【解析】2023-2024学年初中数学八年级上册 26.4 解直角三角形的应用 同步分层训练培优卷(冀教版)

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一、选择题

1．（2023·绵阳模拟）图中的梯形ABCD是水坝的一个截面图，阴影部分是外坡面土方的部分．其中，，，，m，AD＝5m，则坝底外坡面土方的水平宽度BE长为（）

A．mB．mC．mD．m

2．（2023·斗门模拟）某驱逐舰在海上执行任务后刚返回到港口A，接到上级指令，发现在其北偏东方向上有一艘可疑船只C，与此同时在港口A处北偏东方向上且距离处有另一艘驱逐舰B也收到了相关指令，驱逐舰B恰好在可疑船只C的南偏东的方向上，则可疑船只C距离港口A的距离为（）

A．B．C．D．

3．（2023·柳州模拟）如图，某商场一楼与二楼之间的电梯示意图.∠ABC=150°，BC的长是8m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是（）

A．mB．mC．8mD．4m

4．（2023·南充模拟）数学兴趣小组利用无人机测量学校旗杆高度，已知无人机的飞行高度为37米，当无人机与旗杆的水平距离是45米时，观测旗杆顶部的俯角为，则旗杆的高度约为（）

A．米B．C．D．22.5米

5．（2023九下·永康月考）如图，某校教学楼与的水平间距，在教学楼的顶部点测得教学楼的顶部点的仰角为，测得教学楼的底部点的俯角为，则教学楼的高度是（）

A．B．

C．D．

6．（2023·游仙模拟）年月日，神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，神舟十三号载人飞行任务收得圆满成功，中国航天，又站在了一个新的起点.如图年月日，神舟十三号载人飞船从地面处成功发射，当飞船到达点时，地面处的雷达站测得米，仰角为，秒后，飞船直线上升到达点处，此时地面处的雷达站测得处的仰角为.点，，在同一直线上，已知，两处相距米，则飞船从到处的平均速度为（）米秒.（结果精确到米；参考数据：，）

A．336B．335C．334D．333

7．（2023·秦皇岛模拟）如图，轮船在A处观测灯塔C位于北偏西方向上，轮船从A处以每小时40海里的速度沿南偏西方向匀速航行，1小时后到达码头B处，此时，观测灯塔C位于北偏西方向上，则下列说法正确的是（）

A．

B．点B到的距离为海里

C．海里

D．点B在点C的南偏东的方向上

8．（2022·章丘模拟）如图，在平行四边形OABC中，边OC在x轴上，点A（1，），点C（3，0）．按以下步骤作图：分别以点B，C为圆心，大于BC的长为半径作弧，两弧相交于E，F两点；作直线EF，交AB于点H；连接OH，则OH的长为（）

A．B．C．2D．2

二、填空题

9．（2023·岳阳）2023年岳阳举办以“跃马江湖”为主题的马拉松赛事．如图，某校数学兴趣小组在处用仪器测得赛场一宣传气球顶部处的仰角为，仪器与气球的水平距离为20米，且距地面高度为1.5米，则气球顶部离地面的高度是米（结果精确到0.1米，）．

10．（2023八下·中山期中）如图，供给船要给C岛运送物资，从海岸线AB的港口A出发向北偏东40°方向直线航行60nmile到达C岛．测得海岸线上的港口B在C岛南偏东50°方向．若A，B两港口之间的距离为65nmile，则C岛到港口B的距离是nmile．

11．如图1是一个消防云梯，其示意图如图2所示，此消防云梯由救援台AB，延展臂BC（B在C的左侧），伸展主臂CD，支撑臂EF构成.在操作过程中，救援台AB，车身GH及地面MN三者始终保持平行，

（1）当∠EFH＝55°，BC∥EF时，∠ABC＝度；

（2）如图3为了参与另一项高空救援工作，需要进行调整，使得延展臂BC与支撑臂EF

所在直线互相垂直，且∠EFH＝78°，此时∠ABC＝度．

12．（2023八上·绍兴月考）如(图1)，某学校楼梯墙面上悬挂了四幅全等的正方形画框，画框下边缘与水平地面平行．如(图2)，画框的左上角顶点，，，都在直线上，且，楼梯装饰线条所在直线，延长画框的边，得到平行四边形ABCD．若直线恰好经过点，，，，则正方形画框的边长为

13．（2023九下·衢江月考）衢州儿童公园有摩天轮，水上乐园等娱乐设施，其中的摩天轮半径为20米，水上乐园的最高处到地面的距离为32米；如图，当摩天轮的座舱A旋转至与水上乐园最高处高度相同时，地面某观测点P与座舱A，摩天轮圆心O恰好在同一条直线上，此时测得，则的距离为米；此时另一座舱B位于摩天轮最低点，摩天轮旋转一周要12分钟，若摩天轮继续逆时针旋转一周，当从座舱A观测座舱B的俯角为45°时，经过了分钟.

