数学（基础模块）上下两册中职PPT完整全套教学课件

基础模块数学2022授课教师：时间：2022年XX月（上册）集合不等式函数指数函数和对数函数三角函数直线与圆的方程简单几何体概率与统计初步全套可编辑PPT课件(上下两册全)1.11.21.31.4集合与元素集合的表示法集合之间的关系集合的运算第一章集合CONTENTS集合与元素1.1观察1.1集合与元素下列事情有什么共同点？(1)庆祝中华人民共和国成立70周年大会上的三军仪仗队方队由陆军、海军、空军的仪仗队员组成.(2)某中等职业学校一年级某班的所有学生组成一个班集体.(3)小玲和她的爷爷、奶奶、父亲、母亲组成一个家庭.(4)小刚昨天的晚餐由一碗米饭、一盘红烧鱼组成.上述例子的共同点是，三军仪仗队方队、班集体、家庭、晚餐分别是由一些对象组成的整体，于是我们用集合这个词来统一地表达它们.1.1集合与元素抽象集合是指一些事物组成的整体，其中每一个事物称为这个集合的一个元素.例如，小玲的家庭是一个集合；小玲的爷爷、奶奶、父亲、母亲以及小玲都是这个集合的元素.说一说(1)你这个学期要学的所有课程组成一个集合，这个集合的元素有哪些？(2)你所在班级的班委会是不是一个集合？如果是，这个集合的元素有哪些？(3)你昨天晚上吃的饭和菜组成一个集合，即你昨天的晚餐，这个集合的元素有哪些？1.1集合与元素抽象集合通常用大写英文字母A，B，C，D，…来表示；集合的元素通常用小写英文字母a，b，c，…来表示.由所有自然数0，1，2，3，…组成的集合称为自然数集，记作N.不为0的自然数也称为正整数.所有正整数组成的集合称为正整数集，记作N*或N+.正整数、零和负整数统称为整数，所有整数组成的集合称为整数集，记作Z.1.1集合与元素抽象整数和分数统称为有理数，所有有理数组成的集合称为有理数集，记作Q.无限不循环小数称为无理数.例如，圆周率π是无理数；

，

，

都是无理数.有理数和无理数统称为实数，所有实数组成的集合称为实数集，记作R.组成集合的事物都是确定的.例如，你所在班级的班委会，谁是班委会的成员，谁不是成员，都是明确的.如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A；如果b不是集合A的元素，就说b不属于A，记作b∉A.做一做你能用符号“∈”或“∉”正确填写下列空格吗？（1）数学

你这学期要学的所有课程组成的集合；（2）你

本人你所在班级的班委会；（3）8

N*，－8

N，0

N，－6

Z；（4）

Q，

Z，

Q，π

R.1.1集合与元素1.1集合与元素抽象只含有限多个元素的集合称为有限集.自然数有无穷多个，像自然数集这种含有无穷多个元素的集合称为无限集.由小于1的正整数组成的集合是什么样子呢？因为最小的正整数是1，所以由小于1的正整数组成的集合不含任何元素.我们把不含任何元素的集合称为空集，记作∅.集合的表示法1.21.2集合的表示法抽象我市第一职业中学参加去年市职业高中乒乓球男子团体决赛的队员组成的集合可以表示成：{叶锦鹏，龙复兴，刘冠群}.对于有的集合，可以把它的元素一一列举出来，写在一个大括号内，这种表示集合的方法称为列举法.由一些事物组成集合时，每个事物不能重复出现.因此，用列举法表示一个集合时，每个元素只写一次.集合是指一些事物组成的整体，因此不计较这些事物的排列次序.做一做用列举法表示下列集合：(1)你家庭成员的名字组成的集合；(2)你这学期要学的所有课程组成的集合；(3)中国共产主义青年团团旗的颜色名称组成的集合；(4)小于10的正整数组成的集合.1.2集合的表示法1.2集合的表示法探索如何表示大于9的所有实数组成的集合呢？大于9的实数有无数个，无法一一列举出来，得另外想办法.我们可以把这个集合表示成：{x|x∈R且x>9}，其中大括号内竖线左边写这个集合的代表元素x，竖线右边写这个集合的元素具有的特征性质：实数且大于9.1.2集合的表示法像上述那样，在大括号内写上集合的代表元素，接着画一条竖线，在竖线右边写这个集合的元素具有的特征性质，这种表示集合的方法称为描述法.一个整数如果是2的倍数，就称它为偶数.所有偶数组成的集合称为偶数集.例如，0=2×0，2=2×1，－4=2×(－2)，因此，0，2，－4都是偶数.由此受到启发，偶数集可以表示成：{n|n=2k，k∈Z}，偶数集还可以简洁地表示成：{2k|k∈Z}，其中竖线左边的2k是偶数的一般形式，竖线右边指出k的取值范围.抽象1.2集合的表示法一个整数如果被2除余数为1，就称它为奇数.所有奇数组成的集合称为奇数集.例如3，5，－7都是奇数.注意到3=2×1＋1，5=2×2＋1，－7=2×(－4)＋1，由此受到启发，奇数集可以表示成：{n|n=2k＋1，k∈Z}，还可以简洁地表示成：{2k＋1|k∈Z}.抽象1.2集合的表示法解：移项,得2x=7+5.即2x=12.两边除以2,得x=6.因此,原方程的解集是{6}.例1：求方程2x-5=7的解集.1.2集合的表示法解：移项,得3x＜8-2.即3x＜6.两边除以3,得x＜2.因此,原不等式的解集是{xx∈R,且x＜2}.例2：求不等式3x+2<8的解集.1.2集合的表示法解：因为52=25，（-5）2=25，所以5和-5均是25的平方根.因此，25的平方根组成的集合是{5，-5}.例3：写出25的平方根组成的集合.1.2集合的表示法解：（1）点P的坐标组成的集合是｛（-1，3）｝；（2）点P、点Q的坐标组成的集合是｛（-1，3），（3，-5）｝；（3）点P、点Q、点M的坐标组成的集合是｛（-1，3），（3，-5），（1，6）｝.例4：在平面上建立直角坐标系xOy，点P的坐标为（-1，3），点Q的坐标为（3，-5），点M的坐标为（1，6）.（1）写出点P的坐标组成的集合；（2）写出点P、点Q的坐标组成的集合；（3）写出点P、点Q、点M的坐标组成的集合.1.3集合之间的关系观察1.3集合之间的关系下述两个集合之间有什么关系？(1)参加北京奥运会的中国体育代表团；(2)参加北京奥运会的中国体操队.参加北京奥运会的中国体操队的每个成员都是中国体育代表团的成员.1.3集合之间的关系抽象对于两个集合A，B，如果A的任意一个元素都是B的元素，那么称A是B的子集，记作A⊆B(或B⊇A)，读作“A包含于B”(或“B包含A”).例如，集合A={1，2}，集合B={1，2，3}，显然，A是B的子集，即A⊆B.在上述例子中，集合B有一个元素3∈A，这时把A叫作B的真子集.1.3集合之间的关系抽象如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么称A是B的真子集，记作A⫋B(或BA)，读作“A真包含于B”(或“B真包含A”).说一说(1)已知A={星期一，星期二，星期三，星期四，星期五}，B={星期一，星期二，星期三，星期四，星期五，星期六，星期日}.集合A是不是集合B的子集？A是不是B的真子集？(2)你所在的小组是不是你所在班级的真子集？1.3集合之间的关系抽象为了形象地表示集合之间的关系，常用一条封闭曲线（例如，圆）的内部表示一个集合.集合A是集合B的真子集，可以用图1-1来表示.任意一个集合A是它本身的子集，即A⊆A.对于集合A，B，C，若A⊆B，且B⊆C，则A⊆C.我们规定：空集是任何集合的子集.1.3集合之间的关系解：空集∅是A的子集；由一个元素组成的子集有：{1}，{2}，{3}；由两个元素组成的子集有：{1，2}，{1，3}，{2，3}；例1：写出集合A={1，2，3}的所有子集.由三个元素组成的子集有：{1，2，3}，即A本身.因此，A的子集有上述8个.1.3集合之间的关系抽象如果集合A与集合B的元素完全一样，那么称A与B相等，记作A=B.集合A与集合B的元素“完全一样”的意思是：集合A的任意一个元素都是集合B的元素，并且集合B的任意一个元素都是集合A的元素.因此，可以说：对于两个集合A，B，如果AB，且BA，那么称A与B相等，记作A=B.1.3集合之间的关系（1）{1,3,5}

