应力、应变及弹性形变

无机材料物理性能2023年9月17日第二讲第一章

无机材料的受力形变内容简介：介绍了无机材料的四种形变：弹性形变、塑性形变、高温蠕变和粘性形变及其理论描述、产生的原因和影响因素。要求：从微观的角度来理解宏观性能、掌握解决问题的关键受力形变

内力－变形引起的物体内部附加力F1F3F2Fn假想截面F1F2F3Fn分布内力外力内力内力与变形有关FFFFN（内力）=F受力与变形特点小单元受力与变形特点内力与变形有关M0M＝

M0M0M0M0M0内力必须满足平衡条件作用在弹性体上的外力相互平衡内力与外力平衡；内力与内力平衡。F1F3F2Fn假想截面F1F2F3Fn分布内力受力与变形特点

内力－变形引起的物体内部附加力，内力不能是任意的，内力与变形有关，必须满足平衡条件内力特点受力与变形特点工程构件受力模型拉伸工程构件受力模型压缩工程构件受力模型剪切工程构件受力模型扭转工程构件受力模型弯曲工程构件受力模型弯曲工程构件受力模型组合受力强度、刚度和稳定问题强度—不因发生断裂或塑性变形而失效；刚度—不因发生过大的弹性变形而失效；稳定性—不因发生因平衡形式的突然转变而失效。应力问题§1-1应力、应变及弹性形变应力问题

单位表面（积）上所承受的内力称为内应力。简称应力，一般用σ表示。

名义应力：

真实应力：（P4）应力及其方向的数学描述yxz体积单元应力分量示意图由于剪应力互等定理:故一点的应力状态由六个应力分量表示:应力、应变及弹性形变应变问题应变是用来描述物体内部各质点之间的相对位移的。应变问题名义应变真实应变剪应变

剪应变xyαβdydxACBC′A′B′oO处沿x方向的拉压应变（单位伸长）为：同理:应变xyαβdydxACBC′A′B′ozz平面xz与yz之间的剪应变为：剪应变同理：

xyαβdydxACBC′A′B′o

应变由六个应变分量来表示伸长应变分量剪应变分量材料的受力形变三种情况（P3）：无机材料的弹性变形行为脆性材料(非金属材料)：只有弹性形变，无塑性形变或塑性形变很小。延性材料(金属材料)：有弹性形变和塑性形变。弹性材料(橡胶)：弹性变形很大，没有残余形变（无塑性形变）。脆性材料应力与应变曲线应力与应变曲线韧性金属材料应力与应变曲线聚合物

弹性行为应力与应变曲线

p比例极限

e弹性极限

屈服行为

s屈服强度应力与应变曲线对于各向同性体，正应力不会引起长方体的角度改变即无剪切形变，只会产生法向应变，而且应力与应变成线性关系，即：单向应力下的虎克定律弹性模量弹性模量的单位和应力的单位相同为

Pa。对于同一种各向同性体材料弹性模量是一个常数

泊松比（p8）泊松比和弹性模量一样，是物质固有的常数。对于塑性、弹性材料和复合材料μ介于1到1/2之间；对多数金属μ介于1/4到1/3之间；对于大多数无机材料，μ介于1/5到1/4之间

横向变形系数对于拉伸应变对于剪切应变G为剪切模量或刚性模量G、E、μ之间有下列关系假定材料为各向同性体，受到各向同等的压力定义各向同等的压力P除以体积变化为材料的体积模量：广义虎克定律对于单向受应力σx，y、z两个方向的应变为对于具有方向性的单晶或织构（复合）材料，称之为弹性柔顺系数同理广义虎克定律

对于同时受有三向应力的各向异性材料，除正应力对应变有关系外，剪应力也会对正应变有影响。考虑晶体的对称性，例如：斜方晶系，剪应力只影响与其平行的平面的应变，不影响正应变，S数为9个(S11,S22,S33,S44,S55,S66,S12=S21,S23,S13)。六方晶系只有5个S(S11=S22,S33,S44,S66,S13)立方晶系为3个S(S11,S44,S12)MgO的柔顺系数在25oC时，S11=4.03×10-12Pa-1;S12=－0.94×10-12Pa-1;S44=6.47×10-12Pa-1.由此可知，各向异性晶体的弹性常数不是均匀的。由于倒顺关系，Sij=Sji弹性变形机理