三、解答题

14．（2023·菏泽）无人机在实际生活中的应用广泛，如图所示，某人利用无人机测最大楼的高度，无人机在空中点P处，测得点P距地面上A点80米，点A处俯角为，楼顶C点处的俯角为，已知点A与大楼的距离为70米（点A，B，C，P在同一平面内），求大楼的高度（结果保留根号）

15．（2023·泸州）如图，某数学兴趣小组为了测量古树的高度，采用了如下的方法：先从与古树底端在同一水平线上的点A出发，沿斜面坡度为的斜坡前进到达点，再沿水平方向继续前进一段距离后到达点．在点处测得古树的顶端的俯角为，底部的俯角为，求古树的高度（参考数据：，，，计算结果用根号表示，不取近似值）．

四、综合题

16．（2023九下·兴化月考）如图，光从空气斜射入水中，入射光线射到水池的水面点后折射光线射到池底点处，入射角，折射角；入射光线射到水池的水面点后折射光线射到池底点处，入射角，折射角，、为法线入射光线、和折射光线、及法线、都在同一平面内，点到直线的距离为米．

（1）求的长；结果保留根号

（2）如果米，求水池的深参考数据：取，取，取，取，取，取，取，取

17．（2023·衡阳）随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产生活，如代替人们在高空测量距离和高度．圆圆要测量教学楼的高度，借助无人机设计了如下测量方案：如图，圆圆在离教学楼底部米的C处，遥控无人机旋停在点C的正上方的点D处，测得教学楼的顶部B处的俯角为，长为米．已知目高为米．

（1）求教学楼的高度．

（2）若无人机保持现有高度沿平行于的方向，以米/秒的速度继续向前匀速飞行，求经过多少秒时，无人机刚好离开圆圆的视线．

18．（2023·江西模拟）图1是某简易座椅，图2是其侧面示意图，固定点O为椅腿和的中点，靠背的一端固定在上的点E处，将绕点E顺时针旋转180°后与重合，此时靠背收拢．已知，，．

（1）求坐垫的长．

（2）在收拢靠背的过程中，求点F到点C距离的最小值．（结果精确到；参考数据：，，，，）

答案解析部分

1．【答案】B

【知识点】解直角三角形的应用

【解析】【解答】解：过点A作AF⊥BC于点F，

∵AD∥BC，∠C=90°，

∴∠C+∠D=180°，

∴∠D=90°，

∴四边形ADCF为矩形，

∴FC=AD=5，AF=CD.

∵∠B=45°，AB=，

∴AF=ABsin45°=，BF=ABcos45°=.

∵∠DEC=60°，CD=AF=，

∴CE==10，

∴BE=BC-CE=BF+CF-BC=-5.

故答案为：B.

【分析】过点A作AF⊥BC于点F，则四边形ADCF为矩形，FC=AD=5，AF=CD，利用三角函数的概念可得AF、BF、CE，然后根据BE=BC-CE=BF+CF-BC进行计算.

2．【答案】C

【知识点】解直角三角形的应用﹣方向角问题

【解析】【解答】解：∵在其北偏东方向上有一艘可疑船只C，与此同时在港口A处北偏东方向上且距离处有另一艘驱逐舰B也收到了相关指令，

∴∠CAB=60°-30°=30°，

∵驱逐舰B恰好在可疑船只C的南偏东的方向上，

∴∠ACB=30°+30°=60°，

∴∠ABC=180°-30°-60°=90°，

∵，AB=10km，

∴，

故答案为：C.

【分析】根据题意先求出∠CAB=30°，再求出∠ABC=90°，最后利用锐角三角函数计算求解即可。

3．【答案】D

【知识点】解直角三角形的应用

【解析】【解答】解：如图，过点C作CE⊥BC

∵∠ABC=150°

∴∠CBE=30°

∴

故答案为：D.

【分析】过点C作CE⊥BC，根据邻补角的性质可得∠CBE=30°，然后根据三角函数的概念进行计算.

4．【答案】B

【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题

【解析】【解答】解：设旗杆底部为点，顶部为点，无人机处为点，

延长，交点处的水平线于点，

由题意得，米，米，，

在中，，

解得，

米.

故答案为：B.