{1,3,5,7,9}；解：（1）因为集合{1,3,5}的元素都是集合{1,3,5,7,9}的元素，且7∉{1,3,5}，所以{1,3,5}⫋{1,3,5,7,9}.例2：选用适当的符号（

⫋,,=，∈，∉）填空：.（2）{0,2,4,6,8}

{4,0,8}；解：（2）因为集合{4,0,8}的元素都是集合{0,2,4,6,8}的元素，且2∉{4,0,8}，所以{4,0,8}⫋{0,2,4,6,8}，即{0,2,4,6,8}{4,0,8}.1.3集合之间的关系（3）8

{0,4,8}；解：（3）8是{0,4,8}的一个元素，所以8∈{0,4,8}.例2：选用适当的符号（

⫋,,=，∈，∉）填空：.（4）{0,2,4,6,8}

{2k|k∈N,且k＜5}；解：（4）因为集合{2k|k∈N,且k＜5}的元素为小于10的非负偶数，所以{0,2,4,6,8}={2k|k∈N,且k＜5}.（5）{x|x2=4}

{2，-2}.（5）因为22=4，（-2）2=4，所以方程x2=4的解集为{2,-2}，即{x|x2=4}={2,-2}.1.4集合的运算1.4集合的运算1.4.1交集给出两个集合A与B，由既属于A又属于B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B，读作“A交B”.集合A与B的交集A∩B可以用描述法表示成：A∩B={x|x∈A，且x∈B}.做一做(1)在1.3节的练习A组第1题中，小玲喜欢的体育运动与小明喜欢的体育运动的交集是什么？(2)写出你星期一所学课程组成的集合，星期二所学课程组成的集合，这两个集合的交集是什么？(3){0，2，4，6，8}∩{0，4，8}=

.(4){0，2，4，6，8}∩{1，3，5，7，9}=

.1.4集合的运算1.4.1交集1.4集合的运算图1-2中，阴影部分表示集合A与集合B的交集.由交集的概念容易得出：对于任何集合A与B，有A∩B=B∩A，A∩A=A，A∩∅=∅.1.4.1交集1.4集合的运算解：A∩B={x|x＞－1，且x＜1}={x|－1＜x＜1}.例1：设A={x|x＞－1}，B={x|x＜1}，求A∩B.1.4.1交集1.4集合的运算1.4.2并集给出两个集合A与B，由属于A或者属于B的元素组成的集合，称为A与B的并集，记作A∪B，读作“A并B”.集合A与集合B的并集A∪B可以用描述法表示成：A∪B={x|x∈A，或x∈B}.1.4集合的运算1.4.2并集集合A与集合B的并集A∪B可以用描述法表示成：A∪B={x|x∈A，或x∈B}.这里x∈A，或x∈B有三种可能的情况：（1）x∈A，但是x∉B；（2）x∈B，但是x∉A；（3）x∈A，且x∈B.如果用列举法表示A∪B，那么既属于A又属于B的元素只写一次.做一做(1)在1.3节的练习A组第1题中，小玲喜欢的体育运动与小明喜欢的体育运动的并集是什么？(2)在1.3节的练习B组第1题中，小刚喜欢的文艺活动与小英喜欢的文艺活动的并集是什么？(3)设A={0，2，4，6，8}，B={0，4，8}，则A∪B=

