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5-3频域稳定判据引言稳定性是系统最主要性能指标之一。线性系统稳定充要条件：特征方程全部根均含有负实部。1932年，H.Nyquist提出频域稳定判据

——乃奎斯特判据theNyquistCriterion

（开环

闭环）1/36特征方程开环零极点(闭环)稳定性线性系统稳定判据Root-locusRouth-HurwitzNyquistCriterion开环频率特征2/36知识点：

1、复变函数F(s)选择

2、s平面闭合曲线（D围线）Г选择

3、F(s)闭合曲线ГF绘制

4、闭合曲线ГF包围原点圈数R计算

5、乃氏判据

6、应用乃氏判据判断系统稳定性

难点：

应用乃氏判据判断系统稳定性网上资源

/wiki/Stability_criterion

/mastascu/eco

ntrolhtml/Freq/Nyquist2.html3/36js-planejF(s)-planeF(s)=2s+1设s平面闭合曲线Г包围F(s)Z个零点和P个极点，且不经过F(s)零点或极点，则s沿Γ顺时针运动一周时，在F(s)平面上，闭合曲线ГF包围原点圈数为：R=P-Z

幅角原理ABCD-1-jj12j-2j-13ABCD14/36

R(s)C(s)G(s)H(s)假设：系统开环传递函数为：系统闭环传递函数为：5/36F(s)=1+G(s)H(s)含有以下特点：

1）F(s)零点为闭环传递函数极点，极点为开环传递函数极点；2）因为开环传递函数分母多项式阶次普通大于或等于分子多项式阶次，故F(s)零点和极点数相同；

3）s沿闭合曲线Г运动一周所映射两条闭合曲线ГF和ГGH只相差常数1，即闭合曲线ГF可由ГGH沿实轴正方向平移一个单位长度取得。

6/36换言之，ГF包围原点圈数=ГGH包围(-1,j0)圈数7/36稳定充要条件：s右半平面闭环极点数=0ГFj闭环极点开环极点R=P-ZZ=P-R8/36反馈控制系统稳定充分必要条件是：闭合曲线ГGH不穿过(-1,j0)点且逆时针包围(-1,j0)点圈数R等于开环传递函数正实部极点数P。奈奎斯特稳定判据即，1+G(s)H(s)=0落在s右半平面极点数Z=P-R=0?问题一：怎样绘制ГGH?问题二：怎样计算R值9/36s平面闭合曲线Γ选择A.F(s)无虚轴极点情形B.F(s)有虚轴极点情形1.s=jω(ω=0+∞)2.s=∞ejθ(θ∈[-90°,90°]）3.s=jω(ω=-∞0)积分步骤等幅振荡步骤1.除了在原点或奇点外与左图相同2.s=εejθ（θ∈[-90°,90°

]）3.(ω=-∞0)10/36ГGH即为闭合曲线Γ经过G(s)H(s)映射得到闭合曲线，因为Γ关于实轴对称，鉴于G(s)H(s)为实系数有理分式函数，故ГGH也关于实轴对称，即只需绘制半闭合曲线。ГGH（ГF）绘制11/36ГGH绘制—无虚轴极点情形s=jω(ω=0+∞)s=∞ejθ(θ∈[-90°,90°]对应于开环幅相曲线绘制方法见第五章第二节对应于原点或实轴上一点12/36例：13/36ГGH绘制—有虚轴极点情形s=εejθ，θ∈[0,90°

]

，θ∈[-90°,90°

]映射同前先绘制ω：0+

∞对应ГGH，再补作ω：0

0+(ωn-

ωn+)对应ГGH从ω=0+处逆时针补作γ*90圆弧从ω=ωn-处顺时针补作γ'*180圆弧14/36例15/36例16/36闭合曲线ГF包围原点圈数R计算

——ГGH包围(-1,j0)圈数R基本方法：数ГGH全闭合曲线包围（-1,j0）圈数方法二：对ГGH半闭合曲线，设N为穿越（-1,j0）点左侧负实轴次数，N+表示正穿越次数和（从上向下穿越）,N-表示负穿越次数和（从下向上穿越），则R=2N=2(N+-N-)

注：当ГGH半闭合曲线起始于或终止于（-1，j0）点左侧实轴上，则计算1/2个穿越次数。17/36包围圈数举例

R=2N=2(N+-N-)（图a）

（图b）（图c）（图d）（图e）18/36例某反馈控制系统开环传递函数为其中K>0,T>0。试判别该闭环系统稳定性。19/36例已知系统开环传递函数为试分析时系统稳定性，并画出它们所对应乃氏图。解：系统开环频率特征为

20/36作出在二种情况下曲线，以下列图所表示。21/36因为P＝0，当时，曲线不包围点（-1，j0），因而闭环系统是稳定；当时，曲线以顺时针方向包围点（-1，j0）旋转二周，这意味着有两个闭环极点位于s右半平面上，该闭环系统不稳定。

22/36例已知单位反馈系统开环幅相曲线如图所表示，试确定系统闭环稳定时K值范围。解:如图所表示，开环幅相曲线与负实轴有三个交点，设交点处穿越频率分别为，23/36系统开环传函由题设条件知，和当取时若令，可得对应K值24/36例已知系统开环传递函数为

试用乃氏稳定判据判别该闭环系统稳定性。解：因为开环传递函数在坐标原点处有重极点，由上述讨论可知，逆时针围绕原点半径为半圆在GH平面上映射曲线为二分之一径无穷大圆，它与乃氏曲线相连接后闭合曲线以下张图所表示。25/36由图可见，不论K值大小怎样，乃氏曲线总是以顺时针方向围绕点（-1，j0）旋转两周，即R＝-2。因为开环系统P＝0，所以Z＝2，表示该闭环系统总是不稳定,且其在s右半平面上有2个极点。乃氏图

26/365.4稳定裕度Routh判据和Nyquist判据给出系统绝对稳定信息，但稳定程度怎样，离不稳定边缘还有多远？——相对稳定性系统参数改变，从而有可能破坏系统稳定性。系统相对稳定性···27/36所以在选择元件和确定系统参数时，不但要考虑系统稳定性，还要求系统有一定稳定程度，这就是所谓自动控制系统相对稳定性问题。通惯用稳定裕度来衡量系统相对稳定性或系统稳定程度，其中包含系统相角裕度和幅值裕度。频域稳定裕度28/36

GH平面上单位圆与系统开环频率特征曲线交点频率

称为截止频率，它满足1.相角裕度相角裕度()——截止频率所对应相移与－1800

角差值29/36相角裕度含义

使系统到达临界稳定状态时开环频率特征相角减小（对应稳定系统）或增加（对应不稳定系统）数值。30/36幅值裕度(h)相位穿越频率所对应开环幅频特征倒数值，即把系统开环频率特征曲线与GH平面负实轴交点频率称为穿越频率

，它应满足：2.

幅值裕度31/36幅值裕度含义使系统抵达临界稳定状态时开环频率特征幅值增大（对应稳定系统）或缩小（对应不稳定系统）倍数。h>1<1=1稳定性稳不稳临界32/36系统开环频率特征为其幅频特征和相频特征分别是相角裕度和幅值裕度求解方法通常有三种