辽宁省沈阳市艳粉第一高级中学2022-2023学年高三数学文下学期摸底试题含解析

辽宁省沈阳市艳粉第一高级中学2022-2023学年高三数学文下学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知,则与的夹角为（A） （B）

（C）

（D）参考答案：C2.过圆：的圆心P的直线与抛物线C：相交于A，B两点，且，则点A到圆P上任意一点的距离的最大值为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A由题，设，不妨设点A位于第一象限，则由可得解方程可得，则故点到圆上任意一点的距离的最大值为.

3.

给出右边的程序框图，则输出的结果为（

）A、

B、

C、

D、参考答案：A4.在的展开式中，含的项的系数是

A．56

B．－56

C．55

D．－55参考答案：B略5.已知集合，则A. B. C. D.参考答案：B本题主要考查集合的基本运算.,则.6.抛物线的焦点坐标是

A．（0,1）

B．（1,0）

C．（）

D．参考答案：C7.已知集合A={x|≥1}，集合B={x|log2x＜1}，则A∩B=（）A．（﹣∞，2） B．（0，1） C．（0，2） D．（1，2）参考答案：D【考点】交集及其运算．【分析】先求出集合A和B，利用交集定义能求出A∩B．【解答】解：∵集合A={x|≥1}={x|1＜x≤2}，集合B={x|log2x＜1}={x|0＜x＜2}，∴A∩B={x|1＜x＜2}=（1，2）．故选：D．8.已知全集U=R，集合A={1，2，3，4，5}，B={x∈R|x≥3}，图中阴影部分所表示的集合为(

) A．{1} B．{1，2} C．{1，2，3} D．{0，1，2}参考答案：B考点：Venn图表达集合的关系及运算．专题：图表型．分析：先观察Venn图，图中阴影部分表示的集合中的元素是在集合A中，但不在集合B中，得出图中阴影部分表示的集合，再结合已知条件即可求解．解答： 解：图中阴影部分表示的集合中的元素是在集合A中，但不在集合B中．由韦恩图可知阴影部分表示的集合为（CUB）∩A，又A={1，2，3，4，5}，B={x∈R|x≥3}，∵CUB={x|x＜3}，∴（CUB）∩A={1，2}．则图中阴影部分表示的集合是：{1，2}．故选B．点评：本小题主要考查Venn图表达集合的关系及运算、Venn图的应用等基础知识，考查数形结合思想．属于基础题．9.已知函数，则下列结 论正确的是 （A）两个函数的图象均关于点（—，0）成中心对称 （B）淤的纵坐标不变，横坐标扩大为原来的2倍，再向 右平移个单位即得于 （C）两个函数在区间（—，）上都是单调递增函数 （D）两个函数的最小正周期相同参考答案：A略10.已知，若向区域内随机投一点，则落在区域A内的概率为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.正方体中，异面直线与所成的角的大小为

.参考答案：

12.设当时，函数取得最大值，则

。参考答案：13.给出下列四个命题：①中，是成立的充要条件；②利用计算机产生0～1之间的均匀随机数，则事件“”发生的概率为；③已知是等差数列的前n项和，若，则；④若函数为R上的奇函数，则函数的图象一定关于点成中心对称.⑤函数有最大值为，有最小值为0。

其中所有正确命题的序号为

．

参考答案：①③14.若展开式中项的系数为－12，则a=

；常数项是

.

参考答案：2，60；15.函数f（x）是定义在[﹣4，4]上的奇函数，其（0，4]在上的图象如图所示，那么不等式f（x）sinx＜0的解集为．参考答案：（﹣π，﹣1）∪（1，π）【考点】3O：函数的图象；3L：函数奇偶性的性质；3M：奇偶函数图象的对称性；3N：奇偶性与单调性的综合．【专题】11：计算题；31：数形结合；35：转化思想；51：函数的性质及应用．【分析】根据题意，由函数f（x）在（0，4]上的图象，结合奇函数的性质分析可得f（x）在[﹣4，4]上满足f（x）＞0与的f（x）＜0区间，由正弦函数的性质可得g（x）=sinx在在[﹣4，4]上满足g（x）＞0与的g（x）＜0区间，而f（x）sinx＜0?或；分析可得答案．【解答】解：根据题意，在（0，4]上，当0＜x＜1时，f（x）＞0，当1＜x＜4时，f（x）＜0，又由f（x）是定义在[﹣4，4]上的奇函数，则当﹣1＜x＜0时，f（x）＜0，当﹣4＜x＜﹣1时，f（x）＞0，对于g（x）=sinx，在[﹣4，4]上：当0＜x＜π时，g（x）＞0，当π＜x＜4时，g（x）＜0，当﹣π＜x＜0时，g（x）＜0，当﹣4＜x＜﹣π时，g（x）＞0，f（x）sinx＜0?或；则f（x）sinx＜0在区间（0，4]上的解集为（﹣π，﹣1）∪（1，π），故答案为：（﹣π，﹣1）∪（1，π）．16.依此类推，第个等式为.参考答案：2n×1×3×……(2n-1)=(n+1)·…(2n-1)·2n17.已知实数、满足方程，当（）时，由此方程可以确定一个偶函数，则抛物线的焦点到点的轨迹上点的距离最大值为__________________.参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知椭圆C：(a＞b＞0)的离心率为,短轴一个端点到右焦点的距离为3.(1)求椭圆C的方程;(2)过椭圆C上的动点P引圆O：x2+y2=b2的两条切线PA、PB，A、B分别为切点，试探究椭圆C上是否存在点P，由点P向圆O所引的两条切线互相垂直？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.参考答案：(1).

