第5节 空间向量及其应用

第七章立体几何与空间向量第5节空间向量及其应用1.了解空间向量的概念、空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直.4.理解直线的方向向量及平面的法向量.5.能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系.6.能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理.考试要求知识诊断基础夯实内容索引考点突破题型剖析分层精练巩固提升ZHISHIZHENDUANJICHUHANGSHI知识诊断基础夯实1知识梳理1.空间向量的有关概念名称定义空间向量在空间中，具有______和______的量相等向量方向______且模______的向量相反向量方向______且模______的向量共线向量(或平行向量)表示空间向量的有向线段所在的直线互相______或______的向量共面向量平行于同一个平面的向量大小方向相等相同相反相等平行重合2.空间向量的有关定理(1)共线向量定理：对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使得__________.(2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在______的有序实数对(x，y)，使p＝____________.(3)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组{x，y，z}，使得p＝__________________，其中，{a，b，c}叫做空间的一个基底.a＝λb唯一xa＋ybxa＋yb＋zc3.空间向量的数量积［0，π］互相垂直(2)两向量的数量积：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝________________.(3)空间向量数量积的运算律①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)；②交换律：a·b＝b·a；③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.|a||b|cos〈a，b〉4.空间向量的坐标表示及其应用设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).a1b1＋a2b2＋a3b3a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3a1b1＋a2b2＋a3b3＝05.直线的方向向量和平面的法向量(1)直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l____________，则称此向量a为直线l的方向向量.(2)平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量.平行或重合6.空间位置关系的向量表示位置关系向量表示直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2l1∥l2u1∥u2⇔u1＝λu2l1⊥l2u1⊥u2⇔________________直线l的方向向量为u，平面α的法向量为nl∥αu⊥n⇔____________l⊥αu∥n⇔u＝λn平面α，β的法向量分别为n1，n2α∥βn1∥n2⇔n1＝λn2α⊥βn1⊥n2⇔________________u1·u2＝0u·n＝0n1·n2＝0[常用结论]1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)直线的方向向量是唯一确定的.(

)(2)若直线a的方向向量和平面α的法向量平行，则a∥α.(

)(3)若{a，b，c}是空间的一个基底，则a，b，c中至多有一个零向量.(

)(4)若a·b<0，则〈a，b〉是钝角.(

)(5)若两平面的法向量平行，则不重合的两平面平行.(

)×诊断自测×××√解析(1)直线的方向向量不是唯一的，有无数多个.(2)a⊥α.(3)若a，b，c中有一个是0，则a，b，c共面，不能构成空间一个基底.(4)若〈a，b〉＝π，则a·b<0，故(4)不正确.3.(选修一P22T2改编)已知a＝(2，－1，3)，b＝(－4，2，x)，且a⊥b，则x＝________.解析因为a⊥b，所以a·b＝－8－2＋3x＝0，4.正四面体ABCD的棱长为2，E，F分别为BC，AD的中点，则EF的长为________.KAODIANTUPOTIXINGPOUXI考点突破题型剖析2考点一空间向量的线性运算及共线、共面定理例1

(1)(多选)已知平行六面体ABCD－A′B′C′D′，则下列四式中正确的有(

)ABCCD解析由|a|－|b|＝|a＋b|，可得向量a，b的方向相反，此时向量a，b共线，反之，当向量a，b同向时，不能得到|a|－|b|＝|a＋b|，所以A不正确；感悟提升

(2)判断点M是否在平面ABC内.∴四点M，A，B，C共面，从而点M在平面ABC内.所以M，A，B，C四点共面，从而M在平面ABC内.考点二空间向量的数量积及应用

由向量数量积的定义知，要求a与b的数量积，需已知|a|，|b|和〈a，b〉，a与b的夹角与方向有关，一定要根据方向正确判定夹角的大小，才能使a·b计算准确.感悟提升训练2

如图所示，四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°.(1)求AC1的长；则|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，

(2)求BD1与AC夹角的余弦值.考点三利用空间向量证明(判断)平行与垂直例3

如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，

AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，点E为棱PC的中点.证明： (1)BE⊥DC；证明依题意，以点A为原点建立空间直角坐标系(如图)，可得B(1，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2).

(2)BE∥平面PAD；证明

因为AB⊥AD，又PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，所以AB⊥PA，PA∩AD＝A，PA，AD⊂平面PAD，所以AB⊥平面PAD，所以BE⊥AB，又BE⊄平面PAD，所以BE∥平面PAD.

