第05讲空间向量与立体几何

第05讲空间向量与立体几何1．空间向量的有关概念名称定义空间向量在空间中，具有大小和方向的量相等向量方向相同且模相等的向量相反向量方向相反且模相等的向量共线向量(或平行向量)表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量共面向量平行于同一个平面的向量2．空间向量的有关定理(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使得a＝λb.(2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.(3)空间向量基本定理如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc，{a，b，c}叫做空间的一个基底．3．空间向量的数量积及运算律(1)数量积及相关概念①两向量的夹角：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉，其范围是[0，π]，若〈a，b〉＝eq\f(π,2)，则称a与b互相垂直，记作a⊥b.②非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．(2)空间向量数量积的运算律：①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R；②交换律：a·b＝b·a；③分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c.(3)空间向量的坐标表示及其应用设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．向量表示坐标表示数量积a·ba1b1＋a2b2＋a3b3共线a＝λb(b≠0，λ∈R)a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3垂直a·b＝0(a≠0，b≠0)a1b1＋a2b2＋a3b3＝0模|a|eq\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))夹角余弦值cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)(a≠0，b≠0)cos〈a，b〉＝eq\f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))·\r(b\o\al(2,1)＋b\o\al(2,2)＋b\o\al(2,3)))4．空间位置关系的向量表示(1)直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或重合，则称此向量a为直线l的方向向量．(2)平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量．(3)位置关系向量表示直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2l1∥l2n1∥n2⇔n1＝λn2l1⊥l2n1⊥n2⇔n1·n2＝0直线l的方向向量为n，平面α的法向量为ml∥αn⊥m⇔n·m＝0l⊥αn∥m⇔n＝λm平面α，β的法向量分别为n，mα∥βn∥m⇔n＝λmα⊥βn⊥m⇔n·m＝0一．空间向量的线性运算例1．（1）四棱锥中，底面ABCD是平行四边形，点E为棱PC的中点，若，则等于（

）A． B．1 C． D．2【答案】A【分析】运用向量的线性运用表示向量，对照系数，求得，代入可得选项.【详解】因为，所以，所以，所以，所以，故选：A.（2）已知四面体O－ABC，G1是△ABC的重心，G是OG1上一点，且OG＝3GG1，若，则为（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】连接AG1并延长，交BC于点E，利用向量加减、数乘几何意义用表示出，即可得答案.【详解】如图所示，连接AG1并延长，交BC于点E，则点E为BC的中点，，则，由题设，，所以.故选：A（3）在斜三棱柱中，的中点为，，则可用表示为_______________．【答案】【分析】利用空间向量的线性运算可求.【详解】.故答案为：.（4）如图，已知空间四边形ABCD中，，，对角线AC，BD的中点分别为E，F，则＝________.(用向量表示)【答案】【分析】由空间线段的位置关系，结合向量加减、数乘的几何意义用、表示出即可.【详解】设G为BC的中点，连接EG，FG，则.故答案为：【复习指导】：用基向量表示指定向量的方法(1)结合已知向量和所求向量观察图形.(2)将已知向量和所求向量转化到三角形或平行四边形中.(3)利用三角形法则或平行四边形法则把所求向量用已知基向量表示出来.二．共线定理的应用例2．（1）已知空间向量，，（其中x、），如果，则（

）A．1 B．2 C．-2 D．-1【答案】B【分析】根据空间向量共线的性质进行求解即可.【详解】因为，所以有，故选：B（2）对于空间任意两个非零向量，，“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【答案】B【分析】根据充分和必要条件的定义法，再结合共线向量的定义即可求解．【详解】显然能推出，但包括向量，同向共线和反向共线两种情况，即当时，得或，因此推不出，故“”是“”的必要不充分条件．故选：B．（3）(多选)若空间中任意四点O，A，B，P满足=m+n，其中m+n=1，则结论正确的有（

