陕西省西安市华山中学2020-2021学年高一上学期第二次月考数学试卷

西安市华山中学高一年级数学（20202021学年第一学期）月考试试题一、选择题：（本大题共12小题，每小题4分，共48分）1.平行于同一平面两条直线的位置关系是（）A.平行 B.相交 C.异面 D.平行、相交或异面————D分析：根据线面平行的位置关系及线线位置关系的分类及定义，可由已知两直线平行于同一平面，得到两直线的位置关系．解答：解：若，且，则与可能平行，也可能相交，也有可能异面故平行于同一个平面的两条直线的位置关系是平行或相交或异面，故选：D．点拨：本题考查的知识点是空间线线关系及线面关系，熟练掌握空间线面平行的位置关系及线线关系的分类及定义是详解本题的关键，属于基础题．2.已知是两条不同的直线，，为两个不同的平面，有下列四个命题：（1）若，，，则（2）若，，，则（3）若，，，则（4）若，，，则其中所有正确命题的个数是（）A.1 B.2 C.3 D.————B分析：（1）利用面面垂直的判定定理判断；（2）根据面面平行的判定定理判断；（3）利用线面垂直和线面平行的性质判断；（4）利用线面垂直和面面平行的性质判断.解答：解：（1）：，，或，又，则成立，故（1）成立；（2）：若，，则或相交或，所以不一定平行，故（2）不成立；（3）：若，，则或，若，则不一定平行，故（3）不成立；（4）:若,，则，又，则成立，故（4）成立.故选：B.3.在正方体中,与垂直的是()A. B. C. D.————A分析：先证明BD⊥平面,再证明⊥BD.详解：因为BD⊥AC,BD⊥,,所以BD⊥平面，所以⊥BD.故答案为A.点睛：本题主要考查线面垂直的判定和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和空间想象转化能力，属于基础题.4.如图正方体中，点M，N分别是DC，的中点，则图中阴影部分在平面内的投影为（）A. B.C. D.————B分析：直接利用正投影判断.解答：点N在平面上的投影在中点处，点M投影在D处，由投影可判断B图正确，故选：B.5.已知是两条不同的直线，，是两个不同的平面，有下列命题：（1）若，，则（2）若，，则（3）若，，则.其中真命题的个数是（）A.1个 B.2个 C.3个 D.0个————D分析：根据线面平行的性质依次判断即可.解答：（1）若，，则或异面，故（1）错误；（2）若，，则或相交，故（2）错误；（3）若，，则或，故（3）错误，则真命题的个数是0个.故选：D.6.如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是，那么该圆柱的体积等于（）A. B. C. D.————B分析：设出圆柱的高，通过侧面积，求出圆柱的高与底面直径，然后求出圆柱的体积．解答：设圆柱的高为h，轴截面为正方形的圆柱的底面直径为h，因为圆柱的侧面积是4π，所以h2π=4π，∴h=2，所以圆柱底面半径为1，圆柱的体积：π×12×2=2π．故选：B．7.如图，是水平放置的的直观图，则的面积是（）A.6 B. C. D.12————D分析：根据直观图，还原出原图，然后求解面积.解答：由直观图可知，是一个直角三角形，两个直角边分别为4和6，所以的面积为.故选：D.点拨：本题主要考查直观图和原图之间的关系，准确还原成原图是求解的关键，侧重考查直观想象的核心素养.8.下列命题正确的个数是（）（1）棱柱的侧面是平行四边形；（2）有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱；（3）以直角三角形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆锥；（4）上下底面是两个平行的圆面的旋转体是圆台.A.0个 B.1个 C.2个 D.3个————B分析：根据棱柱及旋转体的定义，逐项判定，即可求解.解答：根据棱柱的定义，可得棱柱的各个侧面都是平行四边形，所以（1）正确；如图所示的多面体，满足有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体，但这个几何体不是棱柱，所以（2）不正确；（如图所示）根据圆锥的定义，以直角三角形的一直角边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆锥，所以（3）不正确；上下底面是两个平行的圆面的旋转体可能是圆柱，也可能是圆台，所以（4）不正确.故选：B.9.已知几何体的三视图（如图），则该几何体的体积为（）A. B.4 C. D.————C分析：由三视图还原几何体为正四棱锥，可得底面边长为2，，求出，即可求出体积.解答：如图，由三视图还原几何体为正四棱锥，连接，交于，连接，取中点，连接，则由三视图可知，底面边长为2，，，则，.故选：C.10.经过平面外两点，作与平面平行的平面，则这样的平面可以作（）A.0个 B.1个 C.0个、1个或2个 D.0个或1个————D分析：分平面α外的两点所确定的直线与平面α平行和相交两种情况讨论.解答：若平面α外的两点所确定的直线与平面α平行，则过该直线与平面α平行的平面有且只有一个；若平面α外的两点所确定的直线与平面α相交，则过该直线的平面与平面α平行的平面不存在.故选：D.11.在正方体中，为棱的中点，则异面直线与所成角的正切值为A. B. C. D.————C分析：利用正方体中，，将问题转化为求共面直线与所成角的正切值，在中进行计算即可.解答：在正方体中，，所以异面直线与所成角为，设正方体边长为，则由为棱的中点，可得，所以，则.故选C.点拨：求异面直线所成角主要有以下两种方法：（1）几何法：①平移两直线中的一条或两条，到一个平面中；②利用边角关系，找到（或构造）所求角所在的三角形；③求出三边或三边比例关系，用余弦定理求角；（2）向量法：①求两直线的方向向量；②求两向量夹角的余弦；③因为直线夹角为锐角，所以②对应的余弦取绝对值即为直线所成角的余弦值.12.