第10节 函数模型及其应用

第10节函数模型及其应用考试要求1.了解指数函数、对数函数与一次函数增长速度的差异，理解“指数爆炸”“对数增长”“直线上升”等术语的含义.2.通过收集、阅读一些现实生活、生产实际等数学模型，会选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律，了解函数模型在社会生活中的广泛应用.知识诊断·基础夯实【知识梳理】1.指数、对数、幂函数模型性质比较函数性质y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝xn(n>0)在(0，＋∞)上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x的增大逐渐表现为与y轴平行随x的增大逐渐表现为与x轴平行随n值变化而各有不同值的比较存在一个x0，当x>x0时，有logax<xn<ax2.几种常见的函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)与指数函数相关的模型f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)与对数函数相关的模型f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)与幂函数相关的模型f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0)[常用结论]1.“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长量越来越小.2.充分理解题意，并熟练掌握几种常见函数的图象和性质是解题的关键.3.易忽视实际问题中自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域，必须验证数学结果对实际问题的合理性.【诊断自测】1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)某种商品进价为每件100元，按进价增加10%出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件还能获利.()(2)函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大.()(3)不存在x0，使ax0<xeq\o\al(n,0)<logax0.()(4)在(0，＋∞)上，随着x的增大，y＝ax(a>1)的增长速度会超过并远远大于y＝xa(a>0)的增长速度.()答案(1)×(2)×(3)×(4)√解析(1)9折出售的售价为100(1＋10%)×eq\f(9,10)＝99(元).∴每件赔1元，(1)错误.(2)当x＝2时，2x＝x2＝4.(2)不正确.(3)如a＝x0＝eq\f(1,2)，n＝eq\f(1,4)，不等式成立，因此(3)错误.2.(2021·全国甲卷)青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量，通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L＝5＋lgV.已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为(eq\r(10,10)≈1.259)()A.1.5 B.1.2C.0.8 D.0.6答案C解析由题意知4.9＝5＋lgV，得lgV＝－0.1，得V＝10－eq\f(1,10)≈0.8，所以该同学视力的小数记录法的数据约为0.8.3.某建材商场国庆期间搞促销活动，规定：顾客购物总金额不超过800元时，不享受任何折扣；如果顾客购物总金额超过800时，那么超过800元部分享受一定的折扣优惠，按下表折扣分别累计计算可以享受折扣优惠金额折扣率不超过500元的部分5%超过500元的部分10%某人在此商场购物总金额为x元，可以获得的折扣金额为y元，则y关于x的解析式为y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0，0＜x≤800，,5%（x－800），800＜x≤1300，,10%（x－1300）＋25，x＞1300.))若y＝30元，则他购物实际所付金额为________元.答案1350解析若x＝1300，则y＝5%(1300－800)＝25＜30，因此x＞1300.由10%(x－1300)＋25＝30，得x＝1350(元).4.某商品在最近30天内的价格f(t)与时间t(单位：天)的函数关系是f(t)＝t＋10(0＜t≤30，t∈N)，销售量g(t)与时间t的函数关系是g(t)＝－t＋35(0＜t≤30，t∈N)，则这种商品的日销售金额的最大值是________.答案506解析日销售金额y＝(－t＋35)(t＋10)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(25,2)))eq\s\up12(2)＋350＋eq\f(625,4)，∵t∈N，∴t＝12或13时，ymax＝506.考点突破·题型剖析考点一利用函数图象刻画实际问题的变化过程例1已知正方形ABCD的边长为4，动点P从B点开始沿折线BCDA向A点运动.设点P运动的路程为x，△ABP的面积为S，则函数S＝f(x)的图象是()答案D解析依题意知，当0≤x≤4时，f(x)＝2x；当4＜x≤8时，f(x)＝8；当8＜x≤12时，f(x)＝24－2x，观察四个选项知D项符合要求.