）A．P∈直线AB B．P∉直线ABC．O，A，B，P四点共面 D．P，A，B三点共线【答案】ACD【解析】由题意可得，代入向量式化简可得，可得向量共线，进而可得三点共线，可得结论．【详解】解:因为，所以，所以=，即=n()，即=n，所以共线.又有公共起点A，所以P，A，B三点在同一直线上，即P∈直线AB.因为=m+n，故O，A，B，P四点共面.故答案为：ACD【点睛】本题考查平面向量的共线问题，熟练表示出向量共线的条件是解决问题的关键，属中档题．【复习指导】：证明三点共线和空间四点共面的方法比较三点(P，A，B)共线空间四点(M，P，A，B)共面eq\o(PA,\s\up6(→))＝λeq\o(PB,\s\up6(→))且同过点Peq\o(MP,\s\up6(→))＝xeq\o(MA,\s\up6(→))＋yeq\o(MB,\s\up6(→))对空间任一点O，eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋teq\o(AB,\s\up6(→))对空间任一点O，eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))＋xeq\o(MA,\s\up6(→))＋yeq\o(MB,\s\up6(→))对空间任一点O，eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋(1－x)eq\o(OB,\s\up6(→))对空间任一点O，eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OM,\s\up6(→))＋yeq\o(OA,\s\up6(→))＋(1－x－y)eq\o(OB,\s\up6(→))（4）(多选)下列各组向量中，是平行向量的是()A．a＝(1,2，－2)，b＝(－2，－4,4)B．c＝(1,0,0)，d＝(－3,0,0)C．e＝(2,3,0)，f＝(0,0,0)D．g＝(－2,3,5)，h＝(16，－24,40)【答案】ABC【详解】对于A，有b＝－2a，所以a与b是平行向量；对于B，有d＝－3c，所以c与d是平行向量；对于C，f是零向量，与e是平行向量；对于D，不满足g＝λh，所以g与h不是平行向量．三．空间向量基本定理的应用例3．（1）若空间向量共面，则实数__________.【答案】1【分析】因为三个向量共面，由平面向量的基本定理可知，然后计算即可.【详解】由题可知，，故，有，解得故答案为：1（2）已知A，B，C三点共线，则对空间任一点O，若，则μ＝________；存在三个不为0的实数λ，m，n，使，那么λ＋m＋n的值为________．【答案】－10【分析】根据A、B、C三点共线，，得2＋μ＝1，即可求得，由得，可得，即可得λ＋m＋n.【详解】解：由A、B、C三点共线，，∴2＋μ＝1，∴μ＝－1，又由，得，由A，B，C三点共线知：，则λ＋m＋n＝0．故答案为：-1；0.（3）已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)))．(=1\*romani)判断eq\o(MA,\s\up6(→))，eq\o(MB,\s\up6(→))，eq\o(MC,\s\up6(→))三个向量是否共面；(=2\*romanii)判断点M是否在平面ABC内．【详解】(=1\*romani)由题知eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝3eq\o(OM,\s\up6(→))，所以eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OM,\s\up6(→))＝(eq\o(OM,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→)))＋(eq\o(OM,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→)))，即eq\o(MA,\s\up6(→))＝eq\o(BM,\s\up6(→))＋eq\o(CM,\s\up6(→))＝－eq\o(MB,\s\up6(→))－eq\o(MC,\s\up6(→))，所以eq\o(MA,\s\up6(→))，eq\o(MB,\s\up6(→))，eq\o(MC,\s\up6(→))共面．(=2\*romanii)由(=1\*romani)知，eq\o(MA,\s\up6(→))，eq\o(MB,\s\up6(→))，eq\o(MC,\s\up6(→))共面且基线过同一点M，所以M，A，B，C四点共面，从而点M在平面ABC内．【复习指导】：证明空间四点P，M，A，B共面的方法(1)eq\o(MP,\s\up6(→))＝xeq\o(MA,\s\up6(→))＋yeq\o(MB,\s\up6(→))；(2)对空间任一点O，eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))＋xeq\o(MA,\s\up6(→))＋yeq\o(MB,\s\up6(→))；(3)对空间任一点O，eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OM,\s\up6(→))＋yeq\o(OA,\s\up6(→))＋zeq\o(OB,\s\up6(→))(x＋y＋z＝1)；(4)eq\o(PM,\s\up6(→))∥eq\o(AB,\s\up6(→))(或eq\o(PA,\s\up6(→))∥eq\o(MB,\s\up6(→))或eq\o(PB,\s\up6(→))∥eq\o(AM,\s\up6(→)))．（4）如图所示，已知斜三棱柱ABC－A1B1C1，点M，N分别在AC1和BC上，且满足eq\o(AM,\s\up6(→))＝keq\o(AC1,\s\up6(→))，eq\o(BN,\s\up6(→))＝keq\o(BC,\s\up6(→))(0≤k≤1)．判断向量eq\o(MN,\s\up6(→))是否与向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AA1,\s\up6(→))共面．【详解】因为eq\o(AM,\s\up6(→))＝keq\o(AC1,\s\up6(→))，eq\o(BN,\s\up6(→))＝keq\o(BC,\s\up6(→))，所以eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BN,\s\up6(→))＝keq\o(C1A,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋keq\o(BC,\s\up6(→))＝k(eq\o(C1A,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝k(eq\o(C1A,\s\up6(→))＋eq\o(B1C1,\s\up6(→)))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝keq\o(B1A,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－keq\o(AB1,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－k(eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)))＝(1－k)eq\o(AB,\s\up6(→))－keq\o(AA1,\s\up6(→))，所以由共面向量定理知向量eq\o(MN,\s\up6(→))与向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AA1,\s\up6(→))共面．四．空间向量数量积及其应用例4．（1）（多选）正方体的棱长为1，体对角线与，相交于点，则（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】根据向量的线性运算的几何表示，向量数量积的定义及运算律结合正方体的性质即得.【详解】方法一：，故A正确；，故B错误；，故C正确；，故D错误；方法二：，故A正确；由正方体的性质可知，，，，故B错误；，故C正确；，故D错误.故选：AC．（2）空间四边形中，，，则的值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用，以及的数量积的定义化简的值，【详解】解：，所以所以，故选：D．（3）如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，若，且，则的长为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】将作为基底，利用空间向量基本定理用基底表示，然后对其平方化简后，再开方可求得结果【详解】由题意得，，因为,所以，所以，故选：C（4）已知空间中非零向量，，且，，，则的值为（

