第6节 双曲线-高考数学备考资料

第6节双曲线考试要求1.了解双曲线的定义，几何图形和标准方程.2.掌握双曲线的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线).3.了解双曲线的简单应用.知识诊断·基础夯实【知识梳理】1.双曲线的定义(1)平面内与两个定点F1，F2的距离差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.(2)其数学表达式：集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.①若a<c，则集合P为双曲线；②若a＝c，则集合P为两条射线；③若a>c，则集合P为空集.2.双曲线的标准方程和几何性质标准方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)图形性质范围x≥a或x≤－a，y∈Rx∈R，y≤－a或y≥a对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(－a，0)，A2(a，0)A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝±eq\f(b,a)xy＝±eq\f(a,b)x离心率e＝eq\f(c,a)，e∈(1，＋∞)实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长度|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长度|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长a，b，c的关系c2＝a2＋b2[常用结论]1.过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为eq\f(2b2,a).2.离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(a2＋b2),a)＝eq\r(1＋\f(b2,a2)).3.若渐近线方程为y＝±eq\f(b,a)x，则双曲线方程可设为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝λ(λ≠0).4.双曲线的焦点到渐近线的距离为b.5.若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝c＋a，|PF2|min＝c－a.6.焦点三角形的面积：P为双曲线上的点，F1，F2为双曲线的两个焦点，且∠F1PF2＝θ，则△F1PF2的面积为eq\f(b2,tan\f(θ,2)).【诊断自测】1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.()(2)平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线.()(3)方程eq\f(x2,m)－eq\f(y2,n)＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线.()(4)双曲线eq\f(x2,m2)－eq\f(y2,n2)＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是eq\f(x,m)±eq\f(y,n)＝0.()答案(1)×(2)×(3)×(4)√解析(1)||MF1|－|MF2||＝8＝|F1F2|，表示的轨迹为两条射线.(2)由双曲线的定义知，应为双曲线的一支，而非双曲线的全部.(3)当m＞0，n＞0时表示焦点在x轴上的双曲线，而m＜0，n＜0时则表示焦点在y轴上的双曲线.2.已知双曲线的两个焦点分别为F1(－5，0)，F2(5，0)，双曲线上一点P与F1，F2的距离差的绝对值等于6，则双曲线的标准方程为________________.答案eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1解析设双曲线标准方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)，由2c＝10，2a＝6，得c＝5，a＝3.因此b2＝c2－a2＝16，∴双曲线的标准方程为eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1.3.(选修一P121T1改编)经过点A(3，－1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为____________.答案eq\f(x2,8)－eq\f(y2,8)＝1解析设双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，把点A(3，－1)代入，得9－1＝λ，λ＝8，故所求双曲线方程为eq\f(x2,8)－eq\f(y2,8)＝1.4.(2020·北京卷)已知双曲线C：eq\f(x2,6)－eq\f(y2,3)＝1，则C的右焦点的坐标为__________；C的焦点到其渐近线的距离是__________.答案(3，0)eq\r(3)解析由eq\f(x2,6)－eq\f(y2,3)＝1，得c2＝a2＋b2＝9，解得c＝3，又焦点在x轴上，所以双曲线C的右焦点坐标为(3，0).