江苏省苏州市三校高三高考联考数学试卷（2021-04）

2021年江苏省苏州市三校高三高考数学联考试卷（4月份）一、单项选择题（每小题5分）.1．已知（∁RA）∩B＝∅，则下面选项中一定成立的是（）A．A∩B＝A B．A∩B＝B C．A∪B＝B D．A∪B＝R2．已知i是虚数单位，在复平面内，复数﹣2+i和1﹣3i对应的点间的距离是（）A． B． C．5 D．253．在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，九日二马相逢，则长安至齐（）A．1120里 B．2250里 C．3375里 D．1125里4．甲、乙、丙、丁四位同学决定去巴城老街、千灯古镇、周庄游玩，每人只能去一个地方，周庄一定要有人去，则不同游览方案的种数为（）A．60 B．65 C．70 D．755．已知A，B是圆O：x2+y2＝1上的两个动点，|AB|＝，，M为线段AB的中点，则的值为（）A． B． C． D．6．雷达是利用电磁波探测目标的电子设备．电磁波在大气中大致沿直线传播．受地球表面曲率的影响，雷达所能发现目标的最大直视距离L＝+＝+（如图），其中h1为雷达天线架设高度，h2为探测目标高度，R为地球半径．考虑到电磁波的弯曲、折射等因素，R等效取8490km，故R远大于h1，h2.假设某探测目标高度为25m，为保护航母的安全，须在直视距离390km外探测到目标，并发出预警，则舰载预警机的巡航高度至少约为（）（参考数据：A．6400m B．7200m C．8100m D．10000m7．下列图象中可以作为函数f（x）＝部分图象的是（）A．A B． C． D．8．已知函数f（x）＝ekx﹣2+1，（k≠0），函数g（x）＝xlnx，若kf（x）≥2g（x），对∀x∈（0，+∞）恒成立，则实数k的取值范围为（）A．[1，+∞） B．[e，+∞） C． D．二、选择题（每小题5分）.有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．新高三高考方案规定，普通高中学业水平考试分为合格性考试（合格考）和选择性考试（选择考），其中“选择考”成绩将计入高三高考总成绩，即将学生考试时的原始卷面分数由高到低进行排序，评定为A，B，C，D，E五个等级，再转换为分数计入高三高考总成绩．某试点高中2020年参加“选择考”总人数是2018年参加“选择考”总人数的2倍，为了更好地分析该校学生“选择考”的水平情况，统计了该校2018年和2020年“选择考”成绩等级结果，得到如图所示的统计图．针对该校“选择考”情况，2020年与2018年比较，下列说法正确的是（）A．获得A等级的人数增加了 B．获得B C．获得D等级的人数减少了一半 D．获得E等级的人数相同10．△ABC中，D为边AC上的一点，且满足，若P为边BD上的一点，且满足（m＞0，n＞0），则下列结论正确的是（）A．m+2n＝1 B．mn的最大值为 C．的最小值为6+4 D．m2+9n2的最小值为11．已知函数f（x）＝|cosx|﹣|sin|x||，下列说法正确的是（）A．f（x）是偶函数 B．f（x）是周期为π的函数 C．f（x）在区间上单调递减 D．f（x）的最大值为12．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为4，M为DD1的中点，N为ABCD所在平面上一动点，N1为A1B1C1D1所在平面上一动点，且NN1⊥平面ABCD，则下列命题正确的是（）A．若MN与平面ABCD所成的角为，则点N的轨迹为圆 B．若三棱柱NAD﹣N1A1D1的表面积为定值，则点N的轨迹为椭圆 C．若点N到直线BB1与直线DC的距离相等，则点N的轨迹为抛物线 D．