感悟提升判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象；(2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案.训练1(2023·泰州调研)中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.经验表明，某种绿茶用85℃的水泡制，再等到茶水温度降至60℃时饮用，可以产生最佳口感.为分析泡制一杯最佳口感茶水所需时间，某研究人员每隔1min测量一次茶水的温度，根据所得数据做出如图所示的散点图.观察散点图的分布情况，下列哪个函数模型可以近似地刻画茶水温度y随时间x变化的规律()A.y＝mx2＋n(x＞0) B.y＝max＋n(m＞0，0＜a＜1)C.y＝max＋n(m＞0，a＞1) D.y＝mlogax＋n(m＞0，a＞0，a≠1)答案B解析由函数图象可知符合条件的只有指数函数模型，并且m＞0，0＜a＜1.考点二已知函数模型解决实际问题例2我国在2020年进行了第七次人口普查登记，到2021年4月以后才能公布结果.人口增长可以用英国经济学家马尔萨斯提出的模型：y＝y0·ert，其中t表示经过的时间(单位：年)，y0表示t＝0时的人口数(单位：亿)，r表示人口的年平均增长率.以国家统计局发布的2000年第五次人口普查登记(已上报户口)的全国总人口12.43亿人(不包括香港、澳门和台湾地区)和2010年第六次人口普查登记(已上报户口)的全国总人口13.33亿人(不包括香港、澳门和台湾地区)为依据，用马尔萨斯人口增长模型估计我国2020年年末(不包括香港、澳门和台湾地区)的全国总人口数为(13.332＝177.6889，12.432＝154.5049)()A.14.30亿 B.15.20亿C.14.62亿 D.15.72亿答案A解析由马尔萨斯人口增长模型，得13.33＝12.43e10r，即e10r＝eq\f(13.33,12.43)，所以我国2020年年末的全国总人口数约为y＝13.33e10r＝eq\f(13.332,12.43)＝eq\f(177.6889,12.43)≈14.30(亿).感悟提升1.求解已知函数模型解决实际问题的关注点.(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数；(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数.2.利用函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验.训练2在不考虑空气阻力的条件下，从发射开始，火箭的最大飞行速度v(单位：千米/秒)满足公式v＝wlneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(M,m)))，其中M为火箭推进剂质量，m为去除推进剂后的火箭有效载荷质量(单位：吨)，w为火箭发动机喷流相对火箭的速度(单位：千米/秒).当M＝3m时，v＝5.544千米/秒.在保持w不变的情况下，若m＝25吨，假设要使v超过第一宇宙速度达到8千米/秒，则M至少约为(结果精确到1，参考数据：e2≈7.389，ln2≈0.693)()A.135吨 B.160吨C.185吨 D.210吨答案B解析当M＝3m时，v＝5.544，所以w＝eq\f(5.544,ln4)＝eq\f(5.544,2ln2)，由v＝wlneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(M,m)))＝eq\f(5.544,2ln2)lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(M,25)))＝8，得lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(M,25)))≈2，所以1＋eq\f(M,25)≈e2≈7.389，解得M≈159.725≈160(吨)，即M至少约为160吨.故选B.考点三构建函数模型解决实际问题角度1构建二次函数模型例3某城市对一种售价为每件160元的商品征收附加税，税率为R%(即每销售100元征税R元)，若每年销售量为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(30－\f(5,2)R))万件，要使附加税不少于128万元，则R的取值范围是()A.[4，8] B.[6，10]C.[4%，8%] D.[6%，10%]答案A解析根据题意，要使附加税不少于128万元，需eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(30－\f(5,2)R))×160×R%≥128，整理得R2－12R＋32≤0，解得4≤R≤8，即R∈[4，8].角度2构建分段函数模型例4(2023·临沂测试)已知某公司生产某产品的年固定成本为100万元，每生产1千件需另投入27万元，设该公司一年内生产该产品x千件(0＜x≤25)并全部销售完，每千件的销售收入为R(x)(单位：万元)，且R(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(108－\f(1,3)x2，0＜x≤10，,－x＋\f(175,x)＋57，10＜x≤25.))