双曲线的一条渐近线方程为y＝eq\f(\r(3),\r(6))x，即x－eq\r(2)y＝0，所以焦点(3，0)到渐近线的距离为d＝eq\f(3,\r(12＋（－\r(2)）2))＝eq\r(3).考点突破·题型剖析考点一双曲线的定义及应用例1(1)已知定点F1(－2，0)，F2(2，0)，N是圆O：x2＋y2＝1上任意一点，点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P，则点P的轨迹是()A.椭圆 B.双曲线C.抛物线 D.圆答案B解析如图，连接ON，由题意可得|ON|＝1，且N为MF1的中点，又O为F1F2的中点，所以|MF2|＝2.因为点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P，由垂直平分线的性质可得|PM|＝|PF1|，所以||PF2|－|PF1||＝||PF2|－|PM||＝|MF2|＝2＜|F1F2|，所以由双曲线的定义可得，点P的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线.(2)已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积为________.答案2eq\r(3)解析不妨设点P在双曲线的右支上，则|PF1|－|PF2|＝2a＝2eq\r(2)，在△F1PF2中，由余弦定理，得cos∠F1PF2＝eq\f(|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2,2|PF1|·|PF2|)＝eq\f(1,2)，∴|PF1|·|PF2|＝8，∴S△F1PF2＝eq\f(1,2)|PF1|·|PF2|·sin60°＝2eq\r(3).感悟提升在焦点三角形中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立与|PF1|·|PF2|的联系.训练1(1)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为________________.答案x2－eq\f(y2,8)＝1(x≤－1)解析如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于A和B.根据两圆外切的条件，得|MC1|－|AC1|＝|MA|，|MC2|－|BC2|＝|MB|，因为|MA|＝|MB|，所以|MC1|－|AC1|＝|MC2|－|BC2|，即|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝2，所以点M到两定点C2，C1的距离的差是常数且小于|C1C2|＝6.又根据双曲线的定义，得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大，与C1的距离小)，其中a＝1，c＝3，则b2＝8.故点M的轨迹方程为x2－eq\f(y2,8)＝1(x≤－1).(2)(2023·揭阳模拟)双曲线C的渐近线方程为y＝±eq\f(2\r(3),3)x，一个焦点为F(0，－eq\r(7))，点A(eq\r(2)，0)，点P为双曲线第一象限内的点，则当点P的位置变化时，△PAF周长的最小值为________.答案10解析由已知得双曲线方程为eq\f(y2,4)－eq\f(x2,3)＝1，设双曲线的另一个焦点为F′，则|PF|＝|PF′|＋4，△PAF的周长为|PF|＋|PA|＋|AF|＝|PF′|＋4＋|PA|＋3，当F′，P，A三点共线时，|PF′|＋|PA|有最小值，最小值为|AF′|＝3，故△PAF的周长的最小值为10.考点二双曲线的标准方程例2(1)(2023·泉州质检)已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的焦距为2eq\r(5)，点P(2，1)在C的一条渐近线上，则C的方程为()A.x2－eq\f(y2,4)＝1 B.eq\f(x2,4)－y2＝1C.eq\f(3x2,20)－eq\f(3y2,5)＝1 D.eq\f(x2,16)－eq\f(y2,4)＝1答案B解析由题可知c＝eq\r(5)，故a2＋b2＝5，因为P(2，1)在C的一条渐近线上，所以eq\f(b,a)＝eq\f(1,2)，解得a＝2，b＝1，故双曲线C的方程为eq\f(x2,4)－y2＝1.(2)(2023·潍坊调研)已知双曲线的离心率e＝eq\f(\r(5),2)，且该双曲线经过点(2，2eq\r(5))，则该双曲线的标准方程为________________.答案eq\f(y2,4)－x2＝1解析由题意，知e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))\s\up12(2))＝eq\f(\r(5),2)，解得a＝2b，当焦点在x轴上时，设双曲线的标准方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)，∵点(2，2eq\r(5))在该双曲线上，∴eq\f(4,a2)－eq\f(20,b2)＝1，即eq\f(4,4b2)－eq\f(20,b2)＝1，此方程无解；当焦点在y轴上时，设双曲线的标准方程为eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0)，∵点(2，2eq\r(5))在该双曲线上，∴eq\f(20,a2)－eq\f(4,b2)＝1，即eq\f(20,4b2)－eq\f(4,b2)＝1，解得b＝1，∴a＝2，∴该双曲线的标准方程为eq\f(y2,4)－x2＝1.