山东省临沂市临沭县第一中学高二数学上学期第一次月考试题

PAGE8-临沭一中高14级高二上学期月度学业水平测试数学试题10月本试卷分第一卷（选择题）和第二卷（非选择题）两局部．总分值150分．测试时间120分钟．第一卷1至2页，第二卷3至4页.考前须知：1．答第一卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂在答题卡上．2．每题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选择其它答案标号．不能答在试题卷上．第一卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题；每题5分，共50分．在每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，把正确选项的代号涂在答题卡上．1．在△ABC中，已知A＝30°，a＝8，b＝8eq\r(3)，那么△ABC的面积等于()A．32eq\r(3) B．16 C．32eq\r(6)或16 D．32eq\r(3)或16eq\r(3)2．数列{an}的通项公式是an＝2n，Sn是数列{an}的前n项和，那么S10等于()A．10 B．211－2C．210－2 D．2103．不解三角形，以下判断正确的选项是()A．a＝4，b＝5，A＝30°，有一解B．a＝5，b＝4，A＝60°，有两解C．a＝eq\r(3)，b＝eq\r(2)，A＝120°，有两解D．a＝eq\r(3)，b＝eq\r(6)，A＝60°，无解4．在数列{an}中，已知a1＝1，a2＝5，an＋2＝an＋1－an，那么a2015等于()A．－1B．－5C．1D．－45．在△ABC中，已知sin2A＝sin2B＋sin2C，且sinA＝2sinBcosC，那么△A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形6．设{an}是公差为正数的等差数列，假设a1＋a2＋a3＝15，a1a2a3A．120 B．105C．90 D．757．一个只有有限项的等差数列，它前5项的和为34，最后5项的和为146，所有项的和为234，那么它的第7项等于()A．22 B．21C．19 D．188．三个不同的实数a，b，c成等差数列，又a，c，b成等比数列，那么eq\f(a,b)等于()A．－2 B．2C．－4 D．49．在△ABC中，a，b，c分别为三内角A，B，C所对的边，假设B＝2A，那么b∶2A．(－2,2) B．(0,2) C．(－1,1) D．(eq\f(1,2)，1)10．假设数列{an}是等差数列，首项a1>0，a2007＋a2023>0，a2007·a2023<0，那么使前n项和Sn>0成立的最大自然数n是()A．4016 B．4015C．4014 D．4013第二卷（非选择题共100分）考前须知：1．用蓝黑钢笔或圆珠笔答在答题纸上，直接答在试题卷上无效．2．答题前将答题纸密封线内的工程填写清楚．二、填空题：（本大题共5个小题.每题5分；共25分．）11．A、B两个小岛相距10nmile，从A岛望C岛与B岛成60°角，从C岛望B岛与A岛成45°角，那么B、C间距离为________．12．数列{an}中的前n项和Sn＝n2－2n＋2，那么通项公式an＝________.13．化简1＋eq\f(1,1＋2)＋eq\f(1,1＋2＋3)＋…＋eq\f(1,1＋2＋3＋…＋n)的结果是________．14．在锐角三角形ABC中，∠BAC＝45°，AD为BC边上的高，且BD＝2，DC＝3，那么三角形ABC的面积是________．15．等差数列{an}中，假设S12＝8S4，且d≠0，那么eq\f(a1,d)等于________．三、解答题：本大题共6个小题.共75分．解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤.16．(本小题12分)三个数成等比数列，其积为512，如果第一个数与第三个数各减2，那么成等差数列．求这三个数．17．(本小题12分)在△ABC中，已知sinC＝eq\f(sinA＋sinB,cosA＋cosB)，试判断三角形的形状．18．(本小题12分)求和：(a－1)＋(a2－2)＋…＋(an－n)，a≠0.19．(本小题12分)在△ABC中，BC＝eq\r(5)，AC＝3，sinC＝2sinA.(1)求AB的值；(2)求sin(2A－eq\f(π,4))的值．20．(本小题13分)△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，tanC＝eq\f(sinA＋sinB,cosA＋cosB)，sin(B－A)＝cosC.(1)求A，C；(2)假设S△ABC＝3＋eq\r(3)，求a，c.21．(本小题14分)设数列{an}的前n项和为Sn，点(n，eq\f(Sn,n))(n∈N＋)均在函数y＝3x－2的图象上．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝eq\f(3,anan＋1)，Tn是数列{bn}的前n项和，求使得Tn<eq\f(m,20)对所有n∈N＋都成立的最小正整数m.

