基础数学（第6章）

基础数学BasicMathematicsBasicMathematics主讲老师：全课导航第5章指数函数与对数函数第6章直线与圆的方程第7章简单几何体第8章概率与统计初步签到扫码下载文旌课堂APP扫码签到（2022.3.2515:00至2022.3.2515:10）签到方式教师通过“文旌课堂APP”生成签到二维码，并设置签到时间，学生通过“文旌课堂APP”扫描“签到二维码”进行签到。。BasicMathematicsBasicMathematics第6章直线与圆的方程项目导读“自从欧几里得的《几何原本》问世以来，人们一直将代数限定在研究数量关系的范畴内，将几何限定在研究图形位置的范畴内，代数和几何截然分开了几千年，犹如两座高山被万丈深渊所分隔．1637年，笛卡尔创立了解析几何学，成功地将天堑变为通途，使“数”与“形”紧密联系在一起．在平面上建立直角坐标系以后，图形与方程产生了密切的联系，方程不再是一个抽象的等式，方程有形；图形不只是一个简单的几何形状，图形有式，“数”与“形”达成了有机统一．1．掌握两点间距离公式与线段的中点坐标公式．2．理解直线的倾斜角与斜率的概念．3．掌握直线的点斜式方程与斜截式方程，

了解直线的一般式方程．4．掌握两条直线位置关系的判定方法．5．掌握圆的标准方程和圆的一般方程．6．理解直线与圆的位置关系及其判定方法．7．初步掌握直线与圆的方程的应用．要求6.1直线的方程6.2项目导航两条直线的位置关系6.3两点间距离公式与线段的中点坐标公式圆的方程6.4直线与圆的位置关系6.5直线与圆的方程的应用6.66.1两点间距离公式与线段的中点坐标公式6.1.1两点间距离公式6.1.2线段的中点坐标公式6.1.1两点间距离公式某工程队要在A,B两个城市之间铺设一条海底通讯光缆，需要知道两城之间的距离，才能准备材料．工程师通过GPS全球定位系统将两城的位置在平面直角坐标系中表示出来，其中A城的坐标为(10,22)

,B城的坐标为(-5,2)

．生活中的数学请思考：你能帮工程师求出A,B两个城市之间的距离吗？知识精讲学以致用

例1例2课堂练习6.1.2线段的中点坐标公式生活中的数学李明和张华是同班同学，他们的家和学校位于同一条街道上，李明家在学校正东1km处，张华家在学校正西1.5km处，他们两家之间中点处恰好有一家超市．请思考：该如何表示超市相对于学校的位置？知识精讲学以致用

例3例4课堂练习学习内容主要包括两点间距离公式与线段的中点坐标公式。课堂小结6.2直线的方程6.2.1直线的倾斜角与斜率6.2.2直线的点斜式方程与斜截式方程6.2.3直线的一般式方程6.2.1直线的倾斜角与斜率如图6-3所示为上海南浦大桥，其上用于固定桥塔的每条斜拉钢索所在的直线都是由两个已知点（即桥塔上一点和桥栏上一点）确定的．可以发现，在同一平面内，两条对称的斜拉钢索虽然都通过一个定点，但由于其倾斜程度不同，这两条钢索所在的直线也不同．生活中的数学图6-3知识精讲

平面上的两个已知点能确定一条直线，这两个已知点就是确定直线的几何要素．在平面直角坐标系中，两点的相对位置不同，直线的倾斜程度就不同．为了确定直线的倾斜程度，需要引入倾斜角和斜率的概念．1.直线的倾斜角知识精讲2.直线的斜率学以致用例1学以致用例2鉴错小能手6.2.2

直线的点斜式方程与斜截式方程我们知道，已知直线上的两个点，可以唯一确定一条直线；已知直线的斜率和直线上一点，也可以唯一确定一条直线．那么，根据不同的已知条件确定的直线方程相同吗？直线方程有哪些不同形式？不同形式的直线方程之间有什么内在联系？生活中的数学知识精讲知识精讲图6-6图6-7（a）（b）学以致用例3知识精讲学以致用例4鉴错小能手6.2.3直线的一般式方程生活中我们经常会看到有坡度的道路．为了确保正常与安全行驶，我国规定一级公路和高速公路的最大坡度为3%（山岭重丘区为4%～5%）．道路坡度并不是我们通常理解的度数，它是坡面的垂直高度与水平长度的比值．例如，如果在某道路上水平距离前进100m时，垂直高度上升了3m，则该道路的坡度为3%．可以看出，坡度与斜率是相近的概念，在实际生活中有广泛的应用．生活中的数学用点斜式方程和斜截式方程表示直线时，都需要求得直线的斜率．如果直线的斜率不存在这两种方程便不再适用．有没有一种形式的方程能表示所有的直线而且可以反映出各种形式直线方程的统一性呢？知识精讲图6-9（a）（b）（c）学以致用例5例6课堂练习学习内容主要包括直线的倾斜角与斜率以及直线的点斜式方程与斜截式方程和直线的一般式方程。课堂小结6.3两条直线的位置关系6.3.1

两条直线平行与重合6.3.2

两条直线相交与垂直6.3.3

点到直线的距离6.3.1两条直线的平行与重合生活中的数学我们日常生活中存在很多平行的情况，如双杠的两个横杆、操场跑道直道部分的跑道线、电梯两边的扶手、火车的两条铁轨等，如图6-10所示．

图6-10知识精讲1.初中时我们学过，当两条直线都与第三条直线相交时，“同位角相等”是“两条直线平行”的充要条件．下面我们从斜率的角度来研究两条直线平行的充要条件．

于是，得出：

即

于是，得出

知识精讲1.

