广东省深圳市宝安区海旺学校2023-2024学年九年级上学期开学数学试卷（含答案）

广东省深圳市宝安区海旺学校2023-2024学年九年级上学期开学数学试卷（解析版）一．选择题（每题3分，共30分）1．（3分）下列四个著名数学图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．2．（3分）如果点P（x﹣4，x+3）在平面直角坐标系的第二象限内，那么x的取值范围在数轴上可表示为（）A． B． C． D．3．（3分）…依次观察左边的三个图形，并判断照此规律从左向右的第四个图形是（）A． B． C． D．4．（3分）下列命题是真命题的是（）A．若a＞b，则1﹣2a＞1﹣2b B．将点A（﹣2，3）向上平移3个单位后得到的点的坐标为（1，3） C．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 D．三角形三条边的垂直平分线的交点到三角形的三个顶点的距离相等5．（3分）小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：a﹣b，x+y，a+b，x2﹣y2，a2﹣b2分别对应下列六个字：华、爱、我、中、游、美，现将（x2﹣y2）a2﹣（x2﹣y2）b2因式分解，结果呈现的密码信息可能是（）A．我爱美 B．中华游 C．爱我中华 D．美我中华6．（3分）已知分式（其中a，b为常数）满足表格中的信息：x的取值0.5﹣2m分式无意义值为0值为1则m的值是（）A．﹣1 B．1 C．2 D．37．（3分）某运输公司运输一批货物，已知大货车比小货车每辆多运输5吨货物，且大货车运输75吨货物所用车辆数与小货车运输50吨货物所用车辆数相同，则所列方程正确的是（）A．＝ B．＝ C．＝ D．＝8．（3分）已知菱形ABCD的两条对角线分别为6和8，M、N分别是边BC、CD的中点，P是对角线BD上一点（）A．5 B．5 C．5 D．不能确定9．（3分）如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝6，点M为AB上一点，将△BCM沿CM翻折至△ECM，CE与AD相交于点F，且AG＝GE（）A． B．4 C． D．510．（3分）如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，交BC于点E，且∠ADC＝60°，连接OE，下列结论：①∠CAD＝30°；③S平行四边形ABCD＝AC•CD；④S四边形OECD＝S△AOD：⑤OE＝AD．其中成立的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二．填空题（每题4分，共28分）11．（4分）已知x+y＝6xy，则+＝．12．（4分）一个n边形的内角和是它外角和的3倍，则边数n＝．13．（4分）若关于x的一元二次方程（k﹣2）x2+x+k2﹣4＝0有一个根是0，则k的值是．14．（4分）如图，已知BD与CE相交于点A，DE∥BC，AB＝3，AC＝6．15．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，N是边BC上一点，点D，E分别为CN，DE的值是．16．（4分）如图，等腰Rt△OAB的斜边OA在x轴的正半轴上，O为坐标原点，OB的长为半径画弧，交OA于点C，C为圆心，以大于，两弧交于点E，作射线OE交AB于点D（1，1），则点D的坐标为．17．（4分）如图，AB⊥BD，CD⊥BD，CD＝4，BD＝14．点P在BD上移动，C，D为顶点的三角形与△ABP相似时，则PB的长为．三．解答题（共62分）18．（8分）（1）解不等式（组）：；（2）解方程：x2+2x﹣15＝0．19．（6分）在长度均为1的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，已知点A、B、C的坐标分别为（1，0）、（4，2）、（2，4）．（1）将△ABC沿着x轴向左平移5个单位后得到△A1B1C1，请在图中画出平移后的△A1B1C1；（2）将△ABC绕着O顺时针旋转90°后得到△A2B2C2，请在图中画出旋转后的△A2B2C2；（3）将线段AB绕着某个定点旋转180°后得到B1A1（其中点A的对应点为点B1，点B的对应点为点A1），则这个定点的坐标是．20．（8分）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，那么称这个分式为“和谐分式”，如：，则（1）下列分式中，属于“和谐分式”的是；（只填序号）①；②；③；④．