第4节 数列求和

第4节数列求和第六章数列1.熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式.2.掌握非等差数列，非等比数列求和的几种常见方法.考试要求知识诊断基础夯实内容索引考点突破题型剖析分层精练巩固提升ZHISHIZHENDUANJICHUHANGSHI知识诊断基础夯实1知识梳理2.数列求和的几种常用方法(1)分组转化法把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解.(2)裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时，中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和.(3)错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这个数列的前n项和可用错位相减法求解.(4)倒序相加法如果一个数列{an}中，与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和可用倒序相加法求解.[常用结论]1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)√诊断自测√×√解析(3)要分a＝0或a＝1或a≠0且a≠1讨论求解.3.已知an＝2n＋n，则数列{an}的前n项和Sn＝_________________.4.数列{(n＋3)·2n－1}前20项的和为___________.解析S20＝4·1＋5·21＋6·22＋…＋23·219，2S20＝4·2＋5·22＋6·23＋…＋23·220，22·220－2故S20＝22·220－2.KAODIANTUPOTIXINGPOUXI考点突破题型剖析2考点一分组求和与并项求和例1

已知数列{an}的通项公式为an＝2n＋4，数列{bn}的首项为b1＝2.(1)若{bn}是公差为3的等差数列，求证：{abn}也是等差数列.证明因为数列{bn}是首项为b1＝2，公差为3的等差数列，所以bn＝2＋3(n－1)＝3n－1，所以abn＝2bn＋4＝2(3n－1)＋4＝6n＋2，所以abn＋1－abn＝6(n＋1)＋2－(6n＋2)＝6，所以数列{abn}是以6为公差的等差数列.

(2)若{abn}是公比为2的等比数列，求数列{bn}的前n项和.解

因为{abn}是公比为2的等比数列，数列{bn}的首项为b1＝2，an＝2n＋4，所以ab1＝a2＝2×2＋4＝8，所以abn＝8×2n－1＝2n＋2.又因为an＝2n＋4，所以abn＝2bn＋4，所以2bn＋4＝2n＋2，解得bn＝2n＋1－2，所以数列{bn}的前n项和为2n＋2－2n－4.感悟提升解因为a1＋2a2＋…＋nan＝2n，所以当n≥2时，a1＋2a2＋…＋(n－1)an－1＝2(n－1).

(2)求数列{bn}的前99项和.考点二裂项相消法求和例2

设数列{an}满足a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n.(1)求{an}的通项公式；解因为a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，①故当n≥2时，a1＋3a2＋…＋(2n－3)an－1＝2(n－1)，②

感悟提升训练2

设数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn＝3an－1.(1)求{an}的通项公式；解因为2Sn＝3an－1，所以2S1＝2a1＝3a1－1，即a1＝1.当n≥2时，2Sn－1＝3an－1－1，则2Sn－2Sn－1＝2an＝3an－3an－1，则数列{an}是以1为首项，3为公比的等比数列，故an＝1×3n－1＝3n－1.

考点三错位相减法求和

[规范解答]

解(1)设{an}的公比为q，则an＝qn－1.因为a1，3a2，9a3成等差数列，所以6a2＝a1＋9a3，所以6a1q＝a1＋9a1q2①，(2分)

[满分规则]❶得步骤分：①处据条件列出方程组即可得2分，④处有错位相减求和的意识，即使后续计算错误，也可得2分.❷得关键分：②处正确求出数列的通项公式是求出Sn，Tn的基础，此处出错，最多得2分.❸得计算分：③处都需要准确的计算，否则此步不得分，这也正是错位相减法的难点所在.训练3

已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝2，S3＝a3＋6.(1)求数列{an}的通项公式.解设等比数列{an}的公比为q.由a1＝2，S3＝a3＋6，得a1(1＋q＋q2)＝6＋a1q2，解得q＝2，所以an＝2n.

(2)设bn＝log2an，求数列{anbn}的前n项和Tn.解由(1)可得bn＝log2an＝n，所以anbn＝n·2n，Tn＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n，2Tn＝1×22＋2×23＋…＋(n－1)2n＋n·2n＋1，所以Tn＝(n－1)2n＋1＋2.FENCENGJINGLIANGONGGUTISHENG分层精练巩固提升31.数列{an}的通项公式是an＝(－1)n(2n－1)，则该数列的前100项之和为(

)A.－200 B.－100 C.200

D.100解析S100＝(－1＋3)＋(－5＋7)＋…＋(－197＋199)＝2×50＝100.D【A级

基础巩固】2.(2023·安徽名校联考)数列{an}的前n项和Sn＝2n＋2，数列{log2an}的前n项和为Tn，则T20＝(

) A.190 B.192 C.180

D.182

解析

Sn＝2n＋2，有Sn－1＝2n－1＋2(n≥2)，

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋2－(2n－1＋2)＝2n－1，

当n＝1时，a1＝S1＝21＋2＝4，不满足上式，B3.(2023·东北三校联考)已知数列{an}满足对任意的正整数n，都有a1＋a2＋…＋an－an＋1＝0，其中a1＝3，则数列{an}的前2024项和是(

) A.3×22024－3 B.3×22023＋1 C.3×22023 D.3×22023＋2

解析

法一由a1＋a2＋…＋an－an＋1＝0，①

得a1＋a2＋…＋an－1－an＝0(n≥2)，② ①－②，得2an－an＋1＝0，

即an＋1＝2an(n≥2).