【分析】设旗杆底部为点，顶部为点，无人机处为点，延长，交点处的水平线于点，在中，由求出BD，利用AB=AD-BD即可求解.

5．【答案】A

【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题

【解析】【解答】解：过点作，垂足为，

由题意得：

米，

在中，，

米，

在中，，

米，

米，

故答案为：A.

【分析】过点C作CE⊥AB，垂足为E，由题意可得CE=BD=a米，根据三角函数的概念可得BE、AE，然后根据AB=AE+BE进行计算.

6．【答案】B

【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题

【解析】【解答】解：依题意，，，米，，

在中，，

在中，，

∴，

∴飞船从到处的平均速度为米秒，

故答案为：C.

【分析】在Rt△AOD中，根据正弦函数的定义及特殊锐角三角函数值可求出OA的长，由余弦函数的定义及特殊锐角三角函数值可求出OD的长，由线段的和差算出OC，根据等腰三角形可得BO的长，进而根据AB=OB-OA算出AB的长，最后根据路程、速度、时间三者的关系即可算出答案.

7．【答案】C

【知识点】解直角三角形的应用﹣方向角问题

【解析】【解答】解：过B作于点D，如图所示：

由题意得，故A选项错；

∵，

∴在中，，

所以海里，故B选项错；

由图1可知，，所以D选项错；

∵，

∴海里，所以C选项符合题意；

故答案为：C．

【分析】过B作于点D，由方位角及角的和差求出∠CBA=75°，∠BAC=60°，在中，利用求出BD的长，据此判断A、B；利用平行线的性质可得∠1=25°，据此判断③；利用三角形内角和求出∠BAC的度数，利用求出BC的长，即可判断D.

8．【答案】B

【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理的应用；特殊角的三角函数值

【解析】【解答】解：延长BA交y轴于点M，则AM⊥y轴，如图所示：

∵点A（1，），

∴AM=1，OM=，

∵在Rt△AMO中，，

，

∴∠AOM=30°，

∴∠AOC=∠B=60°，

∵EF为BC的垂直平分线，BC=2，

∴BN=1，∠BHN=30°，

∴HB=2BN=2，

∵点C(3，0)，

∴OC=AB=3，

∴AH=ABBH=1，

∴MH=MA+AH=2，

∴在Rt△HMO中，，

故答案为：B．

【分析】延长BA交y轴于点M，则AM⊥y轴，利用特殊角的三角函数和平行四边形的性质求出∠B，进而求BH，根据B点、C点坐标和平行四边形对边长度相等可知H点坐标，最后用勾股定理求OH

9．【答案】9.5

【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题

【解析】【解答】解：由题意可得，四边形ABCD是矩形，

∴AB=CD=1.5m，AD=BC=20m，

∵AD=BC=20m，∠EAD=21.8°，

∴DE=AD·tan21.8°≈20x0.4000=8(m)，

∴CE=CD+DE=1.5+8=9.5(m)，

即气球顶部离地面的高度EC是9.5m，

故答案为：9.5.

【分析】根据矩形的性质先求出AB=CD=1.5m，AD=BC=20m，再利用锐角三角函数计算求解即可。

10．【答案】25

【知识点】解直角三角形的应用﹣方向角问题

【解析】【解答】解：过点A作AD⊥CD于点D，

由题意可得∠CAD=90°-40°=50°，

∴∠ACD=90°-∠CAD=40°，

∴∠ACB=40°+50°=90°.

∵AC=60，AB=65，

∴BC==25.

故答案为：25.

【分析】过点A作AD⊥CD于点D，由题意可得∠CAD=90°-40°=50°，则∠ACD=90°-∠CAD=40°，∠ACB=40°+50°=90°，然后利用勾股定理进行计算.

11．【答案】（1）125

（2）168

【知识点】解直角三角形的应用

【解析】【解答】解：（1）如图，分别延长CB、HG相交于点K，

∵BC∥EF，∠EFH＝55°，∴∠BKH=∠EFH＝55°，

∵AB∥GH，∴∠ABK=∠BKH＝55°，

∵∠ABK+∠ABC=180°，

∴∠ABC=125°；

故答案为：125.

（2）如图，分别延长BC、FE交于点P，分别延长AB交FE的延长线于点Q，∴BP⊥EP，即∠BPQ=90°，

∵AB∥FH，∠EFH=78°，∴∠Q=∠EFH=78°，

∴∠ABC=∠Q+∠BPQ=78°+90°=168°；

故答案为：168.

