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第2章

含糊聚类分析1/33§2.1含糊矩阵

定义1设R=(rij)m×n，若0≤rij≤1，则称R为含糊矩阵.

当rij只取0或1时，称R为布尔(Boole)矩阵.

当含糊方阵R

=(rij)n×n对角线上元素rii都为1时，称R为含糊自反矩阵.定义2设A=(aij)m×n,B=(bij)m×n都是含糊矩阵，相等：A

=B

aij=bij；包含：A≤B

aij≤bij；并：A∪B

=(aij∨bij)m×n；交：A∩B

=(aij∧bij)m×n；余：Ac

=(1-

aij)m×n.2/33含糊矩阵并、交、余运算性质幂等律：A∪A=A，A∩A=A；交换律：A∪B=B∪A，A∩B=B∩A；结合律：(A∪B)∪C=A∪(B∪C),

(A∩B)∩C=A∩(B∩C)；吸收律：A∪(A∩B)=A，A∩(A∪B)=A；

分配律：(A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C)；

(A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C)；0-1律：

A∪O=A，A∩O=O；

A∪E=E，A∩E=A；还原律：(Ac)c=A；对偶律：(A∪B)c=Ac∩Bc,

(A∩B)c=Ac∪Bc.3/33含糊矩阵合成运算与含糊方阵幂

设A

=(aik)m×s，B

=(bkj)s×n，定义含糊矩阵A与B合成为：A

°

B

=(cij)m×n，其中cij=∨{(aik∧bkj)|1≤k≤s}.含糊方阵幂

定义：若A为n阶方阵，定义A2

=A°

A，A3

=A2

°

A，…，Ak=Ak-1°

A.4/33合成(°

)运算性质：性质1：(A°

B)°

C=A°(B°C)；性质2：Ak

°

Al

=Ak+l，(Am)n=Amn；性质3：A°

(B∪C)=(A°

B)∪(A°

C)；

(B∪C)°

A=(B°

A)∪(C°

A)；性质4：O°A=A°O=O，I°A=A°I=A；性质5：A≤B，C≤D

A°

C≤B°

D.注：合成(°

)运算关于(∩)分配律不成立，即(A∩B)°

C(A°

C)∩(B°

C)5/33(A∩B)°

C(A°

C)∩(B°

C)(A∩B)°

C(A°

C)∩(B°

C)6/33含糊矩阵转置

定义设A=(aij)m×n,

称AT

=(aijT

)n×m为A转置矩阵，其中aijT

=aji.转置运算性质：性质1：(AT)T

=A；性质2：(A∪B)T

=AT∪BT，

(A∩B)T

=AT∩BT；性质3：(A°

B)T=BT

°

AT；(An)T=(AT)n；性质4：(Ac)T=(AT)c；性质5：A≤B

AT≤BT.7/33证实性质3：(A°

B)T=BT

°

AT；(An)T=(AT)n.证实：设A=(aij)m×s,B=(bij)s×n,A°B=C=(cij)m×n,

记(A°

B)T=(cijT

)n×m,AT

=(aijT

)s×m,

BT

=(bijT

)n×s,

由转置定义知,

cijT

=cji,aijT

=aji,bijT

=bji.

BT

°

AT=[∨(bikT∧akjT

)]n×m

=[∨(bki∧ajk)]n×m

=[∨(ajk∧bki)]n×m=(cji)n×m

=(cijT

)n×m=(A°

B)T.8/33含糊矩阵

-截矩阵

定义7设A=(aij)m×n,对任意

∈[0,1]，称A

=(aij(

))m×n,为含糊矩阵A

-截矩阵,其中

当aij≥

时，aij(

)=1；当aij＜

时，aij(

)=0.

显然，A

-截矩阵为布尔矩阵.

9/33对任意

∈[0,1]，有性质1：A≤B

A

≤B

；性质2：(A∪B)

=A

∪B

，(A∩B)

=A

∩B

；性质3：(A°

B)

=A

°

B

；性质4：(AT

)

=(A

)T.下面证实性质1：A≤B

A

≤B

和性质3.性质1证实：A≤B

aij≤bij；当

≤aij≤bij时，aij(

)=bij(

)=1；当aij＜

≤bij时，aij(

)=0,bij(

)=1；当aij≤bij＜

时，aij(

)=bij(

)=0；总而言之aij(

)≤bij(

)时，故A

≤B

.10/33性质3证实：设A=(aij)m×s,B=(bij)s×n,A°B=C=(cij)m×n,cij(

)=1

cij≥

∨(aik∧bkj)≥

k,(aik∧bkj)≥

k,aik≥

,bkj≥

k,aik(

)=bkj(

)=1∨(aik(

)∧bkj(

))=1cij(

)=0

cij＜

∨(aik∧bkj)＜

k,(aik∧bkj)＜

k,aik＜

或bkj＜

k,aik(

)=0或bkj(

)=0∨(aik(

)∧bkj(

))=0所以,cij(

)=∨(aik(

)∧bkj(

)).(A°

B)

=A

°

B

.11/33§2.2含糊关系与含糊子集是经典集合推广一样，含糊关系是普通关系推广.

设有论域X，Y，X

Y一个含糊子集R称为从X到Y含糊关系.

含糊子集R隶属函数为映射R:X

Y[0,1].并称隶属度R(x,y)为

(x,y)关于含糊关系R相关程度.