若D1N与AB所成的角为，则点N的轨迹为双曲线三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．在产品质量检测中，已知某产品的一项质量指标X～N（100，102），且110＜X＜120的产品数量为5436件．请估计该批次检测的产品数量是件．参考数据：P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）＝0.9545，P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ14．已知函数f（x）满足f（x）＝f（2﹣x）＝﹣f（2+x），则符合题意的一个f（x）的解析式可以为．15．在四面体ABCD中，AB＝，DA＝DB＝CA＝CB＝1，则四面体ABCD的外接球的体积为．16．已知双曲线C：＝1（b＞0），若在直线l：x+y+2＝0上存在点P满足：过点P能向双曲线C引两条互相垂直的切线，则双曲线C的离心率取值范围是．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在①（a+b）（a﹣b）＝（a﹣c）c，②2a﹣c＝2bcosC，③三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．在ΔABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足____，．（1）若a+c＝4，求ΔABC的面积；（2）求a+c的取值范围．18．设{an}是等比数列，公比大于0，{bn}是等差數列，（n∈N*）．已知a1＝1，a3＝a2+2，a4＝b3+b5，a5＝b4+2b6．（1）求{an}和{bn}的通项公式：（2）设数列{cn}满足c1＝c2＝1，cn＝，其中k∈N*，求数列的前n项和．19．如图，三棱锥S﹣ABC的底面ABC和侧面SBC都是等边三角形，且平面SBC⊥平面ABC．（Ⅰ）若P点是线段SA的中点，求证：SA⊥平面PBC；（Ⅱ）点Q在线段出上且满足AQ＝，求BQ与平面SAC所成角的正弦值．20．在新的高三高考改革形式下，江苏、辽宁、广东、河北、湖南、湖北、福建、重庆八个省市在2021年首次实施“3+1+2”模式新高三高考．为了适应新高三高考模式，在2021年1月23日至1月25日进行了“八省联考”，考完后，网上流传很多种对各地考生考试成绩的评价，对12种组合的选择也产生不同的质疑．为此，某校随机抽一名考生小明（语文、数学、英语、物理、政治、生物的组合）在高一选科前某两次六科对应成绩进行分析，借此成绩进行相应的推断．表1是小明同学高一选科前两次测试成绩（满分100分）：表1语文数学英语物理政治生物第一次879291928593第二次829495889487（1）从小明同学第一次测试的科目中随机抽取1科，求该科成绩大于90分的概率；（2）从小明同学第一次测试和第二次测试的科目中各随机抽取1科，记X为抽取的2科中成绩大于90分的科目数量，求X的分布列和数学期望E（X）；（3）现有另一名同学两次测试成绩（满分100分）及相关统计信息如表2所示：表2语文数学英语物理政治生物6科成绩均值6科成绩方差第一次a1a2a3a4a5a6x1D1第二次b1b2b43b4b5b6x2D2将每科两次测试成绩的均值作为该科的总评成绩，这6科总评成绩的方差为D3．有一种观点认为：若x1＝x2，D1＜D2，能推出D1≤D3≤D2.则有理由认为“八省联考”考生成绩与选科有关，否则没有理由否定12种选科模式的不合理性，即新高三高考模式12种选科模式是可取的．假设这种观点是正确的，通过表2内容，你认为新高三高考模式12种组合选科模式是否可取？21．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的右焦点为F，P为右准线上一点．