广东省江门市台山市名校2023-2024学年高三上学期第一次月考数学试题（Word版含答案）

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数学参考答案

1~8DBBACBAC9.ACD10.ABC11.BCD12.BC

13.14.15.16.

3.解：由方程有正实数根，则等价于函数有正零点，

由二次函数的对称轴为，则函数只能存在一正一负的两个零点，

则，解得，，

”是“方程有正实数根”的必要不充分条件．故选：．

6.解：若小王在号路口，小李在号路口，则剩余个人分到两个路口，

两个路口为人分布，共有种方案，

两个路口为人分布，共有种方案，此时共有种方案；

同理若小王在号路口，小李在号路口，也共有种方案．

所以一共有种不同的安排方案种数．故选：．

7.解：当时，设，则，

则在上单调递增，所以，

可得，可得，即

，

设，则，因为，

当时，．所以在上单调递增，所以，即，

所以．故选A．

8.解：令，则在上单调递减

令，则．

由，得或

由，得，

所以在和上单调递增，在上单调递减，

于是，的极大值为，极小值为．

在同一坐标系中作出两函数和的图象，如下图：

显然由，得由的解析式，得

若，当时，，不符合题意

若，当时，，不符合题意

若，

时，

当时，，即

由，时符合题意．

此时，结合图象可知，当时，在上没有零点，在上有个零点

当时，在上有个零点，在上有个或个零点．

综上，最多有个零点．故选C．

9.【答案】

解：项：由图可知众数为，故A正确；

项：均值为，故B错误

项：占比，占比，占比，占比为，

，，所以中位数为，故C正确；

项：成绩大于或等于的占比为，

所以全部大一新生中有资格的约为人，故D正确．故选ACD．

10.【答案】

解：，一定成立

，一定成立

又，故，一定成立

令，，即可推得不一定成立．故选ABC．

11.【答案】

解：两个变量的相关系数为，则越小，与之间的相关性越弱，A错误；

B.设随机变量服从正态分布，则，若，则，B正确；

C.在回归分析中，越接近于，模型的拟合效果越好，所以为的模型比为的模型拟合的更好，C正确；

D.某人在次答题中，答对题数为，，则数学期望，说明答对题的概率最大，D正确．

另解：假设答对题的概率最大，则，解得，因为，故，即答对题的概率最大，D正确．故选：．

12.【答案】

解：由函数，

令，则，可得，

可得，

所以为偶函数，即函数的图象关于对称，

又由，令，

可得，所以为单调递增函数，且，

当时，，单调递增，即时，单调递增；

当时，，单调递减，即时，单调递减，

由不等式，可得，即

所以不等式恒成立，即恒成立，

所以的解集为，所以且，

解得，结合选项，可得适合．故选：．

13.【答案】

解：由题知命题的否定“，”是真命题．

令，

则解得，故实数的最大值为．故答案为：．

14.【答案】

解：由，

设与的夹角为，则，

因为，所以．故答案为：．

15.【答案】

解：，，成等差数列，，

即，．故答案为．

16.【答案】

解：用和分别表示取一人是来自甲学院与乙学院，表示抽取一人恰好是女生，

则根据已知有，，且，，

所以．故答案为．

17.【答案】解：根据正弦定理，，．

可得；

当时，由，

，，角为锐角，，

在中，

，

．

18.【答案】解：，

则，得．

由题意，可得曲线在点处的切线方程为，即；

由已知得，又由知，所以．

故，，，

由，得或由，得，

故在上的单调递增区间为和单调递减区间为

19.【答案】证明：取的中点，连接，．

，．

又平面平面，且平面平面，平面，

平面，而平面，则．

在菱形中，，为等边三角形，

的中点为，，

，

，，平面，

平面，

平面，C.

