线性变换和矩阵(完整版)实用资料

线性变换和矩阵（完整版）实用资料(可以直接使用，可编辑完整版实用资料，欢迎下载）

7．3线性变换和矩阵线性变换和矩阵（完整版）实用资料(可以直接使用，可编辑完整版实用资料，欢迎下载）教学目的：熟练地求出线性变换关于给定基的矩阵A，以及n阶矩阵A和基，求出关于这个基的矩阵为A的线性变换。由向量关于给定基的坐标，求出关于这个基的坐标。已知线性变换关于某个基的矩阵，熟练地求出关于另一个基的矩阵。教学内容：线性变换的矩阵现在设V是数域F上一个n维向量空间.令是V的一个线性变换.取定一个基,,,.考虑V中任意一个向量仍是V的一个向量.设自然要问,如何计算的坐标.令(2)……………这里,i,j=1,…,n,就是关于基的坐标.令……A=………n阶矩阵A叫做线性变换关于基的矩阵.矩阵A的第j列元素就是这样,取定F上n维向量空间V的一个基之后,对于V的每一个线性变换,有唯一确定的F上n阶矩阵与它对应.为了计算关于基的坐标,我们把等式(2)写成矩阵形式的等式(3)=.设=因为是线性变换,所以(4)=将(3)代入(4)得A最后等式表明,关于的坐标所组成的列是A比较等式(1),我们得到定理7.3.1令V是数域F上一个n维向量空间,是V的一个线性变换,而关于V的一个基的矩阵是.如果V中向量关于这个基的坐标是,而的坐标是,那么(5)在空间内取从原点引出的两个彼此正交的单位向量作为的基.令是将的每一向量旋转角的一个旋转.是的一个线性变换.我们有所以关于基的矩阵是设,它关于基的坐标是,而的坐标是.那么令V是数域F上一个n维向量空间。是V的一个位似。那么关于V的任意基的矩阵是2、线性变换的性质：引理7.3.2设V是数域F上一个n维向量空间，是V的一个基。那么对于V中任意n个向量，恰有V的一个线性变换，使得证设是V中任意向量。我们如下地定义V到自身的一个映射：我们证明，是V的一个线性变换。设那么于是设，那么这就证明了是V的一个线性变换。线性变换显然满足定理所要求的条件：如果是V的一个线性变换，且那么对于任意，从而定理7.3.3设V是数域F上一个n维向量空间，是V的一个基。对于V的每一线性变换，令关于基的矩阵A与它对应。这样就得到V的全体线性变换所成的集合到F上全体n阶矩阵所成的集合的一个双射。并且如果，而那么（6）（7）证设线性变换关于基的矩阵是A。那么是到的一个映射。反过来，设是F上任意一个n阶矩阵。令由引理7.3.2，存在唯一的使显然关于基的矩阵就是A。这就证明了如上建立的映射是到的双射。设。我们有==由于是线性变换，所以因此=A=所以关于基的矩阵就是AB。（7）式成立。至于（6）式成立，是显然的。这个定理说明，作为F上的向量空间与同构。由（7），我们说，这个同构映射保持乘法。由此进一步得到设数域F上

