立体几何中的向量法课件

立体几何中的向量方法立体几何中的向量方法立体几何中的向量法课件立体几何中的向量法课件立体几何中的向量法课件立体几何中的向量法课件立体几何中的向量法课件考点精练1．已知两平面的法向量分别为m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，则两平面所成的二面角为(

)A．45°

B．135°

C．45°或135°

D．90°考点精练解析：如图，建立空间直角坐标系O－xyz，令正四棱锥的棱长为2，立体几何中的向量法课件立体几何中的向量法课件立体几何中的向量法课件立体几何中的向量法课件4．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，O是A1B1C1D1的中心，则O到平面ABC1D1的距离是(

)4．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，O是A立体几何中的向量法课件立体几何中的向量法课件立体几何中的向量法课件题型一利用空间向量证明平行与垂直例1

如图，已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，且AB＝AA1，D、E、F分别为B1A、C1C、BC的中点．求证：(1)DE∥平面ABC；(2)B1F⊥平面AEF.题型一利用空间向量证明平行与垂直证明：如图建立空间直角坐标系A－xyz，令AB＝AA1＝4，则A(0,0,0)，E(0,4,2)，F(2,2,0)，B(4,0,0)，B1(4,0,4)．证明：如图建立空间直角坐标系A－xyz，令AB＝AA1＝4，立体几何中的向量法课件立体几何中的向量法课件解后反思：证明线面平行和垂直问题，可以用几何法，也可以用向量法．用向量法的关键在于构造向量，再用共线向量定理或共面向量定理及两向量垂直的判定定理．若能建立空间直角坐标系，其证法较为灵活方便．解后反思：证明线面平行和垂直问题，可以用几何法，也可以用向量题型二利用空间向量求空间线线角与线面角例2

如图，已知点P在正方体ABCD－A′B′C′D′的对角线BD′上，∠PDA＝60°.(1)求DP与CC′所成角的大小；(2)求DP与平面AA′D′D所成角的大小．题型二利用空间向量求空间线线角与线面角立体几何中的向量法课件立体几何中的向量法课件立体几何中的向量法课件题型三利用空间向量求空间面面角与点面距离例3

如图所示，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1中点．(1)求证：AB1⊥平面A1BD；(2)求二面角A－A1D－B的大小；(3)求点C到平面A1BD的距离．题型三利用空间向量求空间面面角与点面距离解析：(1)取BC中点O，连接AO.∵△ABC为正三角形，∴AO⊥BC.∵在正三棱柱ABC－A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，∴AO⊥平面BCC1B1.解析：(1)取BC中点O，连接AO.立体几何中的向量法课件立体几何中的向量法课件立体几何中的向量法课件立体几何中的向量法课件题型四利用空间向量研究空间中的探索性问题例4

如图①所示的正△ABC的边长为4，CD是AB边上的高，E、F分别是AC和BC边的中点，现将△ABC沿CD翻折成直二面角A－DC－B(如图②)．在图②中：(1)试判断直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由．(2)求二面角E－DF－C的余弦值．(3)在线段BC上是否存在一点P，使AP⊥DE？证明你的结论．题型四利用空间向量研究空间中的探索性问题解析：(1)在△ABC中，由E、F分别是AC、BC的中点，得EF∥AB，又AB⊄平面DEF，EF⊂平面DEF.∴AB∥平面DEF.解析：(1)在△ABC中，由E、F分别是AC、BC的中点，立体几何中的向量法课件立体几何中的向量法课件解后反思：对于探索性问题，一般先假设存在，设出空间点的坐标，转化为代数方程是否有解的问题，若有解且满足题意则存在，若有解但不满足题意或无解则不存在．解后反思：对于探索性问题，一般先假设存在，设出空间点的坐标，方法技巧1．用向量知识证明立体几何问题有两种基本思路：一种是用向量表示几何量，利用向量的运算进行判断；另一种是用向量的坐标表示几何量，共分三步：(1)建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量(或坐标)表示问题中所涉及的点、线、面，把立体几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究点、线、面之间的位置关系；(3)根据运算结果的几何意义来解释相关问题．方法技巧2．若利用向量求角，各类角都可以转化为向量的夹角来运算．(1)求两异面直线a、b的夹角θ，须求出它们的方向向量a，b的夹角，则cosθ＝|cos〈a，b〉|.(2)求直线l与平面α的夹角θ可先求出平面α的法向量n与直线l的方向向量a的夹角，则sinθ＝|cos〈n，a〉|.(3)求二面角α－l－β的大小θ，可先求出两个平面的法向量n1，n2所成的角，则θ＝〈n1，n2〉，或π－〈n1，n2〉．3．求点到平面的距离，若用向量知识，则离不开以该点为端点的平面的斜线段．2．若利用向量求角，各类角都可以转化为向量的夹角来运算．失误防范1．用向量知识证明立体几何问题，仍然离不开立体几何中的定理．如可证明线面平行，只需要证明平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，即化归为证明线线平行，用向量方法证直线a∥b，只需证明向量a＝λb(λ∈R)即可．若用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行，仍需强调直线在平面外．2．利用向量求角，一定要注意将向量夹角转化为各空间角．因为向量夹角与各空间角的定义、范围不同．失误防范

随堂反馈1．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4，点D是AB的中点，求证：(1)AC⊥BC1；(2)AC1∥平面CDB1.随堂反馈证明：∵直三棱柱ABC－A1B1C1底面三边长AC＝3，BC＝4，AB＝5，且C1C垂直底面，∴AC、BC、C1C两两垂直．如图，以C为坐标原点，直线CA，CB，CC1分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．证明：∵直三棱柱ABC－A1B1C1底面三边长AC＝3，BC立体几何中的向量法课件2．(2010·课标全国卷)如图，已知四棱锥P－ABCD的底面为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，垂足为H，PH是四棱锥的高，E为AD中点．(1)证明：PE⊥BC；(2)若∠APB＝∠ADB＝60°，求直线PA与平面PEH所成角的正弦值．2．(2010·课标全国卷)如图，已知四棱锥P－ABCD的底立体几何中的向量法课件立体几何中的向量法课件立体几何中的向量法课件解析：由题意分析可知PA⊥AB，PA⊥AE，AB⊥AE，分别以AB，AE，AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则B(2a,0,0)，E(0,2a,0)，P(0,0,2a)，D(a,2a,0)，C(2a，a,0)．过A作AN⊥PD于N.解析：由题意分析可知PA⊥AB，PA⊥AE，AB⊥AE，分别立体几何中的向量法课件4．如图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD＝DC，E、F分别是AB、PB的中点．(1)求证：EF⊥CD.(2)求DB与平面DEF所成角的正弦值．(3)在平面PAD内是否存在一点G，使G在平面PCB上的射影为△PCB