）．A． B．97 C． D．61【答案】C【分析】根据空间向量数量积的定义可得，进而求出的值.【详解】∵，∴，故选：C.（5）已知，，则向量在向量上的投影向量是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求出向量在向量上的投影，再求解向量在向量上的投影向量即可．【详解】因为，0，，，2，，则向量在向量上的投影为，所以向量在向量上的投影向量是．故选：．（6）（多选）已知四面体的所有棱长都是分别是棱的中点，则（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量数量级的坐标运算计算即可.【详解】以B为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，所以，，，，，.故选：ACD【复习指导】：(1)由向量数量积的定义知，要求a与b的数量积，需已知|a|，|b|和〈a，b〉，a与b的夹角与方向有关，一定要根据方向正确判定夹角的大小，才能使a·b计算准确．(2)利用向量的数量积可证明线段的垂直关系，也可以利用垂直关系，通过向量共线确定点在线段上的位置．(3)利用夹角公式，可以求异面直线所成的角，也可以求二面角．(4)可以通过|a|＝eq\r(a2)，将向量的长度问题转化为向量数量积的问题求解．五．向量法证明平行、垂直例5．（1）在直三棱柱ABC­A1B1C1中，∠ABC＝90°，BC＝2，CC1＝4，点E在线段BB1上，且EB1＝1，D，F，G分别为CC1，C1B1，C1A1的中点．(=1\*romani)证明：B1D⊥平面ABD；(=2\*romanii)证明：平面EGF∥平面ABD.【分析】(=1\*romani)建立空间直角坐标系，利用向量法来证得平面.(=2\*romanii)利用向量法证得平面平面.【详解】(=1\*romani)以B为坐标原点，BA、BC、BB1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则B(0,0,0)，D(0,2,2)，B1(0,0,4)，设BA＝a，则A(a,0,0)，所以＝(a,0,0)，＝(0,2,2)，＝(0,2，－2)，·＝0，·＝0＋4－4＝0，即B1D⊥BA，B1D⊥BD.又BA∩BD＝B，因此B1D⊥平面ABD.(=2\*romanii)由(=1\*romani)知，E(0,0,3)，G，F(0,1,4)，则＝，＝(0,1,1)，·＝0＋2－2＝0，·＝0＋2－2＝0，即B1D⊥EG，B1D⊥EF.又EG∩EF＝E，因此B1D⊥平面EGF.

