湖北省黄冈市英山县南河中学2022-2023学年高三数学文上学期摸底试题含解析

湖北省黄冈市英山县南河中学2022-2023学年高三数学文上学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.平面的斜线交于点，过定点的动直线与垂直，且交于点，则动点的轨迹是（）

（A）一条直线

（B）一个圆（C）一个椭圆

（D）双曲线的一支参考答案：答案：A解析：设与￠是其中的两条任意的直线，则这两条直线确定一个平面，且斜线垂直这个平面，由过平面外一点有且只有一个平面与已知直线垂直可知过定点与垂直所有直线都在这个平面内，故动点C都在这个平面与平面的交线上，故选A2.已知正三棱柱的棱长与底面边长相等，则与侧面所成角的正弦值等于（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B3.已知集合A={x|x2＞1}，B={x|log2x＞0}，则A∩B=（）A．{x|x＜﹣1} B．{x|＞0} C．{x|x＞1} D．{x|x＜﹣1或x＞1}参考答案：C【考点】交集及其运算．【专题】不等式的解法及应用．【分析】化简A、B两个集合，利用两个集合的交集的定义求出A∩B．【解答】解：集合A={x|x2＞1}={x|x＞1或x＜﹣1}，B={x|log2x＞0=log21}={x|x＞1}，A∩B={x|x＞1}，故选：C．【点评】本题考查集合的表示方法，两个集合的交集的定义和求法，化简A、B两个集合是解题的关键．4.“搜索指数”是网民通过搜索引擎，以每天搜索关键词的次数为基础所得到的统计指标.“搜索指数”越大，表示网民对该关键词的搜索次数越多，对该关键词相关的信息关注度也越高.下图是2017年9月到2018年2月这半年中，某个关键词的搜索指数变化的走势图.根据该走势图，下列结论正确的是（

）A．这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度呈周期性变化

B．这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度不断减弱C.从网民对该关键词的搜索指数来看，去年10月份的方差小于11月份的方差D．从网民对该关键词的搜索指数来看，去年12月份的平均值大于今年1月份的平均值参考答案：D5.若函数在上单调递减，则可以是(

)．A．1

B．

C．

D．参考答案：C6.下列命题中，假命题的是（

）A．

B．C．

D．参考答案：D由，即，此时，则A命题为真命题；当时，令，则，所以函数在区间为增函数，即，则B命题为真命题；当时，，即C命题为真命题；当时，，所以D命题为假命题.7.已知直线平面，直线平面，下面有三个命题：①；②；③其中假命题的个数为（

）

参考答案：C8.已知集合，则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A9.已知为不同的直线为不同的平面，则下列说法正确的是A. B.C. D.参考答案：D10.极坐标方程表示的曲线为（

）

A．一条射线和一个圆

B．两条直线

C．一条直线和一个圆

D．一个圆参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知，则的最大值为

.参考答案：12.若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则双曲线的离心率为

.参考答案：略13.已知x∈R，y∈[0，5]，我们把满足方程x2+8xsin（x+y）π+16=0的解（x，y）组成的集合记为M，则集合M中的元素个数是

．参考答案：5考点：元素与集合关系的判断．专题：综合题；三角函数的求值．分析：由x2+8xsin（x+y）π+16=0，可得[x+4sin（x+y）π]2+16cos2（x+y）π=0，即可得出结论．解答： 解：由题意，∵x2+8xsin（x+y）π+16=0，∴[x+4sin（x+y）π]2+16cos2（x+y）π=0，∴x+4sin（x+y）π=0且cos（x+y）π=0，∴x=4，y=，，；x=﹣4，y=，，∴集合M中的元素个数是5个．故答案为：5．点评：本题考查函数的值的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意三角函数性质的灵活运用．14.设是的三边中垂线的交点，分别为角对应的边，已知参考答案：15.函数(x>0)的反函数是_____________.参考答案：（x>1）16.如图,是圆的直径,点在圆上,延长到使,过作圆的切线交于.若,,则_________.参考答案：17.已知集合A={x|k+1≤x≤2k}，B={x|1≤x≤3}，则能使A∩B=A成立的实数k的取值范围是．参考答案：【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】根据A∩B=A，建立条件关系即可求实数k的取值范围【解答】解：集合A={x|k+1≤x≤2k}，B={x|1≤x≤3}，∵A∩B=A，∴A?B当A=?时，满足题意，此时k+1＞2k，解得k＜1．当A≠?时，要使A?B成立，则，解得：综上可得：实数k的取值范围，故答案为：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.