点Q在椭圆上，且FQ⊥FP．（1）若椭圆的离心率为，短轴长为．①求椭圆的方程；②若直线OQ，PQ的斜率分别为k1，k2，求k1•k2的值．（2）若在x轴上方存在P，Q两点，使O，F，P，Q四点共圆，求椭圆离心率的取值范围．22．已知函数f（x）＝2ex+aln（x+1）﹣2．（1）当a＝﹣2时，讨论f（x）的单调性；（2）当x∈[0，π]时，f（x）≥sinx恒成立，求a的取值范围．参考答案一、选择题（每小题5分）.1．已知（∁RA）∩B＝∅，则下面选项中一定成立的是（）A．A∩B＝A B．A∩B＝B C．A∪B＝B D．A∪B＝R解：∵A∩B＝A，∴A⊆B，A≠B时，（∁RA）∩B≠∅，∴A错误；∵A∩B＝B，∴B⊆A，∴（∁RA）∩B＝∅，∴B正确；∵A∪B＝B，∴A⊆B，同选项A，∴C错误；∵A∪B＝R，∴A≠R时，（∁RA）∩B≠∅，∴D错误．故选：B．2．已知i是虚数单位，在复平面内，复数﹣2+i和1﹣3i对应的点间的距离是（）A． B． C．5 D．25解：复数﹣2+i对应复平面内的点A（﹣2，1），复数1﹣3i对应复平面内的点B（1，﹣3）∴|AB|＝＝5即复数﹣2+i和1﹣3i对应的点间的距离等于5故选：C．3．在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，九日二马相逢，则长安至齐（）A．1120里 B．2250里 C．3375里 D．1125里解：由题意知，良马每日行的距离成等差数列，记为{an}，其中a1＝103，d＝13；驽马每日行的距离成等差数列，记为{bn}，其中b1＝97，d＝﹣0.5；设长安至齐为x里，则a1+a2+…+am+b1+b2+…+bm＝103×9++97×9+＝2x，解得x＝1125．故选：D．4．甲、乙、丙、丁四位同学决定去巴城老街、千灯古镇、周庄游玩，每人只能去一个地方，周庄一定要有人去，则不同游览方案的种数为（）A．60 B．65 C．70 D．75解：根据题意，甲、乙、丙、丁四位同学决定去巴城老街、千灯古镇、周庄游玩，且每人只能去一个地方，则每人有3种选择，则4人一共有3×3×3×3＝81种情况，若周庄没人去，即四位同学选择了巴城老街、千灯古镇，每人有2种选择方法，则4人一共有2×2×2×2＝16种情况，故周庄一定要有人去有81﹣16＝65种情况，故选：B．5．已知A，B是圆O：x2+y2＝1上的两个动点，|AB|＝，，M为线段AB的中点，则的值为（）A． B． C． D．解：由题意得|OA|＝1，|OB|＝1，，由余弦定理得cos＜＞＝＝﹣，•cos＜＞＝﹣，＝＝（）＝．故选：A．6．雷达是利用电磁波探测目标的电子设备．电磁波在大气中大致沿直线传播．受地球表面曲率的影响，雷达所能发现目标的最大直视距离L＝+＝+（如图），其中h1为雷达天线架设高度，h2为探测目标高度，R为地球半径．考虑到电磁波的弯曲、折射等因素，R等效取8490km，故R远大于h1，h2.假设某探测目标高度为25m，为保护航母的安全，须在直视距离390km外探测到目标，并发出预警，则舰载预警机的巡航高度至少约为（）（参考数据：A．6400m B．7200m C．8100m D．10000m解：根据题意可知，L＝390km，R＝8490km，h2km，因为L＝+＝+，所以，解得h1≈km＝8100m．故选：C．7．下列图象中可以作为函数f（x）＝部分图象的是（）A．A B． C． D．解：根据题意，f（x）＝，f（﹣x）＝（﹣1）cos（﹣x）＝﹣＝﹣f（x），函数f（x）为奇函数，排除AC；在区间（0，）上，1+ex＞1，﹣1＜0，cosx＞0，则有f（x）＜0，排除D，故选：B．8．已知函数f（x）＝ekx﹣2+1，（k≠0），函数g（x）＝xlnx，若kf（x）≥2g（x），对∀x∈（0，+∞）恒成立，则实数k的取值范围为（）A．