多体机械能守恒问题

一.必备知识精讲1.多物体组成的系统机械能守恒是否守恒的判断方法看是否有其他形式的能与机械能相互转化。2．三种守恒表达式的比拟角度公式意义考前须知守恒观点Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2系统的初状态机械能的总和与末状态机械能的总和相等初、末状态必须用同一零势能面计算势能转化观点ΔEk＝－ΔEp系统减少(或增加)的势能等于系统增加(或减少)的动能应用时关键在于分清势能的增加量或减少量，可不选零势能面而直接计算初、末状态的势能差转移观点ΔEA增＝ΔEB减假设系统由A、B两物体组成，那么A物体机械能的增加量与B物体机械能的减少量相等常用于解决两个或多个物体组成的系统的机械能守恒问题3．几种常见类型类型一：质量均匀的链条或柔软的绳索类型二：轻绳连接的物体系统(1)常见情景(2)三点提醒①分清两物体是速度大小相等，还是沿绳方向的分速度大小相等。(易错点)②用好两物体的位移大小关系或竖直方向高度变化的关系。③对于单个物体，一般绳上的力要做功，机械能不守恒；但对于绳连接的系统，机械能那么可能守恒。类型三：轻杆连接的物体系统(1)常见情景(2)三大特点①用杆连接的两个物体，其线速度大小一般有以下两种情况：a．假设两物体绕某一固定点做圆周运动，根据角速度ω相等确定线速度v的大小。b．“关联速度法〞：两物体沿杆方向速度大小相等。②杆对物体的作用力并不总是沿杆的方向，杆能对物体做功，单个物体机械能不守恒。③对于杆和球组成的系统，忽略空气阻力和各种摩擦且没有其他力对系统做功，那么系统机械能守恒。类型四：几个接触的物体组成的连接体类型五：轻绳、物体轻弹簧组成的连接体〔下一节具体探讨〕二.典型例题精讲题型一：质量均匀的链条模型例1：一根质量为m、长为L的均匀链条一半放在光滑的水平桌面上，另一半悬在桌边，桌面足够高，如图a所示。假设将一个质量也为m的小球分别拴在链条左端或右端，如图b、图c所示，约束链条的挡板光滑，三种情况下链条均由静止释放，当整根链条刚离开桌面时，设它们的速度分别为va、vb、vc，那么关于va、vb、vc的关系，以下判断中正确的选项是()A．va＝vb＝vc B.va<vb<vcC．vc>va>vb D.va>vb>vc答案C解析设桌面下方L处为零势能面。链条由静止释放之后，到整根刚离开桌面，由于桌面无摩擦，对三种情况，那么释放前，系统的重力势能为：图a中，Ep1＝eq\f(1,2)mgL＋eq\f(1,2)mg·eq\f(3,4)L＝eq\f(7,8)mgL，图b中，Ep2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)m＋m))gL＋eq\f(1,2)mg·eq\f(3,4)L＝eq\f(15mgL,8)，图c中，Ep3＝eq\f(1,2)mgL＋eq\f(1,2)mg·eq\f(3,4)L＋mg·eq\f(L,2)＝eq\f(11,8)mgL。释放后，整根链条刚离开桌面时，系统的重力势能为：图a中，Ep1′＝mgeq\f(L,2)，图b中，Ep2′＝mgL＋mg·eq\f(L,2)＝eq\f(3,2)mgL，图c中，Ep3′＝eq\f(1,2)mgL。那么系统损失的重力势能ΔEp1＝eq\f(3,8)mgL，ΔEp2＝eq\f(3,8)mgL，ΔEp3＝eq\f(7,8)mgL，而ΔEp1＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,a)，ΔEp2＝eq\f(1,2)(2m)veq\o\al(2,b)，ΔEp3＝eq\f(1,2)(2m)veq\o\al(2,c)，解得：veq\o\al(2,a)＝eq\f(3,4)gL，veq\o\al(2,b)＝eq\f(3,8)gL，veq\o\al(2,c)＝eq\f(7,8)gL，显然veq\o\al(2,c)>veq\o\al(2,a)>veq\o\al(2,b)，所以vc>va>vb，故C正确。题型二：轻绳连接的物体系统例2：如下图，可视为质点的小球A、B用不可伸长的细软轻线连接，跨过固定在地面上、半径为R的光滑圆柱，A的质量为B的两倍．当B位于地面上时，A恰与圆柱轴心等高．将A由静止释放，B上升的最大高度是()A．