数字图像处理第六章

1第六章图像的几何变换2第六章图像的几何变换原则上，所有图像处理都是图像的变换。图像变换特指数字图像经过某种数学工具的处理，把原先二维空间域的数据，变换到另外一个“变换域”形式描述的过程。如：傅立叶变换将时域或空域信号变换成频域的能量分布描述。通常“另外一个变换域”更集中地代表了图像中的有效信息，或者是更便于达到某种处理目的。3

4第六章图像的几何变换几何变换是一种简单的变换。几何变换仍然在空间域。几何变换的许多算法与图形学相似。几何变换包括：平移，旋转，镜象变换，转置，放缩等。几何变换基于矩阵运算。56.1复习1.矩阵及其运算（复习）：矩阵：由m×n个数按一定位置排列的一个整体，简称m×n阶矩阵。

Am×n=

其中，aij称为矩阵A的第i行第j列元素。6

6.1复习1.矩阵及其运算（复习）：矩阵加法设A，B为两个具有相同行和列元素的矩阵：

A+B=对应位置的元素相加；只有在两个矩阵的行数和列数都相同时才能加法。76.1复习1.矩阵及其运算（复习）：矩阵的乘法只有当前一矩阵的列数等于后一矩阵的行数时两个矩阵才能相乘。C=Cm×p=Am×n·Bn×pcij=∑aik*bkj例：设A为2x3的矩阵，B为3x2的矩阵，则两者的乘积为：k=1,n86.1复习1.矩阵及其运算（复习）：方阵：nxn阶矩阵称为（n阶）方阵。单位矩阵在一矩阵中，其主对角线各元素aii=1,其余皆为0的矩阵称为单位矩阵。n阶单位矩阵通常记作In，并有：

Am×n=Am×n·InAm×n=Im·Am×n96.1复习1.矩阵及其运算（复习）：矩阵的转置交换一个矩阵Amxn的所有的行列元素，那么所得到的nxm的矩阵被称为原有矩阵的转置，记为AT：(AT)T=A(A+B)T=AT+BT(aA)T=aAT(A·B)T=BT·AT当A为n阶矩阵，且A=AT，则A是对称矩阵。106.1复习1.矩阵及其运算（复习）：矩阵的逆对于一个nxn的方阵A，如果存在一个nxn的方阵B，使得A·B=B·A=In，则称B是A的逆，记为：

B=A-1，

A则被称为非奇异矩阵。矩阵的逆是相互的，A同样也可记为A

=B-1

，B也是一个非奇异矩阵。任何非奇异矩阵有且只有一个逆矩阵。116.1复习1.矩阵及其运算（复习）：矩阵运算的基本性质：交换律与结合律：

A+B=B+A;A+(B+C)=(A+B)+C数乘的分配律及结合律：

a(A+B)=aA+aB;a(A·B)=(aA)·B=A·(aB)(a+b)A=aA+bAa(bA)=(ab)A矩阵乘法的结合律及分配律：

A(B·C)=(A·B)C(A+B)·C=A·C+B·CC·(A+B)=C·A+C·B矩阵的乘法不适合交换律。126.1复习2.屏幕坐标系统屏幕坐标系统在文本方式与图形方式下是不同的：文本方式下屏幕坐标系统以字符为单位，从1开始；图形方式下屏幕坐标系统以象素为单位，从0开始。图形方式下屏幕坐标系统用以确定某一象素在屏幕上的位置。

