专题06切比雪夫函数(解析版)

免费资源公众号：高中资料共享一路伴你高考专题06切比雪夫函数一．考情分析纵观近几年的高考真题，出现了一类题目。看似是一道有关二次函数的题目；二次函数的定义域和值域相同。大多数学生或老师，第一眼看过去，以为是定轴动区间或定区间动轴的问题，然后就进入讨论的误区。深入讨论，就会发现，计算复杂，讨论纷扰。最后就是不了了之。然后，再次审视题目，就会发现我们陷入误区。切比雪夫函数或切比雪夫不等式，在此时的应用，就可以让我们秒解这类题目。数学的学习，就是要学习数学，领悟数学，秒杀数学。二．经验分享1.切比雪夫不等式PX：EX,(X0)；①马尔科夫不等式②切比雪夫不等式是马尔科夫不等式的特殊情况：1其中k0,是期望，是标准差.P|X|kk22.切比雪夫函数与切比雪夫不等式的意义马尔科夫不等式和切比雪夫不等式，是高等数学中学习的内容，是概率与统计学中的一个定理。主要意：思也就说，马尔科夫不等式或估计，就有可能正确，也有可能不正确。但是按照这两概率是最大。但在高中数学学习初等函数，用这个两个不等式事情的大多会者切比雪夫不等式只是对概率的一来看，在概率学的角度上。发生的解题，就会有出奇制胜，秒杀的快感。集中在平均值附近或者事情的发生大多在平均值上的概率最大。个估计，既然是个不等式免费资源公众号：高中资料共享一路伴你高考三、题型分析（一）切比雪夫函数的巧解()()xababR，若1,1时，=2+1|-|+,∈12xfx1，则的最大值ab例1.已知函数fxx2是．【传统解法】【切比雪夫不等式解法】()()=2+1|-|+,∈xababR，若1,1时，fx1x【解析】根据切比雪夫不等式：fxx2()()对称轴为压轴，所以ax1,1，fx=x2+ba,b∈R，当x1，|(f1)|=|1+b|1,故此次b1,1111+12ab的最大值222【变式训练】已知函数f(x)=mx2+(2-m)x+n(m>0)，若1,1时，1恒成立，则()=3fxfx【切比雪夫不等式解法】x0；fx1恒成立，也就是对称轴应该是x【解析】根据切比雪夫不等式：若1,1时，x2m=0，解之得：m2，f(x)2xn,故此|f(1)||2n|1恒成立；22m故此n1,所以f(x)2x21.2∴f()=-319.免费资源公众号：高中资料共享一路伴你高考（二）其他类型函数的2例2．【2019年高考浙江】已知aR，函数f(x)ax3x，若存在tR，使得|f(t2)f(t)|，3则实数a的最大值是___________.4【答案】32【解析】存在tR，使得|f(t2)f(t)|2，即有|a(t2)(t2)att|33，33化为|2a3t26t42|2，可得22a3t6t42232，332即3a3t6t4443，可得0a，由3t26t43(t1)11.2234则实数的最大值是.a323【名师点睛】本题考查函数的解析式及二次函数，结合函数的解析式可得|a(t2)3(t2)at3t|，去绝对值化简，结合二次函数的最值及不等式的性质可求解.x21,x0【变式训练1】【广东省汕头市2019届高三第二次模拟考试（B卷)数学】已知函数fxx，2,x0x1gxx2x2，设b为实数，若存在实数a，使得gbfa2成立，则b的取值范围为37221,2,A．B．37,3,4D．2C．22【答案】Ax21,x0【解析】因为fx，x2,x0x1所以当x0时，fx2x1单调递增，故fx2x12；x21x11当x0时，fxxx2，xx当且仅当x1，即x1时，取等号，x免费资源公众号：高中资料共享一路伴你高考y2x与曲线2】【高2017级资阳市高三第二次诊断性考试理科数学，12题】已知直线ab的最大值为（）【变式训f(x)ln(axb)相切，则eeA.B.C.eD.2e42【答案】Cy2x上，也在曲线f(x)ln(axb)上，所A(x,y)，因为切点既在直线【解析】由题意得：设切点为002xln(axb)①；以得到：00aaxbaaxb0y2和yA(x,y)，故此2同时求导：''，切点在②；001a221aalnba，xln再带入②整理得：联立①②得：0222aaaaa2a2blnabln，其中a0；化简：222222构造函数H(x)ln(),(x0)，H'(x)x12lnx,(x0)xxx22222212x2xxx22故当x0,2e，H'(x)xln0，H(x)ln()是单调递增；222当x2e,，H'(x)xlnx0，H(x)ln()是单调递减。