2RB.eq\f(5R,3)C.eq\f(4R,3)D.eq\f(2R,3)答案C解析设B球质量为m，那么A球质量为2m，A球刚落地时，两球速度大小都为v，根据机械能守恒定律得2mgR＝eq\f(1,2)(2m＋m)v2＋mgR，得v2＝eq\f(2,3)gR，B球继续上升的高度h＝eq\f(v2,2g)＝eq\f(R,3)，B球上升的最大高度为h＋R＝eq\f(4,3)R，应选C.题型三：轻杆连接的物体系统例3：(多项选择)(·全国课标Ⅱ)如图，滑块a、b的质量均为m，a套在固定竖直杆上，与光滑水平地面相距h，b放在地面上。a、b通过铰链用刚性轻杆连接，由静止开始运动。不计摩擦，a、b可视为质点，重力加速度大小为g。那么()A．a落地前，轻杆对b一直做正功B．a落地时速度大小为eq\r(2gh)C．a下落过程中，其加速度大小始终不大于gD．a落地前，当a的机械能最小时，b对地面的压力大小为mg答案：BD[解析]当a物体刚释放时，两者的速度都为0，当a物体落地时，轻杆的分速度为0，由机械能守恒定律可知，a落地时速度大小为va＝eq\r(2gh)，故B正确；b物体的速度也是0，所以轻杆对b先做正功，后做负功，故A错误；杆对a作用效果为先推后拉，杆对a为拉力时，a下落加速度大小会大于g，C错误，a落地前，当a的机械能最小时，b的速度最大，此时杆对b作用力为0，这时，b对地面的压力大小为mg，a的加速度为g，D正确。三.举一反三，稳固练习1.如下图，A和B两个小球固定在一根轻杆的两端，A球的质量为m，B球的质量为2m，此杆可绕穿过O点的水平轴无摩擦地转动。现使轻杆从水平位置由静止释放，那么在杆从释放到转过90°的过程中，以下说法正确的选项是 ()A．A球的机械能增加B．杆对A球始终不做功C．B球重力势能的减少量等于B球动能的增加量D．A球和B球的总机械能守恒答案：AD解析：A球由静止向上运动，重力势能增大，动能也增大，所以机械能增大，杆一定对A球做了功，A项正确，B项错误；由于无摩擦力做功，系统只有重力做功，A球和B球的总机械能守恒，A球机械能增加，B球的机械能一定减少，故D项正确，C项错误。2.如下图，斜劈劈尖顶着竖直墙壁静止于水平面上，现将一小球从图示位置静止释放，不计一切摩擦，那么在小球从释放到落至地面的过程中，以下说法正确的选项是()A．斜劈对小球的弹力不做功B．斜劈与小球组成的系统机械能守恒C．斜劈的机械能守恒D．小球重力势能减少量等于斜劈动能的增加量答案B解析斜劈由静到动，动能增加，只有弹力对斜劈做功，根据动能定理，小球对斜劈的弹力对斜劈做正功，那么斜劈对小球的弹力对小球做负功，故A错误；不计一切摩擦，小球和斜劈组成的系统中，只有重力势能和动能相互转化，机械能守恒，但斜劈的机械能不守恒，故B正确，C错误；小球重力势能减少量等于斜劈和小球动能的增加量之和，故D错误。3．如下图，倾角为30°的足够长斜面与水平面平滑相连，水平面上用轻杆连接的小球A、B以速度v0＝eq\r(gl)向左运动，小球质量均为m，杆长为l，当小球B到达斜面上某处P时速度为零。不计一切摩擦，重力加速度为g。那么以下说法正确的选项是()A．P与水平面的高度差为eq\f(l,4)B．P与水平面的高度差为eq\f(l,2)C．两球上滑过程中杆对A球所做的功为－eq\f(mgl,4)D．两球上滑过程中杆对A球所做的功为eq\f(mgl,4)答案AD解析设小球B沿斜面上滑距离为x时到达斜面上某处P，不计一切摩擦，那么系统机械能守恒，可得2×eq\f(1,2)mveq\o\al(2,0)＝mgxsin30°＋mg(x＋l)sin30°，解得x＝eq\f(1,2)l，那么P与水平面的高度差为h＝xsin30°＝eq\f(1,4)l，故A正确，B错误；设两球上滑过程中杆对A球所做的功为W，对A球，由动能定理得W－mgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(l＋\f(1,2)l))sin30°＝0－eq\f(1,2)mveq\o\al(2,0)，解得W＝eq\f(mgl,4)，故C错误，D正确。4.如下图，物体A的质量为M，圆环B的质量为m，通过绳子连接在一起，圆环套在光滑的竖直杆上，开始时连接圆环的绳子处于水平，长度l＝4m，现从静止释放圆环。不计定滑轮和空气的阻力，g取10m/s2，假设圆环下降h＝3m时的速度v＝5m/s，那么A和B的质量关系为 ()A．eq\f(M,m)＝eq\f(35,29)B．eq\f(M,m)＝eq\f(7,9)C．eq\f(M,m)＝eq\f(39,25)D．