[1，+∞） B．[e，+∞） C． D．解：kf（x）≥2g（x），对∀x∈（0，+∞）恒成立，即kekx﹣+k≥2xlnx，化为：kxekx+kx≥x2lnx2+lnx2，令h（t）＝tlnt+lnt，t∈（0，+∞），∴h′（t）＝1+lnt+＝u（t），u′（t）＝﹣＝，可得t＝1时，函数u（t）取得极小值即最小值，u（1）＝2＞0，∴h′（t）＞0恒成立，∴函数h（t）在t∈（0，+∞）上单调递增，而h（ekx）≥h（x2），∴ekx≥x2，∴kx≥2lnx，即k≥，令v（x）＝，x∈（0，+∞），∴v′（x）＝，可得x＝e时，函数v（x）取得极大值即最大值．∴k≥．故选：D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．新高三高考方案规定，普通高中学业水平考试分为合格性考试（合格考）和选择性考试（选择考），其中“选择考”成绩将计入高三高考总成绩，即将学生考试时的原始卷面分数由高到低进行排序，评定为A，B，C，D，E五个等级，再转换为分数计入高三高考总成绩．某试点高中2020年参加“选择考”总人数是2018年参加“选择考”总人数的2倍，为了更好地分析该校学生“选择考”的水平情况，统计了该校2018年和2020年“选择考”成绩等级结果，得到如图所示的统计图．针对该校“选择考”情况，2020年与2018年比较，下列说法正确的是（）A．获得A等级的人数增加了 B．获得B C．获得D等级的人数减少了一半 D．获得E等级的人数相同解：设2018参加“选择考”总人数为a，则2020年参加“选择考”总人数为2a，由统计图可得，2018年获得Aa，2020年获得Aa，故A正确；2018年获得Ba，2020年获得Ba，获得B等级的人数增加了＝1.5倍，故B正确；2018年获得Da，2020年获得Da，获得D等级的人数增加了一半，故C错误；2018年获得Ea，2020年获得Ea，获得E等级的人数为原来的2倍，故D错误．故选：AB．10．△ABC中，D为边AC上的一点，且满足，若P为边BD上的一点，且满足（m＞0，n＞0），则下列结论正确的是（）A．m+2n＝1 B．mn的最大值为 C．的最小值为6+4 D．m2+9n2的最小值为解：因为，所以，所以＝m+3n，因为B、P、D三点共线，所以m+3n＝1，故A错误；则3mn≤＝，则mn≤，即mn最大值为，当且仅当m＝3n，即m＝，n＝时取等号，故B正确；＝（）（m+3n）＝++7≥4+7，当且仅当＝时取等号，所以的最小值为4+7，故C错误；m2+9n2＝（m+3n）2﹣6mn＝1﹣6mn≥1﹣6×＝，当且仅当m＝，n＝时取等号，所以m2+9n2的最小值为，故D正确．故选：BD．11．已知函数f（x）＝|cosx|﹣|sin|x||，下列说法正确的是（）A．f（x）是偶函数 B．f（x）是周期为π的函数 C．f（x）在区间上单调递减 D．f（x）的最大值为解：当x≥0时，f（x）＝|cosx|﹣|sin|x||＝|cosx|﹣|sinx|，当x＜0时，f（x）＝|cosx|﹣|sin|x||＝|cosx|﹣|sin（﹣x）|＝|cosx|﹣|sinx|，所以，f（x）＝|cosx|﹣|sinx|，对于A，因为f（﹣x）＝|cos（﹣x）|﹣|sin（﹣x）|＝|cosx|﹣|sinx|＝f（x），所以f（x）是偶函数，所以A对；对于B，因为f（x+π）＝|cos（x+π）|﹣|sin（x+π）|＝|cosx|﹣|sinx|＝f（x），所以f（x）是周期为π的函数，所以B对；对于C，由B知，只须考虑f（x）在（0，）上的单调性，在（0，）上，f（x）＝|cosx|﹣|sinx|＝cosx﹣sinx，cosx与﹣sinx，在（0，）上单调递减，所以f（x）在（0，）上的单调递减，于是f（x）在区间上单调递减，所以C对；对于D，只须在[﹣，]上考虑f（x）最大值问题，在[﹣，0]上，f（x）＝|cosx|﹣|sinx|＝cosx+sinx，单调递增，在[0，]上，f（x）＝|cosx|﹣|sinx|＝cosx﹣sinx，单调递减，所以在[﹣，]上，f（x）的最大值为f（0）＝1≠，所以D错．