n维向量空间V的一个线性变换关于V的一个取定的基的矩阵是A。那么可逆必要且只要A可逆，并且关于这个基的矩阵就是证设可逆。令关于所取定的基的矩阵是B。由（7），然而单位变换关于任意基的矩阵都是单位矩阵I。所以AB=I。同理BA=I。所以B=反过来，设，而A可逆。由定理7.3.3，有使。于是注意到（5），可看出=l。同理。所以有逆，而=3.一个线性变换关于两个基的矩阵的关系：设V是数域F上一个n维向量空间。是的V一个线性变换。假设关于V的两个基和的矩阵分别是A和B。即=，=令T是由基到基的过渡矩阵：=于是====因此（8）等式（8）说明了一个线性变换关于两个基的矩阵的关系。设A，B是数域F上两个n阶矩阵。如果存在F上一个n阶可逆矩阵T使等式（8）成立，那么就说B和A相似，并且记作A~Bn阶矩阵的相似关系具有下列性质：1自反性：每一个n阶矩阵A都与它自己相似，因为A=2对称性：如果A~B，那么B~A因为由得3传递性：如果A~B且B~C，那么A~C反过来，设A和B是数域F上两个相似的n阶矩阵。那么由定理7.3.3，存在F上n维向量空间V的一个线性变换，它关于V的一个基的矩阵就是A。于是=因为B与A相似,所以存在一个可逆的矩阵T,使得令=那么由定理6.5.3，也是V的一个基。容易看出，关于这个基的矩阵就是B。因此，相似的矩阵可以看成一个线性变换关于两个基的矩阵。下令等式成立:第三章矩阵的初等变换和线性方程组第一节矩阵的初等变换一、消元法解线性方程组引例解线性方程组⎧2x1−x2−x3+x4=2,(1)⎪x+x−2x+x=4,(2)⎪1234①⎨⎪4x1−6x2+2x3−2x4=4,(3)⎪⎩3x1+6x2−9x3+7x4=9.(4)⎧x1+x2−2x3+x4=4,(1)⎪2x−x−x+x=2,(2)⎪1234(1)↔(2)解：①⎯⎯⎯⎯→⎨(3)÷2232,(3)x−x+x−x=234⎪1⎪⎩3x1+6x2−9x3+7x4=9.(4)⎧x1+x2−2x3+x4=4,(1)⎪0x+2x−2x+2x=0,(2)⎪1234(2)−(3),(3)−2(1)⎯⎯⎯⎯⎯→⎨(4)−3(1)⎪0x1−5x2+5x3−3x4=−6,(3)⎪⎩0x1+3x2−3x3+4x4=−3.(4)⎧x1+x2−2x3+x4=4,(1)⎪0x+x−x+x=0,(2)⎪1234(2)÷2,(3)+5(2)⎯⎯⎯⎯⎯→⎨(4)−3(2)⎪0x1+0x2+0x3+2x4=−6,(3)⎪⎩0x1+0x2+0x3+x4=−3.(4)⎧x1+x2−2x3+x4=4,(1)⎪0x+x−x+x=0,(2)⎪1234(3)↔(4)⎯⎯⎯⎯→⎨(4)−2(3)⎪0x1+0x2+0x3+x4=−3,(3)⎪⎩0x1+0x2+0x3+0x4=0.(4)⎧x1+0x2−x3+0x4=4,(1)⎪0x+x−x+0x=3,(2)⎪1234(1)↔(2)②⎯⎯⎯⎯→⎨(2)−(3)+++=−0003,(3)xxxx234⎪1⎪⎩0x1+0x2+0x3+0x4=0.(4)方程组②是4个未知量3个有效方程的方程组，应有一个自由未知量，由于方程组②呈阶梯形，可把每个台阶的第一个未知量（即x1,x2,x4）选为非自由未知量，剩下的x3选为自由未知量。这样，就只需用“回代”的方法便能求出解：由②中（3）得x4=−3代人（2），得x2=x3+3；以x4=−3，x2=x3+3代人（1），得x1=x3+4。于是解得⎧x1−x3=4,⎧x1=x3+4,⎪⎪⎨x2−x3=3,⎨x2=x3+3,⎪x=−3.⎪x=−3.⎩4⎩4⎛x1⎞⎛c+4⎞⎜⎟⎜⎟x+3c2⎟，即其中x3可任意取值。或令x3=c，方程组的解可记作x=⎜⎟=⎜⎜x3⎟⎜c⎟⎜⎟⎜⎟x−3⎠⎝4⎠⎝⎛1⎞⎛4⎞⎜⎟⎜⎟1⎟⎜3⎟⎜x=c+，其中c为任意常数。⎜1⎟⎜0⎟⎜⎟⎜⎟⎝0⎠⎝−3⎠注1、在消元过程中，始终把方程组看做一个整体，着眼于整个方程组变成另一个方程组，其中对方程组施行了三种变换：1)交换两个方程的位置；2）用一个不为零的数乘某一个方程；3）用一个数乘某个方程后加到另一个方程上。称这三种变换为线性方程组的初等变换。由于这三种变换都是可逆的，因此，变换前后的方程组是同解的。2、在上述变化过程中，实际上，只对方程组的系数与常数进行运算，未知量并未参加运算。因此，若记⎛2−1−11⎜11−21B=(Ab)⎜⎜4−62−2⎜⎝36−972⎞⎟4⎟4⎟⎟9⎠那么上述对方程组的变换完全可以转换为对矩阵B的变换。把方程组的上述三种初等变换移植到矩阵上，可得矩阵的三种初等变换。二、矩阵的初等变换定义1下面三种变换称为矩阵的初等行变换：1）对调两行称为互换（对调i,j两行，记作ri↔rj）；2)以数k≠0乘以某一行中的所有元素称为倍乘（第i行乘k，记作ri×k）；3)把某一行所有元素的k倍加到另一行对应的元素上去称。为倍加（第j行的k倍加到第i行，记作ri+krj）把定义中的“行”换成“列”，即得矩阵的初等列变换的定义（所用记号是把“r”换成“c”）。矩阵的初等行变换与初等列变换，统称为矩阵的初等变换。注矩阵的初等变换都是可逆的，且其逆变换是同一类型的初等变换。矩阵等价1)定义2若矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B，就称矩阵A与B等价，记作A∼B。2)等价关系的性质反身性A∼A；对称性若A∼B则B∼A；传递性若A∼B,B∼C，则A∼C。用矩阵的行初等变换解方程组显然对一个线性方程组施行一个初等变换，相当于对它的增广矩阵施行一个对应的初等行变换。按此观点可把方程组①用消元法到②的过程翻译成对①的增广矩阵施行初等行变换的过程如下：（注：其过程可与消元法过程一一对照）⎛2−1−11⎜11−21以上例为例B=⎜⎜4−62−2⎜⎝36−972⎞⎛11−21⎟⎜4⎟r1↔r2⎜2−1−11⎯⎯⎯→r3÷2⎜2−31−14⎟⎜⎟9⎠⎝36−974⎞⎟2⎟=B12⎟⎟9⎠⎛11−214⎞⎜⎟02220−r2−r3,r3−2r1⎟=B⎯⎯⎯⎯→⎜2r4−3r1⎜0−55−3−6⎟⎜⎟03343−−⎝⎠⎛1⎜0r2÷2,r3+5r2⎜⎯⎯⎯⎯→r4−3r2⎜0⎜⎝0⎛1⎜0r1−r2⎜⎯⎯⎯→r2−r3⎜0⎜⎝01−214⎞⎛1⎟⎜1−110⎟0r3↔r4⎜=B3⎯⎯⎯→r4−2r3⎜0002−6⎟⎟⎜001−3⎠⎝01−214⎞⎟1−110⎟=B4001−3⎟⎟0000⎠0−11−1000004⎞⎧x1−x3=4,⎟03⎟⎪=B5B5对应的方程组为⎨x2−x3=3,1−3⎟⎪x=−3.⎟⎩400⎠⎛x1⎞⎛c+4⎞⎛1⎞⎛4⎞⎜⎟⎜⎜⎟⎜⎟⎟x+c3⎟，即x=c⎜1⎟+⎜3⎟，其中取x3为自由变量，并令x3＝c，即得x=⎜2⎟=⎜⎜x3⎟⎜c⎟⎜1⎟⎜0⎟⎜⎟⎜⎜⎟⎜⎟⎟x−3⎠⎝0⎠⎝−3⎠⎝4⎠⎝c为任意常数。注1）一个矩阵与施行初等变换后所得的矩阵一般不相等，所以不能用等号来连接，而是用箭头来连接。2）B4,B5称为行阶梯形矩阵，其特点为：可画出一条阶梯线，线的下方全为零；每一个台阶只有一行，台阶数既是非零行的行数，阶梯线的竖线（每段竖线的长度为一行）后面的第一个元素为非零元，也就是非零行的第一个非零元。3)B5还称为行最简形矩阵，其特点是：非零行的第一个非零元为1，且这些非零元所在的列的其他元素都为零。4)用归纳法可证明，任何矩阵A＝(aij)m×n总可经过有限次的初等行变换把它变为行阶梯形和行最简形阵，即若aij不全为零。通过初等行变换能把A化为如下行最简形：⎛1⎜⎜0⎜⎜⎜0⎜0⎜⎜⎜0⎝00...0c1,r+1...c1n⎞⎟10...0c2,r+1...c2n⎟⎟⎟00...1cr,r+1...crn⎟。从解线性方程组的角度看，这就是说m个00...00...0⎟⎟⎟00...00...0⎟⎠线性方程，可化简为r个线性方程来求解。至此产生这样一个问题：r这个数是由原线性方程组所唯一确定，还是随着不同的初等变换过程而变化的？在下一节引入一个概念后可解决此问题。其实行最简形矩阵是由方程组唯一确定的；行阶梯形矩阵的行数也是由方程组唯一确定的。3)对行最简形矩阵再施以初等列变换，可变为一种形状如下的标准形：⎛ErA∼⎜⎝00⎞⎟，其特点为：左上角是一个单位矩阵，其余元素全全为零。标0⎠m×n0−11−1000004⎞⎛10⎜⎟03⎟c3↔c4,c4+c1+c2⎜01⎯⎯⎯⎯⎯→c5−4c1−3c2+3c3⎜00⎟1−3⎜⎟00⎠⎝0001000000⎞⎟0⎟＝F。⎟0⎟0⎠准形由m，n，r三个数唯一确定，其中r就是行阶梯形矩阵中非零行的行数。⎛1⎜0例如B5=⎜⎜0⎜⎝0这个结论可由以下定理严格证明：定理1任意一个矩阵A=(aij)的矩阵D。经过若干次初等变换，可以化为下面形式m×n⎛1⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎛Ir1D=⎜⎟=⎜0⎜⎟⎝O(m−r)×r⎜⎟⎜⎟⎜⎟0⎝⎠Or×(n−r)⎞⎟.O(m−r)×(n−r)⎠证明如所有的aij都是零，则A已是D的形式（此时r=0）；如果至少有一个元素不等于零，不妨设a11≠0（如a11=0，可以对矩阵A施以第（1）种初等变换，使左上角元素不等于零）。用−aai1乘第一行加于第i行上（i=2,…,m）,用−1ja11a11乘所得矩阵的第一列加于第j列上（j=2…n），然后以化为⎛10⎜'0a22A1=⎜⎜......