基于icm方法的板壳结构多工况拓扑优化设计

基于icm方法的板壳结构多工况拓扑优化设计

0拓扑优化设计由于板壳结构可以承受横向负荷，因此在工程中是一种非常常见的结构形式，在航空航天、航空、机械、化工、建筑、车辆等领域发挥着重要作用。为了最大限度地设计板壳结构，国内外科学家对板壳结构的优化设计进行了研究和研究。1999年，krog和olhoff通过均匀化方法研究了具有静荷载或自由振动的圆形和平面，并对加强筋板进行了优化设计。2000年代，采用统一的方法，lee和其他各向同性多层外壳结构进行了优化设计。2002年，a垂直设计提出了壳结构的形状和结构的综合优化方法。基于结构的最大刚度，涂层优化模型为涂层优化方法。2002年，belblirida和bulman采用适应性最小适应性优化方法（cato）。2005年，afersons采用了一套完整的通用域名格式的优化算法：大小优化、形状优化和通信优化。在大多数情况下，需要重新设计的事务和地壳结构，以分析薄结构的共同负荷和位移限制的结构。2008年，公园和杨采用自适应内部空间组方法（ad51d）对超级别地壳结构进行了优化。总体来说,对平板拓扑优化的研究较多,而对壳结构的研究相对较少.目前对于板壳结构拓扑优化的研究多数还停留在单工况阶段,而对多工况下的拓扑优化还仅限于骨架结构和平面结构,研究板壳结构的很少.造成这种情况的一个原因是多数拓扑优化模型是在体积约束(或质量约束)下,以最大刚度(或最小应变能)为目标进行求解,而这样的优化模型存在一些难以克服的问题.它不仅使拓扑优化的建模规范同截面与形状优化不一致,而且体积或质量约束很难事先确定,更严重的是在解决多工况问题时会遇到多目标规划的困难.针对以上问题,本文基于ICM(独立、连续、映射)方法,使用独立连续拓扑变量,引入重量、刚度过滤函数,建立起以结构重量最轻为目标,以结构位移为约束的显式化连续体拓扑优化模型,采用对偶映射下的序列二次规划进行求解.然后给出了单工况位移约束下平板和圆柱壳结构的最优拓扑,将结果与已有文献进行了对比.最后研究了多工况位移约束下平板和圆柱壳结构的最优拓扑结构.1单元拓扑变量t的显式化表达应用有限元方法将待优化结构离散为n个单元,其中第i个单元的“有”和“无”分别用单元拓扑变量ti取1或0表示.这样,整个结构的拓扑形状就由单元拓扑变量向量t={t1,…,tn}T确定,于是结构重量W、节点j的关切位移uj等,也就成了t的函数.因此在多工况位移约束下,以结构重量最轻为目标的拓扑优化问题一般形式为:{求t={t1,⋯,tn}Τ使W(t)=n∑i=1wi(ti)→mins.t.url(t)≤ˉurti∈0或1(i=1,⋯,n;r=1,⋯,R;l=1,⋯,L)(1)其中wi为第i个单元的重量;url为第l个工况下第r个位移约束处的位移,ˉur为第r个位移约束的上限,L为总工况数,R为定义的位移约束数.为了把问题(1)表达的拓扑优化问题转化为拓扑优化模型,需要把目标函数wi和url对于拓扑变量向量t的隐函数显式化.依据ICM方法,采用过滤函数将0-1离散的拓扑变量映射为连续的拓扑变量,可以建立起连续可微的显式化优化模型;再应用合适的优化算法求解此优化模型;最后将得到的最优连续拓扑变量反演为0-1离散的最优拓扑变量.引入定义在的过滤函数,将单元拓扑变量ti由离散变量0或1扩展到连续变量,则重量目标wi(t)的显式化表达为:wi(t)=fw(ti)w0i(2)其中fw(ti)=eti/γw-1e1/γw-1为重量的指数型过滤函数,其中参数γw=0.1863;w0i为第i个单元的固有重量.结构任意节点在某一方向上的广义位移uj可以应用莫尔定理由下式表示:uj=n∑i=1Dji=n∑i=1∫(σVi)ΤεRidv=n∑i=1(ΡRi)ΤuVji(3)其中Dji=∫(σVji)TεRidv为单元i对广度位移uj贡献的莫尔积分形式,σVi为在uj位移方向上作用单位虚载荷下单元i的应力向量,εRi为在实载荷下单元i的应变向量,PRi为实载荷下单元i的节点力向量,uVji为单位虚载荷下单元i的虚位移向量.引入定义在刚度过滤函数fk(ti)对单元i的固有单元刚度矩阵k0i进行识别,将单元拓扑变量ti由离散变量0或1扩展到连续变量:ki=fk(ti)k0i(4)其中fk(ti)=eti/γk-1e1/γk-1为刚度的指数型过滤函数,其中参数γk=0.0621.