.(4)设A={0，3，6，9}，B={0，2，4，6}，则A∪B=

.(5)设A={10，12，14，16}，B={11，13，15，17}，则A∪B=

.1.4集合的运算1.4.2并集1.4集合的运算1.4.2并集集合A与集合B的并集A∪B，根据A，B的不同关系(参见“做一做”的(3)、(4)、(5)小题)，可以分别用图13中(1)、(2)、(3)的阴影部分表示：由并集的概念容易得出：对于任何集合A与B，有A∪B=B∪A，A∪A=A，A∪∅=A.1.4集合的运算解：(1)A∪B={x|x≤－1或x≥1}.(2)由于A={6，－6}，B={0，1，2，3，4，5，6，7，8}，例2：在下列各小题中，求A∪B((2)小题用列举法表示)：(1)A={x|x≤－1}，B={x|x≥1}；(2)A={x|x2=36}，B={x|x∈N,且x≤8}.1.4.2并集因此A∪B={－6，0，1，2，3，4，5，6，7，8}.1.4集合的运算1.4.3补集参加北京奥运会的中国体育代表团有射击队、体操队、跳水队、乒乓球队、羽毛球队等等.用集合的语言来说，每一个队都是中国体育代表团这个集合的子集.这时我们很自然地把中国体育代表团称为全集.一般地，如果在讨论的问题中，每一个集合都是某一个集合S的子集，那么称S为全集.通常用U表示全集.一般地，如果在讨论的问题中，每一个集合都是某一个集合S的子集，那么称S为全集.通常用U表示全集.1.4集合的运算1.4.3补集设U是全集，A是U的一个子集，由U中不属于A的所有元素组成的集合，称为A在U中的补集，记作读作“A在U中的补”.如果从上下文可以明显看出全集U指的是哪个集合，那么可以把U省略不写，记作

，读作“A的补”.做一做在空格上填写适当的集合：(1)设全集U是小明所在班的所有同学组成的集合，A是这个班级的所有男同学组成的集合，则=

；(2)设全集U是你这学期要学的所有课程组成的集合，A是星期一要学的课程组成的集合，则=

；(3)设全集U是你所在的小组，A是这个小组里年龄满16周岁的同学组成的集合，则=

；1.4集合的运算1.4.3补集做一做在空格上填写适当的集合：(4)设全集U={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，A={0，2，4，6，8}，则=

；(5)设Z是全集，A={2k|k∈Z}，则=

.1.4集合的运算1.4.3补集1.4集合的运算1.4.3补集全集U通常用一个矩形的内部表示，则子集A的补集

可以用图1-4的阴影部分(包括圆周)表示.设U是全集，子集A的补集可以用描述法表示成：从补集的概念容易得出，对于U的任意子集A，有其中

表示

的补集1.4集合的运算解：例3：设全集U={2，3，4，5，6，7，8，9}，A={2，3，5，7}，求

1.4.3补集1.4集合的运算解：例4：设R是全集，A={x|x≤-2}，B={x|x≥2}，求

1.4.3补集基础模块数学授课教师：时间：2022年XX月（上册）THANKS基础模块数学2022授课教师：时间：2022年XX月（上册）2.12.22.32.4比较实数大小的方法不等式的基本性质区间一元二次不等式的解法第二章不等式CONTENTS2.52.6不等式的应用含有绝对值的不等式比较实数大小的方法2.1观察2.1比较实数大小的方法小张的体重45kg，小李的体重40kg.45-40=5>0，小张的体重大于小李的体重.小王的体重48kg，45-48=-3<0，小张的体重小于小王的体重.定义对于实数a，b，如果a-b>0，那么称a大于b(或者称b小于a)，记作a>b(或者b<a).抽象2.1比较实数大小的方法抽象这个定义表明，对于实数a，b，如果a-b>0，那么a>b，这时称“a-b>0推出a>b”，记作a-b>0⇒a>b；(1)如果a>b，那么a-b>0，这时称“a>b推出a-b>0”，记作a>b⇒a-b>0.(2)把(1)式和(2)式合起来写成a-b>0⇔a>b.(3)2.1比较实数大小的方法抽象从(3)式得出a-b<0⇔a<b.(4)(3)式和(4)式表明，我们可以通过作差来比较实数的大小：若a-b>0，则a>b；若a-b<0，则a<b.显然有a-b=0⇔a=b.2.1比较实数大小的方法解：例1：比较

和

的大小.解：例2：比较

和

的大小.不等式的基本性质2.22.2不等式的基本性质同学们在初中学习了不等式的基本性质，现在我们来证明这些基本性质.即，如果a>b，且c∈R，那么a+c>b+c.性质1

不等式两边加上(或减去)同一个实数，不等号的方向不变.于是(a+c)-(b+c)=a-b>0.证明a>b⇒a-b>0.因此a+c>b+c.2.2不等式的基本性质推论1

