江苏省专转本统一考试高等数学复习资料总纲(简略版)

高等数学复习提纲极限（一）极限七大题型题型一（）要求:A:达到口算水平；B:过程即“除大”。题型二0结果：将a带入分子=00结果：将a带入分子=0=0“=0“0/0型”用洛比达法则继续计算求值将a带入分母00直接带入a求出结果就是要求的值题型三（进入考场的主要战场）注：应首先识别类型是否为为“”型！公式：口诀：得1得+得内框，内框一翻就是。（三步曲）题型四：等价无穷小替换（特别注意：）（1）A:同阶无穷小：；B:等价无穷小：；C:高阶无穷小：.注意：（2）常用等价替换公式：147**2536特别补充：（3）等价替换的的性质：1）自反性：2）对称性：3）传递性：（4）替换原则：A:非0常数乘除可以直接带入计算；B:乘除可换，加减忌换（5）另外经常使用：进行等价替换题型五有界：（）识别不存在但有界的函数：题型六：洛必达法则（极限题型六），见导数应用：洛必达法则题型七：洛必达法则（极限题型七），定积分，见上限变限积分题型三&题型四的综合（二）极限的应用1、单侧极限（1）极限存在条件左左右右（2）极限的连续性（3）间断点及分类（★难点）把握两个问题：第一，如何找间断点；第二，间断点分类（难）。A:间断点：定义域不能取值的内点B:间断点分类Ⅰ类可去Ⅱ类Ⅰ类跳跃A,Ⅰ类可去,Ⅱ类不存在，不能分类，求左右极限导数（坚守的阵地）导数定义定义一1、“陡”、“平”的形象叙述;2、;3、;4、.拓展：注意：1）分段点求导，永远用定义！2）有连续性条件时可直接带入定义二导数常用公式17234586导数运算1、乘法运算：九字诀号变号则用则层间乘2、除法运算：复合函数求导（核心内容★★★）层次分析（如右“九字诀”,由外向内，“遇则则止”）所谓的“则”是＋、-、×、÷2、几点性质：（1）公式，推广为：（2）形如：利用公式等价替换（3）奇偶性:①②高阶导数1324微分基本知识注意求的时候要加“”.参数方程求导（考试重点）参数方程、隐函数、变限积分、变限二重积分标准形式：t为中间变量标准形式：t为中间变量公式：符号型求导隐函数求导（必考）题目一般形式是:对数法求导巧用对数的性质，变形式子导数的应用切线与法线切线斜率就是在该点的导数值法线斜率×切线斜率=-1；洛必达法则（极限题型六）（★）注意：等价无穷小，乘除可换，加减忌换洛必达法则可重复使用注意：等价无穷小，乘除可换，加减忌换洛必达法则可重复使用条件：1.条件：1.；2.后有则前有函数的单调性与极值、凹凸性、拐点1）“峰”——极大值；“谷”——极小值；单调性与极值求解A：单调性：B：单调性交界点→极值点（判据）C:极值点可疑点（）D:渐近线2）函数凹凸性与拐点A：B:凹凸性交界点且能取值→拐点C：拐点可疑点一般求解步骤：求定义域、渐近线；计算；求的点和使不存在的点，设为；列表分析；得出结论.函数最大值、最小值比较：1）；2）端点函数的实际应用步骤：（1）合理做设，具有唯一性； （2）；（关键点所在）（3）令；（4）“八字”，唯一驻点，即为所求。多元微分学（20+）显函数一阶偏导数“求即变”“求即变”：求哪个，哪个就是变量全微分一元函数： 此时，二元函数：此时，(高)二阶偏导数主要是求，分别定义为：一定条件下，即连续时：一定条件下，即连续时：二元隐函数求导一阶：二阶直接求：符号型求导（必考）1．2.(重点★)会画关系图九字诀先找路路中乘路间加【例题】求框1框2框1框2解：（1）画关系图1√△2√△（2）“九字诀”求解不定积分★基本知识性质：基本公式★17238456求不定积分的四大方法方法一凑常数公式：配方见到一元二次方程敏感的想到配方法拆分公式：利用三角函数和差化积和积化和差公式积分方法二——固定搭配公式方法三——分布积分一般分布积分公式：关键：是什么？