12xxx222222xxx22所以H(x)ln(),(x0)的最大值H(2e)e；222免费资源公众号：高中资料共享一路伴你高考从而得到ab的最大值为e.四.迁移应用log1,0xx，1．【山东省德州市2019届高三第二次练习数学】设函数fxf3flog324,x02xA．9C．13B．11D．15【答案】B,0xxlog1ffx【解析】∵函数，∴f(3)log3log442log23=2+9=11．4,x022x故选B．【名师点睛】本题考查分段函数、函数值的求法，考查对数函数的运算性质，是基础题．f(x)log(x23x4)的单调减区2．【黑龙江省哈尔滨市第三中学2019届高三第二次模拟数学】函数2间为A．(,1)33(,)B．2(,)(4,)D．C．2【答案】Afxlogx3x4，【解析】函数22则x23x40(x4)(x1)0x4或x1，x4或x1，定义域为fx故函数的由ylogx是单调递增函数，fx单调减区间即yx23x4的单调减区间，可知函数的2当x(,3)时，函数yx3x4单调递减，22fxlogx3x4的单调减区间为fx的定义域，可得函数,1.结合22故选A.【名师点睛】本题考查了复合函数的单调性，要注意的是必须在定义域的前提下，去找单调区间.1()14f(x)R烟台市2019届高三3月诊断性测试（一模）数学】若函数是定义在上的奇函数，，f3．山东省【免费资源公众号：高中资料共享一路伴你高考x0时，f(x)log(x)m，则实数m当21A．B．0D．2C．1【答案】C1f(x)【解析】∵是定义在f()1，R上的奇函数，4x0时，f(x)log(x)m，且21∴flogm2m1，4142∴m1．故选C．【名师点睛】本题主要考查函数奇偶性的应用，以及已知函数值求参数的方法，熟记函数奇偶性的定义即属于常考题型.4．【河南省郑州市2019届高三第三次质量检测数可，学】我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休，在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函fx数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如函数4x1的图象大致是x4A．B．C．D．【答案】D免费资源公众号：高中资料共享一路伴你高考x44x1，414x1f(x)()4xx4fx【解析】因为函数f(x)，xf(x)所以函数不是偶函数，图象不关于轴对称，故排除A、B选项；yf(3),f(4)256,所以f(3)f(4)，9又因为7255而选项C在x0时是递增的，故排除C.故选D.【名师点睛】本题考查了函数的图象和性质，利用函数的奇偶性和取特值判断函数的图象是解题的关键，属于基础题.的解析5．【四川省百校2019届高三模拟冲刺卷】若函数yfx的大致图象如图所则fx示，式可以是A．fxxexexxB．fxexexD．fxexexC．fxeexxxx【答案】C【解析】当→0时，（）→±∞，而A中的f（x）→0，排除A；fxxx当x＜0时，fx（）＜0，而选项B中x＜0时，fx>0，exexeexx选项D中，fx>0，排除B，D，x故选C．【名师点睛】本题考查了函数的单调性、函数值的符号，考查数形结合思想，利用函数值的取值范围可快速解决这类问题．免费资源公众号：高中资料共享一路伴你高考f(x)2x,xa6．【北京市朝阳区2019届高三第二次（5月)综合练习（二模）数学】已知函数，若函x,xa数f(x)存在零点，则实数a的取值范围是,0A．,1B．1,C．0,D．【答案】Df(x)2x,xax,xa【解析】函数的图象如图：若函数f(x)存在零点，则实数a的取值范围是（0，+∞）．故选D．【名师点睛】本题考查分段函数，函数的零点，考查数形结合思想以及计算能力．yf(x)的定义域为,f(x1)为R7．【山东省烟台市2019届高三5月适应性练习（二）数学】已知函数fxfx0.若f(3)1，则不等式flogx1的解集为偶函数，且对xx1，满足21xx1222112,8(1,8)B．A．120,(8,)(,1)(8,)D．C．