对于不等式可以移项，即把它的任何一项改变符号后移到另一边，也就是，如果a+b>c，那么a>c-b.a+b+(-b)>c+(-b).证明根据性质1，在a+b>c两边加上-b得由此得出a>c-b.2.2不等式的基本性质性质2不等式两边同乘一个正数，不等号的方向不变；同乘一个负数，不等号的方向改变.即如果a>b，且c>0，那么ac>bc；如果a>b，且c<0，那么ac<bc.证明a>b⇒a-b>0.当c>0时，有ac-bc=(a-b)c>0，因此ac>bc.当c<0时，有ac-bc=(a-b)c<0，因此ac<bc.2.2不等式的基本性质性质3如果a>b且b>c，那么a>c(传递性).证明

a>b⇒a-b>0.b>c⇒b-c>0.于是a-c=(a-b)+(b-c)>0.因此a>c.2.2不等式的基本性质推论2

如果a>b>0，且c>d>0，那么ac>bd.即两个两边都是正数的同向不等式，把它们的两边分别相乘，所得不等式与原不等式同向.ac>bd.证明根据性质2，得a>b且c>0⇒ac>bc，c>d且b>0⇒bc>bd.根据性质3，得2.2不等式的基本性质解：对于a>b>0和a>b>0用推论2得a2>b2.由于b>0，因此b2>0.对于a2>b2>0和a>b>0用推论2得a3>b3.例：证明：如果a>b>0，那么a2>b2，a3>b3.2.3区间观察2.3区间设集合A=｛x|x≥1｝，B={x|x≤4}，则A∩B={x|1≤x≤4}.如何在数轴上直观且简洁地表示上述实数集R的子集A∩B呢？探索2.3区间实数集R的子集｛x|1≤x≤4｝可以用数轴上的一条线段表示，包含两个端点(用实心点表示)，记作［1，4］，称它为以1，4为端点的闭区间，如图2-1所示.探索2.3区间R的子集｛x|1<x<4｝可以用数轴上的一条不包含两个端点(用空心点表示)的线段表示，记作(1，4)，称它为以1，4为端点的开区间，如图2-2所示.探索2.3区间R的子集｛x|x≥3｝是由大于或等于3的一切实数组成的，我们用+∞表示“正无穷大”，把集合｛x|x≥3｝记成［3，+∞)，也称为区间，如图2-3所示.探索2.3区间R的子集｛x|x<1｝是由小于1的一切实数组成的，我们用-∞表示“负无穷大”，把集合｛x|x<1｝记成(-∞，1)，也称为区间，如图2-4所示.探索实数集R本身可以记成区间(-∞，+∞).2.3区间解：(1)｛x|-2≤x≤3｝可以记成［-2，3］；(2)｛x|-2<x<3｝可以记成（-2，3）；(3)｛x|-2<x≤3｝可以记成（-2，3］；例1：(1)｛x|-2≤x≤3｝；(2)｛x|-2<x<3｝；(3)｛x|-2<x≤3｝；(4)｛x|-2≤x<3｝；(5)｛x|x≤-2｝；(6)｛x|x<-2｝；(7)｛x|x≥5｝；(8)｛x|x>5｝；(9)｛x|x≥-1｝∩｛x|x≤1｝.(4)｛x|-2≤x<3｝可以记成［-2，3）；(5)｛x|x≤-2｝可以记成（-∞，-2］；2.3区间解：(6)｛x|x<-2｝可以记成（-∞，-2）；(7)｛x|x≥5｝可以记成［5，+∞）；(8)｛x|x>5｝可以记成（5，+∞）；例1：(1)｛x|-2≤x≤3｝；(2)｛x|-2<x<3｝；(3)｛x|-2<x≤3｝；(4)｛x|-2≤x<3｝；(5)｛x|x≤-2｝；(6)｛x|x<-2｝；(7)｛x|x≥5｝；(8)｛x|x>5｝；(9)｛x|x≥-1｝∩｛x|x≤1｝.(9)｛x|x≥-1｝∩｛x|x≤1｝可以记成［-1，1］.2.4一元二次不等式的解法2.4一元二次不等式的解法同学们在初中学习了解一元二次方程.对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，当b2-4ac≥0时它的求根公式是当b2-4ac>0时，方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根.例如，方程x2-x-2=0有两个不相等的实数根：回顾2.4一元二次不等式的解法同学们在初中学习了二次函数的图像与性质，二次函数的一般形式是y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0).二次函数的图像是抛物线，当a>0时，它的开口向上；当a<0时，它的开口向下.抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标是,对称轴的方程是.回顾2.4一元二次不等式的解法同学们在初中学习了二次函数与一元二次方程的关系.当二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴相交时，交点的横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c=0的实数根.例如，二次函数y=x2-x-2的图像与x轴有两个交点，交点的横坐标是方程x2-x-2=0的两个根：2，-1.于是可以大致画出二次函数y=x2-x-2的图像，如图2-5所示.回顾2.4一元二次不等式的解法只含一个未知数，且未知数的最高次数是2的不等式称为一元二次不等式，它可以写成以下标准形式：ax2+bx+c>0,或ax2+bx+c≥0，或ax2+bx+c<0，或ax2+bx+c≤0，其中a>0.回顾2.4一元二次不等式的解法如何解一元二次不等式x2-x-2≤0？点M(x，y)在y=x2-x-2的图像上，则点M的纵坐标y=x2-x-2.于是，x2-x-2≤0⇔图像上的点M的纵坐标y≤0探索求出一元二次方程x2-x-2=0的两个根：-1，2.大致画出二次函数y=x2-x-2的图像，如图2-5所示.⇔图像上的点M的横坐标x满足-1≤x≤2⇔x2-x-2≤0的解集是｛x|-1≤x≤2｝=［-1，2］.这样就得到了解一元二次不等式的一种方法，称为图像法.2.4一元二次不等式的解法解：方程x2-x-6=0的两个根是x1=-2，x2=3.二次函数y=x2-x-6的图像开口向上，于是可以大致画出它的图像，如图2-6所示.例1：解一元二次不等式x2-x-6>0.因此x2-x-6>0的解集是{x|x<-2}∪｛x|x>3｝,即(-∞，-2)∪(3，+∞).2.4一元二次不等式的解法解：根据不等式的基本性质2得-x2+3x+10≥0⇔x2-3x-10≤0.方程x2-3x-10=0的两个根是x1=-2，x2=5.由于二次函数y=x2-3x-10的图像开口向上，因此x2-3x-10≤0的解集是{x|-2≤x≤5}，即［-2，5］，从而-x2+3x+10≥0的解集是［-2，5］.例2：解一元二次不等式-x2+3x+10≥0.2.4一元二次不等式的解法解：根据不等式的基本性质2得2x2-4x+2≥0⇔x2-2x+1≥0.方程x2-2x+1=0的两个根是x1=x2=1.二次函数y=x2-2x+1的图像开口向上，于是可以大致画出它的图像，如图2-7所示.例3：解一元二次不等式2x2-4x+2≥0.因此x2-2x+1≥0的解集是实数集，即(-∞，+∞)，从而2x2-4x+2≥0的解集是(-∞，+∞).2.4一元二次不等式的解法解：根据不等式的基本性质2得-2x2+4x-2>0⇔x2-2x+1<0.从二次函数y=x2-2x+1的图像(即图2-7)可以看出，对于任意实数x都有x2-2x+1≥0，于是x2-2x+1<0无解，因此x2-2x+1<0的解集是∅，从而-2x2+4x-2>0的解集是∅.例4：解一元二次不等式-2x2+4x-2>0.2.4一元二次不等式的解法解：方程2x2-4x+3=0的判别式Δ=(-4)2-4×2×3=-8<0，因此它没有实数根.从而二次函数y=2x2-4x+3的图像与x轴没有交点.例5：解一元二次不等式2x2-4x+3>0.又由于图像开口向上，顶点坐标是=(1，1)，因此可以大致画出它的图像，如图2-8所示.从图2-8看到，二次函数y=2x2-4x+3的图像在x轴的上方.于是对于任意实数x都有2x2-4x+3>0，因此2x2-4x+3>0的解集是实数集，即（-∞，+∞）.2.4一元二次不等式的解法从例1至例5，我们可以总结出用图像法解一元二次不等式的步骤：首先运用不等式的基本性质2把不等式化成以下形式：ax2+bx+c>0，或ax2+bx+c<0，或ax2+bx+c≥0，或ax2+bx+c≤0，其中a>0.然后计算一元二次方程ax2+bx+c=0的判别式Δ=b2-4ac.2.4一元二次不等式的解法情形1Δ>0，此时方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根x1，x2(不妨设x1<x2).由于二次函数y=ax2+bx+c的图像开口向上，因此ax2+bx+c>0的解集是（-∞，x1)∪(x2，+∞)，ax2+bx+c≥0的解集是(-∞，x1］∪［x2，+∞)，ax2+bx+c<0的解集是(x1，x2)，ax2+bx+c≤0的解集是［x1，x2］.2.4一元二次不等式的解法情形2Δ=0，此时方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根x1=x2=x0.由于二次函数y=ax2+bx+c的图像开口向上，因此ax2+bx+c>0的解集是(-∞，x0)∪(x0，+∞)，ax2+bx+c≥0的解集是(-∞，+∞)，ax2+bx+c<0的解集是∅，ax2+bx+c≤0的解集是｛x0｝.2.4一元二次不等式的解法情形3Δ<0，此时方程ax2+bx+c=0没有实数根，因此二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴没有交点.又由于它的图像开口向上，因此这个二次函数的图像在x轴的上方，从而对于任意实数x都有ax2+bx+c>0.因此ax2+bx+c>0的解集是(-∞，+∞)，ax2+bx+c≥0的解集是(-∞，+∞)，ax2+bx+c<0的解集是∅，ax2+bx+c≤0的解集是∅.同学们可以按照这里总结的结论，去解一元二次不等式，不用再画出二次函数的图像.2.5不等式的应用2.5不等式的应用如图2-9，在边长为5cm的正方形铁皮的中间剪一个正方形小孔，使小孔的面积小于9cm2.试问：小孔的每条边与铁皮的对应边相距多少厘米？设小孔的每条边与铁皮的对应边相距xcm，则小孔的边长为(5-2x)cm，从而小孔的面积为(5-2x)2cm2.根据题设要求得(5-2x)2<9.其中x还要满足2x<5，即x<2.5.探索2.5不等式的应用解法一

