专题01集合及集合间的关系（原卷版）

20232024高一数学必修第一册20232024高一数学必修第一册专题01集合的概念及集合间的基本关系专题01集合的概念及集合间的基本关系№考向解读➊考点精析➋真题精讲➌题型突破➍专题精练第一章集合与常用逻辑用语专题01集合的概念及集合间的基本关系→➊考点精析←1元素与集合的概念一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合(或集)，构成集合的每个对象叫做这个集合的元素(或成员).2集合的元素特征①确定性：给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了.

②互异性：一个集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重复出现的.

③无序性：集合中的元素无顺序，可以任意排列、调换.3元素与集合的关系若a是集合A的元素，则称a属于集合A，记作a∈A；

若a不是集合A的元素，则称a不属于集合A，记作a∉A.

4常用数集

自然数集(或非负整数集)，记作N；正整数集，记作N*有理数集，记作Q；实数集，记作R. 5集合的分类有限集，无限集，空集∅.6集合的表示方法①列举法

把集合中的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫列举法.②描述法

用集合所含元素的共同特征表示集合的方法，称为描述法.

方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.

一般格式：{x∈A|p(x)}.

用符号描述法表示集合时应注意：

(1)弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)是数还是点、还是集合、还是其他形式？

①概念

对于两个集合A，B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A是集合B的子集(subset).

记作：A⊆B(或B⊇A)，读作：A包含于B，或B包含A.

当集合A不包含于集合B②Venn图

8真子集概念：若集合A⊆B，但存在元素x∈B且x∉A，则称集合A是集合B的真子集.

记作：A⊂B(或B⊃A)

类比⊆与⊂的关系就好比≤与小于<的关系，"≤"是小于或等于，"⊆"是真包含或相等9集合相等如果A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，则集合A与集合B相等．即A⊆B且10几个结论①空集是任何集合的子集：∅⊆A；

②空集是任何非空集合的真子集；

③任何一个集合是它本身的子集；

④对于集合A,B,C，如果A⊆B且B⊆C，那么A⊆C→➋真题精讲←1.（2023新课标Ⅱ卷）设集合，，若，则（）．A.2 B.1 C. D.【答案】B【解析】【分析】根据包含关系分和两种情况讨论，运算求解即可.【详解】因为，则有：若，解得，此时，，不符合题意；若，解得，此时，，符合题意；综上所述：.故选：B.2．（2023•上海）已知，，，，若，，则A． B． C． D．，2，【解析】，，，，，，．故选：．→➌题型突破←题型一、集合定义1.下列各组对象能构成集合的是()A．充分接近的所有实数 B．所有的正方形C．著名的数学家 D．1，2，3，3，4，4，4，4【答案】B【解析】选项A、C不满足集合的确定性；集合故能构成集合；选项D不满足集合的互异性．故选：B．2.下列说法正确的是()