（2）将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式：＝；（3）判断的结果是否为“和谐分式”，并说明理由．21．（7分）如图，已知四边形AEBD是平行四边形，对角线AB与DE相交于点F，延长EB过点D作DC∥AB，交EB的延长线于点C．（1）求证：四边形AEBD是菱形；（2）若DC＝4，BD＝，求四边形ABCD的面积．22．（8分）“日啖荔枝三百颗，不辞长作岭南人．”深圳南山的荔枝以肉厚多汁深受大众的喜爱．某超市用2000元购进一批桂味荔枝和用3000元购进糯米糍荔枝的千克数相同，已知每千克糯米糍荔枝价格比每千克桂味荔枝的价格多10元．（1）求桂味荔枝、糯米糍荔枝每千克的进货价格；（2）这两种荔枝销售很好，超市决定再进这两种荔枝共300千克，且糯米糍荔枝的数量不超过桂味荔枝数量的2倍，糯米糍荔枝以38元/千克销售，请问桂味、糯米糍荔枝各进货多少千克时获得利润最大？最大利润是多少元？23．（6分）学习完“一元一次不等式与一次函数”后，老师给出了这样一道练习题：如图，直线y＝2x与直线y＝kx+b交于点A（1，m），通过观察图象快速写出了这道题的答案是：．接着，老师又提出了一个具有挑战性的题目：求不等式：的解集．小明所在的数学兴趣小组展开了对这个问题的探究​（1）首先画出函数的图象．的图象．①列表：如表是x与y的几组对应值，其中a＝；②描点：根据表中的数值描点（x，y），请补充描出点（0，a）；③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请画出函数图象；X…﹣2﹣﹣1﹣012…Y…1a1…（2）观察分析图象特征，结合已有的学习经验和该函数的性质，可得不等式．​24．（9分）如图，在平面直角坐标系中，直线AB：，y轴分别交于点B，A两点，四边形ABCD为平行四边形，且D（12，m）．（1）m＝，点C的坐标为．（2）一动点P在AD边上，以每秒1cm的速度从点A向点D运动．①连接CP，当CP平分∠BCD时，求此时△CDP的面积；②另一动点Q在BC边上，以每秒4cm的速度从点C出发，在BC间往返运动，当点P到达点D时停止运动（同时Q点也停止），则t为何值时，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形．25．（10分）如图1，△ABC，△EDC是两个等腰直角三角形，AB＝5，DE＝3，取AE中点F，连接BF（1）如图1，当B，C，D三个点共线时；（2）如图2，将△EDC绕点C逆时针旋转，取AC与EC的中点G，H，H，F三点不共线时，连接GF，BG，DH；（3）在（2）的条件下，连接BD，求△BFD面积的最小值，并说明理由．

参考答案与试题解析一．选择题（每题3分，共30分）1．（3分）下列四个著名数学图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；B、既是轴对称图形，故本选项符合题意；C、是轴对称图形，故本选项不符合题意；D、是轴对称图形，故本选项不符合题意．故选：B．【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．2．（3分）如果点P（x﹣4，x+3）在平面直角坐标系的第二象限内，那么x的取值范围在数轴上可表示为（）A． B． C． D．【分析】根据点的位置得出不等式组，求出不等式组的解集，即可得出选项．【解答】解：∵点P（x﹣4，x+3）在平面直角坐标系的第二象限内，∴，解得：﹣3＜x＜4，在数轴上表示为：，故选：C．【点评】本题考查了解一元一次不等式组、在数轴上表示不等式组的解集和点的坐标等知识点，能求出不等式组的解集是解此题的关键．3．（3分）…依次观察左边的三个图形，并判断照此规律从左向右的第四个图形是（）A． B． C． D．【分析】根据规律可知，从左到右是顺时针方向旋转图形，据此可得出第四个图形．【解答】解：根据图形，由规律可循，可得到第四个图形是D．故选：D．【点评】本题的难度一般，主要考查旋转的性质，特别要主要找出规律答题．4．（3分）下列命题是真命题的是（）A．若a＞b，则1﹣2a＞1﹣2b B．将点A（﹣2，3）向上平移3个单位后得到的点的坐标为（1，3） C．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 D．