(2x-5)2<9⇔4x2-20x+25<9

⇔4x2-20x+16<0

⇔x2-5x+4<0.方程x2-5x+4=0的两个根是x1=1，x2=4.由于二次函数y=x2-5x+4的图像开口向上，因此x2-5x+4<0的解集是｛x|1<x<4｝，即(1，4).根据实际问题的要求，x<2.5，因此这个小孔的每条边与铁皮的对应边的距离（单位：cm）应在区间(1，2.5)之内.探索2.5不等式的应用解法二(2x-5)2<9⇔(2x-5)2-9<0⇔(2x-5)2-32<0⇔(2x-5+3)(2x-5-3)<0⇔(2x-2)(2x-8)<0⇔(x-1)(x-4)<0

⇔1<x<4.因此(2x-5)2<9的解集是｛x|1<x<4｝，即(1，4).根据实际问题的要求，x<2.5，因此这个小孔的每条边与铁皮的对应边的距离(单位：cm)应在区间(1，2.5)之内.探索2.5不等式的应用一个矩形的长为a，宽为b，画一个正方形使得它的面积与这个矩形的面积相等，这个正方形的边长应当是多少？设正方形的边长为x(x>0)，要使它的面积与上述矩形的面积相等，则x2=ab，从而观察2.5不等式的应用对于两个正实数a，b，我们把