又a1－a2＝0，a1＝3，所以a2＝3，

又a1＋a2－a3＝0，所以a3＝6，

所以数列{an}从第2项起构成以3为首项，以2为公比的等比数列，C法二设数列{an}的前n项和为Sn，则由a1＋a2＋…＋an－an＋1＝0，得Sn－an＋1＝0，所以Sn－(Sn＋1－Sn)＝0，则Sn＋1＝2Sn，所以数列{Sn}是首项为S1＝a1＝3，公比为2的等比数列，所以Sn＝3×2n－1，所以S2024＝3×22023.C解析当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n，当n＝1时，a1＝2也符合上式，∴an＝2n(n∈N*)，C又a1＝3，∴数列{a2k－1}是首项为3，公比为4的等比数列.B

解析记S＝a1＋a2＋…＋am＋2024，7.已知数列{an}满足2an＋1－an＝n＋2，a1＝5，若{an}的前n项和为Sn，则满足不等式Sn＞2023的最小整数n的值是(

) A.60 B.62 C.63

D.65

解析

由2an＋1－an＝n＋2，C∴an＝n＋23－n，当n≥1时，Sn单调递增，S62＝1961－2－59＜2023，S63＝2024－2－60＞2023，故满足不等式Sn＞2023的最小整数n的值为63.n＋19.已知数列{an}满足a1＝1，且an＋1＋an＝n－1009(n∈N*)，则其前2023项之和S2023＝________.

解析

S2023＝a1＋(a2＋a3)＋(a4＋a5)＋…＋(a2022＋a2023)，

又an＋1＋an＝n－1009(n∈N*),且a1＝1，3034404710.(2023·郑州质检)已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，且an·an＋1·an＋2＝an＋an＋1＋an＋2，则a1＋a2＋a3＋…＋a2024＝________.解析因为an·an＋1·an＋2＝an＋an＋1＋an＋2，①所以当n≥2时，有an－1·an·an＋1＝an－1＋an＋an＋1，②①－②得(an＋2－an－1)(an＋1an－1)＝0，因为a1＝1，a2＝2，所以2a3＝3＋a3，解得a3＝3，显然a2a3≠1，于是有an＋2－an－1＝0，于是当n∈N*时，an＋3＝an，所以数列{an}是以3为周期的周期数列.因为a1＋a2＋a3＝6，所以a1＋a2＋a3＋…＋a2024＝674×6＋a1＋a2＝4044＋1＋2＝4047.(2)若bn＝anan＋1，求数列{bn}的前n项和Tn.12.(2023·衡水调研)已知数列{an}满足：a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1·an＝16n.(1)求{an}的通项公式；解当n＝1时，a1＝16，由题可知，a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－2·an－1＋2n－1·an＝16n，①当n≥2时，a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－2an－1＝16(n－1)，②①－②得2n－1an＝16，∴an＝25－n，当n＝1时，a1＝16满足上式，∴an＝25－n.(2)令bn＝log2an＋2n－1，求数列{bn}的前n项和Sn.D【B级

能力提升】13.已知等差数列{an}中，a3＋a5＝a4＋7，a10＝19，则数列{ancosnπ}的前2024项的和为(

) A.1010 B.1012 C.2023 D.2024

解析

设{an}的公差为d，设bn＝ancosnπ，则b1＋b2＝a1cosπ＋a2cos2π＝2，b3＋b4＝a3cos3π＋a4cos4π＝2，……，14.(多选)(2023·长沙调研)“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列.从第1行开始，第n行从左至右的数字之和记为an，如a1＝1＋1＝2，a2＝1＋2＋1＝4，…，{an}的前n项和记为Sn，依次去掉每一行中所有的1构成的新数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，记为{bn}，{bn}的前n项和记为Tn，则下列说法正确的有(

)BCD解析依题意2an－Sn＝2，当n＝1时，a1＝2，由2an－1－Sn－1＝2，n≥2，两式相减并化简得an＝2an－1，所以数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列，解若选①，即2Sn＝nan＋1，当n≥2时，2Sn－1＝(n－1)an，两式作差得2an