由平面，，平面，

，，又，

以，，所在的直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，

则，

，，．

设平面的法向量为，

由，取，得．

设平面的法向量为，

由，取，得．

设二面角的大小为，由图可知为钝角，

，则．

二面角的正弦值为．

20.【答案】解：，

，

数列为首项为，公比为等比数列

由可得

即

而随着的增大而增大

要使，即，则

的最小值为．

21.【答案】解：椭圆：与轴的正半轴相交于点，点，为椭圆的焦点，且是边长为的等边三角形，

，，，

椭圆：

联立，得，

，解得或，

设，，则，，

．

直线，的斜率之积为定值．

，

到直线：的距离，

的面积

，

当且仅当，即时，的面积取最大值．

22.【答案】解：由题意可知的可能取值有、、、，

，，

，

所以随机变量的分布列如下表所示：

所以；

他们在每轮答题中取得胜利的概率为：

，

由，，，得，

则，因此，

令，，

于是当时，，

要使答题轮数取最小值，则每轮答题中取得胜利的概率取最大值，

设他们小组在轮答题中取得胜利的次数为，则，，

由，即，解得，

而，则，

所以理论上至少要进行轮答题．台山市名校2023-2024学年高三上学期第一次月考

数学试题

一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.设集合，，则()

A.B.C.D.

2.已知为虚数单位，若复数，则()

A.B.C.D.

3.“”是“方程有正实数根”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.已知，则的最小值为()

A.B.C.D.

5.的展开式中含的系数是()

A.B.C.D.

6.年某地马拉松于月日举行，组委会决定派小王、小李等名志愿者到甲乙两个路口做引导员，每位志愿者去一个路口，每个路口至少有两位引导员，若小王和小李不能去同一路口，则不同的安排方案种数为()

A.B.C.D.

7.设，，，则()

A.B.C.D.

8.设函数的值域为，若，则的零点个数最多是()

A.B.C.D.

二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）

9.《国家学生体质健康标准》是国家学校教育工作的基础性指导文件和教育质量基本标准，它适用于全日制普通小学、初中、普通高中、中等职业学校、普通高等学校的学生，某高校组织名大一新生进行体质健康测试，现抽查大一新生的体测成绩，得到如图所示的频率分布直方图，其中分组区间为，，，，，则下列说法正确的是()

A.估计该样本的众数是

B.估计该样本的均值是

C.估计该样本的中位数是

D.若测试成绩达到分方可参加评奖，则有资格参加评奖的大一新生约为人

10.已知非零实数，满足，则下列不等关系一定成立的是()

A.B.C.D.

11.下列关于概率统计说法中正确的是．()

A.两个变量的相关系数为，则越小，与之间的相关性越弱

B.设随机变量服从正态分布，若，则

C.在回归分析中，为的模型比为的模型拟合的更好

D.某人在次答题中，答对题数为，，则答对题的概率最大

12.已知函数，若不等式对任意恒成立，则实数的取值可能是()

A.B.C.D.

三、填空题（本大题共4小题，共20分）

13.若命题“”是假命题，则实数的最大值为．

14.已知向量满足，则与的夹角为．

15.已知，为椭圆的两个焦点，为上一点，若，，成等差数列，则的离心率为．

16.某大学决定从甲、乙两个学院分别抽取人、人参加演出活动，其中甲学院中女生占，乙学院中女生占从中抽取一人恰好是女生的概率为．

四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.本小题分

在中，，．

求的值；

若，求的面积

18.本小题2分

设为函数的导函数，已知，且的图象经过点．

求曲线在点处的切线方程；

求函数在上的单调区间．

19.本小题分

已知图是由等腰直角三角形和菱形组成的一个平面图形，其中菱形边长为，，将三角形沿折起，使得平面平面如图．

求证：；

求二面角的正弦值．

20.本小题2分

已知数列的首项，且满足，设．

求证：数列为等比数列

若，求满足条件的最小正整数．

本小题分

已知椭圆：与轴的正半轴相交于点，点，为椭圆的焦点，且是边长为的等边三角形，若直线：与椭圆交于不同的两点、．

直线，的斜率之积是否为定值；若是，请求出该定值．若不是．请说明理由．

求的面积的最大值．

22.本小题分

“英才计划”最早开始于年，由中国科协、教育部共同组织实施，到年已经培养了多名具有创新潜质的优秀中学生，为选拔培养对象，某高校在暑假期间从武汉市的中学里挑选优秀学生参加数学、物理、化学、信息技术学科夏令营活动．

若化学组的名学员中恰有人来自同一中学