(1)写出年利润f(x)(单位：万元)关于年产量x(单位：千件)的函数解析式；(2)当年产量为多少千件时，该公司在这一产品的生产中所获年利润最大？(注：年利润＝年销售收入－年总成本)解(1)当0＜x≤10时，f(x)＝xR(x)－(100＋27x)＝81x－eq\f(x3,3)－100；当10＜x≤25时，f(x)＝xR(x)－(100＋27x)＝－x2＋30x＋75.故f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(81x－\f(x3,3)－100，0＜x≤10，,－x2＋30x＋75，10＜x≤25.))(2)当0＜x≤10时，由f′(x)＝81－x2＝－(x＋9)(x－9)，得当x∈(0，9)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；当x∈(9，10)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减.故f(x)max＝f(9)＝81×9－eq\f(1,3)×93－100＝386.当10＜x≤25时，f(x)＝－x2＋30x＋75＝－(x－15)2＋300≤300.综上，当x＝9时，年利润取最大值386.所以当年产量为9千件时，该公司在这一产品的生产中所获年利润最大.感悟提升在应用函数解决实际问题时需注意以下四个步骤：(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择函数模型.(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的函数模型.(3)解模：求解函数模型，得出数学结论.(4)还原：将数学结论还原为实际意义的问题.训练3(1)(2023·重庆巴蜀中学月考)某公司的收入由保险业务收入和理财业务收入两部分组成.该公司2020年总收入为200亿元，其中保险业务收入为150亿元，理财业务收入为50亿元.该公司经营状态良好、收入稳定，预计每年总收入比前一年增加20亿元.因越来越多的人开始注重理财，公司理财业务发展迅速.要求从2021年起每年通过理财业务的收入是前一年的t倍.若要使得该公司2025年的保险业务收入不高于当年总收入的60%，则t的值至少为()A.eq\r(5,2.4) B.eq\r(5,3.6)C.eq\r(6,2.4) D.eq\r(6,3.6)答案A解析由题意可知2025年的总收入为300亿元.因为要求从2021年起每年通过理财业务的收入是前一年的t倍，所以2025年通过理财业务的收入为50t5亿元，所以300－50t5≤300×0.6，解得t≥eq\r(5,2.4)，故t的值至少为eq\r(5,2.4).(2)国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若每团人数在30或30以下，飞机票每张收费900元；若每团人数多于30，则给予优惠：每多1人，机票每张减少10元，直到达到规定人数75为止.每团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费15000元.①写出飞机票的价格关于人数的函数；②每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？解设该旅行团的人数为x，由题意得0＜x≤75(x∈N*)，飞机票的价格为y元.旅行社可获得的利润为w元.①(ⅰ)当0≤x≤30时，y＝900，(ⅱ)当30＜x≤75时，y＝900－10(x－30)＝－10x＋1200，综上，有y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(900，0≤x≤30，,－10x＋1200，30＜x≤75.))②当0≤x≤30时，w＝900x－15000，当x＝30时，wmax＝900×30－15000＝12000(元)；当30＜x≤75时，w＝(－10x＋1200)·x－15000＝－10x2＋1200x－15000＝－10(x－60)2＋21000，当x＝60时，w最大为21000元，所以每团人数为60时，旅行社可获得最大利润.分层精练·巩固提升【A级基础巩固】1.在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据，现准备用下列四个函数中的一个近似表示这些数据的规律，其中最接近的一个是()x1.992345.156.126y1.5174.04187.51218.01A.y＝2x－2 B.y＝eq\f(1,2)(x2－1)C.y＝log2x D.y＝logeq\s\do9(\f(1,2))x答案B解析由题中表格可知函数在(0，＋∞)上是增函数，且y的变化随x的增大而增大得越来越快，分析选项可知B符合，故选B.2.据统计，第x年某湿地公园越冬的白鹭数量y(只)近似满足y＝klog3(x＋1)，观测发现第2年有越冬白鹭1000只，估计第5年有越冬白鹭(ln2≈0.7，ln3≈1.1)()A.1530只 B.1636只C.1830只 D.1930只答案B解析∵第x年某湿地公园越冬的白鹭数量y(只)近似满足y＝klog3(x＋1)，且当x＝2时，y＝1000，∴1000＝klog33，解得k＝1000，∴当x＝5时，y＝1000×log36＝1000×(log33＋log32)＝1000×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(ln2,ln3)))≈1636.3.