人教B版数学课件2-2-3一元二次不等式的解法

2.2.3一元二次不等式的解法第二章2021内容索引0102课前篇自主预习课堂篇探究学习课标阐释思维脉络1.理解一元二次不等式的定义.(数学抽象)2.能够利用因式分解法和配方法解一元二次不等式.(数学运算)3.了解简单的分式不等式,并会求其解集.(逻辑推理,数学运算)课前篇自主预习【激趣诱思】城市人口的急剧增加使车辆日益增多,需要通过修建立交桥和高架道路形成多层立体的布局,以提高车速和通过能力.城市环线和高速公路网的联结也必须通过大型互通式立交桥进行分流和引导,保证交通的畅通.城市立交桥已成为现代化城市的重要标志.为了保证安全,交通运输部门规定,在立交桥的某地段的运行汽车的车距d正比于速度v的平方与车身长(单位:m)的积,且车距不得少于半个车身,假定车身长均为l(单位:m),当车速为60(单位:km/h)时,车距为1.44个车身长,在交通繁忙时,应规定怎样的车速,才使此处的车流量最大?【知识点拨】

知识点一、一元二次不等式的概念一般地,形如ax2+bx+c>0的不等式称为一元二次不等式,其中a,b,c是常数,而且a≠0.一元二次不等式中的不等号也可以是“<”“≥”“≤”等.名师点析

1.一元二次不等式的二次项系数a有a>0或a<0两种,注意a≠0.当a<0时,我们通常将不等式两边同乘以-1,化为二次项系数大于0的一元二次不等式,但要注意不等号要改变方向,这样我们只需要研究二次项系数大于0的一元二次不等式.2.一元二次不等式一定为整式不等式,例如,x2+<0就不是一元二次不等式.3.理解一元二次不等式的定义时,还需了解下列概念:(1)如果两个不等式的解集相同,那么这两个不等式称为同解不等式;(2)将一个不等式转化为另一个与它解集相同的不等式称为不等式的同解变形.微思考

下列不等式中,哪些是一元二次不等式(其中a,b,c,m为常数)?(1)ax2>0;(2)x3+5x-6≥0;(3)-x-x2≤0;(4)x2>0;(5)mx2-5y>0;(6)ax2+bx+c≤0;(7)x->0.提示

题号是否是一元二次不等式理

由(1)不是a=0时,不符合一元二次不等式的定义(2)不是x的最高次数为3(3)是符合一元二次不等式的定义(4)是符合一元二次不等式的定义(5)不是m=0时,为一元一次不等式.m≠0时,含有x,y两个未知数(6)不是a=0时,x的最高次数不是2(7)不是不是整式不等式知识点二、一元二次不等式的解法1.因式分解法解一元二次不等式一般地,如果x1<x2,则不等式(x-x1)(x-x2)<0的解集是(x1,x2);不等式(x-x1)(x-x2)>0的解集是(-∞,x1)∪(x2,+∞).2.配方法解一元二次不等式一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0)通过配方总是可以变为(x-h)2>k或(x-h)2<k的形式,然后根据k的正负等知识,就可以得到原不等式的解集.名师点析

1.解不含参数的一元二次不等式的方法(1)若不等式对应的一元二次方程能够分解因式,即能够转化为两个一次因式的乘积形式,则可以直接由因式分解法或不等式的性质得到不等式的解集.(2)若不等式对应的一元二次方程不能分解因式,则可对式子进行配方,化为完全平方式,再开根号求解.2.含有参数的不等式的解法解含有参数的一元二次型不等式应注意以下几点:(1)要以二次项系数与零的大小关系作为分类标准进行分类讨论;(2)转化为标准形式的一元二次不等式(即二次项系数大于零,不等式右边为零)后,再以判别式与零的大小关系作为分类标准进行分类讨论;(3)如果判别式大于零,但两根的大小还不能确定,此时再以两根的大小关系作为分类标准进行分类讨论.我们在解决以上问题时,最优的处理次序应先看二次项系数的正负,其次考虑Δ,最后分析两根的大小.分类讨论应注意以下问题:①对参数分类时要目标明确,讨论时要不重不漏.②最后结果要分类回答,切不可取并集,解集为⌀时,也是其中一类,不要随便丢掉.③弄清分类原因,能更好地、合理地对参数分类.④并不是所有含参数的问题都需要分类讨论.(2)解不等式:7+6x-x2≥0.解

由7+6x-x2≥0,得x2-6x-7≤0,即x2-6x≤7,配方,得x2-6x+9≤16,即(x-3)2≤16,两边开平方,得|x-3|≤4,从而可知-4≤x-3≤4,即-1≤x≤7.所以原不等式的解集为[-1,7].知识点三、分式不等式的解法1.分式不等式的概念分母中含有未知数的不等式叫做分式不等式.各种分式不等式经过同解变形,都可化为标准形式

>0(≥0)或

<0(≤0)(其中f(x),g(x)为整式,且g(x)不为0).2.分式不等式的解法解分式不等式的思路——转化为整式不等式求解.化分式不等式为标准型的方法:移项,通分,右边化为0,左边化为