【答案】A免费资源公众号：高中资料共享一路伴你高考fxfx0yf(x)当x1时，是单调递减函数，又因，所以xx1【解析】因为对，满足21xx1221为f(x1)为偶函数，所以yf(x)关于直线yf(x)当x1对称，所以函数x1时，是单调递增函数，f(3)1f(1)1，又因为，所以有logx1，即当x时，02当211flogx1flogxf(1)logx1x,x2；22222logx12x时，，即当当2flogx1flogxf(3)logx3x8,2x8，22212flogx1,8.的解集为综上所述：不等式2故选A．【名师点睛】本题考查了抽象函数的单调性、对称性、分类讨论思想.对于yf(x)来说，I，DI，xxDxx，,,设定义域为1212f(x)f(x)0)若(f(x)f(x))(xx)0(yf(x)是上的增函数；21xx21，则D2121f(x)f(x)0)若(f(x)f(x))(xx)0(yf(x)是上的减函数21xx21，则.D2121，2上f(x2)是偶函数，在f(x)8．【重庆西南大学附属中学校2019届高三第十次月考数学】已知单调递减，f(0)0，则f(23x)0的解集是22(，)(2，)(，2)A．B．332222(，)(，)(，)C．D．3333【答案】Df(x2)【解析】因为是偶函数，所以的f(x)x2对称，图象关于直线f(0)0得f(4)0，因此，由f(x)在2,上单调递增，则f(x)又在，2上单调递减，免费资源公众号：高中资料共享一路伴你高考f(23x)0得f(23x)f(4)所以，当23x2x023x4，，所以即时，由2解得；3x23f(23x)0得f(23x)f(0)当23x2x023x0，解得，x即时，由，所以(，)(2，).2因此，f(23x)0的解集是33故选D.【名师点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性，不等式的求解，先根据函数的奇偶性得到函数在定义域上的单调性，从而分类讨论求解不等式.上单调递增，9．【山东省德州市2019届高三第二次练习数学】已知定义在R上的函数fx在区间[0，且yfx1的图象关于x1对称，若实数满足flogaf2，则的取值范围是aa2141,0,A．B．41D．4,,4C．4【答案】Cyfx1的图象关于直线【解析】根据题意，x1对称，则函数fx的图象关于轴对称，即函数yfx为偶函数，[0，fx又由函数在区间上单调递增，f|loga|f2|loga|2，，则2可得21，解得2loga2a4，即4214,4.即的a取值范围为故选C．【名师点睛】本题考查函数的单调性与奇偶性的应用，考查对数不等式的解法.x21,x010．【广东省汕头市2019届高三第二次模拟考试（B卷)数学】已知函数fxx2,x0x1，免费资源公众号：高中资料共享一路伴你高考a，使得gbfa2成立，则b的取值范围为gxx2x2，设b为实数，若存在实数1,2A．3722,B．37,3,4D．2C．22【答案】Ax21,x0fx【解析】因为，x2,x0x1故fx2x12；单调递增，所以当x0时，fx2x1x21x11当x0时，fxxx2，xx当且仅当x1，即x1时，取等号，x综上可得，.又因为存在实数，使得成立，所以只需解得故选A.，即，.【名师点睛】本题主要考查分段函数的值域，将存在实数，使得成立，转化为是解题的关键，属于常考题型.11．【云南省玉溪市第一中学2019届高三第二次调研考试数学】若f(x)f(x)，则的定log(x)义域为____________.【答案】(1,0)22x10有意义，【解析】要使函数需log(2x1)0，12免费资源公众号：高中资料共享一路伴你高考1解得x0.21则的定义域为f(x)(,0).2【名师点睛】本题考查函数的定义域，属于基础题.12．【湖南省长沙市第一中学2019届高三下学期高考模拟卷（一）数学】若函数f(x)称为“准奇函数”，则x对定义域的任意x值，均有f(x)f(2ax)2b，已知f(x)必存在常数a，b，使得x1为准奇函数”，则a＋b＝_________.【答案】2【解析】由f(x)f(2ax)2b知“准奇函数”f(x)关于点(a,b)对称.x1x1=1x1关于(1,1)对称，所以a1，b1，f(x)因为则ab2.故答案为2.【名师点睛】本题考查新定义的理解和应用，考查了函数图象的对称性，属于基础题．1x1ax21x13．【广东省深圳市深圳外国语学校2019届高三第二学期第一次热身考试数学】函数fxlog为奇函数，则实数a__________．【答案】11x1ax21xfx，为奇函数，fx【解析】函数fxlog即fxfx0，1ax