(2)椭圆C上存在四个点，分别由这四个点向圆O所引的两条切线均互相垂直本题主要考查圆与圆锥曲线的综合问题．解决第二问的关键在于根据条件分析出AOBP为正方形，|AO|=|AP|，得到关于点P坐标的等式．（1）直接根据条件列出a2=b2+c2，a=3，e=，解方程求出b，c即可得到椭圆C的方程；（2）先根据条件分析出AOBP为正方形，|AO|=|AP|，得到关于点P坐标的等式；再结合点P在椭圆上即可求出点P的坐标．解：(1)设椭圆的半焦距为c,依题意,

∴b=2,

---------2分∴所求椭圆方程为.

---------------4分(2)如图，设P点坐标为(x0,y0),

-------5分若∠APB=90°,则有|OA|=|AP|.

---------6分即|OA|=,有2=,两边平方得x02+y02=8

①又因为P(x0,y0)在椭圆上，所以4x02+9y02=36

②①,②联立解得

---------9分所以满足条件的有以下四组解

-----------12分所以，椭圆C上存在四个点，分别由这四个点向圆O所引的两条切线均互相垂直.

--------14分19.向量，，且，其中.(1)求的值；

(2)若，求cos的值.

参考答案：1）（2）

20.已知三棱锥P-ABC（如图1）的平面展开图（如图2）中，四边形ABCD为边长为的正方形，和均为正三角形，在三棱锥P-ABC中：（1）证明：平面PAC⊥平面ABC；（2）求二面角的余弦值.参考答案：（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）．（Ⅰ）证明：方法1：设的中点为，连接，．由题意得，，，，因为在中，，为的中点，所以，

…2分因为在中，，，，所以，

…4分因为，平面，所以平面，因为平面，所以平面平面.

…6分

（Ⅱ）解：由平面，，如图建立空间直角坐标系，则，，，，.由平面，故平面的法向量为，…8分由，，设平面的法向量为，则由得：令，得，，即，

…10分.由二面角是锐二面角，所以二面角的余弦值为.

…12分21.已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的右焦点F1与抛物线y2=4x的焦点重合，原点到过点A（a，0），B（0，﹣b）的直线的距离是．（1）求椭圆C的方程；（2）设动直线l：y=kx+m与椭圆C有且只有一个公共点P，过F1作PF1的垂直于直线l交于点Q，求证：点Q在定直线上，并求出定直线的方程．参考答案：考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）由已恬条件得a2=b2+1，，由此能求出椭圆C的方程．（2）由，得（4k2+3）x2+8kmx+4m2﹣12=0，由直线与椭圆相切，得4k2﹣m2+3=0，由此能证明点Q在定直线x=4上．解答： （1）解：由于抛物线的y2=4x的焦点坐标为（1，0），∴c=1，∴a2=b2+1，∵顶点到直线AB：的距离d=，∴a2=4，b2=3，∴椭圆C的方程为．（2）证明：由，得（4k2+3）x2+8kmx+4m2﹣12=0（*）由直线与椭圆相切得m≠0，且△=64k2m2﹣4（4k2+3）（4m2﹣12）=0，整理，得4k2﹣m2+3=0，将4k2+3=m2，m2﹣3=4k2代入（*）式得m2x2+8kmx+16k2=0，即（mx+4k）2=0，解得x=﹣，∴P（﹣，），又F1（1，0），∴==﹣，∴=，∴直线F1Q的方程为：y=，联立，得x=4，∴点Q在定直线x=4上．点评：本题考查椭圆方程的求法，考查点在定直线上的证明，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．22. 如图，四棱锥P﹣ABCD，PA⊥底面ABCD，AB∥CD，AB⊥AD，AB=AD=CD=2，PA=2，E，F分别是PC，PD的中点．（Ⅰ）证明：EF∥平面PAB；（Ⅱ）求直线AC与平面ABEF所成角的正弦值．参考答案：解：

证明：（I）∵E，F分别是PC，PD的中点∴EF∥CD

又∵AB∥CD，

∴AB∥EF，又∵EF?平面PA