新【创新方案】高考数(理)一轮突破热点题型：第8章第5节椭圆

高考资源网（），您身边的高考专家欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。高考资源网（），您身边的高考专家欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。第五节椭圆考点一椭圆的定义和标准方程[例1](1)(20xx·广东高考)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于eq\f(1,2)，则C的方程是()A.eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,4)＝1B.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,\r(3))＝1C.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1D.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1(2)(20xx·岳阳模拟)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为eq\f(\r(2),2).过F1的直线l交椭圆C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么椭圆C的方程为________．[自主解答](1)由右焦点为F(1,0)，可知c＝1，因为离心率为eq\f(1,2)，即eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，故a＝2，由a2＝b2＋c2，知b2＝a2－c2＝3，因此椭圆C的方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.(2)由△ABF2的周长为4a＝16，得a＝4，又知离心率为eq\f(\r(2),2)，即eq\f(c,a)＝eq\f(\r(2),2)，c＝eq\f(\r(2),2)a＝2eq\r(2)，所以a2＝16，b2＝a2－c2＝16－8＝8，所以椭圆C的方程为eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,8)＝1.[答案](1)D(2)eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,8)＝1【互动探究】在本例(2)中若将条件“焦点在x轴上”去掉，结果如何？解：由例1(2)知：当焦点在x轴上时，椭圆的方程为eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,8)＝1；当焦点在y轴上时，椭圆的方程为eq\f(y2,16)＋eq\f(x2,8)＝1.综上可知C的方程为eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,8)＝1或eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,16)＝1.【方法规律】用待定系数法求椭圆方程的一般步骤(1)作判断：根据条件判断椭圆的焦点是在x轴上，还是在y轴上，还是两个坐标轴都有可能；(2)设方程：根据上述判断设方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，eq\f(x2,b2)＋eq\f(y2,a2)＝1(a>b>0)或mx2＋ny2＝1(m>0，n>0)；(3)找关系：根据已知条件，建立关于a，b，c或m，n的方程组；(4)得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求．注意：用待定系数法求椭圆的方程时，要“先定型，再定量”，不能确定焦点的位置时，可进行分类讨论或把椭圆的方程设为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0).1．已知△ABC的顶点B，C在椭圆eq\f(x2,3)＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是()(5)中点弦或弦的中点问题．[例3](20xx·浙江高考)如图，点P(0，－1)是椭圆C1：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的一个顶点，C1的长轴是圆C2：x2＋y2＝4的直径．l1，l2是过点P且互相垂直的两条直线，其中l1交圆C2于A，B两点，l2交椭圆C1于另一点D.(1)求椭圆C1的方程；(2)求△ABD面积取最大值时直线l1的方程．[自主解答](1)由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝1，,a＝2，))所以椭圆C1的方程为eq\f(x2,4)＋y2＝1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x0，y0)．由题意知直线l1的斜率存在，不妨设其为k，则直线l1的方程为y＝kx－1.又圆C2：x2＋y2＝4，故点O到直线l1的距离d＝eq\f(1,\r(k2＋1))，所以|AB|＝2eq\r(4－d2)＝2eq\r(\f(4k2＋3,k2＋1)).又l2⊥l1，故直线l2的方程为x＋ky＋k＝0.