屏幕坐标系统的概念有：物理坐标；视口坐标；窗口坐标。136.1复习2.屏幕坐标系统1）物理坐标物理坐标取决于图形硬件系统，坐标取值总是正整数；原点0，0在屏幕左上角；x向右为正；y向下为正；x、y的最大值取决于显示模式；如VGA模式则为639，479。0,0xy146.1复习2.屏幕坐标系统2）视口与视口坐标视口是图形方式下屏幕上的一个矩形区域，当前图形显示均在当前视口；缺省地，视口是整个屏幕；视口可以同时有多个，可以重叠；视口坐标是将原点移至物理坐标系上某一点形成的；视口坐标也以象素为单位，坐标取值总是正整数；原点0，0在视口左上角；x向右为正；y向下为正；x、y的最大值取决于视口的大小（象素数）。0,0xy0,0xy156.1复习2.屏幕坐标系统3）窗口与窗口坐标可将当前视口设置成图形窗口，窗口使用窗口坐标系。窗口坐标系是将当前视口的坐标系重新设置形成的。窗口坐标系可以是实数或双精度实数，可有任意取值。通常，窗口坐标系可按人们习惯的形式设置为：x向右为正，y向上为正，原点可以在任意位置。一般地，用户在图形系统中使用窗口坐标系，图形系统底层在将图形输出到显示屏幕时将窗口坐标转换到视口坐标。0,0xy0,0xy166.2齐次坐标所谓齐次坐标就是将一个原本是n维的向量用一个n+1维向量来表示。如向量的齐次坐标表示为：其中h是一个实数。显然一个向量的齐次表示是不唯一的，齐次坐标的h取不同的值都表示的是同一个点，比如齐次坐标[8,4,2]、[4,2,1]表示的都是二维点。通常都采用规格化的齐次坐标，即取h=1。(x,y)的规格化齐次坐标为(x,y,1)。齐次坐标的几何意义：可理解为在三维空间上第三维为常数的一平面上的二维向量。176.2齐次坐标齐次坐标的作用：将各种变换用阶数统一的矩阵来表示：

提供了用矩阵运算把二维、三维甚至高维空间上的一个点从一个坐标系变换到另一坐标系的有效方法。便于表示无穷远点。

例如：（x*h,y*h,h)，令h等于0实际上就表示了n维空间的一个无穷远点。对于齐次坐标[a,b,h]，保持a,b不变，h→0的过程就表示了在二维坐标系中的一个点沿直线ax+by=0逐渐走向无穷远处的过程。186.3几何变换的变换矩阵二维齐次坐标变换的矩阵的形式是：这个矩阵每一个元素都是有特殊含义的。其中可以对图形进行缩放、旋转、对称、错切等变换；是对图形进行平移变换；是对图形作投影变换；则是对图形整体进行缩放变换。196.3几何变换的变换矩阵标准齐次坐标(x,y,1)平移旋转

缩放X’Y’1=XY110dx01dy001cosa-sina0

sinacosa0001X’Y’1=XY1X’Y’1=Sx000Sy0001XY1206.3几何变换的变换矩阵1.平移变换从点P[x,y]平移到点P’[x’,y’]x’=x+my’=y+nP(x,y)P’(x’y’)mnXY216.3几何变换的变换矩阵2.旋转变换一个点绕原点的旋转，逆时针方向为正。αθρ(x,y)(x’,y’)226.3几何变换的变换矩阵3.比例变换P(x,y)P’(x’,y’)x’=x*sxy’=y*sySx=Sy：均匀缩放。Sx=Sy>1，放大Sx=Sy<1，缩小Sx不等于Sy时，沿坐标轴方向伸展和压缩YX236.3几何变换的变换矩阵4.对称变换对称变换其实只是a、b、d、e取0、1等特殊值产生的一些特殊效果。例如：

当b=d=0，a=-1，e=1时有x’=-x，y’=y，与y轴对称；当b=d=0，a=1，e=-1时有x’=x，y’=-y，与x轴对称；当b=d=0，a=e=-1时有x’=-x，y’=-y，与原点对称；当b=d=1，a=e=0时有x’=y，y’=x，与直线y=x对称；当b=d=-1，a=e=0时有x’=-y，y’=-x，与直线y=-x对称。246.3几何变换的变换矩阵4.对称变换关于X轴的对称变换

P(x,y)对称点为P’(x,-y)关于Y轴的对称变换

P(x,y)对称点为P’(-x,y)关于坐标原点的对称变换

P(x,y)关于原点的对称点为P’(-x,-y)256.3几何变换的变换矩阵5.错切变换

(SHEAR)当d=0时，x’=x+by，y’=y，此时，图形的y坐标不变，x坐标随初值（x，y）及变换系数b作线性变化。当b=0时，x’=x，y’=dx+y，此时，图形的x坐标不变，y坐标随初值（x，y）及变换系数d作线性变化。

266.3几何变换的变换矩阵5.错切变换

(SHEAR)(1)沿x方向产生错切

x’=x+y*tag(θ) y’=y(2)沿y方向产生错切

x’=x y’=y+x*tag(θ)θ(x,y)(x’,y’)θ(x,y)(x’,y’)YXYX276.3几何变换的变换矩阵6.常用变换实例：286.3几何变换的变换矩阵7.复合变换复合变换的一般方法：例：关于任意参照点的旋转变换例：关于任意参照点的缩放变换

变换分解变换合成296.4图像几何变换中的特殊问题1.平移(Trans