在四边形中，，，将沿折起，使平面平面，构成三棱锥，如图，则在三棱锥中，下列结论正确的是（）A.平面平面B.平面平面C.平面平面D.平面平面————D分析：折叠过程中，仍有，根据平面平面可证得平面，从而得到正确的选项.解答：在直角梯形中，因为为等腰直角三角形，故，所以，故，折起后仍然满足.因为平面平面，平面，平面平面，所以平面，因平面，所以.又因为，，所以平面，因平面，所以平面平面.点拨：面面垂直的判定可由线面垂直得到，而线面垂直可通过线线垂直得到，注意面中两条直线是相交的．由面面垂直也可得到线面垂直，注意线在面内且线垂直于两个平面的交线.二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.两个球的体积之比为8：27，则这两个球的表面积之比为________．————试题分析：设两球半径分别为，由可得，所以．即两球的表面积之比为．考点：球的表面积，体积公式．14.在三棱锥中，平面，，则二面角的大小为_________————分析：由二面角平面角的定义知为二面角的平面角，即可求解.解答：因为平面，所以所以为二面角的平面角，又，所以二面角的大小为.故答案为：15.如图，是直角三角形，，平面，此图形中有________个直角三角形.————3分析：先判断是直角三角形，然后利用平面，证明、是直角三角形；利用判断不是直角三角形.解答：首先，底面是直角三角形；∵平面，∴，，所以、是直角三角形；由、、是直角三角形，可得：∴∴不是角三角形.综上：在此图形中有3个直角三角形.故答案为：316.已知直线//平面，平面//平面，则直线与平面的位置关系为_______________.————直线a平行于平面或直线a在平面内平面∥平面β，直线a∥平面α，则当a在平面β内时，原命题成立，若a不在平面β内，则a一定与平面β平行.考点：线面的位置关系.三、解答题：（本大题共5小题，共52分）17.如图，在直三棱柱中，已知，.设的中点，.求证：（1）平面；（2）.————（1）见解析（2）见解析试题分析：（1）要证线面平行，只需找线线平行，因为D,E为中点，利用中位线即可证明；（2）只需证明平面即可，显然可证，因此原命题得证.试题解析：⑴在直三棱柱中，平面，且矩形是正方形，为的中点，又为的中点，，又平面，平面，平面⑵在直三棱柱中，平面,平面,又，平面，平面，，平面，平面，矩形是正方形，，平面，，平面又平面，.点睛：两条直线的垂直，一般需要用到线面垂直，先证明其中一条直线是另外一条直线所在平面的垂线，在此证明过程中，一般还要再次用到线面垂直的判定或性质，从而得到线线垂直.18.西安市建造圆锥形仓库用于储存粮食，已建的仓库底面直径为，高为.随着西安市经济的发展，粮食产量的增大，西安市拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多的粮食.现有两种方案：一是新建的仓库底面半径比原来大（高不变）；二是高度增加（底面直径不变）.（1）分别计算按这两种方案所建的仓库的体积；（2）分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积；（3）哪个方案更经济些？————（1）；.（2）；.（3）方案二比方案一更加经济.分析：（1）根据方案一，则仓库的底面直径变成，由圆锥的体积公式建立模型；根据方案二，则仓库的高变成，由圆锥的体积公式建立模型；（2）根据方案一，仓库的底面直径变成，由表面积公式建立模型；根据方案二，则仓库的高变成，由表面积公式建立模型.（3）比较两种方案的体积和表面积，得出结论.解答：（1）如果按方案一：仓库的底面直径变成，则仓库的体积：（），如果按方案二，仓库的高变成，则仓库的体积：（）；（2）如果按方案一，仓库的底面直径变成，半径为，圆锥的母线长为（），则仓库的表面积（），如果按方案二，仓库的高变成，圆锥的母线长为，则仓库的表面积（）.（3）由（1）（2）可知，第二种方案的体积大，可以贮藏更多的粮食，第二种方案的表面积小，则用料少，成本低，所以选择方案二更经济.点拨：关键点睛：本题考查圆锥的实际应用，解题的关键是熟练掌握圆锥的体积和表面积公式，要求有计算能力、分析能力.19.如图，在三棱柱中，底面，，是的中点，求证：平面平面.————证明见解析分析：连接，交于点，取的中点，连接，通过证明四边形是平行四边形得，再通过证明平面，得出平面.解答：连接，交于点，三棱柱中，四边形是矩形，是的中点，取的中点，连接，则，四边形平行四边形，，又，，底面，底面，，又，，平面，平面，平面，平面平面.点拨：本题考查面面垂直的证明，解题的关键是得出，通过证明平面，得出平面.20.如图，将一副三角板拼接，使它们有公共边，且使两个三角形所在平面互相垂直，若，，，，.（1）求证：平面；（2）求二面角的平面角的正切值.————（1）证明见解析；（2）2分析：（1）只需证AC⊥BD，AC⊥AB，利用平面BCD⊥平面ABC，BD⊥BC即可；（2）设BC中点为E，连接AE，过E作EF⊥CD于F，连接AF，由三垂线定理，可得∠EFA为二面角的平面角，从而可求.解答：⑴平面BCD⊥平面ABC，BD⊥BC，平面BCD∩平面ABC＝BC，∴BD⊥平面ABC.AC平面ABC，∴AC⊥BD，又AC⊥AB，BD∩AB＝B，∴AC⊥平面ABD.⑵设BC中点为E，连AE，过E作EF⊥CD于F，连接AF，由三垂线定理知，∠EFA为二面角的平面角.，，，又，，∴二面角的平面角的正切值为2.点拨：本题考查的是与二面角有关的立体几何综合，主要考查面面垂直的判定与性质，考查二面角的平面角，有一定的综合性.21.如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD为梯形，，，，，E为PC的中点．Ⅰ证明：平面PAD；Ⅱ求三