eq\f(M,m)＝eq\f(15,19)答案:A[解析]圆环下降3m后的速度可以按如下图分解，故可得vA＝vcosθ＝eq\f(vh,\r(h2＋l2))，A、B和绳子看成一个整体，整体只有重力做功，机械能守恒，当圆环下降h＝3m时，根据机械能守恒可得mgh＝MghA＋eq\f(1,2)mv2＋eq\f(1,2)MvA2，其中hA＝eq\r(h2＋l2)－l，联立可得eq\f(M,m)＝eq\f(35,29)，故A正确。5.如下图，一根轻绳绕过光滑的轻质定滑轮，两端分别连接物块A和B，B的下面通过轻绳连接物块C，A锁定在地面上。B和C的质量均为m，A的质量为eq\f(3,2)m，B和C之间的轻绳长度为L，初始时C离地的高度也为L。现解除对A的锁定，物块开始运动。设物块可视为质点，落地后不反弹。重力加速度大小为g。求：(1)A刚上升时的加速度大小a；(2)A上升过程的最大速度大小vm；(3)A离地的最大高度H。答案：(1)eq\f(1,7)g(2)eq\r(\f(2,7)gL)(3)eq\f(12,7)L解析：(1)解除对A的锁定后，A加速上升，B和C加速下降，加速度大小a相等，设轻绳对A和B的拉力大小为T，由牛顿第二定律得对A：T－eq\f(3,2)mg＝eq\f(3,2)ma对B、C：(m＋m)g－T＝(m＋m)a联立解得：a＝eq\f(1,7)g。(2)C落地后，A的重力大于B的重力，A减速上升，所以当物块C刚着地时，A的速度最大。从A刚开始上升到C刚着地的过程，由机械能守恒定律得2mgL－eq\f(3,2)mgL＝eq\f(1,2)(2m)veq\o\al(2,m)＋eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)m))veq\o\al(2,m)解得vm＝eq\r(\f(2,7)gL)。(3)假设C落地后A继续上升h时速度为零，此时B未触及地面，A和B组成的系统机械能守恒，有mgh－eq\f(3,2)mgh＝0－eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m＋\f(3,2)m))veq\o\al(2,m)联立解得：h＝eq\f(5,7)L由于h＝eq\f(5,7)L<L，B不会触地，假设正确，所以A离地的最大高度H＝L＋h＝eq\f(12,7)L。6.如下图，半径为R的光滑圆环竖直固定，质量为3m的小球A套在圆环上；长为2R的刚性(既不伸长也不缩短)轻杆一端通过铰链与A连接，另一端通过铰链与滑块B连接；滑块B质量为m，套在水平固定的光滑杆上。水平杆与圆环的圆心O位于同一水平线上。现将A置于圆环的最高处并给A一微小扰动(初速度视为0)，使A沿圆环顺时针自由下滑，不计一切摩擦，A、B均视为质点，重力加速度大小为g。求：(1)A滑到与圆心O同高度时的速度大小；(2)A下滑至杆与圆环第一次相切的过程中，杆对B做的功。[答案](1)eq\r(2gR)(2)eq\f(15－6\r(5),17)mgR[解析](1)当A滑到与O同高度时，A的速度沿圆环切向向下，B的速度为0，由机械能守恒定律得3mgR＝eq\f(1,2)×(3m)v2，解得v＝eq\r(2gR)。(2)杆与圆环相切时，A的速度沿杆方向，设为vA，此时B的速度设为vB，根据杆不可伸长和缩短，得vA＝vBcosθ。由几何关系得cosθ＝eq\f(2,5)eq\r(5)。球A下落的高度h＝R(1－cosθ)＝eq\f(5－2\r(5),5)R。由机械能守恒定律得3mgh＝eq\f(1,2)(3m)veq\o\al(2,A)＋eq\f(1,2)mveq\o\al(2,B)。由动能定理得W＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,B)。解得W＝eq\f(15－6\r(5),17)mgR。7.质量不计的V形轻杆可以绕O点在竖直面内转动，AO和BO之间的夹角为53°，OA长为L1＝0.3m，OB长为L2＝0.6m，在轻杆的A、B两点各固定一个可视为质点的小球P和Q，小球P的质量为m＝1kg，如下图。将OA杆拉至O点右侧水平位置由静止释放，OB杆恰能转到O点左侧水平位置。sin53°＝0.8，cos53°＝0.6，g取10m/s2，求：(1)小球Q的质量M；(2)小球Q运动到最低点时，BO杆对小球Q沿竖直方向的作用力。答案(1)0.5kg(2)10.3N解析(1)从OA水平