数学物理方程的导出省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件

第二篇数学物理方程陈尚达材料与光电物理学院第1页本篇主要内容：二阶线性偏微分方程建立和求解重点：数学物理方程求解方法中分离变量法。特点：加强物理模型和数学物理思想介绍，方便充分了解模型物理意义，有利于依据数学物理模型建立数学物理方程。

第2页第二篇绪论数学物理思想数学物理方程（简称数理方程）是指从物理学及其它各门自然科学、技术科学中所导出函数方程，主要指偏微分方程和积分方程。数学物理方程所研究内容和所包括领域十分广泛，它深刻地描绘了自然界中许多物理现象和普遍规律。第3页在科学技术和生产实际中，经常要研究空间连续分布各种物理场状态和物理过程，比如电磁波在空间和时间中改变，半导体扩散工艺中杂质浓度在硅片中分布和随时间改变关系等等。总之，是研究某个物理量在空间某个区域分布以及它怎样随时间改变。其中自变数不但仅是时间，而且还必须包含空间坐标。处理这些问题，首先必须掌握所研究物理量在空间中分布规律和时间中改变规律，这就是物理课题中所研究并加以讨论物理规律。物理规律反应同一物理现象共同规律，即普遍性，亦即共性。第4页个性：同一类物理现象中，各个详细问题又各有其特殊性，即个性。物理规律不反应这种个性。

比如，半导体扩散工艺中，有“恒定表面浓度扩散”和“限定源扩散”。前者是表面杂质浓度一定，后者是杂质总量一定，虽扩散规律一样，但其结果显然不一样。又如电磁波在空间传输。所以，为处理详细问题，必须考虑“环境”影响，即边界所处物理情况——边界条件。第5页同时，研究问题还不能割断历史。

比如同一根琴弦，用不一样东西去敲，发出声音是不一样。即使其振动是按照同一规律进行，不过因为所谓“初始”时刻振动是不一样，故以后振动也不一样。又如，不一样初始浓度硅片杂质扩散，在相同工艺条件下，其扩散结果也是不一样。故还必须考虑研究对象特定“历史”，即初始时刻状态——初始条件。第6页边界条件和初始条件反应了详细问题特定环境和历史，即问题特殊性。在数学上，边界条件和初始条件合称为定解条件。物理规律用数学语言“翻译”出来，往往是偏微分方程——数学物理方程。数学物理方程，作为同一类物理现象共性，跟详细条件无关。在数学上，数学物理方程本身（不连带定解条件）叫作泛定方程。第7页声振动是研究声源与声波场之间关系热传导是研究热源与温度场之间关系泊松（S.D.Poisson1781～1840，法国数学家）方程表示是电势（或电场）和电荷分布之间关系定解问题从物理规律角度来分析，数学物理定解问题表征是场和产生这种场源之间关系．第8页依据分析问题不一样出发点，把数学物理问题分为正向问题和逆向问题.不一样出发点

正向问题，即为已知源求场

逆向问题，即为已知场求源.

前者是经典数学物理所讨论主要内容。后者是高等数学物理（或称为当代数学物理）所讨论主要内容。第9页多数为二阶线性偏微分方程振动与波（振动波，电磁波）传输满足波动方程热传导问题和扩散问题满足热传导方程静电场和引力势满足拉普拉斯方程或泊松方程数学物理方程类型和所描述物理规律第10页三类经典数学物理方程三类经典数学物理方程双曲型方程波动方程为代表抛物型方程热传导方程为代表椭圆型方程泊松方程为代表退化为拉普拉斯方程第11页第七章数学物理定解问题1、数学物理方程导出2、定解条件3、数学物理方程分类4、达朗贝尔公式第12页7.1.1波动方程建立1、弦微小横振动考查一根长为且两端固定、水平拉紧弦．讨论怎样将这一物理问题转化为数学上定解问题．要确定弦运动方程，需要明确：确定弦运动方程（2）被研究物理量遵照哪些物理定理？牛顿第二定律

（3）按物理定理写出数学物理方程（即建立泛定方程）

要研究物理量是什么？弦沿垂直方向位移

7.1数学物理方程导出第13页注意：物理问题包括原因较多，往往还需要引入适当假设才能使方程简化。数学物理方程必须反应弦上任一位置上垂直位移所遵照普遍规律，所以考查点不能取在端点上，但能够取除端点之外任何位置作为考查点。图7.1第14页