学以致用例1学以致用例2课堂练习6.3.2两条直线相交与垂直生活中的数学直线相交的情况在生活中也很常见，如钟表上的时针与分针、剪刀张开时的两条刃边、空中交错的电线电缆、中国象棋棋盘上的交叉线等，如图6-12所示．在数学中，如何根据两条相交直线的方程确定其交点坐标呢？

图6-12

知识精讲1.

图6-13

该方程组的解就是交点

P

的坐标．知识精讲1.

反之，若，则，可以得到

知识精讲1.

如图6-14（b）所示，如果两条直线的斜率一个等于零，另一个不存在，显然，这两条直线也垂直．

（a）

（b）图6-14图6-14学以致用例4学以致用例56.3.3点到直线的距离生活中的数学某县城北部有一大型仓库，东部有铁路穿过，现计划修建一条公路和一个货运站，将仓库和铁路连接起来，以方便仓库货物的运输．请思考：怎样设计才能使公路最短？应如何确定货运站的位置？

知识精讲1.

点

到直线

的距离公式为图6-15学以致用例6学以致用例7本小节主要包括两条直线的相交、平行、重合、垂直以及点到直线的距离。课堂小结6.4圆的方程6.4.1

圆的标准方程6.4.2

圆的一般方程6.4.1圆的标准方程生活中的数学圆是最完美的几何图形，而且在生活中随处可见，如硬币、车轮、井盖等都是圆形．因为有了圆，我们的世界变得多姿多彩、神奇美妙．这节课，就让我们走进圆的世界，探索圆的奥秘．知识精讲如图6-17所示，在平面直角坐标系中，已知一个圆的圆心为点

C(a,b)，半径为

r，通常将该圆记作圆

C．平面内到定点的距离等于定长的点的集合称为圆，其中，定点称为圆心，定长称为半径．根据圆的定义，当圆心位置和半径大小确定后，圆就唯一确定了．因此，圆心和半径是确定圆的最基本要素．设点

P(x,y)

为圆

C上任意一点，则

．根据两点间距离公式可得将上式两边平方可得通常，我们将式（6-10）称为以点

C(a,b)为圆心、以

r为半径的圆的标准方程．若圆心为坐标原点

O(0,0)，则半径为

r的圆的标准方程为.

图6-17学以致用例1学以致用例2课堂练习6.4.2圆的一般方程生活中的数学无论是自行车还是汽车，它们的车轮都是圆形，为什么车轮都做成圆形呢？因为圆形车轮不仅容易滚动，而且车轮上各点到车轮中心的距离都等于车轮的半径．当车轮在地面上滚动时，车轮中心与地面的距离始终保持不变．因此，当车辆在平坦的路面上行驶时，坐车的人会感觉非常平稳．这便是车轮做成圆形的数学原理．知识精讲学以致用例3课堂练习6.5直线与圆的位置关系6.5直线与圆的位置关系生活中的数学观察图6-18中三幅海边日出的图片可以发现，在太阳升起的过程中，太阳逐渐离开海平线，然后越升越高．若将太阳看作圆，将海平线看作直线，三幅图片分别反映了直线与圆之间的何种位置关系？

图6-18知识精讲如图6-19所示，已知圆

O

的半径为r，设圆心

O到直线l的距离为

d，则直线与圆的位置关系有以下几种．（1）直线与圆相交：有两个交点，如图6-19（a）所示；（2）直线与圆相切：仅有一个交点，如图6-19（b）所示；（3）直线与圆相离：没有交点，如图6-19（c）所示．直线与圆的位置关系可以根据

d与

r的大小关系进行判断．（1）

d<

r：直线与圆相交；（2）

d=r：直线与圆相切；（3）

d>r：直线与圆相离．图6-19知识精讲学以致用示例课堂练习

通过学习圆的相关知识，我们知道了直线与圆的位置关系的几种分类，为后续学习直线与圆的方程的应用做铺垫．课堂小结6.6直线与圆的方程的应用6.6直线与圆的方程的应用学以致用示例课堂练习1．一条光线从点

M(5,3)

射出，经过镜面（x轴）反射后过点N(2,6)

，求反射光线所在的直线方程．2．赵州桥圆拱的跨度是

37.4m，圆拱高度约为

7.2m，

适当选取坐标系，求出其圆拱所在圆的方程.本章小结本章首先介绍两点间距离公式与线段的中点坐标公式，分析直线的倾斜角与斜率，进一步讲解直线的点