(2022·永州二模)在流行病学中，基本传染数是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，每名感染者平均可传染的人数.假设某种传染病的基本传染数为R0，1个感染者在每个传染期会接触到N个新人，这N个人中有V个人接种过疫苗eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(V,N)称为接种率))，那么1个感染者传染人数为eq\f(R0,N)(N－V).已知某种传染病在某地的基本传染数R0＝4，为了使1个感染者传染人数不超过1，则该地疫苗的接种率至少为()A.45% B.55%C.65% D.75%答案D解析为了使1个感染者传染人数不超过1，只需eq\f(R0,N)(N－V)≤1，即R0·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(V,N)))≤1.因为R0＝4，所以1－eq\f(V,N)≤eq\f(1,4)，可得eq\f(V,N)≥eq\f(3,4)＝75%.故选D.4.(多选)甲同学家到乙同学家的途中有一座公园，甲同学家到公园的距离与乙同学家到公园的距离都是2km.如图所示表示甲同学从家出发到乙同学家经过的路程y(km)与时间x(min)的关系，下列结论正确的是()A.甲同学从家出发到乙同学家走了60minB.甲从家到公园的时间是30minC.甲从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度快D.当0≤x≤30时，y与x的关系式为y＝eq\f(1,15)x答案BD解析在A中，甲在公园休息的时间是10min，所以只走了50min，A错误；由题中图象知，B正确；甲从家到公园所用的时间比从公园到乙同学家所用的时间长，而距离相等，所以甲从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度慢，C错误；当0≤x≤30时，设y＝kx(k≠0)，则2＝30k，解得k＝eq\f(1,15)，D正确.5.(2023·连云港质检)某企业投入100万元购入一套设备，该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元.为使该设备年平均费用最低，该企业需要更新设备的年数为()A.8 B.10C.12 D.13答案B解析设该企业需要更新设备的年数为x(x∈N*)，设备年平均费用为y万元，则x年的设备维护费用为2＋4＋6＋…＋2x＝eq\f(x（2＋2x）,2)＝x(x＋1)，所以x年的平均费用y＝eq\f(100＋0.5x＋x（x＋1）,x)＝x＋eq\f(100,x)＋eq\f(3,2)≥2eq\r(\a\vs4\al(x·\f(100,x)))＋eq\f(3,2)＝eq\f(43,2)(万元)，当且仅当x＝10时，等号成立，因此，为使该设备年平均费用最低，该企业需要更新设备的年数为10.6.(2023·淮南一模)2020年9月22日，我国在第七十五届联合国大会上提出：二氧化碳排放力争于2030年前达到峰值，努力争取2060年前实现碳中和.为了响应党和国家的号召，某企业在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品，经测算，该技术处理总成本y(单位：万元)与处理量x(单位：吨)(x∈[120，500])之间的函数关系可近似表示为y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x3－80x2＋5040x，x∈[120，144），,\f(1,2)x2－200x＋80000，x∈[144，500]，))为使二氧化碳每吨处理成本最低，则处理量x等于()A.120吨 B.200吨C.240吨 D.400吨答案D解析由题意得二氧化碳每吨的平均处理成本S＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x2－80x＋5040，x∈[120，144），,\f(1,2)x－200＋\f(80000,x)，x∈[144，500]，))当x∈[120，144)时，S＝eq\f(1,3)x2－80x＋5040；当x＝120时，S取得最小值240；当x∈[144，500]时，S＝eq\f(1,2)x－200＋eq\f(80000,x)≥2eq\r(\f(1,2)x·\f(80000,x))－200＝200，当且仅当eq\f(1,2)x＝eq\f(80000,x)，即x＝400时取等号，此时S取得最小值200.综上，所求处理量为400吨.故选D.7.如图，有一直角墙角，两边的长度足够长，若P处有一棵树与两墙的距离分别是4m和am(0＜a＜12)，不考虑树的粗细.现用16m长的篱笆，借助墙角围成一个矩形花圃ABCD，设此矩形花圃的最大面积为u，若将这棵树围在矩形花圃内，则函数u＝f(a)(单位：m2)的图象大致是()答案B解析设AD长为x，则CD长为16－x.又因为要将P点围在矩形ABCD内，所以a≤x≤12，则矩形ABCD的面积为x(16－x).当0＜a≤8时，当且仅当x＝8时，u＝64；当8＜a＜12时，u＝a(16－a)，所以u＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(64，0＜a≤8，,a（16－a），8＜a＜12，))分段画出函数图象，可得其形状与B选项中图象接近.8.