基本不等式（原题版）

2.2基本不等式1.理解基本不等式的内容及证明；2.能熟练运用基本不等式来比较两个实数的大小；重点：从不同角度探索不等式的证明过程，会用此不等式求某些简单函数的最值；难点：基本不等式等号成立条件；阅读课本内容，自主完成下列内容。.思考：你能否在这个图案中找出一些相等关系或不等关系？1、大正方形ABCD的面积S=＿＿＿＿＿2、四个直角三角形的面积和S’=＿＿3、S与S’有什么样的不等关系？知识点一重要不等式对于任意实数a、b，都有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．你能给出不等式a2＋b2≥2ab的证明吗？知识点二基本不等式对于任意实数，都有eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)，当且仅当a＝b时，等号成立．其中eq\f(a＋b,2)和eq\r(ab)分别叫做正数a，b的算术平均数和几何平均数．你能给出不等式（）的证明吗？知识点二基本不等式eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)(a>0，b>0)(1)不等式成立的条件：a，b都是正数．(2)“当且仅当”的含义：①当a＝b时，eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)的等号成立，即a＝b⇒eq\f(a＋b,2)＝eq\r(ab)；②仅当a＝b时，eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)的等号成立，即eq\f(a＋b,2)＝eq\r(ab)⇒a＝b.思考1：不等式a2＋b2≥2ab与eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)成立的条件相同吗？如果不同各是什么？思考2：a＋eq\f(1,a)≥2(a≠0)是否恒成立？知识点三利用基本不等式求最值问题已知x>0，y>0，则如果积xy是定值p，那么当且仅当________时，x＋y有最____值是________(简记：积定和最小)．如果和x＋y是定值p，那么当且仅当________时，xy有最____值是__________(简记：和定积最大)．1.判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)对任意的a，b∈R，若a与b的和为定值，则ab有最大值．()(2)若xy＝4，则x＋y的最小值为4.()(3)函数f(x)＝x2＋eq\f(2,x2＋1)的最小值为2eq\r(2)－1.()2.利用基本不等式求最值【解析】考点一利用基本不等式判断（证明）不等关系例1下列不等式中正确的是（）A． B． C． D．【对点演练1】已知，下列不等式一定成立的是（）A． B． C． D．【对点演练2】若，则下列不等式成立的是（）A． B． C． D．考点二利用基本不等式求积的最大值例2．若，且，则的最大值为（）A． B．C． D．【对点演练1】已知，则有（）A．最大值为1 B．最小值为C．最大值为4 D．最小值为4【对点演练2】已知实数若，求的最大值（）A．1 B． C．4 D．考点三利用基本不等式求和的最小值角度1配凑法例3已知x>2，则函数y＝x＋eq\f(1,2x－2)的最小值是()A．2eq\r(2) B．2eq\r(2)＋2C．2 D.eq\r(2)＋2【对点演练1】若，则的最小值为（）A． B． C． D．【对点演练2】已知函数y＝x－4＋eq\f(9,x＋1)(x>－1)，当x＝a时，y取得最小值b，则a＋b等于()A．－3B．2C．3D．8【对点演练3】若，则函数的最小值为（