感悟提升1.用待定系数法求双曲线的标准方程时，先确定焦点在x轴还是y轴上，设出标准方程，再由条件确定a2，b2的值，即“先定型，再定量”，如果焦点的位置不好确定，可将双曲线的方程设为eq\f(x2,m2)－eq\f(y2,n2)＝λ(λ≠0)或mx2－ny2＝1(mn>0)，再根据条件求解.2.与双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)有相同渐近线时可设所求双曲线方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝λ(λ≠0).训练2(1)与椭圆eq\f(x2,4)＋y2＝1共焦点且过点P(2，1)的双曲线标准方程是________________.答案eq\f(x2,2)－y2＝1解析法一椭圆eq\f(x2,4)＋y2＝1的焦点坐标是(±eq\r(3)，0).设双曲线标准方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，因为双曲线过点P(2，1)，所以eq\f(4,a2)－eq\f(1,b2)＝1，又a2＋b2＝3，解得a2＝2，b2＝1，所以所求双曲线的标准方程是eq\f(x2,2)－y2＝1.法二设所求双曲线标准方程为eq\f(x2,4－λ)＋eq\f(y2,1－λ)＝1(1<λ<4)，将点P(2，1)的坐标代入可得eq\f(4,4－λ)＋eq\f(1,1－λ)＝1，解得λ＝2(λ＝－2舍去)，所以所求双曲线标准方程为eq\f(x2,2)－y2＝1.(2)经过点P(3，2eq\r(7))，Q(－6eq\r(2)，7)的双曲线的标准方程为________________.答案eq\f(y2,25)－eq\f(x2,75)＝1解析设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)，因为所求双曲线经过点P(3，2eq\r(7))，Q(－6eq\r(2)，7)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(9m＋28n＝1，,72m＋49n＝1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝－\f(1,75)，,n＝\f(1,25).))故所求双曲线标准方程为eq\f(y2,25)－eq\f(x2,75)＝1.考点三双曲线的简单几何性质角度1渐近线例3(1)(2023·许昌模拟)已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的离心率为eq\r(5)，则双曲线C的渐近线方程为________.答案y＝±2x解析设双曲线C的焦半距为c，则由题可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)＝\r(5)，,c2＝a2＋b2，))则eq\f(a2＋b2,a2)＝5，即eq\f(b2,a2)＝4，eq\f(b,a)＝2，所以双曲线C的渐近线方程为y＝±2x.(2)(2023·重庆诊断)设双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线C及其渐近线在第一象限分别交于A，B两点，O为坐标原点，若eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OF,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→)))，则双曲线C的渐近线方程为________________.答案y＝±eq\f(\r(3),3)x解析由题意，将x＝c分别与eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1和y＝eq\f(b,a)x联立，可得Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c，\f(b2,a)))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c，\f(bc,a)))，又F(c，0)，且eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OF,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→)))，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c，\f(b2,a)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c，\f(bc,2a)))，∴b＝eq\f(c,2)，eq\f(b,a)＝eq\r(\f(b2,c2－b2))＝eq\f(\r(3),3)，∴渐近线方程为y＝±eq\f(\r(3),3)x.角度2离心率例4(1)(2023·沈阳调研)已知O为坐标原点，双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，点A(a，b)，若|OA|＝|FA|，则双曲线C的离心率为()A.2 B.eq\r(3)C.eq\r(2) D.eq\f(\r(5)＋1,2)答案A解析由题知F(c，0).