当生物死亡后，其体内原有的碳14的含量大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到了.若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到，则它至少要经过________个“半衰期”.答案10解析设该死亡生物体内原有的碳14的含量为1，则经过n个“半衰期”后的含量为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(n)，由eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(n)＜eq\f(1,1000)，得n≥10.所以，若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到，则它至少需要经过10个“半衰期”.9.“好酒也怕巷子深”，许多著名品牌是通过广告宣传进入消费者视线的.已知某品牌商品广告销售的收入R与广告费A之间满足关系R＝aeq\r(A)(a为常数)，广告效应为D＝aeq\r(A)－A.那么精明的商人为了取得最大的广告效应，投入的广告费应为________(用常数a表示).答案eq\f(1,4)a2解析令t＝eq\r(A)(t≥0)，则A＝t2，∴D＝at－t2＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(1,2)a))eq\s\up12(2)＋eq\f(1,4)a2，∴当t＝eq\f(1,2)a，即A＝eq\f(1,4)a2时，D取得最大值.10.某地西红柿上市后，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q(单位：元/100千克)与上市时间t(单位：天)的数据如下表：时间t60100180种植成本Q11684116根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系：Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，Q＝a·bt，Q＝a·logbt.利用你选取的函数，求：①西红柿种植成本最低时的上市天数是________；②最低种植成本是________元/100千克.答案①120②80解析因为随着时间的增加，种植成本先减少后增加，而且当t＝60和t＝180时种植成本相等，再结合题中给出的四种函数关系可知，种植成本与上市时间的变化关系应该用二次函数Q＝at2＋bt＋c，即Q＝a(t－120)2＋m描述，将表中数据代入可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a（60－120）2＋m＝116，,a（100－120）2＋m＝84，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝0.01，,m＝80，))所以Q＝0.01(t－120)2＋80，故当上市天数为120时，种植成本取到最低值为80元/100千克.11.某地下车库在排气扇发生故障的情况下测得空气中一氧化碳含量达到了危险状态，经抢修排气扇恢复正常.排气4分钟后测得车库内的一氧化碳浓度为64ppm，继续排气4分钟后又测得浓度为32ppm.由检验知该地下车库一氧化碳浓度y(ppm)与排气时间t(分钟)之间存在函数关系y＝ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(mt)(c，m为常数).(1)求c，m的值；(2)若空气中一氧化碳浓度不高于0.5ppm为正常，问至少排气多少分钟，这个地下车库中的一氧化碳含量才能达到正常状态？解(1)由题意可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(64＝c\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(4m)，,32＝c\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(8m)，))两式相除，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(c＝128，,m＝\f(1,4).))(2)由题意可得128eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(\f(1,4)t)≤0.5，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(\f(1,4)t)≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(8)，即eq\f(1,4)t≥8，解得t≥32.故至少排气32分钟，这个地下车库中的一氧化碳含量才能达到正常状态.12.某医疗器械公司为了进一步增加市场竞争力，计划改进技术生产某产品.已知生产该产品的年固定成本为300万元，最大产能为100台.每生产x台，需另投入成本G(x)万元，且G(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x2＋80x，0＜x≤40，,201x＋\f(3600,x)－2100，40＜x≤100，))由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完.