三角形三条边的垂直平分线的交点到三角形的三个顶点的距离相等【分析】根据不等式的性质，平移的性质，平行四边形的判定，三角形外心的性质逐一判断即可．【解答】解：A、若a＞b，是假命题；B、将点A（﹣2，6）；C、一组对边平行，是假命题；D、三角形三条边的垂直平分线的交点到三角形的三个顶点的距离相等；故选：D．【点评】题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．5．（3分）小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：a﹣b，x+y，a+b，x2﹣y2，a2﹣b2分别对应下列六个字：华、爱、我、中、游、美，现将（x2﹣y2）a2﹣（x2﹣y2）b2因式分解，结果呈现的密码信息可能是（）A．我爱美 B．中华游 C．爱我中华 D．美我中华【分析】将原式进行因式分解即可求出答案．【解答】解：原式＝（x2﹣y2）（a6﹣b2）＝（x﹣y）（x+y）（a﹣b）（a+b）由条件可知，（x﹣y）（x+y）（a﹣b）（a+b）可表示为“爱我中华”故选：C．【点评】本题考查因式分解的应用，涉及平方差公式，提取公因式法，并考查学生的阅读理解能力．6．（3分）已知分式（其中a，b为常数）满足表格中的信息：x的取值0.5﹣2m分式无意义值为0值为1则m的值是（）A．﹣1 B．1 C．2 D．3【分析】根据分式无意义、分式的值为0，可确定a、b的值，进而确定分式，再令分式的值为1求解即可．【解答】解：当x＝0.5时无意义，∴4x﹣b＝0，∴b＝1；当x＝﹣3时，分式的值为0，即，解得a＝2；∴这个分式为，当x＝m时，值为1，即＝6，解得m＝3，将检验m＝3是方程的解，故选：D．【点评】本题考查分式，理解分式无意义、分式值为0的意义是正确解答的前提，求出a、b的值，确定分式再代入计算是解决问题的关键．7．（3分）某运输公司运输一批货物，已知大货车比小货车每辆多运输5吨货物，且大货车运输75吨货物所用车辆数与小货车运输50吨货物所用车辆数相同，则所列方程正确的是（）A．＝ B．＝ C．＝ D．＝【分析】由每辆大货车的货运量是x吨，则每辆小货车的货运量是（x﹣5）吨，根据用大货车运送75吨货物所需车辆数与小货车运送50吨货物所需车辆数相同，即可得出关于x的分式方程．【解答】解：∵每辆大货车的货运量是x吨，∴每辆小货车的货运量是（ x﹣5）吨，依题意得：＝．故选：B．【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．8．（3分）已知菱形ABCD的两条对角线分别为6和8，M、N分别是边BC、CD的中点，P是对角线BD上一点（）A．5 B．5 C．5 D．不能确定【分析】作M关于BD的对称点Q，连接NQ，交BD于P，连接MP，此时MP+NP的值最小，连接AC，求出CP、BP，根据勾股定理求出BC长，证出MP+NP＝QN＝BC，即可得出答案．【解答】解：作M关于BD的对称点Q，连接NQ，连接MP，连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∠QBP＝∠MBP，即Q在AB上，∵MQ⊥BD，∴AC∥MQ，∵M为BC中点，∴Q为AB中点，∵N为CD中点，四边形ABCD是菱形，∴BQ∥CD，BQ＝CN，∴四边形BQNC是平行四边形，∴PQ∥AD，而点Q是AB的中点，故PQ是△ABD的中位线，即点P是BD的中点，同理可得，PM是△ABC的中位线，故点P是AC的中点，即点P是菱形ABCD对角线的交点，∵四边形ABCD是菱形，则△BPC为直角三角形，∴CP＝AC＝3BD＝3，在Rt△BPC中，由勾股定理得：BC＝5，即NQ＝5，∴MP+NP＝QP+NP＝QN＝2，故选：A．【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，平行四边形的性质和判定，菱形的性质，勾股定理的应用，解此题的关键是能根据轴对称找出P的位置．9．（3分）如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝6，点M为AB上一点，将△BCM沿CM翻折至△ECM，CE与AD相交于点F，且AG＝GE（）A． B．4 C． D．