叫作a与b的几何平均数.对于两个实数a，b，我们把

叫作a与b的算术平均数.抽象2.5不等式的应用对于任意正实数a，b，a与b的几何平均数与它们的算术平均数哪个大？由于探索因此等号成立2.5不等式的应用这样就证明了下述重要结论：探索定理两个正数的算术平均数大于或等于它们的几何平均数，即对于两个正实数a，b，有等号成立⇔a=b.2.5不等式的应用解：设矩形的长与宽分别为xcm，ycm.由于铁丝的长为32cm，因此x+y==16.根据定理可得例1：用一根长为32cm的铁丝，围成一个矩形小框，长与宽各为多少时，面积最大？等号成立⇔x=y==8.此时xy达到最大值8，从而xy达到最大值82=64.因此矩形的长与宽都等于8cm时，面积达到最大值64cm2.2.5不等式的应用解：设围成的矩形的长与宽分别为xcm，ycm.根据已知条件得xy=36.根据定理可得例2：为了围成一个面积为36cm2的矩形小框，至少要用多长的铁丝？等号成立⇔x=y==6.此时x+y达到最小值12，从而2(x+y)达到最小值2×12=24.因此至少要用24cm长的铁丝.2.6含有绝对值的不等式2.6含有绝对值的不等式同学们在七年级学习了数轴的概念和一个数的绝对值的概念，一个数的绝对值等于数轴上表示这个数的点与原点的距离.例如，图2-10所示的数轴上，|5|等于表示5的点A与原点O的距离5，|-5|等于表示-5的点B与原点O的距离5.回顾2.6含有绝对值的不等式不等式|x|≤5的解集是什么？探索c属于|x|≤5的解集⇔|c|≤5

⇔表示c的点C与原点的距离小于或等于5

⇔c∈［-5，5］.因此,|x|≤5的解集是［-5，5］.2.65含有绝对值的不等式一般地，对于正实数a，有|x|≤a⇔-a≤x≤a

⇔x∈［-a，a］.(1)探索不等式x>5的解集是什么？d属于|x|>5的解集⇔|d|>5

⇔表示d的点D与原点的距离大于5⇔d<-5或d>5

⇔d∈(-∞，-5)∪(5，+∞).因此,|x|>5的解集是(-∞，-5)∪(5，+∞).2.6含有绝对值的不等式一般地，对于正实数a，有|x|>a⇔x<-a或x>a⇔x∈(-∞，-a)∪(a，+∞).(2)探索设c是正实数，|ax+b|>c，|ax+b|≥c，|ax+b|<c，|ax+b|≤c这些不等式都称为含有绝对值的不等式.解这种不等式的根据是公式(1)和(2)，并且要运用不等式的基本性质.2.6含有绝对值的不等式解：|x-1|≤6⇔-6≤x-1≤6

⇔-5≤x≤7.例1：解不等式|x-1|≤6.因此，|x-1|≤6的解集是［-5，7］.2.6含有绝对值的不等式解：|3x-1|≤2⇔-2≤3x-1≤2

⇔-2≤3x-1≤2例2：解不等式|3x-1|≤2.因此，|3x-1|≤2的解集是2.6含有绝对值的不等式解：|2x+5|>4⇔2x+5<-4或2x+5>4

⇔2x<-9或2x>-1例3：解不等式|2x+5|>4.因此，|2x+5|>4的解集是基础模块数学授课教师：时间：2022年XX月（上册）THANKS基础模块数学2022授课教师：时间：2022年XX月（上册）3.13.23.33.4函数的概念函数的三种表示法函数的单调性函数的奇偶性第三章函数CONTENTS3.53.6一元二次函数的性质与图像函数的应用举例函数的概念3.1观察3.1函数的概念在初中，我们已经学过一些函数的知识.A城加油站92号汽油的单价是6.56元/升，某人支付的汽油费y（元）与加油量x（升）之间满足函数关系吗？支付的汽油费y与加油量x的数量关系可以表示为y=6.56x.我们把x叫作自变量，把y叫作因变量，称y是x的函数.这是从变量的依赖关系的角度给出的函数概念.本节我们要从另外一个角度给出函数的概念.例如，在上述例子中：加油量为10升时，支付的汽油费为65.6元；加油量为20升时，支付的汽油费为131.2元；……由此看出，函数y=6.56x把10对应到65.6，把20对应到131.2，等等.3.1函数的概念抽象定义1

设A是实数集R的一个非空子集，如果有一个对应法则f，使得对于A中的每一个数x，都有唯一的一个实数y与它对应，那么称f是A上的一个函数，记作y=f(x),x∈A，把x叫作自变量，把f(x)称为f在x处的函数值，把A称为函数f的定义域.例如，上述例子中，y=6.56x是定义域为R+(正实数集)的一个函数.从定义1看到，函数的概念包含两个要素：定义域和对应法则.3.1函数的概念抽象定义2

如果两个函数y=f（x）与y=g（x）的定义域相等，并且对应法则相同（即对于定义域中的每一个元素a都有f（a）=g（a）），那么称f（x）与g（x）相等，记作f（x）=g（x）.定义3

设f是定义域为A的一个函数，由所有函数值组成的集合{f(x)|x∈A}称为函数f的值域，记作f(A).由定义1和定义3立即得到，函数f的值域f(A)是实数集R的一个非空子集.3.1函数的概念解：