A.某个村子里的高个子组成一个集合；

B.所有小的正数组成的集合；

C.集合{1,2,3,4,5}和{5,4,3,2,1}表示同一个集合；

D.1,0.5,12,【解析】由于“高个子”、“小的”没有一个明确的标准，A,B的对象不具备确定性；D中的0.5,12,14集合具有无序性，所以C是正确的；故选C.【点拨】本题考核集合元素的三要素.3.用列举法表示集合A={6x-2∈Z|x∈N}=【解析】根据x∈N，且6x-2x=0时，6x-2=-3；x=1时，x=4时，6x-2=3；x=5时，6∴A={－【点拨】①看集合先确定元素类型(本题中元素是“6x-2”，而不是②集合若能化简先化简，用最简洁的形式表示能让我们更好理解集合.题型二、利用集合的定义求参数的值4.若集合A={x|ax2+2x+1=0,a∈R}至多有一个元素，则a【解析】∵集合A={x|ax∴a=0或a≠0△=4-4a≤0，解得a=0∴a的取值范围是{a|a=0或【点拨】注意二次项系数是否等于0，先确认函数类型.5.若集合A={x|kx2+4x+4=0,x∈R}中只有一个元素，则实数k的值为【答案】0或1【解析】由集合A={x|kx当k=0时，4x+4=0，即当k≠0时，△=16-4•k•4=0，解得k=1．综上，k=0或16.（2020·黑龙江哈尔滨·高三月考（理））已知集合，，若，则等于（）A．1或2 B．或 C．2 D．1【答案】C【解析】因为，所以，解得或.当时，，与集合元素互异性矛盾，故不正确.经检验可知符合.故选：C7．（2020·四川成都·石室中学月考）其，则由的值构成的集合是（）A． B． C． D．【解析】，当，即时，，集合中有相同元素，舍去；当，即（舍）或时，，符合，故由的值构成的集合是.故选：D8．（2020·泊头市第一中学高一月考）若，则a=（）A． B．0 C．1 D．0或1【解析】因为，所以有或.当时，解得或，当时，，不符合集合元素的互异性，故舍去，所以.当时，解得，由上可知舍去，综上：.故选：C题型三、集合的表示方法10.用列举法表示集合A={6x-2∈Z|x∈N}=【解析】根据x∈N，且6x-2x=0时，6x-2=-3；x=1时，x=4时，6x-2=3；x=5时，6∴A={－【点拨】①看集合先确定元素类型(本题中元素是“6x-2”，而不是②集合若能化简先化简，用最简洁的形式表示能让我们更好理解集合.11.点的集合M={(x,y)|xy≥0}是指()A．第一象限内的点集B．第三象限内的点集C．第一、第三象限内的点集D．不在第二、第四象限内的点集【答案】D【解析】xy≥0指x和y同号或至少一个为零，故为第一或第三象限内的点或坐标轴上的点．故选D12.用列举法表示集合{m|m-23∈N,m∈N,m≤10}=【答案】{2,5,8}．【解析】根据题意，∵m∈N,m≤10，∴m-2≤8,又因m-23∈N，∴(m-2)∈N，且是∴m-2=0或3或6，∴m=2或5或8，∴集合{m|m-2故答案为：{2,5,8}．13.用列举法表示下列集合(1)11以内偶数的集合；(2)方程(x+1)(x(3)一次函数y=2x与y=x+1的图象的交点组成的集合．【解析】(1){2,4,6,8,10}；(2)解方程(x+1)(x2-故方程(x+1)(x2-(3)解方程组&y=2x&y=x+1得&x=1因此一次函数y=2x与y=x+1的图象的交点为(1,2)，故所求的集合为{(1,2)}．题型四、元素与集合的关系14.设集合A={2,1-a,a2-a+2}，若4∈A，则a=【解析】∵4∈A∴1-a=4或a2-i若1-a=4，则a=-3，此时(ii)若a2-a+2=4，a=2时，此时1-a=-1，∴A={2,-1,4}a=-1时，此时1-a=2，则A={2,2,4}不符合集合的"互异性”，故a≠-1综上a=-3或2．【点拨】本题考核集合元素的特征和元素与集合的关系；当a=-1时，1-a=2，此时A={2,2,4}不符合集合的"互异性”，故故求出集合后最好做下检查.16.已知含有三个实数的集合既可表示成{a,ba,1}，又可表示成{a2,a+b,0}【答案】-【解析】根据题意，由{a,ba,1}={a2又由ba的意义，则a≠0，必有b则{a,0,1}={a则有a2=1，即集合{a,0,1}中，a≠1，则a故答案为：-题型五、利用元素与集合的关系求参数的值或取值范围17.已知x,y,z为非零实数，代数式x|x|+y|y|+z|z|A．4∈M B．2∈M C．0∉M D．-【答案】A【解析】根据题意，分4种情况讨论；①、x、y、z全部为负数时，则②、x、y、z中有一个为负数时，则③、x、y、z中有两个为负数时，则④、x、y、z全部为正数时，则则M={4,-4,0}；分析选项可得A符合．18.已知含有三个实数的集合既可表示成{a,ba,1}，又可表示成{a2,a+b,0}，【答案】-【解析】根据题意，由{a,ba,1}={a2又由ba的意义，则a≠0，必有b则{a,0,1}={a则有a2=1，即集合{a,0,1}中，a≠1，则a故答案为：-19.若集合A={x|kx2+4x+4=0,x∈R}中只有一个元素，则实数k【答案】0或1【解析】由集合A={x|kx当k=0时，4x+4=0，即当k≠0时，△=16-4•k•4=0，解得k=1．综上，k=0或120.已知集合A1)若A是空集，求a的取值范围；2)若A中只有一个元素，求a的值，并把这个元素写出来；3)若A中至多只有一个元素，求a的取值范围【答案】1)a>98;2)若a=0，则有A=23；若a=98，则有A=【解析】1)若A是空集，则方程ax2-3x+2=0无解，此时a≠0且2)若A中只有一个元素则方程ax当a=0时，方程为一元一次方程，满足条件；当a≠0，此时Δ=9-8a=0，解得a=9∴a=0或a=若a=0，则有A=23；若a=983)若A中至多只有一个元素，则A为空集，或有且只有一个元素由(1)，(2)得满足条件的a的取值范围是：a=0或a≥9题型六、集合间关系的判断21.已知集合A={x|x=k+16,k∈N}，B={x|x=m2-13A．A⫋C⫋B 【答案】A【解析】∵集合C={x|=n∴当n=2a(a∈N)时，x=当n=b-1(b∈N*又∵集合A={x|x=k+16，又∵集合B={x|x=m∴集合B比集合C多一个元素-13，即综上所求：A⫋故选：A．22.已知集合M=x∣x=m+16,m∈Z，N=x∣x=nA．M⊆NB．M⫋NC．N⊆MD【答案】B【解析】设n=2m或2m＋1，则有N=x∣x=又∵M=x∣x=m+16题型七、确定集合的子集、真子集23.．（2023·江苏常州·江苏省前黄高级中学校考二模）已集合，若，则实数a的取值集合是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用子集的定义即可求解.【详解】，∴当时，，满足；当时，若，则时，时，．的取值集合是．故选：C．24．（2023·江苏南京·统考二模）集合的子集个数为（