(1)写出年利润W(x)万元关于年产量x台的函数解析式(利润＝销售收入－成本)；(2)当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？解(1)由题意可得，当0＜x≤40时，W(x)＝200x－(2x2＋80x)－300＝－2x2＋120x－300；当40＜x≤100时，W(x)＝200x－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(201x＋\f(3600,x)－2100))－300＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(3600,x)))＋1800，所以W(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－2x2＋120x－300，0＜x≤40，,－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(3600,x)))＋1800，40＜x≤100.))(2)若0＜x≤40，W(x)＝－2(x－30)2＋1500，所以当x＝30时，W(x)max＝1500万元.若40＜x≤100，W(x)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(3600,x)))＋1800≤－2eq\r(x·\f(3600,x))＋1800＝－120＋1800＝1680，当且仅当x＝eq\f(3600,x)，即x＝60台时，W(x)max＝1680万元.所以该产品的年产量为60台时，公司所获利润最大，最大利润是1680万元.【B级能力提升】13.(2022·北京密云区期末)心理学家有时使用函数L(t)＝A(1－e－kt)来测定在时间tmin内能够记忆的量L，其中A表示需要记忆的量，k表示记忆率.假设一个学生有200个单词要记忆，心理学家测定在5min内该学生记忆20个单词，则记忆率k所在区间为()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,20))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,20)，\f(1,15)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,15)，\f(1,10))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)，1))答案A解析将A＝200，t＝5，L＝20代入L(t)＝A(1－e－kt)，解得e－5k＝eq\f(9,10)，其中y＝e－5x在R上单调递减，而(e－eq\f(1,4))－4＝e，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,10)))eq\s\up12(－4)＝eq\f(10000,6561)＜e，y＝x－4在(0，＋∞)上单调递减，所以e－5×eq\f(1,20)＝e－eq\f(1,4)＜eq\f(9,10)，结合y＝ex的单调性可知e－eq\f(1,2)＜e－eq\f(1,3)＜e－eq\f(1,4)＜eq\f(9,10)，即e－5×eq\f(1,10)＜e－5×eq\f(1,15)＜e－5×eq\f(1,20)＜eq\f(9,10)，而e－5×0＝e0＝1＞eq\f(9,10)，其中y＝e－5x为连续函数，故记忆率k所在区间为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,20))).故选A.14.(2023·惠州调研)某学校数学建模小组为了研究双层玻璃窗户中每层玻璃厚度d(每层玻璃的厚度相同)及两层玻璃间夹空气层厚度l对保温效果的影响，利用热传导定律得到热传导量q满足关系式q＝λ1eq\f(|ΔT|,d\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(λ1l,λ2d)＋2)))，其中玻璃的热传导系数λ1＝4×10－3焦耳/(厘米·度)，不流通、干燥空气的热传导系数λ2＝2.5×10－4焦耳/(厘米·度)，ΔT为室内外温度差，q值越小，保温效果越好，现有4种型号的双层玻璃窗户，具体数据如表所示：型号每层玻璃厚度d(单位：厘米)玻璃间夹空气层厚度l(单位：厘米)A型0.43B型0.34C型0.53D型0.44则保温效果最好的双层玻璃的型号是()A.A型 B.B型C.C型 D.D型答案D解析由题意得，q＝λ1eq\f(|ΔT|,d\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(λ1l,λ2d)＋2)))＝eq\f(4×10－3×|ΔT|,\f(4×10－3,2.5×10－4)l＋2d)＝eq\f(4×10－3×|ΔT|,16l＋2d)，固定|ΔT|，可知16l＋2d越大，q越小，保温效果越好.对于A型玻璃，16l＋2d＝16×3＋2×0.4＝48.8，对于B型玻璃，16l＋2d＝16×4＋2×0.3＝64.6，对于C型玻璃，16l＋2d＝16×3＋2×0.5＝49，对于D型玻璃，16l＋2d＝16×4＋2×0.4＝64.8，经过比较可知，D型玻璃保温效果最好.