(3)平面PCD⊥平面PAD.设平面PCD的一个法向量为n＝(x，y，z)，不妨令y＝1，可得n＝(0，1，1)为平面PCD的一个法向量.1.利用向量法证明(判断)平行、垂直关系，关键是建立恰当的坐标系(尽可能利用垂直条件，准确写出相关点的坐标，进而用向量表示涉及到直线、平面的要素).2.向量证明的核心是利用向量的数量积或数乘向量，但向量证明仍然离不开立体几何的有关定理.感悟提升

训练3

(2021·浙江卷)如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1，M，N分别是A1D，D1B的中点，则(

)A.直线A1D与直线D1B垂直，直线MN∥平面ABCDB.直线A1D与直线D1B平行，直线MN⊥平面BDD1B1C.直线A1D与直线D1B相交，直线MN∥平面ABCDD.直线A1D与直线D1B异面，直线MN⊥平面BDD1B1解析法一以点D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系(图略)，设AB＝2，则A1(2，0，2)，D(0，0，0)，D1(0，0，2)，B(2，2，0)，所以M(1，0，1)，N(1，1，1)，A

所以A1D⊥D1B.又直线A1D与D1B是异面直线，所以直线A1D与D1B异面且垂直，故B，C不正确；因为平面ABCD的一个法向量为n＝(0，0，1)，

设直线MN与平面BB1D1D所成的角为θ，因为平面BDD1B1的一个法向量为a＝(－1，1，0)，所以直线MN与平面BB1D1D不垂直，故D不正确.故选A.

法二连接AD1(图略)，则易得点M在AD1上，且M为AD1的中点，AD1⊥A1D.因为AB⊥平面AA1D1D，A1D⊂平面AA1D1D，所以AB⊥A1D，又AB∩AD1＝A，AB，AD1⊂平面ABD1，所以A1D⊥平面ABD1，又BD1⊂平面ABD1，显然A1D与BD1异面，所以A1D与BD1异面且垂直.在△ABD1中，由中位线定理可得MN∥AB，又MN⊄平面ABCD，AB⊂平面ABCD，所以MN∥平面ABCD.易知直线AB与平面BB1D1D成45°角，所以MN与平面BB1D1D不垂直.所以选项A正确.FENCENGJINGLIANGONGGUTISHENG分层精练巩固提升3B【A级

基础巩固】解析因为b＋c＝(－2，－2，4)，所以a·(b＋c)＝－4－2－12＝－18.A解析由题意，a·b＝1＋0＋n＝3，解得n＝2，D4.已知a＝(2，1，－3)，b＝(－1，2，3)，c＝(7，6，λ)，若a，b，c三向量共面，则λ＝(

) A.9 B.－9 C.－3 D.3

解析

由题意知c＝xa＋yb，

即(7，6，λ)＝x(2，1，－3)＋y(－1，2，3)，BA解析(a－b＋2c)2＝a2＋b2＋4c2－2a·b＋4a·c－4b·c＝1＋1＋4－2cos60°＝5，

D又O是正方形ABCD对角线交点，∴M为线段EF的中点.C解析设AC与BD相交于O点，连接OE，由AM∥平面BDE，且AM⊂平面ACEF，平面ACEF∩平面BDE＝OE，8.若空间中三点A(1，5，－2)，B(2，4，1)，C(p，3，q)共线，则p＋q＝________.

解析

因为空间中三点A(1，5，－2)，B(2，4，1)，C(p，3，q)共线，70垂直10.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1的中点，则直线ON，AM的位置关系是________.∴ON与AM垂直.CD【B级

能力提升】14.(2022·全国乙卷)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为AB，BC的中点，则(

) A.平面B1EF⊥平面BDD1 B.平面B1EF⊥平面A1BD C.平面B1EF∥平面A1AC D.平面B1EF∥平面A1C1D解析在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AC⊥BD且DD1⊥平面ABCD，又EF⊂平面ABCD，所以EF⊥DD1，因为E，F分别为AB，BC的中点，所以EF∥AC，所以EF⊥BD，又BD∩DD1＝D，BD，DD1⊂平面BDD1，所以EF⊥平面BDD1，又EF⊂平面B1EF，所以平面B1EF⊥平面BDD1，故A正确；A如图，以点D为原点，建立空间直角坐标系，设AB＝2，则D(0，0，0)，B1(2，2，2)，E(2，1，0)，F(1，2，0)，B(2，2，0)，A1(2，0，2)，A(2，0，0)，C(0，2，0)，C1(0，2，2)，同理可得平面A1BD的一个法向量为n1＝(1，－1，－1)，平面A1AC的一个法向量为n2＝(1，1，0)，平面A1C1D的一个法向量为n3＝(1，1，－1)，则m·