故选：ABC．12．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为4，M为DD1的中点，N为ABCD所在平面上一动点，N1为A1B1C1D1所在平面上一动点，且NN1⊥平面ABCD，则下列命题正确的是（）A．若MN与平面ABCD所成的角为，则点N的轨迹为圆 B．若三棱柱NAD﹣N1A1D1的表面积为定值，则点N的轨迹为椭圆 C．若点N到直线BB1与直线DC的距离相等，则点N的轨迹为抛物线 D．若D1N与AB所成的角为，则点N的轨迹为双曲线解：对于A，因为MN与平面ABCD所成的角为，所以DN＝MD＝2，所以点N的轨迹为圆，所以A对；对于B，因为当三棱柱NAD﹣N1A1D1的侧面积为定值时，点N的轨迹为椭圆，表面积比侧面积增加了上下底面，而底面积是变化的，所以B错；对于C，因为点N到直线BB1与NB相等，所以点N的轨迹为点N到点B与直线DC的距离相等的轨迹，即抛物线，所以C对；对于D，因为AB∥CD、CD∥C1D1，所以AB∥C1D1，于是满足条件的D1N运动成圆锥面，其与平面ABCD的交线为双曲线，所以D对．故选：ACD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．在产品质量检测中，已知某产品的一项质量指标X～N（100，102），且110＜X＜120的产品数量为5436件．请估计该批次检测的产品数量是40000件．参考数据：P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）＝0.9545，P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ解：设该批次检测的产品数量是n，由X～N（100，102），得μ＝100，σ＝10，所以P（110＜X＜120）＝P（μ+σ＜X＜μ+2σ）＝×[P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）﹣P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）]＝×﹣0.6826）＝0.1359＝，解得：n＝40000（件）．故答案为：40000．14．已知函数f（x）满足f（x）＝f（2﹣x）＝﹣f（2+x），则符合题意的一个f（x）的解析式可以为f（x）＝0．解：∵函数f（x）满足f（x）＝f（2﹣x）＝﹣f（2+x），故f（x）关于直线x＝1对称，又关于点（2，0）对称，则符合题意的一个f（x）的解析式可以是f（x）＝0，故答案为：f（x）＝0．15．在四面体ABCD中，AB＝，DA＝DB＝CA＝CB＝1，则四面体ABCD的外接球的体积为2π．解：设AB的中点为O，连接OD，OC，如图，∵在四面体ABCD中，AB＝，DA＝DB＝CA＝CB＝1，∴AD2+BD2＝AB2，AC2+BC2＝AB2，即△ABC与△ABD均为直角三角形，故OA＝OB＝OC＝OD，即O为外接球球心，OA＝R＝；∴四面体ABCD的外接球的表面积为4πR2＝2π．故答案为：2π．16．已知双曲线C：＝1（b＞0），若在直线l：x+y+2＝0上存在点P满足：过点P能向双曲线C引两条互相垂直的切线，则双曲线C的离心率取值范围是（1，]．