考点31 空间几何体的结构及其三视图和直观图、空间几何体的表面积与体积

考点31空间几何体的结构及其三视图和直观图、空间几何体的表面积与体积一、选择题1.(2018·全国卷I高考理科·T7)同(2018·全国卷I高考文科·T9)某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如图所示,圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A,圆柱表面上的点N在侧视图上的对应点为B,则在此圆柱侧面上,从M到N的路径中,最短路径的长度为 ()A.217 B.25 C.3 D.2【解析】选B.将三视图还原为圆柱,M,N的位置如图1所示,将侧面展开,最短路径为M,N连线的距离,所以MN=42+22.(2018·全国卷I高考文科·T5)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1,O2,过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形,则该圆柱的表面积为 ()A.122π B.12π C.82π D.10π【解析】选B.截面面积为8,所以高h=22,底面半径r=2,所以该圆柱表面积S=π·(2)2·2+2π·2·22=12π.3.(2018·全国卷I高考文科·T10)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AC1与平面BB1C1C所成的角为30°,则该长方体的体积为 ()A.8 B.62 C.82 D.83【解析】选C.如图,连接AC1和BC1,因为AB⊥平面BB1C1C,AC1与平面BB1C1C所成角为30°,所以∠AC1B=30°,所以ABBC1=tan30°,BC1=23,所以CC1=22,所以V=2×2×224.(2018·全国Ⅲ高考理科·T3)同(2018·全国Ⅲ高考文科·T3)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来,构件的凸出部分叫榫头,凹进部分叫卯眼,图中木构件右边的小长方体是榫头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是 ()【命题意图】本题考查几何体的三视图,考查空间想象能力,体现了直观想象的核心素养.试题难度:易.【解析】选A.由直观图可知选A.5.(2018·全国Ⅲ高考理科·T10)设A,B,C,D是同一个半径为4的球的球面上四点,△ABC为等边三角形且其面积为93,则三棱锥D-ABC体积的最大值为 ()A.123 B.183 C.243 D.543【命题意图】本题考查三棱锥的体积的计算,考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力,体现了直观想象、逻辑推理和数学运算的核心素养.试题难度:中.【解析】选B.设△ABC的边长为a,则S△ABC=12a2sinC=34a2=93,解得如图所示,当点D在底面上的射影为三角形ABC的中心H时,三棱锥D-ABC的体积最大,设球心为O,则在直角三角形AHO中,AH=23×32×6=23,OA=R=4,则OH=OA2-AH2=16-12=2,所以DH=2+4=6,所以三棱锥D-ABC的体积最大值为V=13S6.(2018·北京高考理科·T5)同(2018·北京高考文科·T6)某四棱锥的三视图如图所示,在此四棱锥的侧面中,直角三角形的个数为 ()A.1 B.2 C.3 D.4【命题意图】本小题主要考查空间几何体的三视图,意在考查三视图与直观图的转化,培养学生的空间想象能力,体现了直观想象的数学素养.【解析】选C.将四棱锥三视图转化为直观图,如图,侧面共有4个三角形,即△PAB,△PBC,△PCD,△PAD,由已知,PD⊥平面ABCD,又AD⊂平面ABCD,所以PD⊥AD,同理PD⊥CD,PD⊥AB,所以△PCD,△PAD是直角三角形.因为AB⊥AD,PD⊥AB,PD,AD⊂平面PAD,PD∩AD=D,所以AB⊥平面PAD,又PA⊂平面PAD,所以AB⊥PA,△PAB是直角三角形.因为AB=1,CD=2,AD=2,PD=2,所以PA=PD2+AD2=22,PB=PA在梯形ABCD中,易知BC=5,△PBC三条边长为22,3,5,△PBC不是直角三角形.综上,侧面中直角三角形个数为3.7.(2018·浙江高考T3)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积(单位:cm3)是()A.2 B.4 C.6 D.8【命题意图】考查由三视图还原几何体的能力及空间几何体的体积.【解析】选C.由三视图可知,该几何体是底面为直角梯形的直四棱柱,底面面积S=(1+2)×22=3,高h=2,所以8.(2018·全国Ⅲ高考文科·T12)设A,B,C,D是同一个半径为4的球的球面上四点,△ABC为等边三角形且其面积为93,则三棱锥D-ABC体积的最大值为 ()A.123 B.183 C.243 D.543【命题意图】本题考查三棱锥的体积的计算,考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力,体现了直观想象、逻辑推理和数学运算的核心素养.试题难度:中.【解析】选B.设△ABC的边长为a,则S△ABC=12a2sinC=34a2=93,解得如图所示,当点D在底面上的射影为三角形ABC的中心H时,三棱锥D-ABC的体积最大,设球心为O,则在直角三角形AHO中,AH=23×32×6=23,OA=R=4,则OH=OA2-AH2=16-12=2,所以DH=2+4=6,所以三棱锥D-ABC的体积最大值为V=13S二、填空题9.(2018·全国卷II高考理科·T16)已知圆锥的顶点为S,母线SA,SB所成角的余弦值为78,SA与圆锥底面所成角为45°,若△SAB的面积为515,则该圆锥的侧面积为【命题意图】本题考查空间几何体的表面积公式的运用,同时考查了线线角和线面角的有关知识.【解析】如图:设SA=SB=l,底面圆半径为r,因为SA与圆锥底面所成角为45°,所以l=2r,在△SAB中,AB2=SA2+SB2-2SA·SB·cos∠ASB=12r2AB=22r,AB边上的高为(2r)2-24r2所以12·22r·304r=515,解得r所以该圆锥的侧面积为πrl=π2r2=402π.答案:402π10.(2018·全国卷II高考文科·T16)已知圆锥的顶点为S,母线SA,SB互相垂直,SA与圆锥底面所成角为30°,若△SAB的面积为8,则该圆锥的体积为.

【命题意图】本题考查空间几何体的体积公式的运用,同时考查了线线角和线面角的有关知识.【解析】设底面圆的半径为r,底面圆心为O,因为SA与圆锥底面所成角为30°,所以SA=2r3,SO=3又直角△SAB的面积为8,所以122r32=8,所以V=13πr2·SO=13π(23)2·33·2答案:8π11.(2018·天津高考理科·T11)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,除面ABCD外,该正方体其余各面的中心分别为点E,F,G,H,M(如图),则四棱锥M-EFGH的体积为.

【命题意图】本题考查四棱锥的概念、体积的求法,直线与平面的垂直,考查考生空间想象能力以及运算求解能力.【解析】依题意得:该四棱锥M-EFGH为正四棱锥,其高为正方体棱长的一半,即为12,正方形EFGH的边长为22,其面积为12,所以四棱锥M-EFGH的体积VM-EFGH=13Sh=13×1答案:112.(2018·天津高考文科·T11)如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,则四棱锥A1-BB1D1D的体积为.

【命题意图】本题考查四棱锥的概念、体积的求法,直线与平面的垂直,考查考生空间想象能力以及运算求解能力.【解题指南】依据题设条件,先找到四棱锥的高和底,利用体积公式即可求解.【解析】连接A1C1,交B1D1于O1点,依题意得A1O1⊥平面BB1D1D,即A1O1为四棱锥A1-BB1D1D的高,且A1O1=22,而四棱锥A