,b]上存在连续导数，则该函数在[a,b]上的曲线弧长为例8求对数曲线y=lnx在区间[1,3]上的弧长.解直角坐标系下求曲线的弧长定理8设y=f(x)在[a,b]参数方程形式下求曲线的弧长

定理9

设,在上存在连续导数，则曲线()的弧长为例9求旋轮线一拱()的弧长.参数方程形式下求曲线的弧长定理9设极坐标系下求曲线的弧长

定理10

设是的连续可导函数,则曲线的弧长为例10求阿基米德螺线的弧长.解极坐标系下求曲线的弧长定理10设4.6.3.1质心*4.6.3定积分在物理中的应用

现有一均匀薄片,由曲线,，

及直线x=a,a=b所围成，且.薄片的面密度为常数，则其质心为4.6.3.1质心*4.6.3定积分在物理中的应用例11求密度均匀的直角三角形薄片的质心．取坐标系如图所示直线AB的方程为解故质心坐标为例11求密度均匀的直角三角形薄片的质心．取坐标系如图所示直4.6.3.2变力做功

如果物体在运动过程中所受的力是变化的，之间满足y=F(x)，则此力将物体从x=a移动到x=b所做的功为设做直线运动的物体所受的力与移动的距离x例12用铁锤将铁钉击入木板．设木板对铁钉的阻力与铁钉击入木板的深度成正比，在击第一次时，将铁钉击入木板1cm，如果铁锤每次打击铁钉所作的功相等，问锤击第二次时，铁钉又击入多少？4.6.3.2变力做功如果物体在运动过程中所受的力4.6.3.3液体静压力例13设半径为R，的圆形水闸门与水面垂直置于水中，水面与闸顶齐，求闸门所受的总压力．4.6.3.4引力例14设有一长度为l，质量为M的均匀细直棒，另有一质量为m的质点与细直棒在同一条直线上，它到细直棒的近端距离为a，试计算该棒对质点的引力．4.6.3.3液体静压力例13设半径为R，的圆形水闸门与水*4.6.4定积分在经济中的应用例15设某货物去年各月的存货量可用下式表达其中t表示月份，I(t)表示在t月份的存货量.试求去年第二季度平均存货量（单位：吨）．例16某公司每个月生产x台电视机，边际利润（以美元为单位）由下式给出：目前公司每月生产1500台电视机，并计划提高

产量，试求出每月生产1600台电视机时，利润增加了多少？*4.6.4定积分在经济中的应用例15设某货物去年各月的1.微元法的提出、思想、步骤.（注意微元法的本质）4.6.5小结2.定积分在几何中的应用平面图形的面积边界方程极坐标方程直角坐标方程参数方程已知平行截面面积函数A(x)的立体体积旋转体的体积绕

x

轴:绕

y

轴:1.微元法的提出、思想、步骤.（注意微元法的本质）4.6.5平面曲线的弧长曲线方程参数方程方程极坐标方程弧微分:直角坐标方程注意:

求弧长时积分上下限必须上大下小3.定积分在物理中的应用质心变力做的功液体静压力