又A(a，b)，|OA|＝|FA|，所以a＝eq\f(1,2)c，所以双曲线C的离心率e＝eq\f(c,a)＝2.(2)(2023·烟台调研)已知F1，F2分别是双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，点P是双曲线C上在第一象限内的一点，若sin∠PF2F1＝3sin∠PF1F2，则双曲线C的离心率的取值范围为________.答案(1，2)解析在△PF1F2中，sin∠PF2F1＝3sin∠PF1F2，由正弦定理得|PF1|＝3|PF2|，又点P是双曲线C上第一象限内的一点，所以|PF1|－|PF2|＝2a，所以|PF1|＝3a，|PF2|＝a，在△PF1F2中，由|PF1|＋|PF2|＞|F1F2|，得3a＋a＞2c，即2a＞c，所以e＝eq\f(c,a)＜2，又e＞1，所以1＜e＜2.感悟提升1.求双曲线离心率或其取值范围的方法：(1)直接求出a，c的值，利用离心率公式直接求解.(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝c2－a2消去b，转化为含有e的方程(或不等式)求解.2.双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的渐近线可由eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝0即得两渐近线方程eq\f(x,a)±eq\f(y,b)＝0.训练3(1)(2023·武汉调研)如图，已知F为双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的右焦点，平行于x轴的直线l分别交C的渐近线和右支于点A，B，且∠OAF＝90°，∠OBF＝∠OFB，则C的渐近线方程为________.答案y＝±x解析依题意，设B(m，n)，F(c，0)，联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝n，,y＝\f(b,a)x，))解得Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(an,b)，n)).∵∠OAF＝90°，∴kAF·kOA＝－1，即eq\f(n,\f(an,b)－c)·eq\f(b,a)＝－1，∴n＝eq\f(ab,c)，又B(m，n)在双曲线C上，可得eq\f(m2,a2)－eq\f(n2,b2)＝1，把n＝eq\f(ab,c)代入，得m2＝eq\f(a2c2＋a4,c2).由∠OBF＝∠OFB，得|OB|＝|OF|，∴m2＋n2＝c2，即eq\f(a2c2＋a4,c2)＋eq\f(a2b2,c2)＝c2，∴a＝b，∴C的渐近线方程为y＝±x.(2)已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，A，B分别为双曲线的左、右顶点，以AB为直径的圆与双曲线C的两条渐近线在第一、二象限分别交于P，Q两点，若OQ∥PF(O为坐标原点)，则该双曲线的离心率为________.答案eq\r(2)解析如图所示，∵OQ∥PF，∴∠AOQ＝∠OFP.又∵双曲线的渐近线关于y轴对称，∴∠FOP＝∠AOQ，则∠OFP＝∠FOP，∴△OPF为等腰三角形，作PM⊥OF，垂足为M，过点B作BD⊥x轴，交渐近线第一象限部分于点D，则Rt△OMP∽Rt△OBD，|OB|＝a，|BD|＝b，|OM|＝eq\f(1,2)|OF|＝eq\f(1,2)c，|OP|＝a，|PM|＝eq\r(|OP|2－|OM|2)＝eq\r(a2－\f(c2,4))，由相似三角形的性质可得eq\f(|BD|,|OB|)＝eq\f(|MP|,|OM|)，∴eq\f(b,a)＝eq\r(\f(c2－a2,a2))＝eq\f(\r(a2－\f(c2,4)),\f(c,2))，整理可得c4＝4a4，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\r(2).考点四双曲线几何性质的综合应用例5(1)已知F1，F2分别为双曲线C：x2－y2＝36的左、右焦点，A是双曲线C右支上(顶点除外)任意一点，若∠F1AF2的角平分线与以AF1为直径的圆交于点B，则△BF1F2的面积的最大值为()A.18eq\r(2) B.18eq\r(3)C.36eq\r(2) D.36eq\r(3)答案C解析由题可知，C的实轴长2a＝12，|F1F2|＝12eq\r(2).如图，延长AF2，F1B交于点D，∵点B在以AF1为直径的圆上，∴AB⊥F1B，又AB为∠F1AF2的角平分线，∴|AF1|＝|AD|，B为F1D的中点.连接OB，则OB是△DF1F2的中位线.由双曲线的定义知|AF1|－|AF2|＝2a＝12，故|F2D|＝|AD|－|AF2|＝|AF1|－|AF2|＝12，∴|OB|＝eq\f(1,2)|F2D|＝6，故点B的轨迹是以原点O为圆心，6为半径的圆，轨迹方程为x2＋y2＝36.显然，当点B的坐标为(0，6)或(0，－6)时，△BF1F2的面积取得最大值，最大值S＝eq\f(1,2)|F1F2|×6＝eq\f(1,2)×12eq\r(2)×6＝36eq\r(2).(2)(2022·上海春季高考)已知双曲线Γ：eq\f(x2,a2)－y2＝1(a＞0)，任取双曲线Γ右支上两个不相同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，都有x1x2－y1y2＞0成立，则实数a的取值范围是________.