5【分析】由ASA证明△GAM≌△GEF（ASA），得出GM＝GF，AF＝ME＝BM＝x，EF＝AM＝6﹣x，因此DF＝8﹣x，CF＝x+2，在Rt△DFC中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【解答】解：设BM＝x，由折叠的性质得：∠E＝∠B＝90°＝∠A，在△GAM和△GEF中，，∴△GAM≌△GEF（ASA），∴GM＝GF∴AF＝ME＝BM＝x，EF＝AM＝6﹣x，∴DF＝8﹣x，CF＝5﹣（6﹣x）＝x+2，在Rt△DFC中，由勾股定理得：（x+8）2＝（8﹣x）4+62，解得：x＝，∴BM＝．故选：C．【点评】本题考查了翻折变换，矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握矩形的性质和全等三角形的判定与性质，由勾股定理得出方程是解决问题的关键．10．（3分）如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，交BC于点E，且∠ADC＝60°，连接OE，下列结论：①∠CAD＝30°；③S平行四边形ABCD＝AC•CD；④S四边形OECD＝S△AOD：⑤OE＝AD．其中成立的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】结合平行四边形的性质可证明△ABE为等边三角形，由BC＝AD＝2AB，可判断①，证明∠BAC＝90°，可判断②；由平行四边形的面积公式可判断③；利用三角形中线的性质结合三角形的面积可求解判断④，由三角形中位线定理可求AB＝2OE，即可判断⑤，即可求解．【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∠ADC＝60°，∴AD∥BC，∠ABC＝∠ADC＝60°，AO＝CO，∴∠DAE＝∠AEB，∠BAD＝∠BCD＝120°，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE，∴∠BAE＝∠AEB∴△ABE为等边三角形，∴∠BAE＝∠AEB＝60°，AB＝BE＝AE，∵BC＝AD＝2AB，∴EC＝AE＝BE，∴∠EAC＝∠ECA＝30°，∴∠CAD＝30°，故①正确；∵∠BAD＝120°，∠CAD＝30°，∴∠BAC＝90°，∴BO＞AB，∴OD＞AB，故②错误；∴S▱ABCD＝AB•AC＝AC•CD，故③正确；∵∠BAC＝90°，BC＝2AB，∴E是BC的中点，∴S△BEO：S△BCD＝7：4，∴S四边形OECD：S△BCD＝3：8，∴S四边形OECD：S▱ABCD＝3：8，∵S△AOD：S▱ABCD＝7：4，∴S四边形OECD＝S△AOD，故④正确．∵AO＝OC，BE＝EC，∴AB＝2OE，∵AD＝2AB，∴OE＝AD，故选：D．【点评】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，等边三角形的判定和性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．二．填空题（每题4分，共28分）11．（4分）已知x+y＝6xy，则+＝6．【分析】根据分式的加法法则把原式变形，代入计算即可．【解答】解：原式＝+＝，∵x+y＝6xy，∴原式＝＝4，故答案为：6．【点评】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的加法法则是解题的关键．12．（4分）一个n边形的内角和是它外角和的3倍，则边数n＝8．【分析】利用多边形的外角和是360度，一个n边形的内角和等于它外角和的5倍，则内角和是5×360°，而n边形的内角和是（n﹣2）180°，则可得到方程，解之即可．【解答】解：根据题意列方程，得：（n﹣2）180°＝3×360°，解得：n＝7，即边数n等于8．故答案为8．【点评】本题主要考查了多边形的内角和的计算公式以及多边形的外角和定理，比较简单．13．（4分）若关于x的一元二次方程（k﹣2）x2+x+k2﹣4＝0有一个根是0，则k的值是﹣2．【分析】先把x＝0代入（k﹣2）x2+x+k2﹣4＝0得到：k2﹣4＝0，解关于k的方程得k1＝﹣2，k2＝2，然后根据一元二次方程的定义可确定k的值．【解答】解：把x＝0代入（k﹣2）x2+x+k2﹣4＝6，得k2﹣4＝6，解得k1＝﹣2，k6＝2，而k﹣2≠2即k≠2．所以k＝﹣2．故答案为：﹣6．【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．14．（4分）如图，已知BD与CE相交于点A，DE∥BC，AB＝3，AC＝64．【分析】证明△ABC∽△ADE，由相似三角形的性质得出，则可得出答案．