设△ABD的面积为S，①当k＝0时，则D(0,1)，A(－eq\r(3)，－1)，B(eq\r(3)，－1)，此时，|AB|＝2eq\r(3)，|PD|＝2，所以S＝eq\f(1,2)|AB|·|PD|＝eq\f(1,2)×2eq\r(3)×2＝2eq\r(3).②当k≠0时，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋ky＋k＝0，,x2＋4y2＝4，))消去y，整理得(4＋k2)x2＋8kx＝0，故x0＝－eq\f(8k,4＋k2).所以|PD|＝eq\f(8\r(k2＋1),4＋k2).则S＝eq\f(1,2)|AB|·|PD|＝eq\f(8\r(4k2＋3),4＋k2)，所以S＝eq\f(32,\r(4k2＋3)＋\f(13,\r(4k2＋3)))≤eq\f(32,2\r(\r(4k2＋3)×\f(13,\r(4k2＋3))))＝eq\f(16\r(13),13)，当且仅当k＝±eq\f(\r(10),2)时取等号．而当k＝0时，S＝2eq\r(3)<eq\f(16\r(13),13)，故当k＝±eq\f(\r(10),2)时△ABD面积取得最大值．所以所求直线l1的方程为y＝±eq\f(\r(10),2)x－1.直线与椭圆综合问题的常见题型及解题策略(1)求直线方程．可依题条件，寻找确定该直线的两个条件，进而得到直线方程．(2)求面积．先确定图形的形状，再利用条件寻找确定面积的条件，进而得出面积的值．(3)判断图形的形状．可依据平行、垂直的条件判断边角关系，再依据距离公式得出边之间的关系．(4)弦长问题．利用根与系数的关系、弦长公式求解．(5)中点弦或弦的中点．一般利用点差法求解，注意判断直线与方程是否相交．(20xx·重庆高考)如图，椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，离心率e＝eq\f(\r(2),2)，过左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于A，A′两点，|AA′|＝4.(1)求该椭圆的标准方程；(2)取平行于y轴的直线与椭圆相交于不同的两点P，P′，过P，P′作圆心为Q的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q外．求△PP′Q的面积S的最大值，并写出对应的圆Q的标准方程．解：(1)设椭圆方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，由题意知点A(－c,2)在椭圆上，则eq\f(－c2,a2)＋eq\f(22,b2)＝1.从而e2＋eq\f(4,b2)＝1.由e＝eq\f(\r(2),2)，得b2＝eq\f(4,1－e2)＝8，从而a2＝eq\f(b2,1－e2)＝16.故该椭圆的标准方程为eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,8)＝1.(2)由椭圆的对称性，可设Q(x0,0)．又设M(x，y)是椭圆上任意一点，则|QM|2＝(x－x0)2＋y2＝x2－2x0x＋xeq\o\al(2,0)＋8×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(x2,16)))＝eq\f(1,2)(x－2x0)2－xeq\o\al(2,0)＋8(x∈[－4,4])．设P(x1，y1)，由题意知，点P是椭圆上到点Q的距离最小的点，因此，上式当x＝x1时取最小值，又因x1∈(－4,4)，所以上式当x＝2x0时取最小值，从而x1＝2x0，且|QP|2＝8－xeq\o\al(2,0).由对称性知P′(x1，－y1)，故|PP′|＝|2y1|，所以S＝eq\f(1,2)|2y1||x1－x0|＝eq\f(1,2)×2eq\r(8×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(x\o\al(2,1),16))))|x0|＝eq\r(2)×eq\r(4－x\o\al(2,0)x\o\al(2,0))＝eq\r(2)×eq\r(－x\o\al(2,0)－22＋4.)当x0＝±eq\r(2)时，△PP′Q的面积S取到最大值2eq\r(2).此时对应的圆Q的圆心坐标为Q(±eq\r(2)，0)，半径|QP|＝eq\r(8－x\o\al(2,0))＝eq\r(6)，因此，这样的圆有两个，其标准方程分别为(x＋eq\r(2))2＋y2＝6，(x－eq\r(2))2＋y2＝6.————————————[课堂归纳——通法领悟]————————————————1个规律——椭圆焦点位置与x2，y2系数之间的关系给出椭圆方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1时，椭圆的焦点在x轴上⇔a>b>0；椭圆的焦点在y轴上⇔0<a<b.1种思想——数形结合思想在椭圆几何性质中的运用求解与椭圆几何性质有关的问题时要结合图形进行分析，即使不画出图形，思考时也要联想到图形．当涉及到顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系．2种方法——求椭圆标准方程的方法(1)定义法：根据椭圆定义，确定a2，b2的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆方程．(2)待定系数法：根据椭圆焦点是在x轴还是y轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于a，b，c的方程组，解出a2，b2，从而写