94三垂线定理复习市公开课获奖课件省名师优质课赛课一等奖课件

直线和平面垂直定义假如一条直线和一个平面内任意一条直线都垂直，我们就说直线和平面相互垂直，记作．它们唯一公共点即交点叫做垂足．直线叫做平面垂线，平面叫做直线垂面．

1/25唯一性公理一mA过一点有且只有一条直线和已知平面垂直2/25唯一性公理二过一点有且只有一个平面和已知直线垂直mAB3/25直线与平面垂直判定定理假如直线和平面内两条相交直线m,n都垂直，那么直线垂直平面。即：mnP线不在多，重在相交4/25线面垂直性质定理假如两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行判定线面垂直一个命题假如两条平行线中一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面5/25ACBO

定理

从平面外一点向这个平面所引垂线段和斜线段中，（1）射影相等两条斜线段相等，射影较长斜线段也较长（2）相等斜线段射影相等，较长斜线段射影也较长（3）垂线段比任何一条斜线段都短6/25平面一条斜线和它在平面上射影所成锐角(即斜射角)，叫做这条直线和这个平面所成角。一条直线垂直与平面，它们所成角是直角；一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成角是0

角。直线和平面所成角范围是[0

，90

]。平面斜线和平面所成角7/25如图，OA是平面

斜线，OB⊥平面

于B，AC是

内不与AB重合任意直线，∠OAB=

，∠BAC=

，∠OAC=，求证：cos=coscosOABC

——线面角（斜射角），

——射非角——斜非角

斜非角余弦等于线面角余弦与射非角余弦积8/25三垂线定理逆理：

在平面内一条直线，假如和这个平面一条斜线垂直，那么，它也和这条斜线射影垂直。三垂线定理：在平面内一条直线，假如和这个平面一条斜线射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直。线射垂直线斜垂直定理逆定理线射垂直

线斜垂直

定理逆定理9/25PAOaα三垂线定理及其逆定理包含几个垂直关系？②线射垂直PAOaα①线面垂直③线斜垂直PAOaα直线和平面垂直平面内直线和平面一条斜线射影垂直平面内直线和平面一条斜线垂直10/25线射垂直线斜垂直PAOaαPAOaα平面内一条直线和平面一条斜线在平面内射影垂直平面内一条直线和平面一条斜线垂直？11/25例3假如一个角所在平面外一点到角两边距离相等，那么这一点在平面上射影在这个角平分线上。已知：∠BAC在平面

内，点P

，PE⊥AB，PF⊥AC，PO⊥，垂足分别是E、F、O，PE=PF求证：∠BAO=∠CAO分析：要证∠BAO=∠CAO只须证OE=OF,OE⊥AB,OF⊥ACP

CBAOFE???证实：∵PO⊥

∴OE、OF是PE、PF在内射影∵PE=PF∴OE=OF由OE是PE射影且PE⊥AB

OE⊥AB同理可得OF⊥AC结论成立12/25例4、道旁有一条河，彼岸有电塔AB，高15m，只有测角器和皮尺作测量工具，能否求出电塔顶与道路距离？解：在道边取一点C，再在道边取一点D，使水平角CDB等于45°，测得C、D距离等于20mBAC90°D⌒45°使BC与道边所成水平角等于90°，13/25BAC90°D⌒45°∵BC是AC射影且CD⊥BC∴CD⊥AC∵∠CDB=45°，CD⊥BC，CD=20m∴BC=20m，在直角三角形ABC中AC2=AB2+BC2，AC=152+202=25(m)答：电塔顶与道路距离是25m。所以斜线AC长度就是电塔顶与道路距离。14/25例5直接利用三垂线定理证实以下各题：已知：PA⊥正方形ABCD所在平面，O为对角线BD中点。求证：PO⊥BD，PC⊥BD(3)已知：在正方体AC1中，求证：A1C⊥B1D1，A1C⊥BC1(2)已知：PA⊥平面PBC，PB=PC，M是BC中点，求证：BC⊥AMADCBA1D1B1C1(1)(2)BPMCA(3)POABCD15/25√×⑴若a是平面α斜线，直线b垂直于a在平面α内射影，则a⊥b（）⑷若a是平面α斜线,b∥α,直线b垂直于a在平面α内射影，则a⊥b（）⑶若a是平面α斜线，直线b

α且b垂直于a在另一平面β内射影则a⊥b（）⑵若a是平面α斜线，平面β内直线b垂直于a在平面α内射影，则a⊥b（）练习：判断以下命题真假：面ABCD→面α直线A1C→斜线a直线B1B→垂线b××ADCBA1D1C1B1面ABCD→面α面B1BCC1→面β直线A1C→斜线a直线AB→垂线b面ABCD→面α直线A1C→斜线a直线B1B→垂线b16/25思索题：（1）在四面体ABCD中，已知AB⊥CD，AC⊥BD。求证：AD⊥BC∴DO⊥BC，于是AD⊥BC.证实：作AO⊥平面BCD于点O，连接BO，CO，DO，则BO，CO，DO分别为AB，AC，AD在平面BCD上射影。OADCB∵AB⊥CD，∴BO⊥CD，同理CO⊥BD，于是O是△BCD垂心，17/25思索题：（1）在四面体ABCD中，对棱相互垂直，则A在底面BCD上射影是底面BCD

心。ADCBO（3）在四面体ABCD中，AB=AC=AD，则A在底面BCD上射影是底面BCD

心。（4）在四面体ABCD中，顶点A到BC、CD、DB距离相等，则A在底面BCD上射影是底面BCD

心。垂外内（2）在四面体ABCD中，AB、ＡＣ、ＡＤ相互垂直，则A在底面BCD上射影是底面BCD

心垂18/25例在正方体ABCD—A1B1C1D1中，P为DD1中点，O为底面ABCD中心，求证B1O⊥PAPO导析：正方体中有众多线面垂直，为我们使用“三垂线定理”提供了极为便利条件。谁是基础平面呢？若以平面BB1D1D为基础面，可有以下证实方法，如图六因为AO⊥BD，而BB1⊥面ABCD，从而有AO⊥BB1，得AO⊥平面BB1D1D，故PO就是AP在平面BB1D1D上射影19/25PO20/25例在正方体ABCD—A1B1C1D1中，P为DD1中点，O为底面ABCD中心，求证B1O⊥PAPO导析：正方体中有众多线面垂直，为我们使用“三垂线定理”提供了极为便利条件。谁是基础平面呢？若以平面A1ADD1为基础面，显然B1A1⊥平面A1ADD1，只须作出O点在平面A1ADD1上射影即可得到斜线B1O在平面A1ADD1上射影。21/25如图，O点在平面A1ADD1上射影恰为AD中点M，只要证实A1M⊥AP即可。这在正方形A1ADD1中是显然结论。基础平面22/25解题小结：不一样选择，使问题处理过程有难有易，由此也表达出灵活性并非能轻而易举地取得，所以要加强训练。

F有趣是，在线段A1B1上任取一点F，结论都能有FO⊥AP。原因何在？23/251．如图，PA⊥△ABC所在平面，AB＝AC＝13，BC＝10，PA＝5，求点P到直线BC距离．设BC中点为D，连结PD．∵AB＝AC＝13，BC＝10，∴AD⊥BC．且AD＝12．又∵PA⊥平面ABC，∴PD⊥BC．即PD长度就是P到直线BC距离．而P