【解答】解：∵ED∥BC，∴△ABC∽△ADE，∴，即，∴AE＝4，【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟记性质是解题的关键．15．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，N是边BC上一点，点D，E分别为CN，DE的值是．【分析】连接CM，由勾股定理得到AB＝＝5，由直角三角形斜边中线的性质得到CM＝，由三角形中位线定理得到DE＝CM＝．【解答】解：连接CM，∵∠C＝90°，AC＝3，∴AB＝＝5，∵M为AB边上的中点，∴CM＝AB＝，∵点D，E分别为CN，∴DE是△MNC的中位线，∴DE＝CM＝．故答案为：．【点评】本题考查直角三角形斜边中线，勾股定理，三角形中位线定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．16．（4分）如图，等腰Rt△OAB的斜边OA在x轴的正半轴上，O为坐标原点，OB的长为半径画弧，交OA于点C，C为圆心，以大于，两弧交于点E，作射线OE交AB于点D（1，1），则点D的坐标为（，2﹣）．【分析】连接DC，过点B作BF⊥OA，证明△BOD≌△COD（SAS），得∠OCD＝∠OBD，然后根据Rt△OAB是等腰直角三角形，即可解决问题．【解答】解：连接DC，过点B作BF⊥OA，由题意可知：OB＝OC，OE是∠BOC的角平分线，∴∠BOD＝∠COD，∵OD＝OD，∴△BOD≌△COD（SAS），∴∠OCD＝∠OBD，∵Rt△OAB是等腰直角三角形，∴∠OBD＝90°，∠DAC＝∠BOA＝45°，∴∠OCD＝∠OBD＝90°，∴DC⊥OA，∴DC＝AC，∵Rt△OAB是等腰直角三角形，点B的坐标为（1，∴OA＝2，∴OF＝AF＝BF＝8，∴OB＝BF＝，∴OB＝OC＝，∴AC＝OA﹣OC＝2﹣＝DC，∴点D的坐标为（，2﹣）．故答案为：（，2﹣）．【点评】本题考查了作图﹣基本作图，等腰直角三角形，全等三角形的判定与性质，坐标与图形性质，解决本题的关键是掌握基本作图方法．17．（4分）如图，AB⊥BD，CD⊥BD，CD＝4，BD＝14．点P在BD上移动，C，D为顶点的三角形与△ABP相似时，则PB的长为8.4或2或12．【分析】设DP＝x，则BP＝BD﹣x＝14﹣x，根据垂直的定义得到∠B＝∠D＝90°，再根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，当时，△ABP∽△PDC，即；然后分别解方程求出x即可．【解答】解：设DP＝x，则BP＝BD﹣x＝14﹣x，∵AB⊥BD于B，CD⊥BD于D，∴∠B＝∠D＝90°，当时，△ABP∽△CDP，即，解得：x＝，∴BP＝14﹣＝8.3，当时，△ABP∽△PDC，即；整理得x3﹣14x+24＝0，解得x1＝8，x2＝12，BP＝14﹣2＝12，BP＝14﹣12＝7，∴当BP为8.4或3或12时，以C、D、B、A为顶点的三角形相似．故答案为：8.4或4或12．【点评】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．三．解答题（共62分）18．（8分）（1）解不等式（组）：；（2）解方程：x2+2x﹣15＝0．【分析】（1）根据不等式组的解法即可求出答案．（2）利用因式分解法即可求出答案．【解答】解：（1），由①得：x＞﹣，由②得：x≤4，∴不等式组的解集为：﹣＜x≤4；（2）解方程：x2+7x﹣15＝0．（x+5）（x﹣8）＝0，x+5＝8或x﹣3＝0，∴x2＝﹣5，x2＝5．【点评】此题主要考查了不等式组的解法以及因式分解法解一元二次方程，正确掌握解题步骤是解题关键．19．（6分）在长度均为1的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，已知点A、B、C的坐标分别为（1，0）、（4，2）、（2，4）．（1）将△ABC沿着x轴向左平移5个单位后得到△A1B1C1，请在图中画出平移后的△A1B1C1；（2）将△ABC绕着O顺时针旋转90°后得到△A2B2C2，请在图中画出旋转后的△A2B2C2；（3）将线段AB绕着某个定点旋转180°后得到B1A1（其中点A的对应点为点B1，点B的对应点为点A1），则这个定点的坐标是（0，1）．【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；（2）利用旋转变换的性质分别作出A，B，C的对应点A2，B2，C2即可；（3）连接BA1，AB1交于点Q，点Q即为所求．