⎜'⎝0am21乘第一行，于是矩阵Aa11...0⎞'⎟...a2⎛1O⎞n⎟=⎟⎟⎜...OB⎝1⎠⎟'...amn⎠如果B1=O，则A已化为D的形式，如果B1≠O，那么按上面的方法，继续下去，最后总可以化为D的形式。定义2D称为矩阵的标准形。所有与A等价的矩阵组成一个集合，称为一个等价类，标准形是这个等价类中形最简单的矩阵。4．用矩阵的行初等变换解线性方程组的步骤：1)写出增广矩阵B；2)将B用行初等变换化为行最简形F；3)写出F对应的方程组；4)写出解。三、小结1、行列式与矩阵的初等变换的、阶梯形矩阵、行最简形矩阵、矩阵等价的概念。2、用矩阵的初等变换解线性方程组的步骤。四、作业P791(3)(4)第二节初等矩阵一、概念定义3由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。据此对单位矩阵En施行三种初等变换所对应的初等矩阵分别为：⎛1⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟1⎜⎟0.........1⎜⎟⎜⎟1⎜⎟ri↔rj→1)互换En⎯⎯⎯⎯⎜⎟＝E(i,j)。(或ci↔cj)⎜⎟1⎜⎟1.........0⎜⎟⎜⎟1⎜⎟⎜⎟⎜⎟1⎝⎠i列j列⎛1⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟1⎜⎟kri→2)倍乘En⎯⎯⎯k⎜⎟=E(i(k))。(或kci)⎜⎟1⎜⎟⎟⎜⎜1⎟⎝⎠i列3)倍加⎛1⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟k1⎜⎟ri+krj→a)i≺j时En⎯⎯⎯⎯⎜⎟=E(ij(k))，(或cj+kci)⎜⎟1⎜⎟⎟⎜⎜1⎟⎝⎠i列j列⎛1⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟1⎜⎟ri+krj→b)ij时En⎯⎯⎯⎯⎜⎟=E(ij(k))。(或cj+kci)⎜⎟k...1⎜⎟⎜⎟⎜1⎟⎝⎠j列i列二、性质1、初等矩阵为可逆矩阵，且它们的逆矩阵仍为初等矩阵。具体说：1E(i,j)−1=E(i,j)E(i(k))−1=E(i(E(ij(k))−1=E(ij(−k))。k2、初等矩阵的转置仍为初等矩阵。3、初等行（列）变换可通过左（右）乘相应的初等矩阵而实现定理2设A是一个m×n矩阵，对A施行一次初等行变换相当于在A的左边乘一个相应的m阶初等矩阵；对A施行一次初等列变换相当于在A的右边乘一个相应的n阶初等矩阵。证现在证明交换A的第i行与第j行等于用Im(ij)左乘A。⎛A1⎞⎛ε1⎞⎜⎟⎜⎟A2⎜⎟⎜ε2⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟Aεi⎟i⎟⎜⎜将Am×n与Im分块为A=,I=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟A⎜j⎟⎜εj⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜A⎟⎜ε⎟⎝m⎠⎝m⎠其中Ak=(ak1ak2...akn)(k=1,2,...,m)εk=(00...1...0)(k=1,2,...,m)k列⎛ε1A⎞⎛A1⎞⎛ε1⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟εAε⎜2⎟⎜A2⎟⎜2⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟εAAj⎟εjj⎟⎜⎜⎟⎜由此可见Im(ij)⋅A恰好等于矩阵A⋅A==Im(ij)⋅A=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜εiA⎟⎜Ai⎟⎜εi⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜ε⎟⎜εA⎟⎜A⎟⎝1⎠⎝m⎠⎝m⎠第i行与第j行互相交换得到的矩阵。用类似的方法可以证明其它变换的情况。4、用初等矩阵表示可逆阵定理3方阵A可逆的充分必要条件是存在有限个初等矩阵P1,P2,...,Pl,使A=PP12...Pl。证明充分性设A=PP因初等矩阵可逆，有限个可逆矩阵的乘积仍可12...Pl，逆。故A可逆。必有性设n阶方阵A可逆，且A的标准形矩阵为D，由于D∼A，知D经有限次初等变换可化为A，即有初等矩阵P1,P2,...,Pl,，使A=P1...PsDPs+1...Pl。因⎛Er为A可逆，P,P,...,P也都可逆，故标准形矩阵D可逆。假设D=⎜12l⎝OO⎞⎟中O⎠n×n则D=0，与D可逆矛盾，因此必有r=n，即D＝E，从而A=PP的r≺n，12...Pl。上述证明显示：可逆矩阵的标准形矩阵是单位阵。其实可逆矩阵的行最简形矩阵也是单位阵，即有推论1方阵A可逆的充分必要条件是A∼E。证因A可逆的充分必要条件是A为有限个初等矩阵的乘积，即A=p1p2...pl亦即A=p1p2...plE上式表明E经有限次初等变换可变为A，即A∼E。推论2m×n矩阵A与B等价的充分必要条件是存在m阶可逆矩阵P及n阶可逆矩阵Q，使PAQ=B。三、初等矩阵的应用1、利用初等行变换求可逆矩阵的逆阵的方法：设A≠0,则存在有限个初等矩阵P1,P2,...,Pl使A=p1p2...pl，即有。（1）、(2)两式pl−1pl−−11...p1−1A=E(1)，两边右乘A−1得pl−1pl−−11...p1−1E=A−1（2）表明：如施行若干个初等行变换将可逆矩阵A化为单位矩阵，则同样的初等行变换施行于单位矩阵上就得到A的逆矩阵A−1。从而若构造一个n×2n的矩阵(AE)就有pl−1pl−−11...p1−1(AE)=(EA−1)，此式表明对(AE)施行初等行变换，当左半部矩阵A化为单位矩阵时，它的右半部E就同时化为A−1。即有初等行变换E)⎯⎯⎯⎯→(EA−1)。(A于是得到一个求逆矩阵的方法如下：初等行变换→(EX)，则有作一个n×2n的矩阵(AE)，若(AE)⎯⎯⎯⎯1)A可逆；2)X=A−1。⎛101⎞⎟−1例1设A=⎜，求(E−A)。210⎜⎟⎜−32−5⎟⎝⎠⎛00−1100⎞⎜⎟解(E−AE)=⎜−200010⎟⎜3−26001⎟⎝⎠1⎛−1000⎜2⎜3初等行变换⎯⎯⎯⎯→⎜010−3−⎜4⎜001−10⎜⎜⎝1⎛0−⎜2⎜3(E−A)−1=⎜−3−⎜4⎜−10⎜⎜⎝⎞0⎟⎟1⎟−。2⎟⎟0⎟⎟⎠⎞0⎟⎟1⎟−=(EA−1)，于是2⎟⎟0⎟⎟⎠注：以上方法求逆阵，仅施以初等行变换，不得出现初等列变换。⎛A⎞⎛E⎞⎟初等列变换⎜⎟同理可推导出⎜⎯⎯⎯⎯→⎜⎟⎜⎟⎜E⎟⎜A−1⎟⎝⎠⎝⎠2、求矩阵方程Ax=B（A≠0）较为简便的方法：等式A−1(AB)=(EA−1B)，表明施行若干初等行变换将可逆矩阵A化为单位矩阵，则同样的初等行变换施行于B就得到A−1B。即(A初等行变换B)⎯⎯⎯⎯→(EA−1B)。⎛423⎞⎜⎟例2设有矩阵方程AX=A+2X，求X，其中A=⎜110⎟。⎜−123⎟⎝⎠解由AX=A+2X得(A−2E)X=A。⎛423⎞⎛100⎞⎛223⎞⎟⎜⎟⎜⎟A−2E=⎜110−2021=1−10⎜⎟⎜⎟⎜⎟。⎜−123⎟⎜001⎟⎜−121⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎛223423⎞⎛1003−8−6⎞⎜⎟⎜⎟(A−2E,A)=⎜1−10110⎟→⎜0102−9−6⎟⎜−121−123⎟⎜001−2129⎟⎝⎠⎝⎠可见A−2E∼E，因此A∼2E可逆，且⎛3−8−6⎞⎟X=(A−2E)−1A=⎜296−−⎜⎟。⎜−2129⎟⎝⎠上面介绍了用初等行变换的方法求X=A−1B，如果要求Y=CA−1，则可对矩阵⎛A⎞⎛A⎞⎛E⎞−1作初等列变换，使∼，即可得Y=CA。⎜⎟⎜⎟⎜−1⎟⎝C⎠⎝C⎠⎝cA⎠三、目前已学习过的求逆阵的方法：伴随矩阵法；初等变换法。四、小结1、初等矩阵的概念。2、初等矩阵的性质。3、初等矩阵的应用特别是用初等矩阵求逆矩阵的方法。五、作业p793(2),4(1),5第三节矩阵的秩一、矩阵的秩的概念。定义4在m×n矩阵A中，任取k行k列(k≤m,k≤n)，按原矩阵中的位置组成的k阶行列式，称为A的k阶子式。kk注m×n矩阵A的k阶子式共有cm个。icn定义5设在矩阵A中有一个不为零的r阶子式D，且所以r+1阶子式（若数r称为矩阵A的秩，记作R(A)。有）全为零，那么D称为A的最高阶非零子式，并规定零矩阵的秩为零。注1)R(A)是A中不为零的子式的最高阶数;2)R(AT)=R(A);3)R(Am×n)≤min(n,m)。4)若A有一个r阶子式不为零，则R(A)≥r；5)若A的所有r+1阶子式全为零，则R(A)≤r。⎛1230⎞⎜⎟例3求A=⎜0121⎟的秩。⎜2460⎟⎝⎠解∵12≠0，且A的所以3阶子式都为零，故R(A)＝0。01⎛1−1566⎞⎜⎟02−7−253⎟的秩。例4求A=⎜⎜00598⎟⎜⎟00000⎝⎠1−15−7≠0是矩阵的一个最高阶非零子式，5解这是阶梯形矩阵，显然0故R(A)＝3。注用定义求行、列数很大的矩阵的秩是很不方便的。