的形式.将分式不等式转化为整式不等式的同解变形如下表:微练习

答案

C课堂篇探究学习探究一一元二次不等式的概念例1①x2+x+1<0,②-x2-4x+5≤0,③x+y2+1>0,④mx2-5x+1>0,⑤-x3+5x≥0,⑥(a2+1)x2+bx+c>0(m,a∈R).其中关于x的不等式是一元二次不等式的是

.(请把正确的序号都填上)

答案

①②⑥解析

①②是;③不是;④不一定是,因为当m=0时,它是一元一次不等式;⑤不是,因为未知数的最高次数是3;⑥是,尽管x2的系数含有字母,但a2+1≠0,所以⑥与④不同,故答案为①②⑥.反思感悟

1.形如ax2+bx+c>0(a≠0)的不等式,叫做一元二次不等式,不等号也可以是“<”“≥”“≤”.2.“只含一个未知数”,并不是说在代数式中不能含有其他的字母类的量,只要明确指出这些字母所代表的量,哪一个是变量,是“未知数”,哪一些是“参数”就可以.3.“次数最高是2”,仅限于“未知数”,若还含有其他参数,则次数不受此条件限制.变式训练

1判断下列不等式哪些是一元二次不等式(其中a,b,c,m为常数),并说明理由.(1)x2>0;(2)-x-x2≤5;(3)ax2>2;(4)x3+5x-6>0;(5)mx2-5y<0;(6)ax2+bx+c>0.解

(1)(2)是,(1)(2)符合一元二次不等式的概念.(3)不是,因为当a=0时,不等式化为0>2,不符合一元二次不等式的概念.(4)不是,因为x的最高次数为3,不符合一元二次不等式的概念.(5)不是,因为当m=0时,它为一元一次不等式;当m≠0时,它含有两个未知数.(6)不是,因为当a=0时,不等式化为bx+c>0,不符合一元二次不等式的概念.探究二一元二次不等式的解法例2解下列不等式:(1)-2x2-x+6≥0;(2)x2+x+1>0;(3)(3x-1)(x+1)>4.分析(1)(3)利用因式分解法求解;(2)用配方法解不等式即可.反思感悟

一元二次不等式的解题策略1.因式分解法:不等式的左端能够进行因式分解的可用此法,它只能适用于解决一类特殊的不等式.2.配方法:一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0)通过配方总可以化为(x-h)2>k或(x-h)2<k的形式,然后根据k值的正负即可求得不等式的解集.变式训练

2解下列不等式:(1)x2-4x-5≤0;探究三分式不等式的解法A.(-∞,-1)∪(2,+∞) B.(-∞,-2)∪(2,+∞)C.(-2,2) D.(-1,2)分析(1)先把分式不等式化为等价的整式不等式后再求解;(2)根据不等式及解集,可判断a的符号及

=2.将所求不等式变形,结合一元二次不等式解法即可求得解集.答案

(1){x|-4<x<2}

(2)B反思感悟

这里的f(x),g(x)为整式,且g(x)不为0.探究四含参数的一元二次不等式的解法例4(2020江西南昌高一月考)解关于x的不等式ax2-2≥2x-ax(a∈R).分析将原不等式因式分解化为(ax-2)(x+1)≥0,对参数a分5种情况讨论:a=0,a>0,-2<a<0,a=-2,a<-2,分别解不等式.要点笔记

本题考查了含有参数的一元二次不等式的解法,运用分类讨论思想求解时,要注意分类的标准要恰当,同时应做到不重不漏的原则.变式训练

3解不等式:x2+(2-a)x-2a≥0.解

由x2+(2-a)x-2a≥0得,(x+2)(x-a)≥0,①当a=-2时,不等式的解集是R;②当a>-2时,不等式的解集是(-∞,-2]∪[a,+∞);③当a<-2时,不等式的解集是(-∞,a]∪[-2,+∞).

素养形成求不等式恒成立问题中参数范围的常见方法1.利用一元二次方程根的判别式解一元二次不等式在R上的恒成立问题.设y=ax2+bx+c(a≠0),则当未说明不等式为一元二次不等式时,有

2.分离自变量和参变量,利用等价转化思想将原问题转化为求函数的最值问题.典例若关于x的不等式(m2-2m-3)x2-(m-3)x-1<0对于x∈R恒成立,求实数m的取值范围.方法点睛

不等式在某区间上恒成立问题设y=ax2+bx+c(a≠0).(1)a>0时,y<0在区间[α,β]上恒成立⇔二次函数在区间两个端点处的函数值均小于零;(2)a<0时,y>0在区间[α,β]上恒成立⇔二次函数在区间两个端点处的函数值均大于零;(3)y>0在区间[α,β]上恒成立⇔[α,β]⊆A,其中A是y>0的解集.变式训练

已知y=3x2+bx+c,不等式y>0的解集为(-∞,-2)∪(0,+∞).(1)求函数的解析式;(2)若对于任意的x∈[-2,2],y+m≤3恒成立,求实数m的最大值.解

(1)易知-2和0是y=0的两个根,可得