结合(1)可知平面EGF∥平面ABD.（2）在三棱台ABC－A1B1C1中，C1C⊥平面ABC，AB⊥BC，且AB=BC=C1C=2A1B1，O为AC的中点，P是C1C的中点．证明：平面A1BC⊥平面POB.【分析】连接A1O，则以O为坐标原点，以，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系O－，利用空间向量证明即可.【详解】证明：连接A1O，设A1B1=1，则AB=BC=C1C=2，AC=，A1C1=因为O为AC的中点，所以,因为∥，所以四边形为平行四边形，所以∥，因为C1C⊥平面ABC，平面ABC，所以，所以，因为平面ABC，，所以A1O⊥平面ABC，因为AB=BC，所以BO⊥AC．以O为坐标原点，以，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系O－，则O（0，0，0），B（，0，0），C（0，，0），（0，0，2），（，，2），（0，，2），P（0，，1）．因为，所以，所以，所以A1C⊥OB，A1C⊥OP．因为，平面POB，所以A1C⊥平面POB．因为平面A1BC，所以平面A1BC⊥平面POB．（3）如图，在三棱锥P-ABC中，，D是BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上，已知．(=1\*romani)求证：AP⊥BC；(=2\*romanii)若点M是线段AP是一点，且．试证明平面AMC⊥平面BMC．【分析】(=1\*romani)建立空间直角坐标系，求出相关点坐标，求出向量的坐标，计算，即可证明结论；(=2\*romanii)求出平面平面AMC和平面BMC的法向量，计算法向量的数量积，结果为0，即可证明结论.【详解】(=1\*romani)证明：以O为原点，过点O作CB的平行线为x轴，以AD方向为y轴正方向，以射线OP的方向为Z轴正方向，建立空间直角坐标系，如图所示；则，故，，∴，∴⊥，即；(=2\*romanii)证明：因为平面ABC，平面ABC，所以,因为，故，∵M为AP上一点，且，∴M(0,，)，∴(0,,)，(-4,,)，(4,,)；设平面BMC的法向量为，则，即，令，则；设平面AMC的法向量为，则，即，令，则；由于，得⊥，即平面AMC⊥平面BMC．【复习指导】：(1)利用向量证明平行问题①线线平行：方向向量平行．②线面平行：平面外的直线方向向量与平面法向量垂直．③面面平行：两平面的法向量平行．(2)利用向量法证垂直问题的类型及常用方法线线垂直问题证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零线面垂直问题直线的方向向量与平面的法向量共线，或利用线面垂直的判定定理转化为证明线线垂直面面垂直问题两个平面的法向量垂直，或利用面面垂直的判定定理转化为证明线面垂直1．如图，在中，点分别是棱的中点，则化简的结果是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由中点的向量公式与向量的减法运算即可得到答案.【详解】如图所示，连接，因为分别是棱的中点，所以.故选：C.2．下列命题中正确的是（

）A．空间任意两个向量共面B．向量、、共面即它们所在直线共面C．若，，则与所在直线平行D．若，则存在唯一的实数，使【答案】A【分析】根据共面向量，共线向量的定义判断．【详解】空间任意两个向量都能平移到同一平面内，因此它们共面，A正确；空间三个向量指能平移到同一平面内，而不是指表示它们的直线在同一平面内，B错；若，，但当时，与不一定平行，因此它们所在直线也不一定平行，即使两个向量平行，它们所在的直线也可能是同一直线，不一定平行，C错；若，当时，不存在唯一的实数，使，D错．故选：A．3．已知向量，不共线，，，，则（

）A．与共线 B．与共线C．，，，四点不共面 D．，，，四点共面【答案】D【分析】根据平面向量共线定理及推论依次判断各个选项即可.【详解】对于A，，不存在实数，使得成立，与不共线，A错误；对于B，，，，又，不存在实数，使得成立，与不共线，B错误；对于C、D，若，，，四点共面，则有，，即，故，故，，，四点共面，C错误，D正确.故选：D.4．如图，在四棱锥中，平面BCDE，四边形BCDE为直角梯形，，，，，为等腰直角三角形，点F在棱上，若点P为DB的中点，且平面，则点F的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】设出点的坐标，结合已知条件利用共线向量用一个参数表示出的坐标，然后利用平面的法向量与垂直和数量积的坐标公式求出即可求解.【详解】结合已知条件和图可知，，，，，，，不妨设，因为点F在棱上，所以，，解得，，，所以点坐标为，从而，由题意可知，为平面的一个法向量，故，解得，从而点F的坐标为.故选：D.5．在正四面体中，点，分别是，的中点，则与的夹角为（