）A．2 B．4 C．8 D．16【答案】B【分析】确定，再计算子集个数得到答案.【详解】，故子集个数为.故选：B25．（2023·广东惠州·统考模拟预测）已知集合，，且，则实数（

）A． B．1 C．或1 D．0【答案】A【解析】∵集合，，，∴由集合元素的互异性及子集的概念可知，解得实数．故选：A．26.求集合A={x∈N|0<x<4}的子集个数.

【解析】集合A=x∈N0<x<4={1,2,3}，则其子集有∅,1,【点拨】①讨论集合的子集，不要漏了空集与自身；②集合中有n个元素，则子集的个数为2n，真子集的个数为2n题型八、利用集合间的关系求参数的取值混取值范围27．（2023·山东德州·三模）已知集合，，若，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先化简集合，根据，即可得到的取值范围.【详解】，，因为，所以，解得.故选：B.28．（2023·山东聊城·统考三模）已知集合，，若对于，都有，则的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由已知可得可得答案.【详解】若对于，都有，则，由已知可得.故选：B.29.已知集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2+2(a+1)x+a2【解析】由题得A={1,2},因为B⊆A，则B=∅或{1}或{2}或{1,2}，①当B=∅，所以△=4a+12②当B={1}，则△=8a+24=01+2(a+1)+a2-③当B={2}，则△=8a+24=04+4(a+1)+a④当B={1,2}，则△=8a+24>0综上a≤-3．【点拨】若B⊆A，注意不能忽略了“B=∅”这种情况.→➍专题精练←1.（2022秋·河南信阳·高一校考期中）考察下列每组对象，能构成集合的是（）①中国各地的美丽乡村；②直角坐标系中横、纵坐标相等的点；③不小于的自然数；④截止到年月日，参与“一带一路”的国家．A．③④B．②③④C．②③D．②④2.（2022秋·陕西咸阳·高一校考阶段练习）（多选）下列选项中能构成集合的是（）A．高一年级跑得快的同学B．中国的大河C．3的倍数D．大于6的有理数3.（2022秋·重庆万州·高一校考期中）下列各组对象不能构成集合的是（）A．参加运动会的学生B．小于的正整数C．年高考数学试卷上的难题D．所有有理数4.（2022秋·广西桂林·高一校考期中）下列各组对象不能构成集合的是（）A．1~10之间的所有奇数B．北方学院2022级大学一年级学生C．滑雪速度较快的人D．直线上的所有的点5、（2022秋·新疆乌鲁木齐·高一乌鲁木齐市第四中学校考期中）下列各组对象不能组成集合的是（）A．大于6的所有整数B．高中数学的所有难题C．被3除余2的所有整数D．函数y＝x图象上所有的点6、（2023·江苏·高一假期作业）（多选）判断下列每组对象，能组成一个集合的是（）A．某校高一年级成绩优秀的学生B．直角坐标系中横、纵坐标相等的点C．不小于3的自然数D．2022年第24届冬季奥运会金牌获得者7、（2023·江苏·高一假期作业）（多选）现有以下说法，其中正确的是（）A．接近于0的数的全体构成一个集合B．正方体的全体构成一个集合C．未来世界的高科技产品构成一个集合D．不大于3的所有自然数构成一个集合8、（2022秋·贵州铜仁·高一校考阶段练习）下列各组对象中，能组成集合的有___________（填序号）．①所有的好人；②平面上到原点的距离等于2的点；③正三角形；④比较小的正整数；⑤满足不等式的的取值．9、（2022秋·上海浦东新·高一统考期末）请将下列各组对象能组成集合的序号填在后面的横线上____________.①上海市2022年入学的全体高一年级新生；②在平面直角坐标系中，到定点的距离等于1的所有点；③影响力比较大的中国数学家；④不等式的所有正整数解.10.（2023春·福建龙岩·高一福建省永定第一中学校考开学考试）给出下列6个关系：①，②，③，④，⑤，⑥.其中正确命题的个数为（）A．4B．2C．3D．511、（2022秋·湖南邵阳·高一校考期中）下列关系中正确的个数是（）①；②；③；④A．1B．2C．3D．412、（2022秋·河北石家庄·高一石家庄市第十五中学校考阶段练习）下列说法正确的有（）①