临沭一中高14级高二上学期月度学业水平测试数学试题参考答案10月1．解析：由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，得64＝192＋c2－2×8eq\∴c2－24c＋128＝0，解得c当c＝8时，S△ABC＝eq\f(1,2)bcsinA＝16eq\r(3)；当c＝16时，S△ABC＝eq\f(1,2)bcsinA＝32eq\r(3).答案：D2．解析：∴数列{an}是公比为2的等比数列且a1＝2.答案：B3．解析：A中∵bsin30°<a<b，∴三角形有两解，A不正确；B中∵a>b，∴A>B，B为锐角，∴三角形有一解，B不正确；C中∵a>b，∴三角形有一解，C不正确；D中∵a<bsin60°，∴三角形无解，D正确．答案：D4．解析：由题意可得a3＝4，a4＝－1，a5＝－5，a6＝－4，a7＝1，…，可知数列{an}是以6为周期的数列，且a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝0，又知2015除以6余数为5，所以a2015＝a5＝－5.答案：B5．解析：由sin2A＝sin2B＋sin2C及正弦定理可知a2＝b2＋c2⇒而由sinA＝2sinBcosC，可得sin(B＋C)＝2sinBcosC，整理得sinBcosC＝cosBsinC，即sin(B－C)＝0，故B＝C.综合上述：B＝C＝eq\f(π,4)，A＝eq\f(π,2).答案：D6．解析：{an}是公差为正数的等差数列，假设a1＋a2＋a3＝15，即3a2＝15，那么a2又a1a2a3＝80，∴a1a3＝(5－d)(5＋d)＝16，∴d答案：B7．解析：设该数列有n项，且首项为a1，末项为an,公差为d.那么依题意有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5a1＋10d＝34，①,5an－10d＝146，②,\f(a1＋an,2)·n＝234，③))①＋②可得a1＋an＝36.代入③得n＝13.从而有a1＋a13＝36.又所求项a7恰为该数列的中间项，∴a7＝eq\f(a1＋a13,2)＝eq\f(36,2)＝18.应选D.答案：D8．解析：∵2b＝a＋c，∴c＝2b－a.∵c2＝ab，∴a2－5ab＋4b2＝0，∴a＝b(舍去)或a＝4b，∴eq\f(a,b)＝4.答案：D9．解析：eq\f(b,2a)＝eq\f(sinB,2sinA)＝eq\f(sin2A,2sinA)＝cosA，又A＋B＋C＝π，故0<A<eq\f(π,3)，∴cosA∈(eq\f(1,2)，1)．答案：D10．解析：由已知a1>0，a2007·a2023<0，可得数列{an}为递减数列，即d<0，a2007>0，a2023<0.利用等差数列的性质及前n项和公式可得所以使前n项和Sn>0成立的最大自然数n是4014，选C.答案：C11．答案：5eq\r(6)nmile12．解析：当n＝1时，a1＝S1＝1；当n>1时，an＝Sn－Sn－1＝(n2－2n＋2)－[(n－1)2－2(n－1)＋2]＝2n－3.又n＝1时，2n－3≠a1，所以有an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，n＝1，,2n－3，n>1.))答案：an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，n＝1，,2n－3，n>1))13．解析：∵eq\f(1,1＋2＋3＋…＋n)＝eq\f(2,nn＋1)＝2(eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1))，∴原式＝2(eq\f(1,1)－eq\f(1,2))＋2(eq\f(1,2)－eq\f(1,3))＋…＋2(eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1))＝eq\f(2n,n＋1).答案：eq\f(2n,n＋1)14．解析：设AD＝h，那么tan∠BAD＝eq\f(2,h)，tan∠CAD＝eq\f(3,h)，又∠BAD＋∠CAD＝eq\f(π,4)，故eq\f(\f(2,h)＋\f(3,h),1－\f(6,h2))＝1⇒h2－5h－6＝0.∴h＝6或h＝－1(舍去)故.