答案[1，＋∞)解析设O是坐标原点，点P3与点P2关于x轴对称，如图，则P3(x2，－y2)，eq\o(OP1,\s\up6(→))·eq\o(OP3,\s\up6(→))＝x1x2－y1y2＞0，即eq\o(OP1,\s\up6(→))·eq\o(OP3,\s\up6(→))＞0恒成立，∴∠P1OP3恒为锐角，∴∠MON≤90°，∴双曲线Γ的其中一条渐近线y＝eq\f(1,a)x的斜率eq\f(1,a)≤1，又a＞0，∴a≥1，即a的取值范围是[1，＋∞).感悟提升1.双曲线几何性质的综合应用涉及知识面较宽，如双曲线定义、标准方程、对称性、渐近线、离心率等多方面的知识，在解决此类问题时要注意与平面几何知识的联系.2.与双曲线有关的取值范围问题的解题思路(1)若条件中存在不等关系，则借助此关系直接变换转化求解.(2)若条件中没有不等关系，要善于发现隐含的不等关系或借助曲线中不等关系来解决.训练4(1)(2023·长沙适应性考试)若双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)与直线y＝eq\r(3)x有交点，则其离心率的取值范围是()A.(2，＋∞) B.(1，2]C.(1，2) D.[2，＋∞)答案A解析由题意可知，双曲线的焦点在x轴，一条渐近线方程为y＝eq\f(b,a)x，这条渐近线的斜率应大于直线y＝eq\r(3)x的斜率，即eq\f(b,a)＞eq\r(3)，则e＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))\s\up12(2))＞2.(2)(2023·苏北四市调研)已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别是F1，F2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)是双曲线右支上的两点，x1＋y1＝x2＋y2＝3.记△PQF1，△PQF2的周长分别为C1，C2.若C1－C2＝8，则双曲线的右顶点到直线PQ的距离为________.答案eq\f(\r(2),2)解析∵C1－C2＝(|PQ|＋|PF1|＋|QF1|)－(|PQ|＋|PF2|＋|QF2|)＝4a＝8.∴a＝2，∴双曲线右顶点为(2，0).由P(x1，y1)，Q(x2，y2)，x1＋y1＝x2＋y2＝3，可知点P，点Q在直线x＋y＝3上，∴直线PQ的方程为x＋y－3＝0，则双曲线的右顶点到直线PQ的距离d＝eq\f(1,\r(2))＝eq\f(\r(2),2).1.椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的参数方程是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝acosθ，,y＝bsinθ.))2.(1)椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)焦半径公式|PF1|＝a＋ex0，|PF2|＝a－ex0，F1，F2分别为左、右焦点.(2)双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a，b＞0)的焦半径公式|PF1|＝|ex0＋a|，|PF2|＝|ex0－a|.3.双曲线的渐近线的相关结论(1)若双曲线的渐近线方程为y＝±eq\f(b,a)x(a＞0，b＞0)，即eq\f(x,a)±eq\f(y,b)＝0，则双曲线的方程可设为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝λ(λ≠0).(2)双曲线的焦点到其渐近线的距离等于虚半轴长b.(3)双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的渐近线y＝±eq\f(b,a)x的斜率k与离心率e的关系：e＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))\s\up12(2))＝eq\r(1＋k2).4.圆锥曲线的焦点三角形的相关结论(1)焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)中①当P为短轴端点时，θ最大.②S＝eq\f(1,2)|PF1||PF2|·sinθ＝b2taneq\f(θ,2)＝c|y0|，当|y0|＝b时，即点P为短轴端点时，S取最大值，最大值为bc.③焦点三角形的周长为2(a＋c).(2)若P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则S△PF1F2＝eq\f(b2,tan\f(θ,2))，其中θ为∠F1PF2.例(1)双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为y＝±2x，则该双曲线的离心率为()A.5 B.eq\f(3\r(5),5)C.eq\f(\r(5),2) D.eq\r(5)答案D解析[通法]由双曲线的渐近线方程为y＝±2x，可知eq\f(b,a)＝2，即b＝2a.又c2＝a2＋b2＝a2＋4a2＝5a2，所以e2＝eq\f(c2,a2)＝5，即e＝eq\r(5).[优解]由双曲线的渐近线方程为y＝±2x，可知渐近线的斜率k＝±2.根据结论(3)，得e＝eq\r(1＋k2)＝eq\r(1＋4)＝eq\r(5).