可以建立起第v次迭代时,uj(t)的显式化表达式:uj=n∑i=1fk(t(v-1)i)fk(t(v)i)(ΡRi)ΤuVi(5)其中PRi为v-1第次迭代时,实载荷下单元i的节点力向量;uVi为第v-1次迭代时,单位虚载荷下单元i的虚位移向量.定义单元对位移的贡献系数为:Aji=(PRi)uVi(6)再定义位移约束方程系数为:cji=Aijfk(t(v-1)i)(7)则位移约束显式表达式为:{求t={t1,⋯,tn}Τ使W(t)=n∑i=1w0ifw(ti)→mins.t.uj(t)=n∑i=1cjifk(ti)≤ˉuj0≤ti≤1(i=1,⋯,n;j=1,⋯,m)(8)其中m为经过约束初选后的有效位移约束数,m≤L×R.2拓扑优化的程序2.1对偶映射下的序列二次规划求解方法为了降低优化模型(8)的求解工作量.采用对偶规划求解:{求λ∈{λ1,⋯,λm}Τ使Φ(λ)→maxs.t.λj≥0(j=1,⋯,m)(9)其中:Φ(λ)=min0≤ti≤1(L(t,λ))(10)L(t,λ)=n∑i=1w0ifw(ti)+m∑j=1λj(n∑i=1cjifk(ti)-ˉuj)(11)对偶规划中的目标函数Φ(λ)可采用二阶泰勒展式近似转化为:{求λ∈{λ1,⋯,λm}Τ使-Φ(λ)=12λΤDλ+FΤλ→mins.t.λj≥0(j=1,⋯,m)(12)其中:Djl=-∂2Φ(λ0)∂λj∂λl=n∑i=1cji1f2k(t*i)∂fk(t*i)∂t*i∂t*i∂λl(13)Fj=-∂Φ(λ0)∂λj+m∑l=1∂2Φ(λ0)∂λj∂λlλ0l=-n∑i=1cji1fk(t*i)-m∑l=1n∑i=1cji1f2k(t*i)∂fk(t*i)∂t*i∂t*i∂λlλ0l+ˉuj(14)由K-T条件,有:∂L(t,λ)∂ti=w0i∂fw(t*i)∂ti+m∑j=1λjcji(-1f2k(t*i)∂fk(t*i)∂ti){≤0(t*i=1)=0(0<t*i<1)≥0(t*i=0)(15)由式(15)得知t*i是λ的函数t*i(λ),将其代入式(15)并化简,得到当0<t*i<1时的恒等式:et*i/γw(et*i/γk-1)2≡Get*i/γk(16)其中:G=γww0iγk(e1/γw-1)(e1/γk-1)m∑j=1cjiλj求解中为了避免发生奇异,将ti下限0取作一个很小的正数t;为了提高求解效率,将单元连续拓扑变量划分为主动变量集和被动变量集,其中被动变量集为已经设计好的部分,其单元拓扑变量值取为t或1.2.2优化收敛准则优化的收敛准则为:ΔW=|W(v)-W(v-1)|W(v-1)<ε(17)其中ΔW为相邻两次优化结果的寻优的结构重量W(v)和W(v-1)的相对误差,v-1与v为相邻两次迭代指标,ε为输入的重量收敛精度.针对拓扑优化中出现的棋盘格现象,采用了图形过滤的方法进行消除.2.3本文拓扑优化程序的流程(1)输入优化参数,按MSC.Patran建立有限元模型,赋单元连续拓扑变量初始值v=0时为t(0)i=1.(2)由MSC.Nastran对第v次迭代进行有限元分析.(3)提取有限元分析结果,根据式(7)计算优化模型系数cji.(4)按Matlab中的二次规划算法求解模型(12)得到λ(v),再求解方程(16),即可得到t(v).(5)根据得到的单元连续拓扑变量t(v),确定结构的拓扑形状.(6)按式(17)判断是否收敛:如是,则输出t*并转(7)进行反演;如否,则v=v+1转(2).(7)将连续的拓扑变量反演为0-1离散的拓扑变量,通过搜索确定最佳反演阈值,停止寻优.3计算值的示例3.1最优拓扑思想密度如图所示四边固支的正方形平板,中心受集中荷载P作用,弹性模量E=10.92×105,泊松比ν=0.3,密度ρ=1.0,集中荷载P=100.约束:中心点的纵向位移小于0.74.采用4节点板单元,利用对称性将板的1/4划分为25×25网格进行计算,收敛精度ε为0.001,经27次迭代收敛,图2显示的是复原后整体的最优拓扑构型.结构初始重量为10.000,优化后的重量为4.933,是初始重量的49.33%;初始中心点纵向位移为-5.6236,优化后纵向位移为-7.3539.