而阶梯形矩阵的秩等于非零行的行数。二、利用初等变换求秩的方法定理4若A∼B，则R(A)=R(B)。证明先证明：若A经一次初等行变换变为B，则R(A)≤R(B)。设R(A)＝r，且A的某个r阶子式Dr≠0。ri×kij当A⎯⎯⎯→B时，在B中总能找到与Dr相对应的子式Dr，→B或A⎯⎯⎯r↔r由于Dr=Dr或Dr=−Dr或Dr=kDr，因此Dr≠0，从而R(B)≥r。ij当A⎯⎯⎯→B时，分三种情况讨论：1)Dr中不含第i行；2)Dr中同时含r+kr第i行第j行；3)Dr中含第i行但不含第j行。对1)、2)两种情形，显然B中与Dr对应的子式Dr=Dr≠0，故R(B)≥r；对情形，Dr=ri+krj=ri+krj=Dr+kDr3)，由≠0，则因D中不含第i行知A中有不含第i行的r阶非零子式，从而根若Drr=0，则D=D≠0，也有R(B)≥r。据情形1)知R(B)≥r；若Drrr以上证明了若A经一次初等变换变为B，则R(A)≤R(B)。由于B亦可经一次初等行变换变为A，故也有R(B)≤R(A)。因此R(A)=R(B)。经一次初等行变换矩阵的秩不变，即可知经有限次初等行变换矩阵的秩仍不变。设A经初等列变换变为B，则AT经初等行变换变为BT，由上段证明R(AT)=R(BT)，又R(A)=R(AT)，R(B)=R(BT)，因此R(A)=R(B)。总之，若A经有限次初等变换变为B，则R(A)=R(B)。注现在解答了上节提出的问题：将一个线性方程组的增广矩阵经初等行变换得到的阶梯形矩阵中不全为零的行数r即为增广矩阵的秩，从而r是由线性方程组唯一确定的。思考题：在秩为r的矩阵中，有没有等于零的r-1阶子式？有没有等于零的r阶子式？注由上定理，求矩阵的秩，只要把矩阵用初等行变换变为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数即是该矩阵的秩。⎛111−1⎜2222例5设A=⎜⎜−1−1−11⎜⎝1110⎛1⎜r2−2r1,r3+r1⎜0A⎯⎯⎯⎯⎯→r4−r1⎜0⎜⎝010002⎞⎟0⎟,求R(A)及一个最高阶非零子式。⎟1⎟1⎠10001−12⎞⎟01−1⎟。这个矩阵是行⎟003⎟000⎠解用初等行变换将A化为阶梯形矩阵。1−12⎞⎛1⎟⎜04−4⎟r2−4r4⎜0A⎯⎯⎯→r2↔r4⎜0003⎟⎟⎜01−1⎠⎝0阶梯形矩阵，有三个非零行，所以r(A)=3。又∵B=(α3α4α5)⎛1−12⎞⎜⎟011−⎟，∴R(B)＝3,即B中有3阶非零子式，∼⎜⎜003⎟⎜⎟000⎝⎠1−12210≠0，∴它是A的一个最高阶非零子式。1∵2−1三、满秩矩阵定义6设A=(aij)n×n，则1)R(A)＝n的充要条件为A≠0。2)R(A)<n的充要条件为A=0。称R(A)＝n的n×n矩阵A为满秩矩阵。故可逆矩阵为满秩矩阵，奇异矩阵又称为降秩矩阵。满秩矩阵A的标准形为E,即A∼E。四、矩阵秩的性质的归纳总结1、0≤R(Am×n)≤min{m,n};2、R(AT)=R(A)；3、若A∼B,则R(A)=R(B)；4、若P、Q可逆，则R(PAQ)=R(A)；5、max{R(A),R(B)}≤R(A,B)≤R(A)+R(B)，特别地，当B=b为列向量时，有R(A)≤R(A,b)≤R(A)+1，证因为A的最高非零子式总是（A,B）的非零子式，所以R(A)≤R(A,B)。同理有R(B)≤R(A,B)。两式合起来，即为max{R(A),R(B)}≤R(A,B)。，则中设R(A)=r,R(B)=t。把A和B分别作列变换化为列阶梯形A,BA,B,...,=(b,...,b,0,...,0),分别含r个和t个非零列，故可设A∼A=(aar,0,...,0),B∼B11t),由于()中只含r+t个非零列，因此R()≤r+t,而从而(A,B)∼(A,BA,BA,B)，故R(A,B)≤r+t，即R(A,B)≤R(A)+R(B)。R(A,B)=R(A,B6、R(A+B)≤R(A)+R(B)证不妨设A、B为m×n矩阵。对矩阵(A+B,B)作列变换ci−cn+i(i=1,...,n),即得(A+B,B)∼(A,B)，于是R(A+B)≤R(A+B,B)=R(A,B)≤R(A)+R(B)。7、R(AB)≤min{R(A),R(B)}.8、若Am×nBn×l=O，则R(A)+R(B)≤n（见下章）9、R(AB)≥R(A)+R(B)−n例6设n阶矩阵A满足A2=E，证明：R(E+A)+R(E−A)=n证明由于(E+A)(E−A)=E−A2=0故R((E+A)(E−A))=0≥R(E+A)+R(E−A)−n，即R(E+A)+R(E−A)≤n又R(E+A+E−A)=R(2E)=n≤R(E+A)+R(E−A)所以R(E+A)+R(E−A)=n。五、小结1、k阶子式、矩阵的秩、满秩矩阵的概念。2、矩阵秩的性质（9条）。3、利用初等变换求矩阵的秩的方法。六、作业p798,9(3),10,11第三节线性方程组的解一、判定定理定理5n元齐次线性方程组Am×nx=0有非零解的充要条件为R(A)<n.；只有零解的充要条件R(A)=n。证明：设R(A)＝r，不妨设A的左上角一个r阶子式不为零，这样用行初等变换可将A化为如下形式的矩阵T即⎛1⎜⎜0⎜⎜行初等变换A⎯⎯⎯⎯→⎜0⎜0⎜⎜⎜0⎝00...0c1,r+1...c1n⎞⎟10...0c2,r+1...c2n⎟⎟⎟00...1cr,r+1...crn⎟＝T，00...00...0⎟⎟⎟00...00...0⎟⎠T中只含有r个非零行。⎧x1+0x2+...+0xr+c1,r+1xr+1+...+c1nxn=0,⎪⎪0x1+x2+...+0xr+c2,r+1xr+1+...+c2nxn=0,⎪⎪......⎪T对应的方程组为⎨0x1+0x2+...+xr+cr,r+1xr+1+...+crnxn=0,（2）⎪⎪0x1+0x2+...+0xr+0xr+1+...+0xn=0,⎪......⎪⎪⎩0x1+0x2+...+0xr+0xr+1+...+0xn=0.1)若r=n方程组中如有恒等式就去掉，成为⎧x1=0⎪⎪x2=0即r=n⇔无自由未知量⇔只有零解。⎨⎪......⎪x=0⎩n⎧x1+c1,r+1xr+1+...+c1nxn=0,⎪⎪x+cx+...+c2nxn=0,若r<n方程组中如有恒等式就去掉，成为⎨22,r+1r+1移2）⎪......⎪x+cx+...+cx=0.r,r+1r+1rnn⎩r项得⎧x1=−c1,r+1xr+1−...−c1nxn,⎪⎪x2=−c2,r+1xr+1−...−c2nxn,这表明xr+1,...,xn可作为自由未知量。因此这时(2)，⎨⎪......⎪x=−cx−...−cx.r,r+1r+1rnn⎩r从而方程组Ax=b有无穷多解。这时解的全体，即通解可表示为⎧x1=−c1,r+1xr+1−...−c1nxn,⎪⎪x2=−c2,r+1xr+1−...−c2nxn,⎪⎪......⎪⎨xr=−cr,r+1xr+1−...−crnxn,其中c1,c2,..−r为任意常数。⎪⎪xr+1=c1,⎪......⎪⎪⎩xn=cn−r.注本定理所述条件r<n的必要性是克莱姆定理的推广（克莱姆定理只适用于m=n的情形），其充分性则包含了克莱姆定理的逆定理。推论当m≺n时，Am×nx=0有非零解。证明因为r(A)≤min(m,n)=m≺n,由上定理知其有非零解。定理6n元非齐次线性方程组Am×nx=b（3）有解的充要条件为R(A)=R(B)，其中B=(Ab)。证明设R(A)＝r，不妨设A的左上角一个r阶子式≠0，用行变换将B化为标准形，若R(A)≠R(B)⎛1c1r+1⎜...⎜⎜1crr+1⎜行变换B⎯⎯⎯→⎜0...00⎜⎜⎜⎜0...00⎝...c1n0⎞⎟......⎟...crn0⎟⎟...01⎟=T10⎟⎟⎟...00⎟⎠T1对应的与（3）同解方程组中，第r+1个方程为0x1+0x2+...+0xn=1是矛盾方程，所以（3）无解，其逆亦真。若R(A)=R(B)⎛1c1r+1⎜...⎜⎜1crr+1⎜行变换B⎯⎯⎯→⎜0...00⎜⎜⎜⎜0...00⎝...c1n.........crn...0...0d1⎞⎟⎟dr⎟⎟0⎟=T20⎟⎟⎟0⎟⎠1)若R(A)=R(B)＝r=n此时⎛1⎜⎜⎜行变换B⎯⎯⎯→⎜⎜0⎜...⎜⎜0⎝d1⎞⎟⎧x1=d1⎟⎪dn⎟⎪x2=d2＝（3）有唯一解T⎟⎨30⎟⎪......⎪x=d...⎟n⎩n⎟⎟0⎠m×(n+1)......100......2)若R(A)=R(B)＝r<n，T2对应的与(3)同解的方程组为⎧x1+c1,r+1xr+1+...+c1nxn=d1,⎪⎪x2+c2,r+1xr+1+...+c2nxn=d2,⎨⎪......⎪x+cx+...+cx=d.r,r+1r+1rnnn⎩r⎧x1=d1−c1,r+1xr+1−...−c1nxn,⎪⎪x2=d2−c2,r+1xr+1−...−c2nxn,⎪⎪......⎪(3)的通解为⎨xr=dr−cr,r+1xr+1−...−crnxn,xr+1,...xn可以作为自由未知量⎪⎪xr+1=c1,⎪......⎪⎪⎩xn=cn−r.所以R(A)=R(B)＝r<n时，(3)有无穷多解，反之亦然。由1)、2)，显然有，若R(A)=R(B)，则(3)有解，其逆亦真。推论1)R(A)=R(B)＝r=n⇔Am×nx=b有唯一解。