考点17 正弦定理和余弦定理

考点17正弦定理和余弦定理1.(2021·全国甲卷·T8)在△ABC中,已知∠B=120°,AC=19,AB=2,则BC= ()A.1B.2C.5D.3【命题意图】本题主要考查应用正、余弦定理解三角形的方法,考查学生的数学运算求解能力.【解析】选D.设BC=x,在△ABC中,由余弦定理知:19=22+x2-2·2xcos120°,解上式得:x=3.2.(2021·全国甲卷·T8)2020年12月8日,中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86(单位:m),三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一.如图是三角高程测量法的一个示意图,现有A,B,C三点,且A,B,C在同一水平面上的投影A',B',C'满足∠A'C'B'=45°,∠A'B'C'=60°由C点测得B点的仰角为15°,BB'与CC'的差为100;由B点测得A点的仰角为45°,则A,C两点到水平面A'B'C'的高度差AA'-CC'约为(3≈1.732)()A.346 B.373 C.446 D.473【命题意图】本题主要考查应用正、余弦定理解三角形的方法,考查学生的数学运算求解能力.【解析】选B.作CM⊥BB',BN⊥AA',CQ⊥AA',其中M,N,Q为相应的垂足,由题意得,BM=100,∠BCM=15°,∠ABN=45°,即CM=100tan15°=B'C',所以BN=B'A'=100tan15°·sin45°sin75°=100cos15°sin45°sin15°sin75°=502sin15°=1003+100≈273,所以AN=BN=273,3.(2021·全国乙卷文科·T15)同(2021·全国乙卷理科·T15)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为3,B=60°,a2+c2=3ac,则b=.

【命题意图】本题考查三角形的面积公式,利用余弦定理求解三角形的边长.【解析】S△ABC=12acsinB=34ac=3,所以ac=4.由余弦定理,得b2=a2+c2-ac=3ac-ac=2ac=8,所以b=2答案:224.(2021·浙江高考·T14)在△ABC中,∠B=60°,AB=2,M是BC的中点,AM=23,则AC=;cos∠MAC=.

【命题意图】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用.突出考查数学运算的核心素养.【解析】由题意作出图形,如图所示:因为∠B=60°,所以cos∠B=12,因为AB=2,AM=23在△ABM中,由余弦定理可得:AB2+BM2-AM22AB因为M是BC的中点,所以BC=2BM=8.在△ABC中,由余弦定理可得:AB2+即22+82-AC22×2×8=12,解得AC=213,所以【答案】21325.(2021·北京新高考·T16)(12分)已知在△ABC中,c=2bcosB,C=2π(Ⅰ)求B的大小;(Ⅱ)在下列三个条件中选择一个作为已知,使△ABC存在且唯一确定,并求出BC边上的中线的长度.①c=2b;②周长为4+23;③面积为S△ABC=33【命题意图】本题考查正弦定理和余弦定理,三角恒等变换等等,意在考查考生的转化思想,数学运算、逻辑推理素养.【解析】(Ⅰ)由已知及正弦定理,sinC=2sinBcosB=sin2B,所以C=2B(舍去)或C+2B=π,所以B=π6(Ⅱ)由(Ⅰ)及已知,c=3b,所以不能选①.选②,设BC=AC=2x,则AB=23x,故周长为(4+23)x=4+23,解得x=1,即BC=AC=2,AB=23,设BC中点为D,则在△ABD中,由余弦定理,cosB=AB2+BD2-AD2选③,设BC=AC=2x,则AB=23x,故S△ABC=12×(2x)×(2x)×sin120o=3x2=334,解得x=32,即BC=AC=3设BC中点为D,则在△ABD中,由余弦定理,cosB=AB2+BD2-AD26.(2021·新高考I卷·T19)(12分)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知b2=ac,点D在边AC上,BDsin∠ABC=asinC.(1)证明:BD=b;(2)若AD=2DC,求cos∠ABC.【命题意图】本题主要考查利用正余弦定理解三角形问题,旨在考查运算求解能力.【解析】(1)在△ABC中,ACsin∠ABC=ABsin因为BDsin∠ABC=asinC,所以BDsinC=asin∠联立①②得ABBD=ACa,即ac=b·BD,因为b2=ac,所以BD(2)若AD=2DC,△ABC中,cosC=a2+b△BCD中,cosC=a2+b因为③=④,所以(a2+b2-c2)=3a2+b32-b2,整理得a2+b2-c2=3所以2a2-113b2+c2=0,因为b2=ac,所以6a2-11ac+3c2=0,即a=c3或a=3若a=c3,b2=ac=c23,则cos∠ABC=a2+c2-b若a=32c,b2=ac=32c2,则cos∠ABC=a2+c2-b22·a·c=【反思总结】解三角形的常见题型及求解方法(1)已知两角A,B与一边a,由A+B+C=π及asinA=bsinB=csinC,可先求出角(2)已知两边b,c及其夹角A,由a2=b2+c2-2bccosA,先求出a,再求出角B,C.(3)已知三边a,b,c,由余弦定理可求出角A,B,C.(4)已知两边a,b及其中一边的对角A,由正弦定理asinA=bsinB可求出另一边b的对角B,由C=π-(A+B),可求出角C,再由asinA=csinC可求出c,而通过a7.(2021·新高考II卷·T18)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,b=a+1,c=a+2.(1)若2sinC=3sinA,求△ABC的面积;(2)是否存在正整数a,使得△ABC为钝角三角形?若存在,求a的值;若不存在,说明理由.【命题意图】本题考查利用正、余弦定理解三角形,意在考查数学运算及逻辑推理等核心素养.【解析】(1)因为2sinC=3sinA,则2c=2(a+2)=3a,则a=4,故b=5,c=6,cosC=a2+b2-c22ab=18,所以角C为锐角,则sinC=1-cos2C=378,(2)显然c>b>a,若△ABC为钝角三角形,则角C为钝角,由余弦定理可得cosC=a=a2+(a+1)2-(a+2)22a(a+1)=a2