结构重量和位移的迭代历史如图3所示,其中前25次为在连续设计空间内进行对优化模型进行求解,后2次为在离散设计空间内寻找最优的反演阈值.作为对照,文献基于相同的基结构和网格划分,采用CATO方法以最小应变能为目标进行拓扑优化,体积约束50%,迭代69次,其最优拓扑构型如图4所示.两种方法得到了相似的拓扑形状和相近的结构最优重量,但ICM方法所需的迭代次数仅为文献的40%.3.2单元结构拓扑优化如图5所示四个角点固支的圆柱壳,中心受集中荷载P作用,弹性模量E=10.92×103,泊松比ν=0.3,密度ρ=0.001,集中荷载P=100.约束:中心点的纵向位移小于3.1.采用4节点壳单元,划分为40×40网格,收敛精度ε取0.001.初始重量为10.000,中心点纵向位移为-1.5424.经49次迭代收敛,结构的最优拓扑构型如图6所示,最优拓扑构型的重量为3.450,是初始重量的34.50%,中心点纵向位移为-3.0606.图7为结构重量和位移的迭代历史,其中后5次为反演迭代,它保证了最优拓扑满足位移约束.对于同样的圆柱壳,文献取了1/4结构,划分为20×20网格,采用CATO方法以最小应变能为目标进行拓扑优化,施加35%的体积约束,其最优拓扑构型如图8所示.可以看出,二者的最优拓扑非常相近,说明采用ICM解决圆柱壳结构拓扑优化问题是可行的.3.3不同边界条件下的最优拓扑结构如图9所示的矩形平板,弹性模量E=10.92×105,泊松比ν=0.3,密度ρ=1.0.结构受两个工况作用,工况1:在板长边1/3处的中间,作用集中荷载P1=100;工况2:在板长边2/3处的中间,作用集中荷载P2=100.约束:在工况1和工况2单独作用,以及两个工况同时作用(多工况)时,在力作用点处的纵向位移均小于1.2.分别考察的在4种不同边界条件(固-固-固-固,固-简-固-简,简-固-简-固,固-固-简-简)下,平板的最优拓扑结构.采用4节点板单元,划分为90×60网格,收敛精度ε取0.001.表1给出了位移约束值d=1.2时,具有不同边界条件的平板优化结果.可以看到,不同的边界条件使平板具有不同的承载能力.对于同样的位移约束值,承载能力越大的平板可以优化的空间越大.另外,对于同一个基结构,由于多工况要综合考虑每个工况的受力情况,因此多工况情形要比单工况情形保留更多的结构,优化空间小于单工况情形.图10-图13给出了上述四种不同边界条件下的最优拓扑构型.可以看到,固定边界使结构承载力更强,因而最优拓扑都尽量与固定边界连接(如图10和图11的对比).在固定边界无法满足承载要求时,最优拓扑会延伸到承载能力相对较弱的简支边界(如图11和图12的对比).另外,由图13可以看到,对于非对称边界“固-固-简-简”,无论是单工况还是多工况情形,其最优拓扑构型也是非对称的.因此,同一平板在不同边界下的表现出的最佳传力是不同的,在实际工程应用中,对平板结构可参考不同边界下的最优拓扑构型进行布置.3.4位移约束值d的影响如图14所示四个角点固支的圆柱壳,弹性模量E=10.92×103,泊松比ν=0.3,密度ρ=0.001.结构受两个工况作用,工况1:在沿母线1/3处的中间,作用集中荷载P1=100;工况2:在沿母线2/3处的中间,作用集中荷载P2=100.考察位移约束值d依次取2.0,2.2,2.4,2.6,2.8,3.0时,在工况1和工况2单独作用,以及两个工况同时作用(多工况)下,圆柱壳的最优拓扑结构.采用4节点壳单元,划分为90×60网格,收敛精度ε取0.001.图15-图20给出了位移约束值d从2.0增加到3.0的过程中圆柱壳最优拓扑构型的变化过程.由于工况1和工况2的对称性,两者的最优拓扑仅是朝向不同,因此只给出了工况1的结构最优拓扑.观察位移约束值d增大时圆柱壳最优拓扑构型的变化可以发现:单工况和多工况最优拓扑构型的变化方式完全不同,可见多工况最优传力路径不是各个单工况最优传力路径的简单叠加,说明包络法并不能保障收敛到最优拓扑.表2给出了不同位移约束值下各工况的优化结果,可见ICM方法可以用较少的迭代步数完成壳体的拓扑优化,而且充分发掘了结构的承载能力.4多工况板壳结构拓扑优化的最优拓扑基于ICM方法,分别对单工况和多工况位移约束下的板壳结构进行了拓扑优化设计.(1)以结构最小重量为目标,以多种载荷工况下结构位移为约束,建立