2)R(A)=R(B)＝r<n⇔Am×nx=b有无穷多解。注从上述证明可看出或R(A)=R(B)，或R(B)=R(A)+1。所以有结论：矩阵添加一列，则其秩或不变，或增加1。二、求解方程组的方法齐次线性方程组：系数矩阵化为行最简形矩阵，便可写出其通解。非齐次线性方程组：1)对增广矩阵B作初等行变换，判断是否有解。2)若有解，化成行最简形矩阵，选定n-r个自由未知量移到等号右边，写出通解。例7解齐次线性方程组⎧x1+x3−x4−3x5=0,⎪⎪x1+2x2−x3−x5=0,⎨⎪4x1+6x2−2x3−4x4+3x5=0,⎪2x−2x+4x−7x+4x=0.2345⎩1解对系数矩阵A施行初等行变换变为行最简形矩阵⎛1⎛101−1−3⎞⎜⎜⎟⎜0⎜12−10−1⎟⎯⎯→⎜⎜46−2−43⎟⎜0⎜⎟⎜⎜0⎝2−24−74⎠⎝0−6⎞⎟5⎟1−102⎟。得与原方程同解的方程组001−3⎟⎟0000⎟⎠01⎧x1+x3−6x5=0,⎧x1=−x3+6x5,⎪⎪55⎪⎪。⎨x2−x3+x5=0,由此即得⎨x2=x3−x5,（x3,x5可任意取值）22⎪⎪⎪⎪⎩x4−3x5=0⎩x4=3x5,⎧x1⎪⎪x⎪2⎪令x3=c1,x4=c2，的通解的参数形式⎨x3⎪⎪x4⎪x⎪5⎩=−c1+6c2,5=c1−c2,2=c1,=3c2,=c2.⎛−c+6c2⎞⎛6⎞1⎛x1⎞⎜1−⎛⎞⎟⎜⎟5⎜⎟⎜5⎟⎜⎟⎜−⎟⎜x2⎟⎜c1−2c2⎟⎜1⎟⎜2⎟⎜⎟其中c1,c2为任意常数，或写成向量形式⎜x3⎟=⎜=+cc1⎟12⎜⎟。0c⎜⎟⎜⎜⎟1⎟⎜⎟0⎟x⎜4⎟⎜3c⎜⎟⎜3⎟2⎜⎟⎜x⎟⎜⎟⎜1⎟⎝0⎠⎝5⎠c⎝⎠⎝⎠2⎧x1+x3−x4−3x5=−2⎪x+2x−x−x=1⎪1235例8解线性方程组⎨462437xxxxx+−−+=2345⎪1⎪⎩2x1−2x2+4x3−7x4+4x5=1解对增广矩阵施行初等行变换化为阶梯形。⎛1⎜1(Ab)=⎜⎜4⎜⎝2⎛1⎜0r3−3r2⎜⎯⎯⎯→r4+r2⎜0⎜⎝0−1−3−2⎞⎛1⎟2−r1⎜2−10−11⎟rr3−4r1⎜0⎯⎯⎯→6−2−437⎟r4−2r1⎜0⎟⎜−24−741⎠⎝001−1−3−2⎞⎛1⎜⎟r32−2123⎟r4−403⎜⎯⎯→1⎯00−396⎟−3r3⎜0⎜⎟00−4128⎠⎝001−1−3−2⎞⎟2−2123⎟6−601515⎟⎟−22−5105⎠01−1−3−2⎞⎟2−2123⎟=T001−3−2⎟⎟00000⎠01这表明r(A)=r(Ab)=3，未知量个数＝5。故r(A)=r(Ab)≺未知量个数。所以此方程组有无穷多解，且有5-3=2个自由未知量。由于矩阵T的第一，第二，第三行；第一，第二，第四列组成的3阶子式不为零，我们对它再施行初等行变换化为行最简形。⎛1⎜r1+r3⎜0→T⎯⎯⎯r2−r3⎜0⎜⎝0⎛1010−6−4⎞⎜⎟1r⎜2−2055⎟220→⎜001−3−2⎟⎜0⎟⎜00000⎠⎜0⎝0−6−4⎞⎟55⎟1−1022⎟。001−3−2⎟⎟00000⎟⎠01⎧x1+x3−6x5=−4⎪55⎪该矩阵所对应的线性方程组为⎨x2−x3+x5=22⎪⎪⎩x4−3x5=−2⎧x1=−4−x3+6x5⎪55⎪可将x3,x5作为自由未知量，移项得⎨x2=+x3−x522⎪⎪⎩x4=−2+3x5⎧x1=−4−c1+6c2⎪⎪x2=5+c1−5c222⎪⎪所以通解可表示为⎨x3=c1其中c1,c2为任意常数。⎪x=−2+3c2⎪4⎪x5=c2⎪⎩特别要指出的是若当r(A)=r(Ab)=r≺n时，A中不为零的r阶子式未必唯一，如上例中T的第一，第二，第三行；第一，第三，第四列的3阶子式也不为零。也可以对它再进行化简，同样可得到方程组的通解，此时无非自由未知量是x2,x5而已。虽然这两个通解表达形式不一样，但两者所表示的解集合是相同的，所以都可作为原线性方程组的通解。⎧x+2y+z=3⎪例9解线性方程组⎨2x+5y−z=−4⎪3x−2y−z=5⎩解首先化增广矩阵为行最简形⎛12(Ab)=⎜⎜25⎜3−2⎝⎛121⎜⎯⎯→⎜01−3⎜001⎝13⎞⎛1⎟⎜−1−4⎟⎯⎯→⎜0⎜0−15⎟⎠⎝3⎞⎛10⎟⎜−10⎟⎯⎯→⎜01⎜003⎟⎠⎝213⎞⎟1−3−10⎟−8−4−4⎟⎠02⎞⎟0−1⎟13⎟⎠r(A)=r(Ab)＝3故有唯一解⎧x=2⎧x=2⎪⎪还原为同解方程组⎨y=−1，唯一解为⎨y=−1。⎪z=3⎪z=3⎩⎩⎧x1+x2−2x3+3x4=4⎪例10解线性方程组⎨2x1+3x2+3x3−x4=3.⎪5x+7x+4x+x=5234⎩1解化增广矩阵为阶梯形⎛11−234⎞⎛11−234⎞⎟⎜⎟2331301775−⎯⎯→−−(Ab)=⎜⎜⎟⎜⎟⎜57415⎟⎜0000−5⎟⎝⎠⎝⎠由上行阶梯形矩阵观察，r(A)≠r(Ab)，故方程组无解。⎧x1+x3=2⎪例11设有线性方程组⎨x1+2x2−x3=0⎪2x+x−ax=b3⎩12（1）确定当a，b分别为何值时，方程组无解，有唯一解，有无穷多解；（2）在有解时求出解。解（1）⎛1⎜1(Ab)=⎜⎜2⎝⎛10⎜⎯⎯→⎜01⎜01⎝012⎞⎛10⎟⎜→⎜022−10⎟⎯⎯⎜011−ab⎟⎠⎝12⎞⎛1⎟⎜−1⎟⎯⎯−1→⎜0⎜0−a−2b−4⎟⎠⎝12⎞⎟−2⎟−2−a−2b−4⎟⎠012⎞⎟−1−1⎟10−a−1b−3⎟⎠。由此可知，当a=−1且b≠3时，r(A)=2,r(Ab)=3，故方程组无解；当a≠−1时，r(A)=r(Ab)＝3，方程组有唯一解；当a=−1且b=3时，r(A)=r(Ab)=2≺3，方程组有无穷多解。（2）当a≠−1时，有2a+b−1⎞⎛⎛⎞⎜100⎟+a1⎜101⎟2⎜⎟⎜⎟⎜2−a−b⎟,(Ab)→⎜01−1−1⎟→⎜010⎟+a1⎜3−b⎟⎜⎟3−b⎟⎜001⎟⎜a+1⎠⎜001⎝⎟a+1⎠⎝2a+b−1⎧=x⎪1a+1⎪2−a−b⎪唯一解为⎨x2=。a+1⎪3−b⎪x=⎪3a+1⎩⎛1012⎞⎜⎟当a=−1且b=3时(Ab)=⎜01−1−1⎟,⎜0000⎟⎝⎠⎧x1=2−x3得最简同解方程组⎨。1xx=−+3⎩2⎧x1=2−c⎪故方程组的解为⎨x2=−1+c（c为任意常数）。⎪x=c⎩3三、矩阵方程定理7矩阵方程AX=B有解的充分必要条件是R(A)=R(A,B)。证设A为m×n矩阵，B为m×l矩阵，则X为n×l矩阵。把X和B按列分块，记为X=(x1,x2,...,xl)，B=(b1,b2,...,bl),则矩阵方程AX=B等价于l个向量方程Axi=bi(i=1,2,...,l).充分性。设R(A)=R(A,B)，由于R(A)≤R(A,bi)≤R(A,B),故有R(A)=R(A,bi)，从而l个向量方程Axi=bi(i=1,2,...,l).都有解，于是矩阵方程AX=B有解。必要性设矩阵方程AX=B有解，从而l个向量方程Axi=bi(i=1,2,...,l).都有解，设解为⎛λ1i⎞⎜⎟λxi=⎜2i⎟(i=1,2,...,l).记A=(a1,a2,...,an),即有λ1ia1+λ2ia2+...+λnian=bi.⎜⎟⎜⎟⎝λni⎠对矩阵(A,B)=(a1,a2,...,an,b1,...bl)作初等列变换cn+i−λ1ic1−...−λnicn(i=1,2,...,l)，便把(A,B)的第n+1列、…、n+l列都变为0，即(A,B)∼(A,O)，因此R(A)=R(A,B)。定理8设AB=C，则R(C)≤min{R(A),R(B)}。证因AB=C，知矩阵方程AX=C有解X=B，由上定理有R(A)=R(A,C)。而R(C)≤R(A,C)，因此R(C)≤R(A)。又BTAT=CT，由上段证明知有R(CT)≤R(BT)，即R(C)≤R(B)。综合便得R(C)≤min{R(A),R(B)}。上两定理的应用，将在下一章讨论。定理9矩阵方程Am×nXn×l=O只有零解的充分必要条件是R(A)=n。这定理阐明了矩阵乘法消去律成立的条件。⎧x1+2x2+3x3=0⎧⎪x1+bx2+cx3=0⎪已知齐次方程组⎨2x1+3x2+5x3=0（1）和⎨思考题：2⎪⎩2x1+bx2+(c+1)x3=0⎪x+x+ax=03⎩12同解，求a,b,c的值。四、小结1、线性方程组的解的判定定理（齐次、非齐次）。2、求线性方程组解的方法。3、矩阵方程有解的充要条件。五、作业p8012(3),13(2),14,,16,17,19第三章矩阵的初等变换和线性方程组习题课一、本章知识点结构图⎧⎧矩阵乘以非零数⎪⎪矩阵的初等变换⎨把矩阵的某一行（或列）的倍数加到另一行（列）⎪⎪互换两行（或列）的位置⎪⎩⎪⎪⎧三种初等矩阵⎪⎪⎪初等矩阵⎨初等矩阵的性质⎪⎪利用初等矩阵求逆矩阵⎩⎪⎪⎧矩阵秩的定义⎪⎪⎪第三章⎨⎪四个等价定义（部分内容在下一章）矩阵的秩⎨⎪⎪矩阵秩的性质⎪⎪矩阵秩的求法⎪⎩⎪⎧⎪⎧无解⎪⎪⎪一般线性方程组有解的条件⎨唯一解⎪⎪⎪无穷多解⎪线性方程组的解⎪⎨⎩⎪⎪⎪⎧唯一解⎪齐次方程组的解⎪⎨⎪⎩无穷多解⎪⎩⎩二、学习要点本章基本要求：了解：矩阵的秩的概念、矩阵等价的概念和初等矩阵的性质。理解：线性方程组有解判别定理。掌握：1)矩阵的初等变换、及其标准形、用初等变换化矩阵为阶梯形矩阵及求矩阵的秩和逆矩阵的方法。2)用矩阵的初等行变换解线性方程组的消元法。重点是矩阵的秩与矩阵的初等变换、线性方程组解的理论与求解方法。