虎克定律表明，对于足够小的形变，应力与应变成线性关系，系数为弹性模量E。作用力和位移成线性关系，系数为弹性常数K。弹性模量rrror

12＋－＋－FUm在r=ro时，原子1和2处于平衡状态，其合力F=0.当原子受到拉伸时，原子2向右位移，起初作用力与位移呈线性变化，后逐渐偏离，达到r

时，合力最大，此后又减小。合力有一最大值，该值相当于材料断裂时的作用力。断裂时的相对位移：r

－ro=

把合力与相对位移的关系看作线性关系，则弹性常数：

KF/=tg

(1)原子间相互作用力和弹性常数的关系结论：K是在作用力曲线r=ro时的斜率，因此K的大小反映了原子间的作用力曲线在r=ro处斜率的大小.(2)原子间的势能与弹性常数的关系

U(ro+

）=U(ro)+(dU/dr)ro+1/2(d2U/dr2)ro

2=U(ro)+1/2(d2U/dr2)ro

2F=du(r)/dr=(d2U/dr2)ro

K=(d2U/dr2)ro就是势能曲线在最小值u(ro)处的曲率。结论：弹性常数的大小实质上反映了原子间势能曲线极小值尖峭度的大小。(3)弹性刚度系数使原子间的作用力平行于x轴，作用于原子上的作用力：

F=－u/r,应力：

xx

－(u/r)/ro2dxx

－(2u/r2)dr/ro2,相应的应变：dxx=dr/rodxx=C11dxxC11

－(d2U/dr2)ro/ro=K/ro=E1C------弹性刚度系数（与弹性柔顺系数S成反比）结论：弹性刚度系数的大小实质上也反映了原子间势能曲线极小值尖峭度的大小。大部分无机材料具有离子键和共价键，共价键势能曲线的谷比金属键和离子键的深，即：弹性刚度系数大。NaCl型晶体的弹性刚度系数

（1011达因/厘米2，200oC）晶体C11C12C44TiC5011.3017.50MgO28.928.8015.46LiF11.14.206.30NaCl4.871.231.26NaBr3.870.970.97KCl3.980.620.62KBr3.460.580.51上限模量－两相体系的弹性模量PP12l根据压力平衡方程有：P=σ1A1+σ2A2,两边同除以A，有：

两相应变相同两相体系的弹性模量下限模量－

PPδ=εlδ1=ε1l1δ2=ε2l2

δ=δ1+δ2

两相应力相同（3）复相的弹性模量在二相系统中，总模量介于高模量成分和低模量成分间，类似于二相系统的热膨胀系数，通过假定材料有许多层组成，这些层平行或垂直于作用单轴应力，找出最宽的可能界限。第一种模型每种组分中的应变相同，即并联，

Eu=V2E2+(1－V2)E1（上限）大部分应力由高模量的相承担。第二种模型每个相中的应力相同，即串联，

1/EL=V2/E2+(1－V2)/E1

（下限）气孔对弹性模量的影响（气孔的弹性模量为零）弹性模量与气孔率的关系E0是气孔率为零时的E值，p为气孔率,b为与陶瓷制备工艺有关的常数

,常数f1、f2取决于气孔的形状和取向。陶瓷的弹性模量随气孔率的表达式为：

一些无机材料弹性模量的数值材料E(Gpa)材料E(Gpa)氧化铝晶体380烧结TiC(P=5%)310烧结氧化铝（P=5%

）366烧结MgAl2O4(P=5%)238高铝瓷（P=90－95%

）366密实SiC(P=5%)470烧结氧化铍（P=5%

）310烧结稳定化ZrO2P=5%

150热压BN（P=5%

）83石英玻璃72热压B4C（P=5%

）290莫来石瓷