解：设过P点（m，n）且与双曲线相切的直线方程为y＝k（x﹣m）+n，n＝﹣m﹣2，由，可得b2x2﹣4[k2（x2﹣2mx+m2）+n2+2kn（x﹣m）]＝4b2，即为（b2﹣4k2）x2+（8k2m﹣8kn）x﹣4k2m2﹣4n2+8kmn﹣4b2＝0，△＝64（k2m﹣kn）2+4（b2﹣4k2）（4k2m2+4n2﹣8kmn+4b2）＝0，化简可得（b2m2﹣4b2）k2﹣2b2mnk+b2n2+b4＝0，即（m2﹣4）k2﹣2mnk+n2+b2＝0，两根设为k1，k2，k1k2＝＝﹣1，即为（m+2）2+b2＝4﹣m2，即为m2+4m+4+b2＝4﹣m2，2m2+4m+b2＝0看做关于m的方程，△＝16﹣8b2≥0，可得0≤b2≤2，所以双曲线的离心率e＝∈（1，]．故答案为：（1，]．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在①（a+b）（a﹣b）＝（a﹣c）c，②2a﹣c＝2bcosC，③三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．在ΔABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足____，．（1）若a+c＝4，求ΔABC的面积；（2）求a+c的取值范围．解：当选条件①时：由（a+b）（a﹣b）＝（a﹣c）c⇒a2+c2﹣b2＝ac，∴cosB＝＝，∵B∈（0，π），∴B＝，当选条件②时：由2a﹣c＝2bcosC⇒2sinA﹣sinC＝2sinBcosC，即2sin（B+C）﹣2sinBcosC＝sinC，整理得：2cosBsinC＝sinC，∵sinC＞0，∴cosB＝，又B∈（0，π），∴B＝，当选条件③时：由⇒（sinA﹣sinBcosC）＝sinCsinB，即[sin（B+C）﹣sinBcosC]＝sinCsinB，整理得：cosBsinC＝sinCsinB，∵sinC＞0，∴cosB＝sinB，∴tanB＝，∵B∈（0，π），∴B＝，（1）由所选条件可知：B＝，又b＝2，a+c＝4，由余弦定理可得：b2＝12＝a2+c2﹣2accosB＝（a+c）2﹣3ac＝16﹣3ac，解得：ac＝，∴S△ABC＝acsinB＝××＝；（2）由b＝2，B＝，可得：b2＝12＝a2+c2﹣ac＝（a+c）2﹣3ac，即（a+c）2﹣12＝3ac≤3×（）2，当且仅当a＝c时取“＝“，整理可得：（a+c）2≤48，当且仅当a＝c时取“＝“，∴a+c≤4，又a+c＞b＝2，∴a+c的取值范围为（2，4]．18．设{an}是等比数列，公比大于0，{bn}是等差數列，（n∈N*）．已知a1＝1，a3＝a2+2，a4＝b3+b5，a5＝b4+2b6．（1）求{an}和{bn}的通项公式：（2）设数列{cn}满足c1＝c2＝1，cn＝，其中k∈N*，求数列的前n项和．解：（1）由题意，设等比数列{an}的公比为q（q＞0），则a2＝q，a3＝q2，由a3＝a2+2，即为q2﹣q﹣2＝0，解得q＝﹣1（舍去），或q＝2，所以an＝2n﹣1，n∈N*，设等差数列{bn}的公差为d，由a4＝b3+bs，可得b1+3d＝4，由a5＝b4+2b6，可得3b1+13d＝16，解得b1＝d＝1，所以bn＝n，n∈N*；（2）由（1）可知c1＝c2＝1，cn＝＝，所以b（c﹣1）＝b（an﹣1）＝3n（2n﹣1﹣1）＝3×6n﹣1﹣3n，则数列的前n项和为3（1+6+36+…+6n﹣1）﹣（3+9+…+3n）＝3×﹣＝﹣+．19．如图，三棱锥S﹣ABC的底面ABC和侧面SBC都是等边三角形，且平面SBC⊥平面ABC．（Ⅰ）若P点是线段SA的中点，求证：SA⊥平面PBC；（Ⅱ）点Q在线段出上且满足AQ＝，求BQ与平面SAC所成角的正弦值．