【解答】解：（1）如图，△A1B1C8即为所求；（2）如图，△A2B2C8即为所求；（3）将线段AB绕着某个定点旋转180°后得到B1A1（其中点A的对应点为点B2，点B的对应点为点A1），则这个定点Q的坐标（0．故答案为：（2，1）．【点评】本题考查作图﹣旋转变换，平移变换等知识，解题的关键是掌握旋转变换，平移变换的性质，属于中考常考题型．20．（8分）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，那么称这个分式为“和谐分式”，如：，则（1）下列分式中，属于“和谐分式”的是①③；（只填序号）①；②；③；④．（2）将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式：＝x﹣1+；（3）判断的结果是否为“和谐分式”，并说明理由．【分析】（1）依据题意，根据和谐分式的意义逐个判断即可得解；（2）依据题意，分子x2﹣2x+2＝x2﹣2x+1+1＝（x﹣1）2+1，进而变形可以得解；（3）依据题意，首先通过分式的混合运算法则进行化简，然后再依据和谐分式的意义判断即可得解．【解答】解：（1）∵＝1+，∴①是和谐分式．∵分式分子的次数低于分母次数，∴该分式不能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式．∴②不是和谐分式．∵＝＝1﹣，∴③是和谐分式．∵＝＝2x+1，∴④不是和谐分式．故答案为：①③．（2）由题意，＝＝＝x﹣1+．故答案为：x﹣1+．（3）﹣÷＝﹣•＝﹣＝＝＝4+．∴该分式是和谐分式．【点评】本题主要考查了分式的混合运算，解题时要能熟练掌握并理解．21．（7分）如图，已知四边形AEBD是平行四边形，对角线AB与DE相交于点F，延长EB过点D作DC∥AB，交EB的延长线于点C．（1）求证：四边形AEBD是菱形；（2）若DC＝4，BD＝，求四边形ABCD的面积．【分析】（1）证∠BED＝∠BDE，得BD＝BE，再由菱形的判定即可得出结论；（2）证四边形ABCD是平行四边形，得AB＝DC＝4，S平行四边形ABCD＝2S△ABD＝S菱形AEBD，再由勾股定理得由勾股定理得DF＝6，则DE＝2DF＝12，即可解决问题．【解答】（1）证明：∵四边形AEBD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠ADE＝∠BED，∵DE平分∠ADB，∴∠ADE＝∠BDE，∴∠BED＝∠BDE，∴BD＝BE，∴平行四边形AEBD是菱形；（2）解：∵四边形AEBD是菱形，∴AD＝BE，AD∥BE，AF＝BF，∵DC∥AB，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝DC＝4，S平行四边形ABCD＝2S△ABD＝S菱形AEBD，∴BF＝AB＝2，在Rt△BDF中，由勾股定理得：DF＝＝，∴DE＝7DF＝12，∴S平行四边形ABCD＝S菱形AEBD＝AB•DE＝．【点评】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．22．（8分）“日啖荔枝三百颗，不辞长作岭南人．”深圳南山的荔枝以肉厚多汁深受大众的喜爱．某超市用2000元购进一批桂味荔枝和用3000元购进糯米糍荔枝的千克数相同，已知每千克糯米糍荔枝价格比每千克桂味荔枝的价格多10元．（1）求桂味荔枝、糯米糍荔枝每千克的进货价格；（2）这两种荔枝销售很好，超市决定再进这两种荔枝共300千克，且糯米糍荔枝的数量不超过桂味荔枝数量的2倍，糯米糍荔枝以38元/千克销售，请问桂味、糯米糍荔枝各进货多少千克时获得利润最大？最大利润是多少元？【分析】（1）设桂味荔枝每千克的进货价格x元，则糯米糍荔枝每千克的进货价每千克（x+10）元，根据两种荔枝千克数相同列出方程，解方程即可；（2）设桂味荔枝进货t千克，总利润为W元，则糯米糍荔枝进货（300﹣t）千克，根据题意得出300﹣t≤2t，得出t≥100，由题意得出W＝﹣3t+2400，由一次函数的性质得出W随t的增大而减小，得出当t＝100时，W的最小值＝2100（元），求出300﹣100＝200即可．