初二数学平行线分线段成比例定理讲义及测验

#/5解之，得BD=10(cm)例3、如图7,A、C、E和B、F、D分别是NO的两边上的点，且AB〃ED、BC〃FE。求证：AF//CD分析要证明AF//CD,应推导出能使AF//CD的比例线段，由题中图形可知，应证明OA=OF，而由AB//ED,OCODBC//FE,容易得到此关系。证明：•「AB//ED OA=OB①\，BC//FE二OB=OC②OEOD OFOE由①得OA-OD=OB-OE由②得OC-OF=OB-OE，OA-OD=OC-OF贝UOA=OF Z.AF//CDOCOD点评：本题是采用的是“公比过渡”的方法来解决问题的，“公比”是指两个或两个以上的比例式中均有一个公共比， 有时公比是采用乘积式的形式。例4如图8梯形ABCD中，AB//CD,M为AB的中点， \:%黄分别连结AB、BD、MD、MC,且AC与MD交于E,DB与MC交于F,求证EF//CD 图8分析：要证EF//CD,可根据三角形一边平行线的判定定理证明，首先观察EF、CD截哪个三角形，然后证明它截得两边上的对应线段成比例即可。证明：,ZAB//CDCD_证明：,ZAB//CDCD_DECDCF

~TZ-.,=AMEMMBFMXVAM=BMDE_CF

EM~FM・•・EF//CD点评利用三角形一边平行线的判定定理证明两直线平行的一般步骤为：(1)首先观察欲证平行线截哪个三角形 (2)再观察它们截这个三角形的哪两边(3)最后只须证明这两条边上对应线段成比例即可点评利用三角形一边平行线的判定定理证明两直线平行的一般步骤为：(1)首先观察欲证平行线截哪个三角形 (2)再观察它们截这个三角形的哪两边(3)最后只须证明这两条边上对应线段成比例即可当已知中有相等线段时,常利用它们和同一条线段(或其它相等线段)的比作为中间比例5如图9,A「B；C:分别在^ABC的三边BC、AC、AB上或其延长线上，且AA'//BB'//CC'求证：分析所证结论中出现的三条线段的倒数，解决此类问题，图9一般情况下，要将其转化为线段比的形式。证明：VCC,证明：VCC,//AA'.CC'BC,• =AA'BA1 1 1 1 =

AA'BB'CC'只需证脸+需二1 1 1 1 =

AA'BB'CC'只需证脸+需二-即将倒数和的形式化图10•.CC+CC="+g=也2=1

AA'BB'BAABAB点评对于线段倒数和的证明，常见的方法是化倒数形式为线段的比的形式，再利用平行线或相似三角1 1 1形有关性质进行求解，如本题中，要证 +—-=—，AABBCC为线段比的形式。例6如图10四边形ABCD中，NBAD的平分线交BD于E,EF//CD交BC于F,求证：BC=AD=1BFAB分析结论是两个线段比的差，可分别求出每一组线段的比，再进行减法运算。证明：VAE平分NBAD.•・AD=DE①ABBEDBCB在ABCD中VEF〃CD・，・ =——②BEBF②—①得BCADDBDE1 .BC = =1 •• BFABBEBE BFADAB例7如图11,AD为^ABC的角平线，BF±AD的延长线于F,AM±AD于A交BC的延长线于M,FC的延长线交AM于E,求证：AE=EM分析要证AE=EM,可利用比例缎来证明，而由BFXAF,可延长BF交AC延于N，构造等腰三角形，利用等腰三角形性质有BF=FN，再由BN//AM,得比例线段，即可得出结论。证明：延长BF交AC的延长线于NVAFXBF.\ZBFA=ZNFA=900XVZBAF=ZNAF,AF=AFBFFCENFC.•.△ABFSANF .\BF=NFVBFXAFAM±AFZ.BF//AM.\——二——，——二——EMECAECE.BFFN'• =EMAEXVBF=FN.\EM=AE点评（1）有和角平分线垂直线段时常把它延长，构造等腰三角形，利用等腰三角形性质证题（2）利用比例证明线段相等主要有以下形式ac==一③bd>na=cb=dac==一④bd>nb=da=c图12例8如图12把线段AB分成2：3两部分分析利用平行线分线段成比例定理作图作法；1.以点A为端点，作射线AM2.在AM上顺次截AD=2a,DE=3a（a为任意长）3.连结BE,过点D作DC//BE交AB于C,则点C即为所求［练习与测试］1.如图4ABC中，D、E、F分别在AB、AC、BC上，且DE//BC,EF//AB,AD=9,EF=6,CF=5,则BF= .直线DE分别交4ABC的边AB、AC于点D、E,且AD=4cm,AE=6cm、AB=12cm,AC=那么DE//BCAD2.如图DE//BCAD=2,DB3那么AC=匹=EC BC.如图在LJABCD中，E在AD上，BF且4AE=5DE,CE交BD于F,则BF-=DF.如图，梯形ABCD中，AD//BC,对角线AC、BD相交于O,CE//AB交BD的延长线于E,若OB=6,OD=3,则UDE=.如图，已知DC//EF//GH//AB, 1AB=30,CD=6,<DE：EG：GA=1：2：3, F<\则EF=GH=.如图，在口ABCD中， 2O1、O2、O3分别为对角线BD上三点， （第8题）且BO]=O1O2=O2O3=O3D,连结AO1,并延长交BC于E,连结EO3,并延长交AD于点F,则AD：FD=/G4/5 （第10题）（第13题（1））同理EF同理EF=CE，而EB=CE,CD=AD,AFAD2.图，l//1,AF=2GB,BC=4CD,1 2, 5若AE=k.EC,则k=.如图，CD是^ABC的角平分线，点E在AC上，AD=AE=2,AC=10,求DEABAC5.如图，CD是^ABC中，E为AC的中点，D为BC上的点，且BD=AB,求证：BC=AGABGD.已知，C是线段AB上一点，分别以AC、BC为边，在AB的同侧作两个等边三角形ACD和BCE,AE交CD于F,BD交CG于G,求证FG//AB.已知，BD为4ABC的角平分线，DE//BC,交AB于E,求证：1—+1—=1—ABBCDE.已知，如图（1）,梯形ABCD中，AD//BC,E、F分别在AB、CD上，且EF//BC,EF分别交BD、AC于M、N。①求证ME=NF②当EF向上平移图（2）各个位置其他条件不变时，①的结论是否成立，请证明你的判断。［练习与测试参考解答或提示］TOC\o"1-5"\h\z15 521.15；2.18cm； 3.5,-； 4. 9： 4； 5.9； 6.10, 18； 7. 9： 1； 8. 2； 9. 62 35AGAEBCEC.提示，过D作DH//AC交BG于H点，则八八二八口，D八二八口，又AE=EC,BD=AB,即可GDDHBDDH得结论。.略证，由NDCA=NEBA=600,有CD〃BE,则UBE=EG,CDCG贝UEG=EF，所以FG//ABCGAF12.略证，由DE/