已知函数．

(1）若，求曲线在处切线的斜率；

(2）求的单调区间；

(3）设，若对任意，均存在，使得，求的取值范围．参考答案：（Ⅰ）由已知，．故曲线在处切线的斜率为．(Ⅱ）．

①当时，由于，故，所以，的单调递增区间为．②当时，由，得．在区间上，，在区间上，所以，函数的单调递增区间为，单调递减区间为．(Ⅲ）由已知，转化为．

由（Ⅱ）知，当时，在上单调递增，值域为，故不符合题意．(或者举出反例：存在，故不符合题意．）当时，在上单调递增，在上单调递减，故的极大值即为最大值，，所以，解得．19.已知两个无穷数列{an}，{bn}分别满足，，其中n∈N*，设数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn、Tn．（1）若数列{an}，{bn}都为递增数列，求数列{an}，{bn}的通项公式．（2）若数列{cn}满足：存在唯一的正整数k（k≥2），使得ck＜ck﹣1，称数列{cn}为“k坠点数列”．①若数列{an}为“5坠点数列”，求Sn．②若数列{an}为“p坠点数列”，数列{bn}为“q坠点数列”，是否存在正整数m，使得Sm+1=Tm，若存在，求m的最大值；若不存在，说明理由．参考答案：【考点】数列递推式；数列的求和．【专题】综合题；函数思想；转化思想；综合法；等差数列与等比数列；点列、递归数列与数学归纳法．【分析】（1）由两数列为递增数列，结合递推式可得an+1﹣an=2，b2=﹣2b1，bn+2=2bn+1，n∈N*，由此可得数列{an}为等差数列，数列{bn}从第二项起构成等比数列，然后利用等差数列和等比数列的通项公式求得答案；（2）①根据题目条件判断：数列{an}必为1，3，5，7，9，7，9，11，…，即前5项为首项为1，公差为2的等差数列，从第6项开始为首项7，公差为2的等差数列，求解Sn即可．②运用数列{bn}为“坠点数列”且b1=﹣1，综合判断数列{bn}中有且只有两个负项．假设存在正整数m，使得Sm+1=Tm，显然m≠1，且Tm为奇数，而{an}中各项均为奇数，可得m必为偶数．再运用不等式证明m≤6，求出数列即可．【解答】解：（1）∵数列{an}，{bn}都为递增数列，∴由递推式可得an+1﹣an=2，b2=﹣2b1，bn+2=2bn+1，n∈N*，则数列{an}为等差数列，数列{bn}从第二项起构成等比数列．∴an=2n﹣1，；

（2）①∵数列{an}满足：存在唯一的正整数k=5，使得ak+1＜ak，且|an+1﹣an|=2，∴数列{an}必为1，3，5，7，9，7，9，11，…，即前5项为首项为1，公差为2的等差数列，从第6项开始为首项7，公差为2的等差数列，故；

②∵，即bn+1=±2bn，∴|bn|=2n﹣1，而数列{bn}为“坠点数列”且b1=﹣1，∴数列{bn}中有且只有两个负项．假设存在正整数m，使得Sm+1=Tm，显然m≠1，且Tm为奇数，而{an}中各项均为奇数，∴m必为偶数．

首先证明：m≤6．若m＞7，数列{an}中（Sm+1）max=1+3+…+（2m+1）=（m+1）2，而数列{bn}中，bm必然为正，否则≤﹣1+21+…+2m﹣2+（﹣2m﹣1）=﹣3＜0，显然矛盾；∴=2m﹣1﹣3．设，设，而0（m＞7），∴{dm}（m＞7）为增数列，且d7＞0，则{cm}（m＞7）为增数列，而c8＞0，∴（Tm）min＞（Sm）max，即m≤6．

当m=6时，构造：{an}为1，3，1，3，5，7，9，…，{bn}为﹣1，2，4，8，﹣16，32，64，…此时p=2，q=4．∴mmax=6，对应的p=2，q=4．【点评】本题是新定义题，考查了数列递推式，综合考查学生运用新定义求解数列的问题，考查了分析问题和解决问题的能力，属于难题．20.（12分）如图，在斜三棱柱中，，，，侧面与底面ABC所成的二面角为120，E、F分别是棱、的中点。（Ⅰ）求与底面ABC所成的角；（Ⅱ）证明EA∥平面；（Ⅲ）求经过、A、B、C四点的球的体积。参考答案：解析：（I）过作平面平面，垂足为。连接，并延长交于，连接，于是为与底面所成的角。因为，所以为的平分线又因为，所以，且为的中点因此，由三垂线定理因为，且，所以，于是为二面角的平面角，即由于四边形为平行四边形，得所以，与底面所成的角度为（II）证明：设与的交点为，则点P为EG的中点，连结PF。在平行四边形中，因为F是的中点，所以而EP平面，平面，所以平面（III）解：连接。在△和△中，

△△又因为平面，所以是△的外心设球心为，则必在上，且在Rt△中，△球的体积△21.本小题满分15分）如图，在三棱锥中，为的中点，平面⊥平面，,.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；（III）若动点M在底面三角形ABC上，二面角的余弦值为，求BM的最小值.参考答案：解：（Ⅰ）因为为的中点,AB=BC，所以,∵平面⊥平面，平面平面,∴平面PAC，∴；

………5分（Ⅱ）以为坐标原点,分别为轴建立如图所示空间直角坐标系，因为AB=BC=PA=,

所以OB=OC=OP=1，从而O(0,0,0),B(1,0,0),A(0,-1,0),C(0,1,0),P(0,0,1),

∴设平面PBC的法向量，由得方程组，取，∴∴直线PA与平面PBC所成角的正弦值为；…………