）A．30° B．60° C．120° D．150°【答案】C【分析】根据题意，可知，再结合正四面体的性质即可求解.【详解】由题意，可得，所以．故选：C.6．已知三点不共线，是平面外任意一点，若由确定的一点与三点共面，则等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据四点共面的充要条件及其推论，即可得出答案.【详解】由与三点共面以及，可得，，所以.故选：C.7．平面α内有五点A，B，C，D，E，其中无三点共线，O为空间一点，满足，，则x＋3y等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据四点共面的条件逐项判断即可求得结论．【详解】空间向量共面定理，，若，，不共线，且共面，则其充要条件是；由点A，B，C，D共面得①又由点B，C，D，E共面得②联立①②，解得所以故选：B8．下面关于空间向量的说法正确的是（

）A．若向量平行，则所在直线平行B．若向量所在直线是异面直线，则不共面C．若A，B，C，D四点不共面，则向量，不共面D．若A，B，C，D四点不共面，则向量，，不共面【答案】D【分析】利用平行向量的意义判断A；利用空间共面向量的意义判断BCD作答.【详解】向量平行，所在直线可以重合，也可以平行，A错误；可以通过平移将空间中任意两个向量平移到一个平面内，因此空间任意两个向量都是共面的，BC错误；显然AB，AC，AD是空间中有公共端点A，但不共面的三条线段，所以向量，，不共面，D正确.故选：D9．如图所示，在平行六面体中，M为与，，，则下列向量中与相等的向量是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据题意结合空间向量的线性运算求解.【详解】由题意可得：，根据空间向量基本定理可知：只有与相等.故选：A.10．如图，已知四棱柱的体积为，四边形是平行四边形，点在平面内，且，则三棱锥与三棱锥的公共部分的体积为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】作出辅助线，找到两三棱锥的公共部分，结合三角形相似知识得到边长比，从而得到体积比，求出答案.【详解】先找两三棱锥的公共部分，由知：，故，在上取点，使得，连接，设，连接，则三棱锥为三棱锥与三棱锥的公共部分，∵∽，，点到平面的距离是点到平面的距离的，又，.故选：A.11．如图，三棱锥中，和都是等边三角形，，，为棱上一点，则的值为（

）A． B．1 C． D．【答案】A【分析】先证明平面，得到，再根据空间向量的线性运算和数量积的定义，计算即可.【详解】取的中点，连接，和都是等边三角形，，，平面，平面，平面，面，，在中，，，由余弦定理，.故选：A.12．在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，设，则的值为（

）A．1 B．0 C．-1 D．-2【答案】B【分析】由正方体的性质可知两两垂直，从而对化简可得答案【详解】由题意可得,所以，所以，所以，故选：B13．在三棱锥中，，，，则（

）A． B． C．1 D．【答案】A【分析】根据已知条件，由，利用向量数量积的定义及运算律即可求解.【详解】解：因为三棱锥中，，，，所以，故选：A.14．如图，在三棱锥中，两两垂直，为的中点，则的值为（

）A．1 B． C． D．【答案】D【分析】先将转化为，再按照数量积的定义及运算律计算即可.【详解】由题意得，故.故选：D.15．若，，则等于（

）A．5 B． C．7 D．【答案】B【分析】利用空间向量的四则运算与数量积的坐标表示即可求解.【详解】∵，，∴两式相加得，∴，∴，∴，故选：B．16．已知，，，则在上的投影向量为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】直接根据空间向量的投影计算公式求出在上的投影，进行计算在上的投影向量.【详解】因为，，所以.因为，所以故在上的投影向量为故选：B17．如图，在平行六面体中，，，，则（