【分析】（1）分别延长CB、HG相交于点K，由平行线的性质可得∠BKH=∠EFH＝55°，∠ABK=∠BKH＝55°，利用邻补角的定义即可求出∠ABC的度数；

（2）分别延长BC、FE交于点P，分别延长AB交FE的延长线于点Q，则∠BPQ=90°，由平行线的性质可得∠Q=∠EFH=78°，根据三角形外角的性质得∠ABC=∠Q+∠BPQ，继而得解.

12．【答案】

【知识点】平行四边形的判定与性质；解直角三角形的应用

【解析】【解答】如图，延长EP，交CD于D点，

，

四边形BCKE是平行四边形，

BE=CK，BC=EK，

BH=EP，

，

，四边形ABCD是平行四边形，

，AB=CD=275cm，

，

，

，

，

，

，

.

故答案为：.

【分析】延长EP，交CD于D点，推出，解，求出DK，进而得到BE和AG，最后解得到GM的长.

13．【答案】；或

【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题

【解析】【解答】解：作AE⊥PC于E，作OF⊥AE于F，

易得四边形OCEF是矩形，，

∴，，

∴，

∴，，

∴，

∴；

如图，连接AC，

∵，，

∴，

∵，

∴，

当从座舱A观测座舱B的俯角为45°时，分两种情况，

①当A在B的左侧时，如图，MF为水平线，延长PA交MF于F，A移动到A1处，B移动到了B1处，，

由旋转不变性知，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴从A移动到A1处，用了（周），

∴经过了（分钟）；

②当A在B的右侧时，如图，MF为水平线，延长PA交MF于G，A移动到A2处，B移动到了B2处，，

由旋转不变性知，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴从A移动到A2处，用了（周），

∴经过了（分钟）；

综上，当从座舱A观测座舱B的俯角为45°时，经过了或分钟.

故答案为：；或.

【分析】过点A作AE⊥PC于点E，过点O作OF⊥AE于点F，易得四边形OCEF是矩形，由矩形的性质得OF∥CE，OF=CE，由二直线平行，同位角相等得∠AOF=∠APC=30°，进而根据∠AOF的余弦函数可求出OF，由∠APC的正切函数可求出PE，进而由PC=PE-CE计算即可；连接AC，由三角形的内角和定理得∠POC=60°，由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半及等边对等角得∠OAB=∠OBA=30°；当从座舱A观测座舱B的俯角为45°时，分两种情况，①当A在B的左侧时，如图，MF为水平线，延长PA交MF于F，A移动到A1处，B移动到了B1处，∠FA1B1=45°，由旋转性质得∠OA1B1=45°，根据角的和差算出∠OA1F=75°，由平行线的性质得∠MFP=30°，根据三角形内角和定理得∠AOA1=75°，从而即可求出从A移动到A1处旋转的时间；②当A在B的右侧时，如图，MF为水平线，延长PA交MF于G，A移动到A2处，B移动到了B2处，得∠MA2B2=45°，由旋转性质得∠OA2B2=30°，由∠的和差算出∠MA2O的度数，进而根据平行线的性质得∠AGA2的度数，最后根据三角形外角性质可算出∠AOA2的度数，从而即可求出从A移动到A2处旋转的时间，综上即可得出答案.

14．【答案】解：如图，过作于，过作于，而，

则四边形是矩形，

∴，，

由题意可得：，，，，

∴，，

∴，

∴，

∴，

∴大楼的高度为．

【知识点】矩形的性质；解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题

【解析】【分析】过作于，过作于，而，先根据矩形的性质即可得到，，进而根据题意得到，，，，再根据解直角三角形的知识即可得到PH和AH的长，进而得到CQ和PQ，再根据即可求解。

15．【答案】解：延长，交于点G，过点B作于点F，如图所示：

则，

∵斜面的坡度为，

∴设，则，

在中，根据勾股定理得：，

即，

解得：，负值舍去，

即，

∵为水平方向，为竖直方向，

∴，

∵，

∴四边形为矩形，

∴，

∵，

∴在中，，

∵，

∴在中，，

∴．

答：古树的高度为．

【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题

【解析】【分析】根据题意利用勾股定理求出x=20，再求出四边形为矩形，最后利用矩形的性质和锐角三角函数计算求解即可。

16．【答案】（1）解：作，交的延长线于点，

则，

，，

，，

，，

米，

米，米，

米，

即的长为米；

（2）解：设水池的深为米，则米，

由题意可知：，米，

米，米，

，

，

解得，

即水池的深约为米．

【知识点】解直角三角形的应用

【解析】【分析】（1）过A作AF⊥BC，交CB的延长线于点F，由平行线的判定可得AF∥MN∥MN，由平行线的性质可得∠ABM=∠BAF，∠ACM=∠CAF，在RtABF中，由锐角三角函数tan∠BAF=可求得BF的值，同理在RtACF中，可求得CF的值；然后由线段的构成BC=CF-BF可求解；

（2）设水池的深为米，则米，在RtBND和RtCEN中，由锐角三角函数可求得DN和NE的值，根据线段的构成DN+DE=BC+NE可得关于x的方程，解方程可求解.