（1）f（-1）=3×-1-5=-8，f（2）=3×2-5=1.例：求下列函数在指定处的函数值：（1）f（x）=3x-5分别在x=-1，x=2处的函数值；（2）g（x）=x2+x-分别在x=-1，x=3处的函数值.3.1函数的概念若函数y=3x-5把a对应到b，则b=3a-5.我们把这个结论记作函数y=3x-5把a对应到b⇒b=3a-5.反之，若b=3a-5，则函数y=3x-5把a对应到b，我们把这个结论记作b=3a-5⇒函数y=3x-5把a对应到b.把（1）式和（2）式合起来写成函数y=3x-5把a对应到b⇔b=3a-5.（1）（2）（3）函数的三种表示法3.23.2函数的三种表示法根据《2018年世界空气质量报告》，以及中国新闻网的报道《北京2020年治霾成绩如何？》，北京市近几年空气质量优良的天数如下表：用A表示集合｛2013年，2014年，2015年，2016年，2017年，2018年，2019年，2020年｝，则北京市全年空气质量优良的天数是定义域为A的一个函数.像这样用表格来表示函数的方法叫作列表法.观察抽象观察3.2函数的三种表示法1.圆的面积S是半径r的函数：S=πr2，r∈R+.2.北京市鼓励居民节约用水，对自来水费实行阶梯水价.2020年，对于5人（含）以下的家庭，单位水价y元/m3是一年累计用水量x(m3)的函数：（1）（2）观察3.2函数的三种表示法（2）（2）式的意思如下：第一阶梯：用水量在区间［0，180］内，按2.07元/m3收费；第二阶梯：用水量在区间（180，260］内，按4.07元/m3收费；第三阶梯：用水量超过260m3，按6.07元/m3收费.观察3.2函数的三种表示法例如，一个家庭有5口人，一年6次收费时用水量如下表：前3次收费时，水价都为2.07元/m3.第4次收费时，其中有49m3的用水按照2.07元/m3收费，有4m3的用水按照4.07元/m3收费.第5次收费时，水价为4.07元/m3.第6次收费时，其中有23m3的用水按照4.07元/m3收费，有13m3的用水按照6.07元/m3收费.3.2函数的三种表示法用一个或几个等式表示函数的对应法则，这种表示函数的方法叫作公式法.这一个或几个等式叫作这个函数的解析表达式，简称为解析式.如果函数的解析式有不止一个等式，那么这种函数称为分段函数.例如，在上述例子中，自来水单位水价y是一年累计用水量x的分段函数.抽象有时在写出函数的解析式时，函数的定义域也标明出来了，例如，上述（1）式和（2）式.有时在给出函数的解析式时没有标明定义域，我们约定函数fx的定义域是指所有使解析式有意义的实数x组成的集合.此外，在实际问题中，还需注意结合问题的实际意义来确定自变量x的取值范围.3.2函数的三种表示法一次函数y=kx+b的定义域是实数集R.二次函数y=ax2+bx+c的定义域是实数集R.反比例函数

的定义域是非零实数集R*，即(-∞，0)∪(0，+∞).函数

的定义域是非负实数集，即[0，+∞).函数y=x3的定义域是实数集R.抽象3.2函数的三种表示法解：（1）f(x)的解析式有意义⇔x-3≠0⇔x≠3.因此f(x)的定义域是（-∞，3）∪（3，+∞）.例1：求下列函数的定义域：（2）g(x)的解析式有意义⇔2x-1≥0⇔x≥.因此g(x)的定义域是3.2函数的三种表示法同学们在初中学习过表示函数的方法还有图像法，如一次函数y=kx+b的图像是一条直线.抽象设y=f(x)是定义域为A的一个函数，在平面直角坐标系xOy里，以自变量x取的一个值a为横坐标，相应的函数值f(a)为纵坐标，描出点M(a，f(a)).当a取遍A的所有元素时，坐标为(a，f(a))的点组成的集合称为函数y=f(x)的图像，如图3-1所示.3.2函数的三种表示法从函数y=f(x)的图像的上述定义得出：设函数y=f(x)的定义域为A，若点M（a，b）在y=f(x)的图像上，则点M的横坐标a∈A，纵坐标b=f(a)；反之，若点M（a，b）的横坐标a∈A，纵坐标b=f(a)，则点M在y=f(x)的图像上.这个结论可写成：点M（a，b）在定义域为A的函数y=f(x)的图像上⇔a∈A且b=f(a).例如，点M（a，b）在函数y=x2的图像上⇔b=a2.点M（a，b）在函数