答案：1515．解析：∵S12＝12a1＋66d，S4＝4a1＋6d，又S12＝8S4，∴12a1＋66d＝32a1＋48d.∴20a1＝18d，∴eq\f(a1,d)＝eq\f(18,20)＝eq\f(9,10).答案：eq\f(9,10)16．(本小题12分)三个数成等比数列，其积为512，如果第一个数与第三个数各减2，那么成等差数列．求这三个数．解：设三数为eq\f(a,q)，a，aq.由题意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a3＝512，,\f(a,q)－2＋aq－2＝2a，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝8，,q＝2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝8，,q＝\f(1,2).))所以这三个数为4,8,16或16,8,4.17．(本小题12分)在△ABC中，已知sinC＝eq\f(sinA＋sinB,cosA＋cosB)，试判断三角形的形状．解：∵sinC＝eq\f(sinA＋sinB,cosA＋cosB)，由正弦定理得c(cosA＋cosB)＝a＋b，再由余弦定理得c·eq\f(c2＋b2－a2,2bc)＋c·eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝a＋b，∴a3＋a2b－ac2－bc2＋b3＋ab2＝0∴(a＋b)(c2－a2－b2)＝0，∴c2＝a2＋b2，∴△ABC为直角三角形．18．(本小题12分)求和：(a－1)＋(a2－2)＋…＋(an－n)，a≠0.解：原式＝(a＋a2＋…＋an)－(1＋2＋…＋n)＝(a＋a2＋…＋an)－eq\f(nn＋1,2)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a1－an,1－a)－\f(nn＋1,2)a≠1，,\f(n－n2,2)a＝1.))19．(本小题12分)在△ABC中，BC＝eq\r(5)，AC＝3，sinC＝2sinA.(1)求AB的值；(2)求sin(2A－eq\f(π,4))的值．解：(1)在△ABC中，根据正弦定理，eq\f(AB,sinC)＝eq\f(BC,sinA)，于是AB＝eq\f(sinC,sinA)BC＝2BC＝2eq\r(5).(2)在△ABC中，根据余弦定理，得cosA＝eq\f(AB2＋AC2－BC2,2AB·AC)＝eq\f(2\r(5),5)，于是sinA＝eq\r(1－cos2A)＝eq\f(\r(5),5).从而sin2A＝2sinAcosA＝eq\f(4,5)，cos2A＝cos2A－sin2A＝eq\f(3,5)，所以sin(2A－eq\f(π,4))＝sin2Acoseq\f(π,4)－cos2Asineq\f(π,4)＝eq\f(\r(2),10).20．(本小题13分)△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，tanC＝eq\f(sinA＋sinB,cosA＋cosB)，sin(B－A)＝cosC.(1)求A，C；(2)假设S△ABC＝3＋eq\r(3)，求a，c.解：(1)∵tanC＝eq\f(sinA＋sinB,cosA＋cosB)，即eq\f(sinC,cosC)＝eq\f(sinA＋sinB,cosA＋cosB)，∴sinCcosA＋sinCcosB＝cosCsinA＋cosCsinB，即sinCcosA－cosCsinA＝cosCsinB－sinCcosB，得sin(C－A)＝sin(B－C)．∴C－A＝B－C或C－A＝π－(B－C)(不成立)．即2C＝A＋B，得C＝eq\f(π,3).∴B＋A＝eq\f(2π,3).又∵sin(B－A)＝cosC＝eq\f(1,2)，那么B－A＝eq\f(π,6)或B－A＝eq\f(5π,6)(舍去)，得A＝eq\f(π,4)，B＝eq\f(5π,12).(2)S△ABC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(\r(6)＋\r(2),8)ac＝3＋eq\r(3)，又eq\f(a,sinA)＝eq\f(c,sinC)，即eq\f(a,\f(\r(2),2))＝eq