尤其地，当X=Y时，称之为X上各元素之间含糊关系.12/33含糊关系运算

因为含糊关系R就是X

Y一个含糊子集，所以含糊关系一样含有含糊子集运算及性质.设R，R1，R2均为从X到Y含糊关系.相等：R1=R2

R1(x,y)=

R2(x,y)；包含：R1

R2

R1(x,y)≤R2(x,y)；并：R1∪R2隶属函数为(R1∪R2)(x,y)=R1(x,y)∨R2(x,y)；交：R1∩R2隶属函数为(R1∩R2)(x,y)=R1(x,y)∧R2(x,y)；余：Rc隶属函数为Rc(x,y)=1-

R(x,y).13/33

(R1∪R2)(x,y)表示(x,y)对含糊关系“R1或者R2”相关程度，(R1∩R2)(x,y)表示(x,y)对含糊关系“R1且R2”相关程度，Rc(x,y)表示(x,y)对含糊关系“非R”相关程度.含糊关系矩阵表示对于有限论域

X={x1,x2,…,xm}和Y={y1,y2,…,yn}，则X到Y含糊关系R可用m×n阶含糊矩阵表示，即R=(rij)m×n，其中rij=R(xi,yj)∈[0,1]表示(xi,yj)关于含糊关系R相关程度.

又若R为布尔矩阵时,则关系R为普通关系,即xi与

yj之间要么相关系(rij=1),要么没相关系(rij=0).14/33例设身高论域X={140,150,160,170,180}(单位：cm),体重论域Y={40,50,60,70,80}(单位：kg),下表给出了身高与体重含糊关系.405060708014010.80.20.101500.810.80.20.11600.20.810.80.21700.10.20.810.818000.10.20.8115/33含糊关系合成

设R1是X到Y关系,R2是Y到Z关系,则R1与R2合成R1°

R2是X到Z上一个关系.(R1°R2)(x,z)=∨{[R1(x,y)∧R2(y,z)]|y∈Y}

当论域为有限时，含糊关系合成化为含糊矩阵合成.

设X={x1,x2,…,xm},Y={y1,y2,…,ys},Z={z1,z2,…,zn}，且X到Y含糊关系R1=(aik)m×s，Y到Z含糊关系R2=(bkj)s×n，则X到Z含糊关系可表示为含糊矩阵合成：R1°

R2=(cij)m×n，其中cij=∨{(aik∧bkj)|1≤k≤s}.16/33含糊关系合成运算性质性质1：(A°B)°

C=A°(B°C)；性质2：A°

(B∪C)

=(A°

B)∪(A°

C)；

(B∪C)°

A=(B°

A)∪(C°

A)；性质3：(A°

B)T=BT

°

AT；性质4：A

B，C

D

A°C

B°D.注：(1)合成(°

)运算关于(∩)分配律不成立,即(A∩B)°

C(A°

C)∩(B°

C)

(2)这些性质在有限论域情况下,就是含糊矩阵合成运算性质.17/33§2.3含糊等价矩阵含糊等价关系若含糊关系R是X上各元素之间含糊关系，且满足：(1)自反性：R(x,x)=1；(2)对称性：R(x,y)=R(y,x)；(3)传递性：R2

R,

则称含糊关系R是X上一个含糊等价关系.

当论域X={x1,x2,…,xn}为有限时,X上一个含糊等价关系R就是含糊等价矩阵,即R满足：I≤R

(

rii=1

)RT=R(

rij=rji)R2≤R.R2≤R(

∨{(rik∧rkj)|1≤k≤n}≤rij).18/33含糊等价矩阵基本定理

定理1

若R含有自反性(I≤R)和传递性(R2≤R),则R2=R.

定理2

若R是含糊等价矩阵,则对任意

∈[0,1]，R

是等价Boole矩阵.

∈[0,1]，A≤B

A

≤B

；(A°B)

=A

°B

；(AT

)

=(A

)T证实以下：(1)自反性：I≤R

∈[0,1]，I

≤R

∈[0,1]，I

≤R

，即R

含有自反性；(2)对称性：RT=R

(RT)

=R

(R

)T=R

，即R

含有对称性；(3)传递性：R2≤R

(R

)2≤R

，即R

含有传递性.19/33

定理3

若R是含糊等价矩阵,则对任意0≤

＜

≤1,R

所决定分类中每一个类是R

决定分类中某个类子类.

证实：对于论域X={x1,x2,…,xn}，若xi,xj按R

分在一类，则有rij(

)=1

rij≥

rij≥

rij(

)=1，即若xi,xj按R

也分在一类.

所以，R

所决定分类中每一个类是R

决定分类中某个类子类.20/33含糊相同关系

若含糊关系R是X上各元素之间含糊关系，且满足：

(1)自反性：R(x,x)

=1；

(2)对称性：R(x,y)=R(y,x)；则称含糊关系R是X上一个含糊相同关系.当论域X={x1,x2,…,xn}为有限时，X上一个含糊相同关系R就是含糊相同矩阵，即R满足：

(1)自反性：I≤R

(

rii=1

)；

(2)对称性：RT=R

(

rij=rji

).21/33含糊相同矩阵性质

定理1

若R是含糊相同矩阵，则对任意自然数k，Rk也是含糊相同矩阵.

定理2

若R是n阶含糊相同矩阵，则存在一个最小自然数k(k≤n)，对于一切大于k自然数l，恒有Rl=Rk，即Rk是含糊等价矩阵(R2k=Rk).此时称Rk为R传递闭包，记作t(R)=Rk.

上述定理表明，任一个含糊相同矩阵可诱导出一个含糊等价矩阵.平方法求传递闭包t(R)：R

R2

R4

R8

R16…22/33§2.4含糊聚类分析数据标准化设论域X={x1,x2,…,xn}为被分类对象,每个对象又由m个指标表示其形状:xi

={xi1,xi2,…,xim},i=1,2,…,n于是,得到原始数据矩阵为23/33平移•标准差变换其中平移•极差变换24/33含糊相同矩阵建立方法相同系数法----夹角余弦法2