(2)椭圆eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1的焦点为F1，F2，P为椭圆上一点，若∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积是()A.eq\f(16\r(3),3) B.eq\f(32\r(3),3)C.16eq\r(3) D.32eq\r(3)答案A解析[通法]由椭圆eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1的焦点为F1，F2知|F1F2|＝2c＝6，在△F1PF2中，不妨设|PF1|＝m，|PF2|＝n，则|PF1|＋|PF2|＝m＋n＝2a＝10.由余弦定理得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos∠F1PF2，即(2c)2＝m2＋n2－2mncos60°，即36＝(m＋n)2－3mn＝100－3mn，解得mn＝eq\f(64,3).所以S△F1PF2＝eq\f(1,2)·|PF1|·|PF2|·sin∠F1PF2＝eq\f(1,2)mnsin60°＝eq\f(16\r(3),3).[优解]依题意知b＝4，根据结论(1)，得S△F1PF2＝b2taneq\f(∠F1PF2,2)＝16×taneq\f(60°,2)＝eq\f(16\r(3),3).训练(1)经过点M(2eq\r(3)，2eq\r(5))且与双曲线eq\f(x2,3)－eq\f(y2,2)＝1有相同渐近线的双曲线方程是()A.eq\f(x2,18)－eq\f(y2,12)＝1 B.eq\f(x2,12)－eq\f(y2,18)＝1C.eq\f(y2,18)－eq\f(x2,12)＝1 D.eq\f(y2,12)－eq\f(x2,18)＝1答案D解析由题意知，可设所求的双曲线方程为eq\f(x2,3)－eq\f(y2,2)＝λ(λ≠0)，点M(2eq\r(3)，2eq\r(5))在双曲线方程上，所以eq\f(（2\r(3)）2,3)－eq\f(（2\r(5)）2,2)＝λ，λ＝－6，故所求的双曲线方程是eq\f(y2,12)－eq\f(x2,18)＝1.(2)已知双曲线eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1的左、右焦点分别为F1，F2，若在双曲线的右支上有一个点P，满足|PF1|＝3|PF2|，则点P的横坐标为________.答案eq\f(32,5)解析设点P的横坐标为x0，由双曲线焦半径公式有|PF1|＝a＋ex0，|PF2|＝ex0－a，结合条件|PF1|＝3|PF2|，则ex0＋a＝3(ex0－a)，又a＝4，c＝5，可得e＝eq\f(5,4)，所以x0＝eq\f(32,5).

分层精练·巩固提升【A级基础巩固】1.双曲线eq\f(x2,3)－y2＝1的离心率为()A.eq\f(\r(3),3) B.eq\f(\r(6),3)C.eq\f(2\r(3),3) D.eq\r(3)答案C解析在双曲线中，a＝eq\r(3)，b＝1，则c＝eq\r(a2＋b2)＝2，离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(2\r(3),3).2.(2023·沈阳质检)关于双曲线C1：x2－y2＝2与C2：y2－x2＝2，下列说法中错误的是()A.它们的焦距相等 B.它们的顶点相同C.它们的离心率相等 D.它们的渐近线相同答案B解析双曲线x2－y2＝2的实轴顶点坐标为(±eq\r(2)，0)，虚轴顶点坐标为(0，±eq\r(2))，而双曲线y2－x2＝2的实轴顶点坐标为(0，±eq\r(2))，虚轴顶点坐标为(±eq\r(2)，0)，B错误.分析可知其他选项正确.3.(2023·广州调研)双曲线eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的下焦点到渐近线的距离为3，离心率为2，则该双曲线的标准方程为()A.eq\f(y2,3)－x2＝1 B.y2－eq\f(x2,3)＝1C.eq\f(y2,9)－eq\f(x2,3)＝1 D.eq\f(y2,3)－eq\f(x2,9)＝1答案D解析依题意可知，双曲线的下焦点坐标为(0，－c)，渐近线方程为y＝±eq\f(a,b)x，即ax±by＝0，故双曲线下焦点到渐近线的距离为eq\f(bc,\r(a2＋b2))＝eq\f(bc,c)＝b＝3.又该双曲线的离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1＋\f(b2,a2))＝2，所以a2＝3，该双曲线的标准方程为eq\f(y2,3)－eq\f(x2,9)＝1.4.(多选)(2023·海南模拟)下列双曲线的渐近线方程为y＝±eq\f(1,2)x的是()A.eq\f(x2,4)－y2＝1 B.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,2)＝1C.eq\f(y2,4)－x2＝1 D.eq\f(y2,4)－eq\f(x2,16)＝1答案AD解析A中的渐近线方程为y＝±eq\f(1,2)x，正确；B中的渐近线方程为y＝±eq\f(\r(2),2)x，不正确；C中的渐近线方程为y＝±2x，不正确；D中的渐近线方程为y＝±eq\f(1,2)x，正确.5.(多选)(2023·济南联考)已知双曲线C：eq\f(x2,2)－eq\f(y2,m)＝1(m＞0)，则下列说法正确的是()A.