用初等变换化矩阵为阶梯形矩阵体现了数学的一个基本思想：把讨论对象化简，阶梯形矩阵反映很多原矩阵的性质，因而用初等变换化矩阵为阶梯形矩阵是本课程中用得最多的一种变换，它在其它问题中也有重要的应用，所以要熟练掌握初等变换的方法及用初等变换解决其他问题的方法。初等矩阵与初等变换有密切的联系，务必分清对某个矩阵左乘（右乘）初等矩阵与初等变换的关系。矩阵的秩是本课程的重要概念之一。通过秩把矩阵与行列式、线性方程组及n维向量紧密联系起来，它反映了矩阵行（列）向量组中向量之间的关系，从而矩阵的秩在很多问题上有广泛的应用。所以要深刻理解矩阵的秩的概念及有关性质，掌握用初等变换求矩阵的秩的方法，并逐步掌握用矩阵的秩解决有关问题的方法。线性方程组理论是本课程的重要内容之一，关于它主要问题是：1)判别非齐次线性方程组是否有解？判别齐次线性方程组是否有非零解？2)有解时，有多少个解？3)有无穷多解时，解的结构是怎样的？4)如何求出全部解？三、典型例题1、矩阵的初等变换与初等矩阵⎛a11例12设矩阵A=⎜⎜a21⎜a⎝31a12a22a32a13⎞⎛a11−2a13⎟⎜a23⎟,B=⎜a21−2a23⎜a−2aa33⎟33⎠⎝31a13a23a33a12⎞⎟a22⎟。求矩阵X，a32⎟⎠使A=BX。分析由A经过两次初等列变换化成B，故可以通过初等矩阵求出X。解对矩阵A，先将第三列的（－2）倍加到第一列上，再交换第二、三列⎛100⎞⎛100⎞⎜⎟⎜⎟就得矩阵B，故取两个初等矩阵PP==010,0011⎜⎟2⎜⎟，⎜−201⎟⎜010⎟⎝⎠⎝⎠⎛100⎞⎜⎟−1−1−1−1则有APP=⎜201⎟。2P1=BX,所以X=P2P112=B，于是A=BP⎜010⎟⎝⎠（1）例13设n阶矩阵A可逆，将A的第i行和j列互换后所得矩阵记为B。证明B可逆；（2）求AB−1。解（1）由题设条件，B=−A≠0。所以，矩阵B可逆。（2）以P(i,j)表示交换单位矩阵E的第i，j行得到的初等矩阵，则有B=P(i,j)A。因而AB−1=A[P(i,j)A]−1=AA−1P(i,j)−1=P(i,j)。2、求矩阵的秩及有关证明题⎛1⎜0例14设矩阵A=⎜⎜2⎜⎝310解一A=23111−13a511⎞⎟b⎟，其中a,b为参数，求r(A)。⎟4⎟7⎠111−13a511b=(a−1)(4−2b)，47则：当a≠1且b≠2时，A≠0，所以r(A)=4；当a≠1，b=2时，由于⎛1⎜0ABA=⎜⎜2⎜⎝3111−13a511⎞⎛1⎟⎜2⎟⎜0→⎟⎜04⎟⎜7⎠⎝0111−10a−1001⎞⎟2⎟，所以，r(A)=3。⎟0⎟0⎠当a=1，b≠2时，由于⎛1⎜0A=⎜⎜2⎜⎝3111−131511⎞⎛1⎟⎜2⎟⎜0→⎟⎜04⎟⎜7⎠⎝0111⎞⎟1−1b⎟，所以，r(A)=3。⎟002−b⎟000⎠当a=1，b=2时，由于⎛1⎜0A=⎜⎜2⎜⎝3111−131511⎞⎛1⎟⎜2⎟⎜0→⎟⎜04⎟⎜7⎠⎝0111−100001⎞⎟2⎟，所以r(A)=2。⎟0⎟0⎠解二用矩阵的初等行变换将A化为阶梯形，即⎛1⎜0A→⎜⎜0⎜⎝0111⎞⎟1−1b⎟。⎟0a−12−b⎟002−b⎠故有当a≠1且b≠2时，r(A)=4；当a≠1，b=2时，r(A)=3；当a=1，b≠2时，r(A)=3；当a=1，b=2时，r(A)=2。⎛102⎞⎜⎟例15（填空题）（1）设A为4×3矩阵，且r(A)=2,B=⎜⎟，则r(AB)⎜−103⎟⎝⎠⎛a1b1⎜ab＝（）。（2）设A=⎜21⎜⎜⎝anb1a1b2a2b2anb2...a1bn⎞⎟...a2bn⎟，其中ai≠0,bi≠0(i=1,2,...,n),则⎟⎟...anbn⎠r(A)=（）。因为B=10，所以B为可逆矩阵，由秩的性质，r(AB)=r(A)=2。解（1）⎛a1⎞⎜⎟a（2）显然A=⎜2⎟(b1,b2,...,bn)。⎜⎟⎜⎟⎝an⎠记α=(a1,a2,...,an),β=(b1,b2,...,bn)，则A=αβT。TT由于α,β均为非零列向量，故r(α)=r(β)=1,所以r(A)≤min{r(α),r(β)}=1。又A为非零矩阵，故r(A)≥1。这样r(A)=1。例16设A为m×n矩阵，B为n×m矩阵，证明当mn时，必有AB=0。解一由题设AB为m阶矩阵，且r(A)≤n≺m，所以AB是降秩矩阵，即有AB=0。这是一个n个方程m个未知量的方程组。解二看齐次线性方程组BX=0，当n≺m时，BX=0有非零解，从而方程组ABX=0也有非零解。由于AB是m阶方阵，则必有AB=0。或证明该方阵是注本题给出了证明某个方阵的行列式等于零的两个方法，降秩的，或证明相应的齐次线性方程组有非零解。3、关于线性方程组的解的判定与消元法例17A是m×n矩阵，Ax=0是非齐次线性方程组Ax=b对应的导出方程组，则下列结论正确的是（）（A）若Ax=0仅有零解，则Ax=b有唯一解；（B）若Ax=b有唯一解，则Ax=0仅有零解；（C）若Ax=0有非零解，则Ax=b有无穷多解；（D）若Ax=b无解，则Ax=0仅有零解。解由于A为m×n矩阵，故Ax=0与Ax=b均为n元线性方程组。对于（A），由于Ax=0仅有零解⇔r(A)=n。当A是n阶方阵时，也就有r(A,b)=n，这时Ax=b有唯一解。但对于一般⎛12⎞⎛0⎞x⎛⎞⎜⎟⎜⎟的m×n矩阵A，就不一定保证r(A,b)=n。例如，方程组⎜03⎟⎜1⎟=⎜0⎟仅有⎜00⎟⎝x2⎠⎜0⎟⎝⎠⎝⎠⎛12⎞⎛4⎞x⎜⎟⎛⎞⎜⎟零解。但方程组⎜03⎟⎜1⎟=⎜5⎟无解。故（A）不正确。⎜00⎟⎝x2⎠⎜6⎟⎝⎠⎝⎠对于（C），与（A）类似，由Ax=0有非零解⇔r(A)=r≺n。但不能保证r(A,b)=r，即当若Ax=0有非零解，Ax=b可能无解。例如，方程组⎛12⎞⎛x1⎞⎛0⎞⎛12⎞⎛x1⎞⎛3⎞⎜⎟⎜x⎟=⎜⎟有非零解，但方程组⎜⎟⎜x⎟=⎜⎟无解。故（C）不正确。240245⎝⎠⎝2⎠⎝⎠⎝⎠⎝2⎠⎝⎠对于（B），由于Ax=b有唯一解⇔r(A,b)=r(A)=n，所以也就由r(A)=n可知，Ax=0仅有零解。故（B）正确。对于（D），由于Ax=b无解⇔r(A,b)≠r(A)。因而无法确定r(A)与n的关系，即由Ax=b无解，对应的Ax=0可能仅有零解，也可能有非零解。在上面对（A），（C）的分析中已举出了例题。故（D）不正确。例18设A为m×n实矩阵，n≺m。证明：当非齐次线性方程组Ax=b有唯一解时，矩阵ATA是可逆矩阵。分析由ATA是n阶矩阵，为证ATA可逆，只需证明ATA的秩为n，即需证明方程组(ATA)x=0只有零解。证由题设Ax=b有唯一解可知，与其对应的齐次线性方程组Ax=0只有零解。若ATA≺n，那么方程组(ATA)x=0有非零解，即存在非零向量x0，使(ATA)x0=0。从而x0T(ATAx0)=(x0TAT)(Ax0)=0,即有Ax0=0。这说明方程组Ax=0有非零解，与题设矛盾。所以ATA的秩为n，即ATA是可逆矩阵。4、含有参数的线性方程组的讨论与求解1⎞⎛x1⎞⎛1⎞⎛12⎟⎜⎟⎜⎟例19（填空题）（1）已知方程组⎜则a=（）。a+232⎜⎟⎜x2⎟=⎜3⎟无解，⎜1a−2⎟⎜x⎟⎜0⎟⎝⎠⎝3⎠⎝⎠解一利用矩阵的初等变换。方程组的增广矩阵11⎞⎛1211⎞⎛12⎜⎟⎜⎟=⎜23a+23⎟→⎜0−1a1⎟⎜1a−20⎟⎜00(a+1)(a−3)a−3⎟⎝⎠⎝⎠可知a=−1时，R(=3,r(A)=2，r()≠R(A)，方程组无解。121解二利用克来姆法则。系数行列式A=23a+2=−(a−3)(a+1)，可知1a−2⎛1211⎞⎛1211⎞⎟⎜⎟当a=−1时，由于=⎜→−−23130111⎜⎟⎜⎟，r()≠R(A)，无解。⎜1−1−20⎟⎜000−4⎟⎝⎠⎝⎠⎛1211⎞⎛1211⎞⎟⎜⎟当a=3时，由于=⎜→−23530131⎜⎟⎜⎟，r(=R(A)=2≺n=3，⎜13−20⎟⎜0000⎟⎝⎠⎝⎠有无穷多解。⎛a11⎞⎛x1⎞⎛1⎞⎟⎜⎟⎜⎟。（2）设方程组⎜a11⎜⎟⎜x2⎟=⎜1⎟有无穷多解，则a＝（）⎜11a⎟⎜x⎟⎜−2⎟⎝⎠⎝3⎠⎝⎠1a−2⎞⎛a111⎞⎛1⎟⎜⎟解=⎜→−−aaa1110113⎜⎟⎜⎟。可知⎜11a−1⎟⎜00(a+2)(1−a)4+2a⎟⎝⎠⎝⎠当a=−2时，r(=R(A)=2≺n=3，方程组有无穷多解。⎧ax1+x2+x3=4,⎪例20当a,b为何值时，方程组⎨x1+bx2+x3=3,有解？并在有解时，求出⎪x+2bx+x=423⎩1方程组的解。分析本题中参数出现在未知量x1,x2的系数中，则对其增广矩阵施行行初等变换较为麻烦。再由本方程组适合克来姆法则使用的条件，故从计算方程组的系数行列式入手。解由计算方程组的系数行列式aA=111b当a≠1且b≠0A≠0，方程组有唯一解，1=b(1−a)可知，12b1利用克来姆法则，可求出唯一解为x1=2b−111−4b+2ab,x2=,x3=.b(a−1)bb(a−1)⎛a114⎞⎛a114⎞⎜⎟⎜⎟当b=0时，由A=⎜1013⎟→⎜1013⎟，则r()=3,r(A)=2，方⎜1014⎟⎜0001⎟⎝⎠⎝⎠程组无解。4⎞⎛1114⎞⎛111⎜⎟⎜⎟当a=1时，由=⎜1b13⎟→⎜0102⎟。⎜12b14⎟⎜0001−2b⎟⎝⎠⎝⎠1时，r(≠R(A)，方程组无解；21当a=1且b=时，r(=R(A)=2，方程组有无穷多解。此时，可容易求2当a=1且b≠⎧x1=2−x3,出方程组的一般解为⎨x3为自由未知量。2,x=⎩2第一章