17．【答案】（1）解：过点B作于点G，

根据题意可得：，米，，

∵，，，

∴四边形为矩形，

∴米，

∵，，

∴，

∴，

∴米，

∵长为米，

∴（米），

答：教学楼的高度为米．

（2）解：连接并延长，交于点H，

∵米，米，

∴米，

∵米，，

∴，

∴，米，

∴（米），

∵无人机以米/秒的速度飞行，

∴离开视线的时间为：（秒），

答：无人机刚好离开视线的时间为12秒．

【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题

【解析】【分析】（1）根据题意先求出四边形为矩形，再利用矩形的性质求出米，最后利用锐角三角函数计算求解即可；

（2）先求出EG=24米，再利用锐角三角函数求出DH的值，最后计算求解即可。

18．【答案】（1）解：如图所示，过点O作于G，

∵固定点O为椅腿和的中点，，

∴，

∵，

∴，，

在中，，

∴，

∴，

∴坐垫的长为；

（2）解：如图所示，过点C作于H，

∵将绕点E顺时针旋转180°后与重合，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

在中，，

∴，，

∴，

∴，

∵在旋转过程中始终保持不变，

∴点F在以点E为圆心，以的长为半径的圆上运动，

∴当三点共线时，有最小值，此时点F与点重合，

∴，

∴点F到点C距离的最小值为．

【知识点】解直角三角形的应用；旋转的性质

【解析】【分析】（1）根据，求出，再求出即可；

（2）先证出点F在以点E为圆心，以的长为半径的圆上运动，当三点共线时，有最小值，此时点F与点重合，再求出，即可得到点F到点C距离的最小值为。

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一、选择题

1．（2023·绵阳模拟）图中的梯形ABCD是水坝的一个截面图，阴影部分是外坡面土方的部分．其中，，，，m，AD＝5m，则坝底外坡面土方的水平宽度BE长为（）

A．mB．mC．mD．m

【答案】B

【知识点】解直角三角形的应用

【解析】【解答】解：过点A作AF⊥BC于点F，

∵AD∥BC，∠C=90°，

∴∠C+∠D=180°，

∴∠D=90°，

∴四边形ADCF为矩形，

∴FC=AD=5，AF=CD.

∵∠B=45°，AB=，

∴AF=ABsin45°=，BF=ABcos45°=.

∵∠DEC=60°，CD=AF=，

∴CE==10，

∴BE=BC-CE=BF+CF-BC=-5.

故答案为：B.

【分析】过点A作AF⊥BC于点F，则四边形ADCF为矩形，FC=AD=5，AF=CD，利用三角函数的概念可得AF、BF、CE，然后根据BE=BC-CE=BF+CF-BC进行计算.

2．（2023·斗门模拟）某驱逐舰在海上执行任务后刚返回到港口A，接到上级指令，发现在其北偏东方向上有一艘可疑船只C，与此同时在港口A处北偏东方向上且距离处有另一艘驱逐舰B也收到了相关指令，驱逐舰B恰好在可疑船只C的南偏东的方向上，则可疑船只C距离港口A的距离为（）

A．B．C．D．

【答案】C

【知识点】解直角三角形的应用﹣方向角问题

【解析】【解答】解：∵在其北偏东方向上有一艘可疑船只C，与此同时在港口A处北偏东方向上且距离处有另一艘驱逐舰B也收到了相关指令，

∴∠CAB=60°-30°=30°，

∵驱逐舰B恰好在可疑船只C的南偏东的方向上，

∴∠ACB=30°+30°=60°，

∴∠ABC=180°-30°-60°=90°，

∵，AB=10km，

∴，

故答案为：C.

【分析】根据题意先求出∠CAB=30°，再求出∠ABC=90°，最后利用锐角三角函数计算求解即可。

3．（2023·柳州模拟）如图，某商场一楼与二楼之间的电梯示意图.∠ABC=150°，BC的长是8m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是（）

A．mB．mC．8mD．4m

【答案】D

【知识点】解直角三角形的应用

【解析】【解答】解：如图，过点C作CE⊥BC

∵∠ABC=150°

∴∠CBE=30°

∴

故答案为：D.