）A．12 B．8 C．6 D．4【答案】B【分析】根据空间向量加法的运算性质，结合空间向量数量积的运算性质和定义进行求解即可.【详解】故选：B18．已知正四面体的棱长为1，且，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用向量减法的三角形法则和向量的数量积的定义和正四面体的定义即可求解.【详解】因为，所以.根据向量的减法法则，得，所以.故选：C.19．四面体中，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据空间向量数量积的运算律及定义计算可得；【详解】解：因为，，所以所以，所以，又，所以，所以，因为，所以；故选：C20．已知长方体，下列向量的数量积一定不为0的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】当四边形ADD1A1为正方形时，可证AD1⊥B1C可判断A；当四边形ABCD为正方形时，可证AC⊥BD1可判断B；由长方体的性质可证AB⊥AD1，分别可得数量积为0，可判断C；可推在△BCD1中，∠BCD1为直角，可判BC与BD1不可能垂直，可得结论可判断D.【详解】选项A，当四边形ADD1A1为正方形时，可得AD1⊥A1D，而A1D∥B1C，可得AD1⊥B1C，此时有，故正确；选项B，当四边形ABCD为正方形时，可得AC⊥BD，，，平面BB1D1D，可得AC⊥平面BB1D1D，故有AC⊥BD1，此时有，故正确；选项C，由长方体的性质可得AB⊥平面ADD1A1，平面ADD1A1，可得AB⊥AD1，此时必有0，故正确；选项D，由长方体的性质可得BC⊥平面CDD1C1，平面CDD1C1，可得BC⊥CD1，△BCD1为直角三角形，∠BCD1为直角，故BC与BD1不可能垂直，即，故错误.故选：D.21．如图，P为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，圆锥PO的轴截面PAE是边长为2的等边三角形，是底面圆的内接正三角形．则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求出，再利用向量的线性运算和数量积计算求解.【详解】解：由题得,,．故选：B22．已知为标准正交基底，，则在方向上的投影数量为（

）A．1 B．－1C． D．－【答案】A【分析】利用投影向量的定义求解即可【详解】因为，为标准正交基底，所以在方向上的投影数量为，故选：A23．已知正四面体的棱长为，点，分别是，的中点，则的值为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用向量的中点公式表示和，然后利用向量的数量积公式运算即可求解.【详解】因为E，F分别是BC，AD的中点，所以，，又因为正四面体ABCD的棱长都为1，所以，故．故选：C．24．如图，在正四棱柱中，是底面的中心，分别是的中点，则下列结论正确的是（

）A．//B．C．//平面D．平面【答案】B【分析】建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明，逐项分析、判断作答.【详解】在正四棱柱中，以点D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，令，是底面的中心，分别是的中点，则，，，对于A，显然与不共线，即与不平行，A不正确；对于B，因，则，即，B正确；对于C，设平面的法向量为，则，令，得，，因此与不垂直，即不平行于平面，C不正确；对于D，由选项C知，与不共线，即不垂直于平面，D不正确.故选：B25．（多选）已知向量与共线，则实数λ的值可能是（

）A．－3B．2C．D．0【答案】AB【分析】由，可得存在实数k使得，可解出λ的值．【详解】向量与共线，∴存在实数k使得，由，解得或．故选︰AB．26．（多选）下列条件中，使M与A，B，C一定共面的是（

）A．B．C．D．【答案】AC【分析】根据四点共面的条件逐项判断即可求得结论．【详解】空间向量共面定理，，若，，不共线，且，，，共面，则其充要条件是；对于A，因为，所以可以得出，，，四点共面；对于B，因为，所以不能得出，，，四点共面；对于C，，则，，为共面向量，所以与,，一定共面；对于D，因为，所以，因为，所以不能得出，，，四点共面．故选：AC．27．（多选）下列关于空间向量的命题中，正确的是（

）A．若非零向量，，满足，，则有B．任意向量，，满足C．若，，是空间的一组基底，且，则四点共面D．已知向量，，若，则为锐角【答案】CD【分析】根据空间向量的平行和垂直关系判断A；根据空间向量的数量积运算判断B；根据空间向量基本定理，及四点共面问题判断C；根据空间向量的夹角判断D．【详解】对于A：若非零向量，，满足，，则，不一定平行，故A错误；对于B：∵，不一定共线，则不一定成立，故B错误；对于C：若、、是空间的一组基底，且，则，即，则四点共面，故C正确；对于D：∵，若，则，可得，若共线，则，解得，即当时，不共线，∴为锐角，故D正确；故选：CD.【点睛】本题考查了空间向量基本定理，空间向量平行及四点共面问题以及空间向量的夹角，属于基础题．28．（多选）已知空间向量，则（

）A． B．是共面向量C． D．【答案】ABC【分析】根据向量的坐标进行运算，求向量的模长，判断关系.【详解】，A项正确；设，即，解得，，即，所以，，共面，B项正确；，所以，C项正确；，D项错误.故选：ABC.29．（多选）下列说法正确的是（