矩陣與線性方程組1-1矩陣的意義定義：數學上，一個m×n矩陣乃一m列n行的矩形陣列。矩陣由數組成，或更一般的，由某環中元素組成。【例】以下是一個4×3矩陣：某矩陣A的第i列第j行，或i,j位，通常記為A[i,j]或Ai,j。在上述例子中A[2,3]=7。

1-2矩陣之基本運算定義：矩陣相加減

【例】

及

【解】

定義：矩陣相乘矩陣及，，為一個階數等於之矩陣，且

【例】

，

，

若與，則

定義：轉置矩陣MT中第i行第j列的元素即為原矩陣M中之第i列第j行的元素【例】，使得。1-3逆方陣定義：若，，使得時，則稱B為A的逆方陣或反方陣。此時，A稱為可逆方陣或非奇異方陣，通常以表示A的逆方陣。反之，若不存在B，則稱A為奇異方陣。【例】【解】1-4線性方程組的解法定義：1、若n>m，則n個未知數及m個線性方程式的齊次方程組有一組非必然解。2、若A為n階方陣，，則齊次方程組AX=0，有一組非必然解的充要條件是A

為奇異方陣。3、若，則下列的敘述為同義。(1)A為可逆方陣。(2)AX=0僅有必然解。(3)A是列同義於。4、令AX=B為具有n個變數及n個一次方程式的方程組。若存在，則此方程組之解為唯一，且。【例】【解】第二章向量空間與線性變換2-1三維空間中向量之性質定義：單位向量就是長度為1的向量。單位向量的符號通常有個「帽子」，如：î。一個非零向量u的正規化向量û就是平行於u的單位向量：定義：空間中向量之性質若u，v及w為空間中的向量，而為實數，則下列性質成立(1)u+v=v+u(2)(u+v)+w=

u+(v+w)(3)u+0=0+u=u，0為零向量(4)存在-u使得u+(-u)=(-u)+u=0(5)(6)(7)(8)1u=u2-2三維空間中向量的內積定義：兩向量A和B的內積寫成A×B，讀作"AdotB"，定義為A和B兩向量的大小與其夾角的餘弦函數的乘積，如下圖所示，其方程式之形式為A×B=ABcosq