依据牛顿第二定律方向运动方程能够描述为

作用于小段纵向协力应该为零：

(7.1.2)仅考虑微小横振动，

夹角为很小量，忽略及其以上高阶小量，则依据级数展开式有（7.1.1）

第15页注意到:故由图7.1得这么，(7.1.1)和(7.1.2)简化为(7.1.3)(7.1.4)第16页所以在微小横振动条件下，可得出

，弦中张力不随而变，

可记为

故有

(7.1.5)改变量能够取得很小，依据微分知识有下式成立

这么，段运动方程(7.1.5)就成为(7.1.6)第17页即为讨论：（1）设弦重量不能忽略不计，则弦振动方程为怎样形式？

（7.1.7）上式即为弦作微小横振动运动方程，简称为弦振动方程．

其中（7.1.8）

第18页(2)假如在弦单位长度上还有横向外力作用，则式(7.1.7)应该改写为

(7.1.9)式中称为力密度

，为时刻作用于处单位质量上横向外力式（7.1.9）称为弦受迫振动方程。第19页2、均匀杆纵振动（7.1.10）可得

（7.1.11）

这就是杆纵振动方程。图7.2从图轻易得到B段伸长为而相对伸长则为确切说，相对伸长随地点而异，B两端相对伸长不一样。依据胡克定理，B段运动方程为：第20页讨论(1)对于均匀杆，和是常数，(7.１.11）能够改写成（7.１.12）

其中这与弦振动方程（7.１.8）含有完全相同形式．（2）杆受迫振动方程跟弦受迫振动方程（7.１.9）完全一样，只是其中应是杆单位长度上单位横截面积所受纵向外力第21页第22页3*、传输线方程（电报方程）

（7.1.13）

同理可得：

(7.1.14)

式（7.1.13）及（7.1.14）即为普通传输线方程。图7.3第23页(1)无失真线

(7.1.15)

其中(2)无损耗线（7.1.16）

(7.1.17)

含有与振动方程类似数学形式，尽管它们物理本质根本不一样第24页(3)无漏导，无电感线（7.1.18）

(7.1.19)它们含有与下节将讨论一维热传导方程类似数学形式，尽管它们物理本质根本不一样．第25页7.1.2

热传导类型方程建立

1、热传导方程

第26页图7.3第27页或写成

(7.1.21)第28页第29页

2、扩散方程

(7.1.24)

其中将一维推广到三维，即得到

(7.1.25)上述方程与热传导方程含有完全类似形式

第30页若外界有扩散源，且扩散源强度为这时，扩散方程应为（7.1.26）

从上面推导可知，热传导和扩散这两种不一样物理现象，但能够用同一类方程来描述。第31页7.1.3静电场电势方程上两方程分别称为泊松方程和拉普拉斯方程。第32页2、稳定温度分布导热物体内热源分布和边界条件不随时间改变故热传导方程中对时间偏微分项为零，从而热传导方程（7.1.22)，(7.1.23)即为以下拉普拉斯方程和泊松方程.(7.1.29)(7.1.30)第33页总结三类经典数学物理方程双曲型方程波动方程为代表抛物型方程热传导方程为代表椭圆型方程泊松方程为代表退化为拉普拉斯方程第34页作业P1521,4（7.1.8）

推导不忽略重力时弦振动方程第35页7.2定解条件7.2.1初始条件对于伴随时间发展改变问题，必须考虑到研究对象特定“历史”，也就是某个所谓“初始”时刻状态，即初始条件。1、波动方程初始条件

第36页例7.2.1

一根长为弦，两端固定于和,在距离坐标原点为位置将弦沿着横向拉开距离

，如图7.4所表示，然后放手任其振动，试写出初始条件。

b

xuolh图7.4

解:初始时刻就是放手那一瞬间，按题意初始速度为零，即有初始位移如图所表示

第37页2、热传导方程初始条件对于输运过程（扩散，热传导），初始状态指是研究物理量初始分布（初始浓度分布、初始温度分布）。所以，初始条件为（7.2.2）

其中是已知函数。3、没有初始条件问题在周期性外源引发输运问题或周期性外力作用下振动问题中，经过很多周期后，初始条件引发自由运输或自由振动能够认为消失，这么就完全能够忽略初始条件影响，这类问题称为没有初始条件问题。稳定场问题（静电场、稳定浓度分布，稳定温度分布等）根本就不存在初始条件问题，无需多说。第38页7.2.2边界条件研究详细物理系统，还必须考虑研究对象所处特定“环境”，二周围环境影响通常表达为边界上物理情况，即边界条件。常见线性边界条件分为三类：第一类边界条件

直接要求了所研究物理量在边界上数值（7.2.3）

第39页第二类边界条件

要求了所研究物理量在边界外法线方向上方向导数数值（7.2.4）

第40页第三类边界条件

要求了所研究物理量及其外法向导数线性组合在边界上数值（7.2.5）

其中是时间已知函数，为常系数．

第41页第42页第43页7.2.3衔接条件因为一些原因，研究区域里出现跃变点，泛定方程在跃变点失去意义，把跃变点两边连接起来需要满足条件称为衔接条件。第44页例7.2.2长为弦在端固定，另一端自由，且在初始时刻时处于水平状态，初始速度为，且已知