【分析】过点C作CE⊥BC，根据邻补角的性质可得∠CBE=30°，然后根据三角函数的概念进行计算.

4．（2023·南充模拟）数学兴趣小组利用无人机测量学校旗杆高度，已知无人机的飞行高度为37米，当无人机与旗杆的水平距离是45米时，观测旗杆顶部的俯角为，则旗杆的高度约为（）

A．米B．C．D．22.5米

【答案】B

【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题

【解析】【解答】解：设旗杆底部为点，顶部为点，无人机处为点，

延长，交点处的水平线于点，

由题意得，米，米，，

在中，，

解得，

米.

故答案为：B.

【分析】设旗杆底部为点，顶部为点，无人机处为点，延长，交点处的水平线于点，在中，由求出BD，利用AB=AD-BD即可求解.

5．（2023九下·永康月考）如图，某校教学楼与的水平间距，在教学楼的顶部点测得教学楼的顶部点的仰角为，测得教学楼的底部点的俯角为，则教学楼的高度是（）

A．B．

C．D．

【答案】A

【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题

【解析】【解答】解：过点作，垂足为，

由题意得：

米，

在中，，

米，

在中，，

米，

米，

故答案为：A.

【分析】过点C作CE⊥AB，垂足为E，由题意可得CE=BD=a米，根据三角函数的概念可得BE、AE，然后根据AB=AE+BE进行计算.

6．（2023·游仙模拟）年月日，神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，神舟十三号载人飞行任务收得圆满成功，中国航天，又站在了一个新的起点.如图年月日，神舟十三号载人飞船从地面处成功发射，当飞船到达点时，地面处的雷达站测得米，仰角为，秒后，飞船直线上升到达点处，此时地面处的雷达站测得处的仰角为.点，，在同一直线上，已知，两处相距米，则飞船从到处的平均速度为（）米秒.（结果精确到米；参考数据：，）

A．336B．335C．334D．333

【答案】B

【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题

【解析】【解答】解：依题意，，，米，，

在中，，

在中，，

∴，

∴飞船从到处的平均速度为米秒，

故答案为：C.

【分析】在Rt△AOD中，根据正弦函数的定义及特殊锐角三角函数值可求出OA的长，由余弦函数的定义及特殊锐角三角函数值可求出OD的长，由线段的和差算出OC，根据等腰三角形可得BO的长，进而根据AB=OB-OA算出AB的长，最后根据路程、速度、时间三者的关系即可算出答案.

7．（2023·秦皇岛模拟）如图，轮船在A处观测灯塔C位于北偏西方向上，轮船从A处以每小时40海里的速度沿南偏西方向匀速航行，1小时后到达码头B处，此时，观测灯塔C位于北偏西方向上，则下列说法正确的是（）

A．

B．点B到的距离为海里

C．海里

D．点B在点C的南偏东的方向上

【答案】C

【知识点】解直角三角形的应用﹣方向角问题

【解析】【解答】解：过B作于点D，如图所示：

由题意得，故A选项错；

∵，

∴在中，，

所以海里，故B选项错；

由图1可知，，所以D选项错；

∵，

∴海里，所以C选项符合题意；

故答案为：C．

【分析】过B作于点D，由方位角及角的和差求出∠CBA=75°，∠BAC=60°，在中，利用求出BD的长，据此判断A、B；利用平行线的性质可得∠1=25°，据此判断③；利用三角形内角和求出∠BAC的度数，利用求出BC的长，即可判断D.

8．（2022·章丘模拟）如图，在平行四边形OABC中，边OC在x轴上，点A（1，），点C（3，0）．按以下步骤作图：分别以点B，C为圆心，大于BC的长为半径作弧，两弧相交于E，F两点；作直线EF，交AB于点H；连接OH，则OH的长为（）

A．B．C．2D．2

【答案】B

【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理的应用；特殊角的三角函数值

【解析】【解答】解：延长BA交y轴于点M，则AM⊥y轴，如图所示：

∵点A（1，），

∴AM=1，OM=，

∵在Rt△AMO中，，

，

∴∠AOM=30°，

∴∠AOC=∠B=60°，

∵EF为BC的垂直平分线，BC=2，

∴BN=1，∠BHN=30°，

∴HB=2BN=2，

∵点C(3，0)，

∴OC=AB=3，

∴AH=ABBH=1，

∴MH=MA+AH=2，

∴在Rt△HMO中，，

故答案为：B．

【分析】延长BA交y轴于点M，则AM⊥y轴，利用特殊角的三角函数和平行四边形的性质求出∠B，进而求BH，根据B点、C点坐标和平行四边形对边长度相等可知H点坐标，最后用勾股定理求OH