）A．4 B．5 C．7 D．9角度2常数代换法例4．已知，，且，则的最小值为（）A．5 B．6 C．7 D．8【对点演练1】已知a>0，b>0，a＋b＝2，则y＝eq\f(1,a)＋eq\f(4,b)的最小值是()A．eq\f(7,2)B．4C．eq\f(9,2)D．5【对点演练2】已知，，则的最小值为（） B． C． D．【对点演练3】已知实数x，y满足，且，则的最小值为（）A． B． C．1 D．【对点演练4】已知正实数满足，则的最小值为___________.角度3消元法例5(2023·烟台模拟)已知x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为________．【变式演练1】本例条件不变，求xy的最大值．方法总结：(1)前提：“一正”“二定”“三相等”．(2)要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式．(3)条件最值的求解通常有三种方法：一是配凑法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法；三是消元法．角度4二次商式的最值问题例6已知，则的最大值是（）A． B． C．2 D．7【变式演练1】若，则有（）A．最大值 B．最小值 C．最大值2 D．最小值2【变式演练2】已知，则有（）A．最大值 B．最小值 C．最大值3 D．最小值3【变式演练3】当x>3时，求函数y＝eq\f(2x2,x－3)的值域为__________．考点四基本不等式的恒成立求参数问题例7．若关于的不等式在区间上恒成立，则的取值范围为（）A． B． C． D．【对点演练1】若不等式对所有正数x，y均成立，则实数m的最小值是（）A． B． C．3 D．4【对点演练2】已知，，，若恒成立，则实数m的取值范围是（）A．或 B．或C． D．考点五基本不等式的实际应用例8中华人民共和国第十四届运动会在陕西省举办，某公益团队联系全运会组委会举办一场纪念品展销会，并将所获利润全部用于社区体育设施建设．据市场调查，当每套纪念品(一个会徽和一个吉祥物)售价定为xx)万套．为配合这个活动，生产纪念品的厂家将每套纪念品的供货价格分为固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为50元，浮动价格(单位：元)与销售量(单位：万套)成反比，比例系数为10.约定不计其他成本，即销售每套纪念品的利润＝售价－供货价格．(1)每套会徽及吉祥物售价为100元时，能获得的总利润是多少万元？(2)每套会徽及吉祥物售价为多少元时，单套的利润最大？最大值是多少元？方法总结：利用基本不等式求解实际问题时，要根据实际问题，设出变量，注意变量应满足实际意义，抽象出目标函数的表达式，建立数学模型，再利用基本不等式求得函数的最值．【对点演练1】某公益广告公司拟在一张矩形海报纸(记为矩形ABCD，如图)上设计三个等高的宣传栏(栏面分别为一个等腰三角形和两个全等的直角梯形)，宣传栏(图中阴影部分)的面积之和为1440cm2.为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为2cm.当直角梯形的高为__________cm时，用纸量最少(即矩形ABCD的面积最小)．【对点演练2】禄劝晨光文具店的某种商品的月进货量为1000件，分若干次进货，每次进货的量相同，且需运费10元，运来的货物除出售外，还需租仓库存放，一年的租金按一次进货量的一半来计算，每件2元，为使一年的运费和租金最省，每次进货量应为（）A．20件 B．500件 C．100件 D．250件单项选择题1．已知，则当取最大值时，的值为（

）A． B． C． D．2．若，则的最值情况是（

）A．有最大值 B．有最小值 C．有最大值 D．有最小值3．设，则下列各式中正确的是（

）A． B．C． D．4．已知a、b为正实数，，则（

）A．B．C．D．5．已知x≥，则y＝有（）A．最大值 B．最小值 C．最大值1 D．最小值16．建造一个容积为，深为2m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价分别为每平方米120元和80元，那么水池的最低总造价为（）A．1680元 B．1760元 C．1800元 D．1820元7．若，，且，则的最小值为（）A．2 B． C． D．8．已知，，，若不等式恒成立，则的最大值为（）A．1 B．2 C．3 D．7多项选择题9．已知，是正数，且，下列叙述正确的是（

）A．最大值为1 B．有最大值4C．的最大值为2 D．的最小值为910.下列命题正确的是（）A．若，则 B．若，则C．若，，则 D．若，，则11．下列说法中正确的有（）A．不等式恒成立 B．存在，使得不等式成立C．若，，则 D．若正实数，满足，则12.下列说法正确的是（）A．若，则函数的最小值为3B．若，则的最小值为5C．若，则的最大值为D．若，则的最小值为1填空题13．已知非负数满足，则的最小值是___________.14．若直角三角形斜边长等于12，则该直角三角形面积的最大值为_________；周长的最大值为________．15．用长度为20米的篱笆围成一矩形场地，则矩形的最大面积为__________平方米．16．若正数，满足，则的最小值___________.解答题17.已知是正实数．（1）若，证明：；（2）证明：．18．已知某公司计划生产一批产品总共万件（），其成本为（万元/万件），其广告宣传总费用为万元，若将其销售价格定为万元/万件．（1）将该批产品的利润（万元）表示为的函数；（2）当广告宣传总费用为多少万元时，该公司的利润最大?最大利润为多少万元?19.（1）已知0＜x＜，求y＝x(1－2x)的最大值．（2）已知x＜3，求f(x)＝＋x的最大值．（3）已知x，y∈R＋，且x＋y＝4，求＋的最小值；20．中欧班列是推进“一带一路”沿线国家道路联通、贸易畅通的重要举措，作为中欧铁路在东北地区的始发站，沈阳某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一面高为，