双曲线C的实轴长为2B.双曲线C的焦点到渐近线的距离为mC.若(2，0)是双曲线C的一个焦点，则m＝2D.若双曲线C的两条渐近线相互垂直，则m＝2答案CD解析对于A，双曲线C的实轴长为2eq\r(2)，错误；对于B，∵双曲线的焦点到渐近线的距离等于b，∴双曲线的焦点到渐近线的距离为eq\r(m)，错误；对于C，若(2，0)是双曲线C的一个焦点，则22＝2＋m，解得m＝2，正确；对于D，双曲线C的两条渐近线为y＝±eq\f(\r(2m),2)x，若两条渐近线相互垂直，则－eq\f(\r(2m),2)×eq\f(\r(2m),2)＝－1，解得m＝2，正确.6.(多选)(2023·福州质检)已知双曲线C：eq\f(x2,2)－y2＝λ(λ＜0)，则()A.双曲线C的实轴长为定值B.双曲线C的焦点在y轴上C.双曲线C的离心率为定值D.双曲线C的渐近线方程为y＝±eq\f(\r(2),2)x答案BCD解析对于A，B，由曲线C：eq\f(x2,2)－y2＝λ(λ＜0)，整理可得eq\f(y2,－λ)－eq\f(x2,－2λ)＝1(λ＜0)，所以曲线表示焦点在y轴上的双曲线，且a2＝－λ，b2＝－2λ(λ＜0)，实轴长不是定值，所以A错误，B正确；对于C，离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1＋\f(b2,a2))＝eq\r(3)为定值，C正确；对于D，渐近线的方程为y＝±eq\f(a,b)x＝±eq\f(\r(2),2)x，D正确.7.(2023·石家庄质检)已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)，过原点O的直线交C于A，B两点(点B在右支上)，双曲线右支上一点P(异于点B)满足eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(BP,\s\up6(→))＝0，直线PA交x轴于点D.若∠ADO＝∠AOD，则双曲线C的离心率为()A.eq\r(2) B.2C.eq\r(3) D.3答案A解析设B(x1，y1)，P(x2，y2)，x1≠x2，则A(－x1，－y1)，联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(xeq\o\al(2,1),a2)－\f(yeq\o\al(2,1),b2)＝1，,\f(xeq\o\al(2,2),a2)－\f(yeq\o\al(2,2),b2)＝1，))两式相减整理得eq\f(y1－y2,x1－x2)·eq\f(y1＋y2,x1＋x2)＝eq\f(b2,a2).∵kBP＝eq\f(y1－y2,x1－x2)，kAP＝eq\f(y1＋y2,x1＋x2)，∴kBP·kAP＝eq\f(b2,a2).∵∠ADO＝∠AOD，∴直线AP与直线AB的倾斜角互补，∴kAB＝－kAP，∴kBP·kAB＝－eq\f(b2,a2).∵eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(BP,\s\up6(→))＝0，∴BA⊥BP，∴kBP·kAB＝－1，即－eq\f(b2,a2)＝－1，∴eq\f(b2,a2)＝1，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))\s\up12(2))＝eq\r(2).8.(2023·南京调研)双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线分别为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点.若正方形OABC的边长为4，则a＝________.答案4解析双曲线的一条渐近线的斜率为eq\f(b,a)＝tan∠BOC＝tan45°＝1，所以a＝b，因为正方形OABC的边长为4，点B为双曲线的焦点，所以双曲线的半焦距c＝|OB|＝4eq\r(2)，则a2＋b2＝2a2＝c2＝32，解得a＝4.9.(2022·全国甲卷)若双曲线y2－eq\f(x2,m2)＝1(m>0)的渐近线与圆x2＋y2－4y＋3＝0相切，则m＝________.答案eq\f(\r(3),3)解析双曲线的渐近线方程为x±my＝0，圆x2＋y2－4y＋3＝0的方程可化为x2＋(y－2)2＝1，则圆心坐标为(0，2)，半径r＝1.∵双曲线的渐近线与圆相切，∴圆心到渐近线的距离d＝eq\f(|0±2m|,\r(1＋m2))＝1，得m＝eq\f(\r(3),3)或m＝－eq\f(\r(3),3)(舍去).10.(2022·全国甲卷)记双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的离心率为e，写出满足条件“直线y＝2x与C无公共点”的e的一个值________.答案2((1，eq\r(5)]内的任意值均可)解析双曲线C的渐近线方程为y＝±eq\f(b,a)x，若直线y＝2x与双曲线C无公共点，则2≥eq\f(b,a)，∴eq\f(b2,a2)≤4，∴e2＝eq\f(c2,a2)＝1＋eq\f(b2,a2)≤5，又e＞1，∴e∈(1，eq\r(5)]，∴填写(1，eq\r(5)]内的任意值均可.11.已知双曲线eq\f(x2,16)－eq\f(y2,4)＝1的左、右焦点分别为F1，F2.(1)若点M在双曲线上，且eq\o(MF1,\s\up6(→))·eq\o(MF2,\s\up6(→))＝0，求M点到x轴的距离；(2)若双曲线C与已知双曲线有相同的焦点，且过点(3eq\r(2)，2)，求双曲线C的方程.