专题31等差数列及数列求和(原卷版)

专题31等差数列及数列求和№专题31等差数列及数列求和№考向解读➊考点精析➋真题精讲➌模拟精练➍专题训练（新高考）备战2024高考数学一轮复习（新高考）备战2024高考数学一轮复习专题31等差数列及数列求和命题解读命题预测复习建议等差数列是高考必考知识点，掌握等差数列的概念及通项公式，以及等差中项的概念和等差数列的图象，并能根据其性质灵活应用；从近几年的考题来看，主要通过选择题和填空题考查等差数列的基础知识，通过解答题考查数列的通项和求和问题；在高考中多通过解答题的形式考查构造等差数列解决一些数列的通项和求和问题，属于中高难度题。预计2024年的高考等差数列及其前n项和的考查还是以等差数列通项公式，前n项和为重点，选择、填空以基础为主，解答题难度以中高难度为主。集合复习策略：1.理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式及前n项和公式；2.掌握等差数列的公式及性质的运用。→➊考点精析←一、等差数列的概念及公式1.等差数列的概念：一般地，如果一个数列{an},从第2项起每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差。公差通常用字母d表示。anan1=d(n≥2,n∈N*)。由三个数a，A，b组成的等差数列，A叫做数列的等差中项。2A=a+b首项为a1，公差为d的等差数列{an}，通项公式为an=a1+（n1）dn项和公式Sn=n(a1+an二、等差数列的性质及求解1.已知{an}是等差数列,Sn是{an}的前n项和.（1）若m+n=p+q=2k(m,n,p,q,k∈N*),则有am+an=ap+aq.

（2）数列Sm,S2mSm,S3mS2m,…成等差数列.

2.等差数列前n项和与二次函数的联系，求前n项和最值三、等差数列求和（1）已知等差数列的第一项和第n项求解前n项和Sn=n（2）已知等差数列的第一项和公差求前n项和Sn=na1+n(→➋真题精讲←1.（2023全国甲卷文科5）记为等差数列的前项和．若，则（）A.25 B.22 C.20 D.152.（2023全国理科乙卷10）已知等差数列的公差为，集合，若，则（）A.－1 B. C.0 D.3.（2023全国文科乙卷18）记为等差数列的前项和，已知．（1）求的通项公式；（2）求数列的前项和．4.（2023全国Ⅰ卷7）记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（）A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件5.（2023北京卷10）已知数列满足，则（）A.当时，为递减数列，且存在常数，使得恒成立B.当时，为递增数列，且存在常数，使得恒成立C.当时，为递减数列，且存在常数，使得恒成立D.当时，为递增数列，且存在常数，使得恒成立6.（2023北京卷21）已知数列的项数均为m，且的前n项和分别为，并规定．对于，定义，其中，表示数集M中最大的数.（1）若，求的值；（2）若，且，求；（3）证明：存在，满足使得．7.（2023天津卷19）已知是等差数列，．（1）求的通项公式和．8.（2023全国Ⅰ卷20）设等差数列的公差为，且．令，记分别为数列的前项和．（1）若，求的通项公式；（2）若为等差数列，且，求．→➌模拟精练←1．（2023·江苏常州·江苏省前黄高级中学校考二模）大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏的世界数学史上第一道数列题．已知该数列的前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，记，，则数列的前20项和是（

）A．110 B．100 C．90 D．802．（2023·广东江门·统考一模）已知等差数列（）的前n项和为，公差，，则使得的最大整数n为（

）A．9 B．10 C．17 D．183．（2023·浙江温州·统考三模）已知数列各项为正数，满足，，则（

）A．是等差数列 B．是等比数列C．是等差数列 D．是等比数列4．（2023·江苏镇江·江苏省镇江中学校考二模）已知函数，记等差数列的前n项和为，若，，则（

）A． B． C．2023 D．40465．（2023·江苏常州·校考二模）已知等差数列的公差为，随机变量满足，，则的取值范围是（

）A． B． C． D．6．（2023·广东惠州·统考模拟预测）等差数列中，，是方程的两个根，则的前2022项和为（

）A．1011 B．2022 C．4044 D．80887．（2023·安徽安庆·统考二模）已知等差数列满足，则不可能取的值是（

）A． B． C． D．8．（多选）（2023·安徽蚌埠·统考三模）已知等差数列的前项和为，等比数列的前项积为，则下列结论正确的是(

)A．数列是等差数列 B．数列是等差数列C．数列是等比数列 D．数列是等差数列9．（多选）（2023·山西阳泉·统考三模）设无穷数列为正项等差数列且其前n项和为，若，则下列判断正确的是（

）A． B． C． D．10．（多选）（2023·山西朔州·怀仁市第一中学校校考三模）已知等差数列的前n项和为，公差为d，则（

）A． B．C． D．11．（2023·广东梅州·统考一模）设是公差为（）的无穷等差数列的前项和，则下列命题正确的是（

）A．若，则是数列的最大项B．若数列有最小项，则C．若数列是递减数列，则对任意的：，均有D．若对任意的，均有，则数列是递增数列12．（2023·山东日照·三模）已知数列中，，，是，的等差中项，是其前n项和，若数列是公差为3的等差数列，则___________.13．（2023·广东湛江·统考一模）已知为等差数列的前项和，若，则______．14．（2023·江苏·统考二模）已知等差数列的各项均为正数，，.(1)求的前项和；(2)若数列满足，，求的通项公式.15．（2023·江苏常州·校考二模）在等差数列中，为的前n项和，，数列满足．(1)求数列和的通项公式；(2)求数列的前n项和．16．（2023·山东淄博·山东省淄博实验中学校考三模）等差数列，则数列的前101项之和________17．（2023·山东烟台·统考三模）如图，某数阵满足：每一行从左到右成等差数列，每一列从上到下成公比相同的等比数列，数阵中各项均为正数，，，则________；在数列中的任意与两项之间，都插入个相同的数，组成数列，记数列的前项和为，则________．18．（2023·山东淄博·统考三模）已知数列中，，点，在直线上.（1）求数列的通项公式；（2）设，S为数列的前n项和，试问：是否存在关于n的整式，使得恒成立，若存在，写出的表达式，并加以证明，若不存在，说明理由.→➍专题训练←TOC\o"11"\h\u题型一：分组求和1．（2023·湖南邵阳·统考三模）记为等差数列{}的前n项和，已知，数列{}满足.(1)求数列{}与数列{}的通项公式；(2)数列{}满足，n为偶数，求{}前2n项和.2．（2023·黑龙江大庆·统考三模）已知数列满足．(1)证明：是一个等差数列；(2)已知，求数列的前项和．题型二：裂项相消法3．（2023·安徽马鞍山·统考三模）已知数列中，，是数列的前项和，数列是公差为1的等差数列．(1)求数列的通项公式；(2)证明：．4．（2023·山西阳泉·统考三模）已知数列满足，．(1)记求数列的通项公式；(2)求数列的前项和．题型三：裂项相加法5．（2023·湖南永州·统考三模）记正项数列的前项积为，且.(1)证明：数列是等差数列；(2)记，求数列的前项和.题型四：错位相减法6．（2023·湖南长沙·长沙市明德中学校考三模）已知等差数列前项和为，，.(1)求的通项公式；(2)若数列满足，求和：.7．（2023·安徽·校联考三模）在数列中，，且对任意的，都有．在等差数列中，前n项和为，，．(1)求数列和的通项公式；(2)设，求数列的前n项和．题型五：数列求积8．（2023·黑龙江哈尔滨·哈师大附中统考三模）已知数列