【解答】解：（1）设桂味荔枝每千克的进货价格x元，则糯米糍荔枝每千克的进货价每千克（x+10）元，根据题意得：＝，解得：x＝20，经检验x＝20是分式方程的解，∴x+10＝30，答：桂味荔枝、糯米糍荔枝每千克的进货价格分别为20元和30元；（2）设桂味荔枝进货t千克，总利润为W元，根据题意得：300﹣t≤2t，解得：t≥100，∵W＝（25﹣20）t+（38﹣30）（300﹣t）＝﹣3t+2400，∵﹣2＜0，∴W随t的增大而减小，∴当t＝100时，W最大，Wmax＝﹣3×100+2400＝2100（元），此时300﹣100＝200，答：桂味、糯米糍荔枝各进货100千克和200千克时获得利润最大．【点评】本题考查了一次函数的应用、分式方程的应用；根据题意方程方程组和得出一次函数解析式是解决问题的关键．23．（6分）学习完“一元一次不等式与一次函数”后，老师给出了这样一道练习题：如图，直线y＝2x与直线y＝kx+b交于点A（1，m），通过观察图象快速写出了这道题的答案是：x＜1．接着，老师又提出了一个具有挑战性的题目：求不等式：的解集．小明所在的数学兴趣小组展开了对这个问题的探究​（1）首先画出函数的图象．的图象．①列表：如表是x与y的几组对应值，其中a＝2；②描点：根据表中的数值描点（x，y），请补充描出点（0，a）；③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请画出函数图象；X…﹣2﹣﹣1﹣012…Y…1a1…（2）观察分析图象特征，结合已有的学习经验和该函数的性质，可得不等式﹣1≤x≤1．​【分析】写出直线y＝2x在直线y＝kx+b下方所对应的自变量的范围得到不等式kx+b＞2x的解集；（1）计算自变量为0时的函数值得到a的值，然后用平滑的曲线顺次连接各点得到函数y＝的图象；（2）观察函数图象，写出函数值大于或等于1所对应的自变量的范围即可．【解答】解：∵直线y＝2x与直线y＝kx+b交于点A（1，m），∴当x＜5，kx+b＞2x，即不等式kx+b＞2x的解集为x＜8；故答案为：x＜1；（1）当x＝0时，y＝，即a＝4；故答案为：2；如图，（2）由图象得﹣1＜x＜7时，≥1，即不等式的解集是﹣3≤x≤1．故答案为：﹣1≤x≤3．【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式，认真体会一次函数与一元一次不等式（组）之间的内在联系及数形结合思想．理解一次函数的增减性是解决本题的关键．24．（9分）如图，在平面直角坐标系中，直线AB：，y轴分别交于点B，A两点，四边形ABCD为平行四边形，且D（12，m）．（1）m＝3，点C的坐标为（﹣+12，0）．（2）一动点P在AD边上，以每秒1cm的速度从点A向点D运动．①连接CP，当CP平分∠BCD时，求此时△CDP的面积；②另一动点Q在BC边上，以每秒4cm的速度从点C出发，在BC间往返运动，当点P到达点D时停止运动（同时Q点也停止），则t为何值时，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形．【分析】（1）依据题意，首先求出A、B两点坐标，再根据平行四边形的性质，可得AD＝BC，D的纵坐标与A的纵坐标相同，进而可以得解；（2）①依据题意，CP平分∠BCD，AD∥BC，可得DP＝CD，结合A、B两点坐标可得AB＝2＝CD＝DP，再由D的纵坐标即可△CDP的DP边上的高，进而可以得解；②依据题意，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形，又PD∥BQ，从而PD＝BQ，再结合运动时间t，进行分析可以得解．【解答】解：（1）由题意，对于直线AB：y＝，令x＝0，则y＝3，∴A（0，3）．令y＝8，则x＝﹣，∴B（﹣，2）．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC．∵D（12，m），3），∴D的纵坐标与A的纵坐标相同为3，BC＝AD＝12．∴m＝7．∵B（﹣，0），∴C（﹣+12．故答案为：3；（﹣，2）．（2）①由题意，CP平分∠BCD，∴∠DCP＝∠BCP．∵AD∥BC，∴∠DPC＝∠BCP．∴∠DCP＝∠DPC．∴DP＝CD．∵由（1）得A（0，3），0），∴AB＝＝2．由四边形ABCD是平行四边形，∴CD＝AB＝DP＝3．∵D（12，3），∴S△CDP＝DP•h＝2．②设经过t秒，以点P、D、Q，∵以点P、D、Q、B为顶点组成平行四边形，∴DP＝BQ，分为以下情况：Ⅰ．当点Q的运动路线是C﹣B时，∴12﹣4t＝12﹣t．此时方程t＝0，此时不符合题意．Ⅱ．当点Q的运动路线是C﹣B﹣C时，∴6t﹣12＝12﹣t，解得：t＝4.8．Ⅲ．当点Q的运动路线是