二、填空题

9．（2023·岳阳）2023年岳阳举办以“跃马江湖”为主题的马拉松赛事．如图，某校数学兴趣小组在处用仪器测得赛场一宣传气球顶部处的仰角为，仪器与气球的水平距离为20米，且距地面高度为1.5米，则气球顶部离地面的高度是米（结果精确到0.1米，）．

【答案】9.5

【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题

【解析】【解答】解：由题意可得，四边形ABCD是矩形，

∴AB=CD=1.5m，AD=BC=20m，

∵AD=BC=20m，∠EAD=21.8°，

∴DE=AD·tan21.8°≈20x0.4000=8(m)，

∴CE=CD+DE=1.5+8=9.5(m)，

即气球顶部离地面的高度EC是9.5m，

故答案为：9.5.

【分析】根据矩形的性质先求出AB=CD=1.5m，AD=BC=20m，再利用锐角三角函数计算求解即可。

10．（2023八下·中山期中）如图，供给船要给C岛运送物资，从海岸线AB的港口A出发向北偏东40°方向直线航行60nmile到达C岛．测得海岸线上的港口B在C岛南偏东50°方向．若A，B两港口之间的距离为65nmile，则C岛到港口B的距离是nmile．

【答案】25

【知识点】解直角三角形的应用﹣方向角问题

【解析】【解答】解：过点A作AD⊥CD于点D，

由题意可得∠CAD=90°-40°=50°，

∴∠ACD=90°-∠CAD=40°，

∴∠ACB=40°+50°=90°.

∵AC=60，AB=65，

∴BC==25.

故答案为：25.

【分析】过点A作AD⊥CD于点D，由题意可得∠CAD=90°-40°=50°，则∠ACD=90°-∠CAD=40°，∠ACB=40°+50°=90°，然后利用勾股定理进行计算.

11．如图1是一个消防云梯，其示意图如图2所示，此消防云梯由救援台AB，延展臂BC（B在C的左侧），伸展主臂CD，支撑臂EF构成.在操作过程中，救援台AB，车身GH及地面MN三者始终保持平行，

（1）当∠EFH＝55°，BC∥EF时，∠ABC＝度；

（2）如图3为了参与另一项高空救援工作，需要进行调整，使得延展臂BC与支撑臂EF

所在直线互相垂直，且∠EFH＝78°，此时∠ABC＝度．

【答案】（1）125

（2）168

【知识点】解直角三角形的应用

【解析】【解答】解：（1）如图，分别延长CB、HG相交于点K，

∵BC∥EF，∠EFH＝55°，∴∠BKH=∠EFH＝55°，

∵AB∥GH，∴∠ABK=∠BKH＝55°，

∵∠ABK+∠ABC=180°，

∴∠ABC=125°；

故答案为：125.

（2）如图，分别延长BC、FE交于点P，分别延长AB交FE的延长线于点Q，∴BP⊥EP，即∠BPQ=90°，

∵AB∥FH，∠EFH=78°，∴∠Q=∠EFH=78°，

∴∠ABC=∠Q+∠BPQ=78°+90°=168°；

故答案为：168.

【分析】（1）分别延长CB、HG相交于点K，由平行线的性质可得∠BKH=∠EFH＝55°，∠ABK=∠BKH＝55°，利用邻补角的定义即可求出∠ABC的度数；

（2）分别延长BC、FE交于点P，分别延长AB交FE的延长线于点Q，则∠BPQ=90°，由平行线的性质可得∠Q=∠EFH=78°，根据三角形外角的性质得∠ABC=∠Q+∠BPQ，继而得解.

12．（2023八上·绍兴月考）如(图1)，某学校楼梯墙面上悬挂了四幅全等的正方形画框，画框下边缘与水平地面平行．如(图2)，画框的左上角顶点，，，都在直线上，且，楼梯装饰线条所在直线，延长画框的边，得到平行四边形ABCD．若直线恰好经过点，，，，则正方形画框的边长为

【答案】

【知识点】平行四边形的判定与性质；解直角三角形的应用

【解析】【解答】如图，延长EP，交CD于D点，

，

四边形BCKE是平行四边形，

BE=CK，BC=EK，

BH=EP，

，

，四边形ABCD是平行四边形，

，AB=CD=275cm，

，

，

，

，

，

，

.

故答案为：.