解(1)不妨设M在双曲线的右支上，M点到x轴的距离为h，∵eq\o(MF1,\s\up6(→))·eq\o(MF2,\s\up6(→))＝0，∴MF1⊥MF2.设|MF1|＝m，|MF2|＝n，由双曲线的定义知m－n＝2a＝8.①在Rt△F1MF2中，由勾股定理得m2＋n2＝(2c)2＝80，②由①②得m·n＝8.∵S△MF1F2＝eq\f(1,2)mn＝4＝eq\f(1,2)×2ch，∴h＝eq\f(2\r(5),5).即M点到x轴的距离为eq\f(2\r(5),5).(2)设双曲线C的方程为eq\f(x2,16－λ)－eq\f(y2,4＋λ)＝1(－4＜λ＜16).∵双曲线C过点(3eq\r(2)，2)，∴eq\f(18,16－λ)－eq\f(4,4＋λ)＝1，解得λ＝4或λ＝－14(舍去)，∴双曲线C的方程为eq\f(x2,12)－eq\f(y2,8)＝1.12.已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点为F(c，0).(1)若双曲线的一条渐近线方程为y＝x且c＝2，求双曲线的方程；(2)以原点O为圆心，c为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A，过A作圆的切线，斜率为－eq\r(3)，求双曲线的离心率.解(1)因为双曲线的渐近线方程为y＝±eq\f(b,a)x，所以a＝b，所以c2＝a2＋b2＝2a2＝4，所以a2＝b2＝2，所以双曲线方程为eq\f(x2,2)－eq\f(y2,2)＝1.(2)设点A的坐标为(x0，y0)，所以直线AO的斜率满足eq\f(y0,x0)·(－eq\r(3))＝－1，所以x0＝eq\r(3)y0，①依题意，圆的方程为x2＋y2＝c2，将①代入圆的方程得3yeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＝c2，即y0＝eq\f(1,2)c，所以x0＝eq\f(\r(3),2)c，所以点A的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)c，\f(1,2)c))，代入双曲线方程得eq\f(\f(3,4)c2,a2)－eq\f(\f(1,4)c2,b2)＝1，即eq\f(3,4)b2c2－eq\f(1,4)a2c2＝a2b2，②又因为a2＋b2＝c2，所以将b2＝c2－a2代入②式，整理得eq\f(3,4)c4－2a2c2＋a4＝0，所以3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)))eq\s\up12(4)－8eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)))eq\s\up12(2)＋4＝0，所以(3e2－2)(e2－2)＝0，因为e>1，所以e＝eq\r(2)，所以双曲线的离心率为eq\r(2).【B级能力提升】13.(2020·全国Ⅱ卷)设O为坐标原点，直线x＝a与双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别交于D，E两点.若△ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为()A.4 B.8C.16 D.32答案B解析不妨设D位于第一象限，双曲线的渐近线方程为y＝±eq\f(b,a)x，分别与x＝a联立，可得D(a，b)，E(a，－b)，则|DE|＝2b.∴S△ODE＝eq\f(1,2)×a×|DE|＝eq\f(1,2)a×2b＝ab＝8，∴c2＝a2＋b2≥2ab＝16.当且仅当a＝b＝2eq\r(2)时，等号成立.∴c2的最小值为16，∴c的最小值为4，∴C的焦距的最小值为2×4＝8.14.(多选)(2023·杭州一模)已知双曲线C：eq\f(x2,4)－eq\f(y2,5)＝1，F1，F2为C的左、右焦点，则()A.双曲线eq\f(x2,4＋m)－eq\f(y2,5＋m)＝1(m＞0)和C的离心率相等B.若P为C上一点，且∠F1PF2＝90°，则△F1PF2的周长为6＋2eq\r(14)C.若直线y＝tx－1与C没有公共点，则t＜－eq\f(\r(6),2)或t＞eq\f(\r(6),2)D.在C的左、右两支上分别存在点M，N，使得4eq\o(F1M,\s\up6(→))＝eq\o(F1N,\s\up6(→))答案BC解析对于A，双曲线eq\f(x2,4)－eq\f(y2,5)＝1中，a2＝4，b2＝5，则c2＝9，故离心率为eq\f(3,2)，同理双曲线eq\f(x2,4＋m)－eq\f(y2,5＋m)＝1的离心率为eq\r(\f(9＋2m,4＋m))，由m＞0，得eq\r(\f(9＋2m,4＋m))≠eq\f(3,2)，故A错误；对于B，不妨设点P在第一象限，则|PF1|－|PF2|＝4，|PF1|2＋|PF2|2＝36，联立解得|PF1|＝eq\r(14)＋2，|PF2|＝eq\r(14)－2，所以△F1PF2的周长为eq\r(14)＋2＋eq\r(14)－2＋6＝6＋2eq\r(14)，故B正确；对于C，联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x2,4)－\f(y2,5)＝1，,y＝tx－1，))得(5－4t2)x2＋8tx－24＝0，要使直线y＝tx－1与C没有公共