）A．设是两个空间向量，则一定共面B．设是三个空间向量，则一定不共面C．设是两个空间向量，则D．设是三个空间向量，则【答案】AC【分析】直接利用空间向量的定义、数量积的定义，空间向量的应用逐一判断A、B、C、D的结论即可．【详解】对于A：因为是两个空间向量，则一定共面，故A正确；对于B：因为是三个空间向量，则可能共面也可能不共面，故B错误；对于C：因为是两个空间向量，则，故C正确；对于D：因为是三个空间向量，则与向量共线，与向量共线，则D错误．故选：AC．30．（多选）设，为空间中的任意两个非零向量，下列各式中正确的有（

）A． B．C． D．【答案】AD【分析】根据空间向量数量积的定义与运算律一一判断即可；【详解】解：对于A：，故A正确；对于B：因为向量不能做除法，即无意义，故B错误；对于C：，故C错误；对于D：，故D正确；故选：AD31．在四面体中，已知为线段上的点，为线段上的点，且，若，则的值为___________.【答案】【分析】根据空间的的加法法则、减法法则和共线定理，即可求，进而求出，由此即可求出结果.【详解】由题意可知，，所以，所以.故答案为：.32．已知、分别是四面体的棱、的中点，点在线段上，且，设向量，，，则______(用表示)【答案】【解析】利用空间向量的三角形法则、平行四边形法则，把用、和线性表示即可．【详解】，，，，．．故答案为：33．正四面体ABCD中，若M是棱CD的中点，，，则______.【答案】【分析】根据空间向量线性运算得到，证明出共线定理的推论，由三点共线，得到，求出.【详解】因为，所以，即，，下面证明：已知，若三点共线，则，因为三点共线，所以存在非零实数，使得，即，整理得，故，，所以，因为三点共线，故，解得：.故答案为：34．空间四边形ABCD中，AC与BD是四边形的两条对角线，M，N分别为线段AB，CD上的两点，且满足，，若点G在线段MN上，且满足，若向量满足，则______．【答案】【分析】利用空间向量的运算法则，直接求出，再利用空间向量基本定理，即可求出结果.【详解】因为，所以．故答案：.35．在四面体中，棱，，两两垂直，且，，，为的重心，则______．【答案】【分析】由三角形重心的性质和向量的三角形法则得出，再由向量数量积的运算律计算可得．【详解】解：如图所示，连接并延长与相交于点．点是底面的重心，，又，则．故答案为：．36．已知空间四边形的每条边和对角线的长都等于1，点，分别是，的中点，则的值为_________.【答案】/【分析】如图，在正三棱锥中，以为基底，，，利用向量数量积性质进行计算即可得解.【详解】根据题意为正四面体，两两成角，所以，，所以.故答案为：37．如图，已知正方体的棱长为1，为棱上的动点，则向量在向量方向上的投影数量的取值范围为______．【答案】【分析】设，利用向量数量积的定义及运算法则可得，知向量在向量方向上投影数量为，进而求得其取值范围.【详解】由已知E为棱上的动点，设，因为，所以，所以向量在向量方向上投影数量为，又，，，所以向量在向量方向上投影的数量的取值范围为故答案为：38．已知O(0,0,0)，A(1,2,1)，B(2,1,2)，P(1,1,2)，点Q在直线OP上运动，当eq\o(QA,\s\up6(→))·eq\o(QB,\s\up6(→))取最小值时，点Q的坐标是________．【答案】(1,1,2)【详解】由题意，设eq\o(OQ,\s\up6(→))＝λeq\o(OP,\s\up6(→))，则eq\o(OQ,\s\up6(→))＝(λ，λ，2λ)，即Q(λ，λ，2λ)，则eq\o(QA,\s\up6(→))＝(1－λ，2－λ，1－2λ)，eq\o(QB,\s\up6(→))＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，∴eq\o(QA,\s\up6(→))·eq\o(QB,\s\up6(→))＝(1－λ)(2－λ)＋(2－λ)(1－λ)＋(1－2λ)(2－2λ)＝6λ2－12λ＋6＝6(λ－1)2，当λ＝1时取最小值，此时Q点坐标为(1,1,2)．39．如图，在底面为菱形的平行六面体中，分别在棱上，且．(1)用向量表示向量；(2)求证：共面.【答案】(1)；(2)见解析【分析】（1）利用向量的线性运算结合平行六面体的特点求解；（2）分别用向量表示和，根据两向量相等得到四点共线.【详解】（1）在底面为菱形的平行六面体中，易得.