②

③

④

⑤A．1个B．2个C．3个D．4个13.（2022秋·甘肃庆阳·高一校考期中）已知集合，则有（）A．B．C．D．14.（2022秋·江苏南通·高一校考期中）已知，则下列判断正确的是（）A．B．C．D．15.（2022秋·高一课时练习）已知集合，，，若，，则必有（）A．B．C．D．不属于集合A、B、C中的任何一个16.设集合，则下列元素属于A的是（）A．B．C．D．017、（2022秋·湖南郴州·高一校考阶段练习）下列说法正确的是（）A．B．C．D．18、（2022秋·江苏泰州·高一靖江高级中学校考期中）已知集合，，．若，，．则下面结论中一定正确的是（）A．B．C．D．19.（2022秋·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨工业大学附属中学校校考阶段练习）已知集合，，则（）A．B．或C．D．20.（2022秋·福建厦门·高一厦门双十中学校考阶段练习）若，则的可能值为（）A．0，2B．0，1C．1，2D．0，1，221、（2021秋·安徽宣城·高一泾县中学校考阶段练习）已知，若集合A中恰好有5个元素，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．22.（2022秋·四川南充·高一校考阶段练习）设集合，若，则的值为（）．A．，2B．C．，，2D．，223.设A,B是两个集合，有下列四个结论：①若A⊈B，则对任意x∈A，有x∉B；②若A⊈B，则集合A中的元素个数多于集合B中的元素个数；③若A⊈B，则B⊈A；④若A⊈B，则一定存在x∈A，有x∉B．其中正确结论的个数为()A．4 B．3 C．2 D．124.已知集合A={x|x=k+16,k∈N}，B={x|x=m2-13,m∈N}A．A⫋C⫋B 25.已知集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|0<x<6,x∈N}，则满足A⊆C⊆B的集合CA．4 B．8 C．7 D．1626.已知集合M=x∣x=m+16,m∈Z，N=x∣x=n2A．M⊆NB．M⫋NC．N⊆MD27.已知集合P={正奇数}和集合M={x|x=a⊕b,a∈P,b∈P}，若M⊆P，则M中的运算“⊕”是(A．加法 B．除法 C．乘法 D．减法28.（2022秋·山西运城·高一校考阶段练习）集合，用列举法表示为（）A．1B．2C．D．29.（2022秋·江西宜春·高一江西省樟树中学校考阶段练习）下列集合中，不同于另外三个集合的是（）A．B．C．D．30..（2022秋·江西·高一统考阶段练习）（多选）以下命题中正确的是（）A．所有正数组成的集合可表示为B．大于2020小于2023的整数组成的集合为C．全部三角形组成的集合可以写成{全部三角形}D．中的元素比中的元素只多一个元素0，它们都是无限集31.（2022秋·湖北十堰·高一校考阶段练习）（多选）给出下列说法，其中正确的是（）A．集合用列举法表示为{0，1}B．实数集可以表示为{x|x为所有实数}或{R}C．方程组的解组成的集合为D．方程的所有解组成的集合为32、（2022秋·河南洛阳·高一校考阶段练习）（多选）集合用描述法可表示为（）A．是不大于9的非负奇数B．且C．D．33、（2022秋·甘肃庆阳·高一校考阶段练习）（多选）下列正确表示方程组的解集的是（）A．B．C．D．34.（2022秋·上海浦东新·高一上海南汇中学校考阶段练习）用列举法表示集合，______．35.（2022秋·浙江杭州·高一校联考期中）集合，若，则__________36.（2022秋·河南南阳·高一校联考期中）已知集合，，若，，则______.37、（2022秋·湖南永州·高一校考阶段练习）若，则实数的值为______.38、（2022秋·上海普陀·高一曹杨二中校考阶段练习）若，则实数________．39、（2022秋·江苏连云港·高一赣榆一中校考阶段练习）已知集合，且，则实数的值为___________.40.（2022秋·辽宁沈阳·高一外国语学校校考阶段练习）集合为单元素集合，则______.41.（2022秋·北京·高一校考阶段练习）已知集合是单元素集，用列举法表示的取值集合___________.42.已知集合A⊊{0,1,2}，且A中至少含有一个奇数，则这样的集合A有个.43.定义集合A*B={x|x∈A,且x∉B}，若A={1,3,5,7}，B={2,3,5}，则A*B的子集个数为