【分析】延长EP，交CD于D点，推出，解，求出DK，进而得到BE和AG，最后解得到GM的长.

13．（2023九下·衢江月考）衢州儿童公园有摩天轮，水上乐园等娱乐设施，其中的摩天轮半径为20米，水上乐园的最高处到地面的距离为32米；如图，当摩天轮的座舱A旋转至与水上乐园最高处高度相同时，地面某观测点P与座舱A，摩天轮圆心O恰好在同一条直线上，此时测得，则的距离为米；此时另一座舱B位于摩天轮最低点，摩天轮旋转一周要12分钟，若摩天轮继续逆时针旋转一周，当从座舱A观测座舱B的俯角为45°时，经过了分钟.

【答案】；或

【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题

【解析】【解答】解：作AE⊥PC于E，作OF⊥AE于F，

易得四边形OCEF是矩形，，

∴，，

∴，

∴，，

∴，

∴；

如图，连接AC，

∵，，

∴，

∵，

∴，

当从座舱A观测座舱B的俯角为45°时，分两种情况，

①当A在B的左侧时，如图，MF为水平线，延长PA交MF于F，A移动到A1处，B移动到了B1处，，

由旋转不变性知，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴从A移动到A1处，用了（周），

∴经过了（分钟）；

②当A在B的右侧时，如图，MF为水平线，延长PA交MF于G，A移动到A2处，B移动到了B2处，，

由旋转不变性知，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴从A移动到A2处，用了（周），

∴经过了（分钟）；

综上，当从座舱A观测座舱B的俯角为45°时，经过了或分钟.

故答案为：；或.

【分析】过点A作AE⊥PC于点E，过点O作OF⊥AE于点F，易得四边形OCEF是矩形，由矩形的性质得OF∥CE，OF=CE，由二直线平行，同位角相等得∠AOF=∠APC=30°，进而根据∠AOF的余弦函数可求出OF，由∠APC的正切函数可求出PE，进而由PC=PE-CE计算即可；连接AC，由三角形的内角和定理得∠POC=60°，由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半及等边对等角得∠OAB=∠OBA=30°；当从座舱A观测座舱B的俯角为45°时，分两种情况，①当A在B的左侧时，如图，MF为水平线，延长PA交MF于F，A移动到A1处，B移动到了B1处，∠FA1B1=45°，由旋转性质得∠OA1B1=45°，根据角的和差算出∠OA1F=75°，由平行线的性质得∠MFP=30°，根据三角形内角和定理得∠AOA1=75°，从而即可求出从A移动到A1处旋转的时间；②当A在B的右侧时，如图，MF为水平线，延长PA交MF于G，A移动到A2处，B移动到了B2处，得∠MA2B2=45°，由旋转性质得∠OA2B2=30°，由∠的和差算出∠MA2O的度数，进而根据平行线的性质得∠AGA2的度数，最后根据三角形外角性质可算出∠AOA2的度数，从而即可求出从A移动到A2处旋转的时间，综上即可得出答案.

三、解答题

14．（2023·菏泽）无人机在实际生活中的应用广泛，如图所示，某人利用无人机测最大楼的高度，无人机在空中点P处，测得点P距地面上A点80米，点A处俯角为，楼顶C点处的俯角为，已知点A与大楼的距离为70米（点A，B，C，P在同一平面内），求大楼的高度（结果保留根号）

【答案】解：如图，过作于，过作于，而，

则四边形是矩形，

∴，，

由题意可得：，，，，

∴，，

∴，

∴，

∴，

∴大楼的高度为．

【知识点】矩形的性质；解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题

【解析】【分析】过作于，过作于，而，先根据矩形的性质即可得到，，进而根据题意得到，，，，再根据解直角三角形的知识即可得到PH和AH的长，进而得到CQ和PQ，再根据即可求解。

15．（2023·泸州）如图，某数学兴趣小组为了测量古树的高度，采用了如下的方法：先从与古树底端在同一水平线上的点A出发，沿斜面坡度为的斜坡前进到达点，再沿水平方向继续前进一段距离后到达点．在点处测得古树的顶端的俯角为，底部的俯角为，求古树的高度（参考数据：，，，计算结果用根号表示，不取近似值）．

【答案】解：延长，交于点G，过点B作于点F，如图所示：

则，

∵斜面的坡度为，

∴设，则，

在中，根据勾股定理得：，

即，

解得：，负值舍去，

即，

∵为水平方向，为竖直方向，

∴，

∵，

∴四边形为矩形，

∴，

∵，

∴在中，，

∵，

∴在中，，

∴．

答：古树的高度为