（2）因为，,所以，所以共面.40．如图所示，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱底面ABCD，E为棱PC的中点，，连接DF、DE，其中Q为DE的中点，，，．(1)请用，，，表示向量；(2)，，求的值．【答案】(1)；(2)【分析】(1)根据图象，结合空间向量的线性运算法则用，，表示向量；(2)用，，表示向量，根据空间向量数量积的运算性质及定义运算即可.【详解】（1）因为，，，所以由题知向量，，两两互相垂直，因为，所以．因为，所以，所以又因为为PC的中点，为DE的中点，所以，所以．（2）又因为，所以．41．如图，在平行六面体中，，，，，．求：(1)(2)的长．【答案】(1)；(2)【分析】（1）由向量数量积定义可直接求得结果；（2）利用向量线性运算可得，由向量数量积的定义和运算律可求得，由此可得结果.【详解】（1）.（2），，，即的长为.42．如图，已知平行六面体中，底面ABCD是边长为1的正方形，，，设，，．(1)用，，表示，并求；(2)求．【答案】(1)，；(2)0【分析】（1）把，，作为基底，利用空间向量基本定理表示，然后根据已知的数据求，（2）先把用基底表示，然后化简求解【详解】（1）因为，，，,所以，因为底面ABCD是边长为1的正方形，，，所以（2）因为，底面ABCD是边长为1的正方形，，，所以43．如图，已知是正方形所在平面外一点，分别是上一点，且，求证：平面.【答案】证明见解析【分析】根据向量的线性运算及向量共线定理，利用线面平行的判定定理即可求解.【详解】由题意知.在上取点，使，于是，所以.因为平面，平面，所以平面.44．如图，已知棱长为4的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N，E，F分别是棱A1D1，A1B1，D1C1，B1C1的中点，求证：平面∥平面.【答案】证明见解析【分析】根据题意建立空间直角坐标系，分别写出，求出平面与平面.的法向量，根据法向量与法向量的关系即可证明.【详解】由正方体的棱长为4，建立如图所示的空间直角坐标系，则，,,,,,设平面的一个法向量为，则即，令，解得所以设平面的一个法向量为，则即，令，解得所以所以∴平面∥平面.45．如图，在直三棱柱中，为的中点．(1)证明：平面；(2)证明：平面平面．【分析】（1）利用向量法去证明平面；（2）利用向量法去证明平面平面．【详解】（1）在直三棱柱中，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，设，则，，，，，，则，，，设平面的法向量，则，取，得，，且平面，则平面（2），，设平面的一个法向量，则，取，得，又平面的法向量，则，则平面平面．46．如图，在直三棱柱中，，，D为AB的中点．试用向量的方法证明：(1)；(2)平面．【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量的方法证得结论成立.（2）利用向量的方法证得结论成立.【详解】（1）建立如图所示空间直角坐标系，设，则，，所以.（2），，设平面的法向量为，则，故可令，，所以平面.47．如图，在四棱锥中，底面，，，，点为棱的中点.证明：(1)；(2)平面；(3)平面⊥平面.【分析】（1）以点为原点建立空间直角坐标系，写出点的坐标，把坐标写出，两向量作数量积为零，即可得到垂直；（2）取的中点，设为，连接，证出四边形为平行四边形，即得出，利用线面平行的判定定理得到平面.（3）利用，（线线垂直）推出面（线面垂直），由于面，再由面面垂直的判定定理推出平面⊥平面.【详解】（1）证明：依题意，以点为原点建立空间直角坐标系(如图)，，可得.由为棱的中点，得.(1)向量，故.所以.（2）取的中点，设为，连接，分别是的中点，且，由题意知，，且，即四边形为平行四边形，即，面面，平面.

（3）底面，底面，，，，，面，，面，面，平面⊥平面.48．如图，在三棱柱中，四边形是边长为的正方形，，，.（1）证明：平面平面；（2）在线段上是否存在点，使得，若存在，求的值；若不存在，请说明理由【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）在中，满足，可得，再由已知根据线面垂直的判定定理可证得面，再由面面垂直的判定定理可得证；（2）建立空间直角坐标系，设，，由向量垂直的坐