其中0°£q£180°。向量內積的結果為一純量，故也常稱之為向量的純量積。運算法則1.交換律：A×B=B×A2.與一純量相乘：a(A×B)=(aA)×B=A×(aB)=(A×B)a3.分配律：A×(B+D)=(A×B)+(A×D)【例】【解】2-3向量空間與子空間定義：向量空間給出域F，一個向量空間是個集合V加上兩個運算：向量加法：V×V→V記作v+w,∃v,w∈V，標量乘法：F×V→V記作av,∃a∈F及v∈V。都符合下列公理(∀a,b∈F及u,v,w∈V)：向量加法符合結合律：u+(v+w)=(u+v)+w.向量加法符合交換律:v+w=w+v.向量加法有單位元:V裡有一個叫做零向量的0，∀v∈V,v+0=v.向量加法有逆元素:∀v∈V,∃w∈V,導致v+w=0.標量乘法分配於向量加法上:a(v+w)=av+aw.標量乘法分配於域加法上:(a+b)v=av+bv.標量乘法一致於純量的域乘法:a(bv)=(ab)v。標量乘法有單位元:1v=v,這裡1指示域F的乘法單位元.注意第七個公理涉及兩種運算不稱其為符合結合律。有些文獻包括兩個閉包公理：V閉合在向量加法下：v+w∈V.V閉合在標量乘法下:av∈V.簡而言之，向量空間是一個F-模。V的成員叫作向量而F的成員叫作標量若F是實數域R，V稱為實數向量空間.若F是複數域C，V稱為複數向量空間.若F是有限域，V稱為有限域向量空間對一般域F，V稱為F-向量空間

定義：子空間一個向量空間V的一個非空子集合W在加法及標量乘法中表現密閉性，被稱為V的線性子空間。給出一個向量集合B，載著它的最小子空間，稱為它的擴張，紀作span(B)。姶出一個向量集合B，若它的擴張就是向量空間V，稱B為V的生成集。一個向量空間V最大的線性獨立子集，稱為這個空間的基。若V=0，唯一的基是空集。對非零向量空間V，基是V最小的生成集。向量空間的所有基擁有相同基數，稱為該空間的維度。例如,實數向量空間：R0,R1,R2,R3,…,R∞,…中，Rn的維度就是n。空間內的每個向量都有唯一的方法表達成基中元素的線性組合。把基中元素排列，向量便可以座標系統來呈現。2-4線性獨立與基底定義：線性獨立

函數集合{u1(x),u2(x),…un(x)}在x屬於[a,b]中為線性相依，若且存在一組非全為零的實常數(純量)c1,c2,…cn使得c1u1(x)+c2u2(x)+…cnun(x)=0x屬於[a,b]若函數集合{u1(x),u2(x),…un(x)}在x屬於[a,b]中不為線性相依的集合,則為線性獨立的集合【例】所示的區間內線性相依或線性獨立?

x+1;x-1(0<x<1)

【解】

利用wronkian解

x+1微分為1

x-1為分為1

1*(x+1)-1*(x-1)取絕對值為2=/=0

故x+1;x-1在(0<x<1)為線性獨立

定義：基底若V為一向量空間，為V中一組向量，

若

(1)是線性獨立，且

(2)

則稱為V的一組基底(basis)。所以要判斷一組向量能否為V的一組基底，第一就是要檢驗它們是否線性獨立，然後還必須檢驗它們所衍生出來的空間是否為V，也就是V中的每一個向量都可以表示成它們的線性組合。【例】如果U是V的一個子空間，若為U中一組向量而且滿足下面二個條件(1)是線性獨立，且(2)則也是U的一組基底。【解】(1)若x(1,1,0)+y(1,0,1)+z(0,1,1)=(0,0,0)，則

解得x=y=z=0，故題中所給的一組向量為線性獨立。

(2)R3中的任意向量(a,b,c)可否表成(1,1,0)、(1,0,1)及(0,1,1)

之線性組合設(a,b,c)=x(1,1,0)+y(1,0,1)+z(0,1,1)，如果

(a,b,c)可以表成(1,1,0)、(1,0,1)及(0,1,1)之線性組合，則上

式x,y,z必有解。由解得

因此有解，故

即2-5矩陣的特徵值與特徵向量定義：假設為一線性算子，在許多的應用問題，一個相當重要的問題就是:我們如何在中求得一向量使得與平行，即，求得一向量與一純量使得若且滿足式，則稱為線性變換的特徵值且稱為對應於特徵值的特微向量。【例】令為一線性變換，定義為試求的特徵值及對應於這些特徵值的特徵向量。【解】令為特徵值，而為對應於的特徵向量，可得或……….①因，故聯立方程組①有非必然解之充要條件為係數矩陣之行列式值為零。因此，或，得或，故求得的特徵值為或。將代入①中得解上面聯立方程式可得。因此，對應於特徵值的特徵向量為形如，r為任意實數。再將代入①中得解上面聯立方程式可得。因此，對應於特徵值的特徵向量為形如，r為任意實數。在此例題中，我們不難發現矩陣恰為線性變換的矩陣表示式。2-6相似矩陣定義：已知二個階方陣與，若存在一可逆的階方陣使得，我們稱相似於。【例】設，，;試證相似於。【解】且則。由於，故為可逆方陣:又因為，我們得或，故證得相似於。2-7二次型定義：每一項變數皆為平方或二變數之乘積，一般我們稱之為二次型。例如，一含二變數及之二次型可表示如下【例】在之條件限制下，求二次型的最大值及最小值，並求產生最大值及最小值時的與【解】令，則A的特徵方程式為=è特徵向量正規化得最大值為發生在，最小值為發生在第三章最佳化方法3-1高階偏導數定義：若與在閉區域IR皆為連續，則對IR中的每一點，或【例】若，試驗證【解】故3-2函數極值定義：若且則c為f圖形的反曲點。【例】試求圖形之反曲點。【解】

因但故為圖形之反曲點。第四章機率概論4-1隨機實驗、樣本空間與事件定義：一隨機試驗之各種可能結果的集合，稱為此實驗的樣本空間，通常以S表示。樣本空間內的每一元素，亦即每一個可能出現的結果，稱為樣本點。【例】投三枚硬幣，求其樣本空間及出現二正面的事件。【解】①樣本空間

S=②而出現二正面的事件為E=4-2機率的定義與基本定理定義：機率是衡量某一事件可能發生的程度(機會大小)，並針對此一不確定事件發生之可能性賦予一量化的數值。【例】設S為樣本空間【解】因所以，4-3條件機率與獨立事件定義：若A和B為二獨立事件，則【例】一個小鎮有一輛消防車和一輛救護車可供發生緊急事件使用。需要消防車的時候其可用機率為0.98，需救護車時其可用機率是0.92，假設大樓火災裡有一人受傷，試求救護車和消防車都立即可用的機率。【解】設A與B分別代表消防車和救護車立即可以用的事件，則4-4貝士定理定義：設為樣本空間S的一個分割，B為S中的任意事件，若，則對每一自然數k，，我們有【例】某人欲從三家租車公司租借車:60%從租車公A，30%從租車公司B，10%從租車公司C。但從租車公司A租借的車有9%需做引擎調整，從租車公司B租借的車有20%需做調整，從租車公司C租借的車有6%需做引擎調整。試問此人租借的車需做引擎調整的機率有多少?【解】4-5白努利試驗定義：如果在白努利試驗中，事件A發生的機率為，則在n次試驗中，事件A恰巧發生k次的機率是，其中p+q=1，這個機率通常記為b(k，n，p)。【例】某次考試，共有選擇題十題，某生決定不唸書，單憑猜測去答問題，他自信對每題的猜測有的把握，問他猜中最少七題的機率是多少?【解】4-6數學期望值定義：設一實驗的樣本空間為S，為S的一個分割，若事件發生，可得元，，則稱為此實驗的數學期望值，簡稱為期望值。【例】擲一顆公正骰子，出現么點可得300元，出現偶數點可得200元，出現其它各點可得60元，求擲一次骰子所得金額的期望值。【解】擲一顆骰子，出現么點的機率為，出現偶數點的機率為，出現3點、5點的機率為，故所求的期望值為元第五章隨機變數與機率分配5-1隨機變數、機率密度函數、累積分配函數定義：設X為離散隨機變數，若對每一個x的可能結果均滿足則稱為機率函數或機率質量函數，有序數對的集合為X的機率分配。【例】令連續隨機變數X的機率密度函數為計算。【解】5-2數學期望值定義：若a與b均為常數，則【例】設隨機變數X的機率密度函數為求【解】所以，5-3常用離散機率分配定義：離散均勻分配的平均值為變異數為【例】從一個裝有5瓩、40瓩、60瓩，和100瓩各一個燈泡的盒子中，隨機選取一燈泡，因而樣本空間中每一元素發生的機率均為。所以，均勻分配為。【解】5-4常用連續機率分配定義：若連續隨機變數X的機率密度函數為其中與為參數，分別代表平均值與標準差，則稱X的分配為常態分配，簡記為X~N，而X被稱為常態隨機變數。【例】設X～Ｎ，求【解】第六章差分與差分方程6-1差分的意義定義：若為x之函數，則【例】若，試求。【解】6-2階乘函數定義：若x為任一實數，n為一正整數，則【例】試將多項式以階乘函數表示之，並求其差分函數。【解】設解A=1，B=1，C=0，D=6故=所以，6.3平移運算子定義：設y為定義於集合A的函數，h為一定常數使時，也成立，則定義函數Ey如下並稱