解：（1）证明：∵△ABC和△SBC都是等边三角形，且有公共边BC，∴AB＝SB＝AC＝SC，∵P是SA的中点，∴SA⊥BP，SA⊥CP，∵BP∩CP＝P，∴SA⊥平面PBC．（2）取BC的中点O，连结OA，OS，由条件得OA，BC，OS两两垂直，以O为坐标原点，OA为x轴，OB为y轴，OS为z轴，建立空间直角坐标系，如图，设AB＝2，则AO＝OS＝，则A（，0，0），B（0，1，0），C（0，﹣1，0），S（0，0，），Q（，0，），∴＝（，1，0），＝（），＝（，﹣1，），设平面SAC的一个法向量为＝（x，y，z），则，令x＝1，得＝（1，﹣，1），设BQ与平面SAC所成角为θ，则BQ与平面SAC所成角的正弦值为：sinθ＝＝＝．20．在新的高三高考改革形式下，江苏、辽宁、广东、河北、湖南、湖北、福建、重庆八个省市在2021年首次实施“3+1+2”模式新高三高考．为了适应新高三高考模式，在2021年1月23日至1月25日进行了“八省联考”，考完后，网上流传很多种对各地考生考试成绩的评价，对12种组合的选择也产生不同的质疑．为此，某校随机抽一名考生小明（语文、数学、英语、物理、政治、生物的组合）在高一选科前某两次六科对应成绩进行分析，借此成绩进行相应的推断．表1是小明同学高一选科前两次测试成绩（满分100分）：表1语文数学英语物理政治生物第一次879291928593第二次829495889487（1）从小明同学第一次测试的科目中随机抽取1科，求该科成绩大于90分的概率；（2）从小明同学第一次测试和第二次测试的科目中各随机抽取1科，记X为抽取的2科中成绩大于90分的科目数量，求X的分布列和数学期望E（X）；（3）现有另一名同学两次测试成绩（满分100分）及相关统计信息如表2所示：表2语文数学英语物理政治生物6科成绩均值6科成绩方差第一次a1a2a3a4a5a6x1D1第二次b1b2b43b4b5b6x2D2将每科两次测试成绩的均值作为该科的总评成绩，这6科总评成绩的方差为D3．有一种观点认为：若x1＝x2，D1＜D2，能推出D1≤D3≤D2.则有理由认为“八省联考”考生成绩与选科有关，否则没有理由否定12种选科模式的不合理性，即新高三高考模式12种选科模式是可取的．假设这种观点是正确的，通过表2内容，你认为新高三高考模式12种组合选科模式是否可取？解：（1）共有6科成绩，其中成绩大于90分的有数学、英语、物理和生物共4科，所以从小明同学第一次测试的科目中随机抽取1科，求该科成绩大于90分的概率为＝；（2）X的所有可能取值为0，1，2，所以P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，所以X的分布列为：X012P故E（X）＝0×+1×+2×＝；（3）设x1＝x2＝x，则a1+a2+…+a6＝b1+b2+…+b6＝6x，则6D1＝（a1﹣x）2+（a2﹣x）2+…+（a6﹣x）2＝a12+a22+…+a62﹣2（a1+a2+…+a6）x+6x2＝a12+a22+…+a62﹣6x2，同理可得，6D2＝b12+b22+…+b62﹣6x2，6D3＝，因为D1＜D2，所以a12+a22+…+a62＜b12+b22+…+b62，所以6D3﹣6D1＝﹣（a12+a22+…+a62﹣6x2）＝的符号不确定，所以D3与D1无法比较大小，6D3﹣6D1＝﹣（b12+b22+…+b62﹣6x2）＜（b12+b22+…+b62）＝＜0，故D3＜D2，故这种观点不正确．21．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的右焦点为F，P为右准线上一点．点Q在椭圆上，且FQ⊥FP．（1）若椭圆的离心率为，短轴长为．①求椭圆的方程；②若直线OQ，PQ的斜率分别为k1，k2，求k1•k2的值．（2）若在x轴上方存在P，Q两点，使O，F