三角函数三角函数高高的优先级方向的优先级方向特殊方程法积分法积分时，对如下积分要特别注意：等等方法四——变量替换一次项替换如:方法：直接令.二次项替换根据下表进行相应替换：原项替换原理:根据下面两个三角变换得来的替换原理:根据下面两个三角变换得来的1.2.定积分定积分计算1.N-L公式（牛顿-莱布尼兹公式）主要思想是利用积分方法进行积分，然后“出来代值”计算；2.变换——变限定积分性质1.（1）（2）2.3.更名：4.拆分：积分性质的运用：分段函数的定积分函绝对值积分三角函数积分（实质是判断三角函数符号进行拆分积分运算）5.若则★这一性质十分重要，特别是见到对称限时要想到这一性质。6.变限积分涉及到求极限七大题型的最后一种题型，即题型七（1）★记住：与没有关系推广：上限带入乘上限求导下限带入乘下限求导(2)洛必达法则（极限题型七）7广义积分三种形式：（1）；（2）；（3）.解：定义：原式=A（有限）收敛发散定积分应用一般出现在综合题的最后一题，题型仅有两种：第一，求面积；第二求旋转体体积（绕）面积（1）“左右型”**（2）“上下型”*旋转体体积（1）“坐在轴上”微元法推导：绕微元法推导：绕轴：公式1：“墩”；绕轴：公式2：“城墙”。（2）“坐在轴上”微元法推导：绕微元法推导：绕轴：公式1：“城墙”；绕轴：公式2：“墩”。二重积分累次积分公式：二重积分的计算直角坐标系的几何意义：二重积分改变次序记住一些不能正序积分的函数：思路:原累次积分二重积分新累次积分极坐标主要是圆的思想，注意画图，特别注意上限和下限！Jacobi因子Jacobi因子常微分方程（ODE）分离变量法标准型注意：化简之即：注意：化简之即：①-C②步骤：①变化型核心：令一阶线性ODE（重点）1.标准型：，关键是找到、；一次无+号一次无+号2.常数变量法：做题步骤：注意：积分不要加C;，不要“||”注意：积分不要加C;，不要“||”符号。，计算，；带入公式.三大题型题型1：贝努里方程（Bernoulli）→，即题型2：积分方程特定条件【例题】解：令，则原式即为：整理之：=…题型3：二阶线性ODE齐次方程（）特性方程即：（补充：），为互异实根，，非齐次方程标准型：关键是读参数：求解过程：=1）解出2)读参数.可设特解方程：AB代入3）【例题】解：①=0，即②=（）（草稿纸上做）=（草稿纸上做）将=0，解出系数③级数定义S有限收敛发散1.2.3.收敛的必要条件N第一部分判别图N发散Y发散Y比值判别法>1发散<1收敛=1失效根式判别法>1发散<1收敛=1失效比较判别法p>1收敛P≤1发散莱布尼兹法则1.交错2.3.第二部分交错级数莱布尼兹法则发散收敛（2）绝对收敛与条件收敛的判别发散绝对收敛条件收敛注：1）2）识别过程：（3）级数的几点性质第三部分幂级数1.收敛域和收敛半径级数对称性：1.一收朝里皆收；2.一发朝外均发。级数对称性：1.一收朝里皆收；2.一发朝外均发。收敛半径：R;公式：收敛区间（收敛域）如将2.幂级数的展开1）公式1：2）公式2：；3）逐项微分，逐项积分注：不改变收敛区间，改变端点注：不改变收敛区间，改变端点空间解析几何矢量运算矢量的内积（1）（2）内积：(3)矢量的叉积+-+O（1）O（2）（3）平面方程1.点法式：例如：2.直线标准型(点斜式)证明题综述（18+）介值定理（零点定理）定理条件：（1）（2）注意：1.2.1.2.解题要点：A：是什么？B:是什么？3.解答过程要规范，工整.罗尔定理（Roller）定理条件：（1）（2）（3）题型解释：1.一般是证明“必有一个正根或负根”解题步骤：A:利用介值定理证明根的存在性； B:利用反证法，证明根的唯一性。2.证明某表达式的零点在什么之间例如：（1）证明（2）证明在f(x)两零点之间存在，使得对于这种题型的解答，注