的图像上⇔a∈[0，+∞)且抽象3.2函数的三种表示法解：根据实数的绝对值的定义，函数y=|x|可以写成分段函数：分别画出y=x，x∈[0，+∞)的图像和y=-x，x∈(-∞，0)的图像，它们组成y=|x|的图像，如图3-2.例2：画出函数y=|x|的图像.3.2函数的三种表示法解：函数y=2的定义域是（-∞，+∞）.自变量x取任一实数a，相应的函数值都是2.因此y=2的图像是经过点M（0，2）且平行于x轴的一条直线，如图3-3.无论自变量x取什么实数，函数值总等于同一个数，这样的函数叫作常值函数.例如，y=2是常值函数.例3：画出函数y=2的图像.3.3函数的单调性观察3.3函数的单调性图3-4是一个气象站用自动温度记录仪描出的某一天气温T随着时间t变化的图像.从图3-4看出，气象站所在地区那一天从凌晨0点到凌晨4点，气温逐渐降低；从凌晨4点到下午2点（即14时），气温逐渐升高；从下午2点到深夜12点（即24时），气温又逐渐降低.3.3函数的单调性定义设函数y=f(x)的定义域为A，区间I⊆A.如果对于任意的x1，x2∈I，当x1<x2时都有f(x1)<f(x2)，那么称函数y=f(x)在区间I上是增函数，称区间I是y=y=f(x)的单调递增区间，如图35-(1).抽象3.3函数的单调性如果对于任意的x1，x2∈I，当x1<x2时都有f(x1)>f(x2)，那么称y=f(x)在区间I上是减函数，称区间I是单调递减区间，如图35-(2).抽象3.3函数的单调性函数y=f(x)如果在定义域上是增函数，那么称函数y=f(x)是增函数.y=f(x)如果在定义域上是减函数，那么称y=f(x)是减函数.函数在某个区间上是增函数或减函数的性质统称为函数的单调性.抽象3.3函数的单调性解：任取x1，x2∈（-∞，+∞），且x1<x2，有f(x1)-f(x2)=(kx1+b)-(kx2+b)=kx1-kx2=k(x1-x2).由x1<x2，得x1-x2<0.所以①当k>0时，k(x1-x2)<0.于是f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2).因此，当k>0时，f(x)=kx+b是增函数.例1：讨论一次函数f(x)=kx+b是增函数还是减函数.3.3函数的单调性②当k<0时，k(x1-x2)>0.于是f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2).因此，当k<0时，f(x)=kx+b是减函数.例1：讨论一次函数f(x)=kx+b是增函数还是减函数.3.3函数的单调性解：f(x)=的定义域是（-∞，0）∪（0，+∞）.任取x1，x2∈（0，+∞），且x1<x2，有由x1<x2，得x2-x1>0.又有x1x2>0，因此例2：讨论反比例函数f(x)=分别在（0，+∞），（-∞，0）上的单调性.即f(x1)>f(x2).所以f(x)=在（0，+∞）上是减函数.3.3函数的单调性例2：讨论反比例函数f(x)=分别在（0，+∞），（-∞，0）上的单调性.任取x3，x4∈（-∞，0），且x3<x4，有由x3<x4，得x4-x3>0.又有x3x4>0，因此即f(x3)>f(x4).所以f(x)=在（-∞，0）上是减函数.3.3函数的单调性例3：画出反比例函数y=的图像.解：首先画y=，x∈（0，+∞）的图像.第一步：列表.第二步：建立直角坐标系xOy，根据所列的表，描出各点.3.3函数的单调性例3：画出反比例函数y=的图像.第三步：在例2中已指出y=在（0，+∞）上是减函数，因此就可以把描出的各点用一条光滑曲线顺次连接起来，如图3-6所示.3.3函数的单调性例3：画出反比例函数y=的图像.其次画y=，x∈（-∞，0）的图像.第一步：列表.第二步：描点.在直角坐标系xOy中，根据所列的表，描出各点.3.3函数的单调性例3：画出反比例函数y=的图像.第三步：在例2中已指出y=在（-∞，0）上是减函数，因此就可以把描出的各点用一条光滑曲线顺次连接起来，如图3-6所示.3.4函数的奇偶性3.4函数的奇偶性同学们在初中学习了轴对称图形.平面上一个图形E，如果它的每一个点关于直线l的对称点仍在图形E上，那么称图形E关于直线l对称，称直线l为图形E的对称轴.同学们在初中学习了二次函数

的图像关于y轴对称，如图3-7所示：回顾3.4函数的奇偶性平面上建立直角坐标系xOy，平面上任一点Pa，b关于y轴的对称点是Q，则点Q的坐标是什么？如图3-8，由于y轴是线段PQ的垂直平分线，因此点Q的坐标是（-a，b）.观察3.4函数的奇偶性设函数y=f（x）的定义域为A，它的图像为E，如图3-9.y=f（x）的图像E关于y轴对称探索试问：在什么条件下，y=f（x）的图像E关于y轴对称？根据图形E关于y轴对称的定义和3.2节中关于点M（a，b）在y=f（x）的图像上的结论得⇔E上每一个点P（a，f（a））关于y轴的对称点Q（-a，f（a））仍在E上⇔-a∈A，且f(-a)=f(a)，对于一切a∈A.3.4函数的奇偶性从上述探索得到的结论，我们引出下述概念，并且得到下面的定理1：那么称y=f（x）是偶函数.探索定义1

设函数y=f（x）的定义域为A.如果对于任意的a∈A都有-a∈A，且

f(-a)=f(a)，（1）定理1

函数y=f（x）是偶函数⇔y=f（x）的图像关于y轴对称.3.4函数的奇偶性解：（1）f(x)的定义域是R.对于任意x∈R，都有例1：下列函数哪些是偶函数，哪些不是偶函数？（1）f(x)=x2-3；(2)g(x)=x3；（3）h(x)=|x|；(4)p(x)=2.因此f(x)=x2-3是偶函数.（2）g(x)的定义域是R.由于g(-1)=(-1)3=-1,g(1)=13=1,因此g(-1)≠g(1)，从而g(x)=x3不是偶函数.2.4函数的奇偶性（3）解法一h(x)的定义域是R.对于任意x∈R，都有h(-x)=|-x|=|x|=h(x)，例1：下列函数哪些是偶函数，哪些不是偶函数？（1）f(x)=x2-3；(2)g(x)=x3；（3）h(x)=|x|；(4)p(x)=2.因此h(x)=|x|是偶函数.解法二3.2节的例2画出的h(x)=|x|的图像关于y轴对称，因此h(x)=x是偶函数.3.4函数的奇偶性（4）解法一p(x)的定义域是R.对于任意x∈R，都有p(-x)=2=p(x)，例1：下列函数哪些是偶函数，哪些不是偶函数？（1）f(x)=x2-3；(2)g(x)=x3；（3）h(x)=|x|；(4)p(x)=2.因此p(x)=2是偶函数.解法二由3.2节的例3可知，p(x)=2的图像是经过点M（0，2）且平行于x轴的一条直线，这条直线关于y轴对称，因此p(x)=2是偶函数.3.4函数的奇偶性同学们在初中学习了中心对称图形,在平面内，如果一个图形G绕一个点O旋转180°，所得到的图形与原来的图形G互相重合，那么图形G叫作中心对称图形，点O叫作图形G的对称中心，此时也称图形G关于点O对称.图3-10中的图形F由同一个圆的两段圆弧组成，把右上方的圆弧绕圆心O旋转180°，与左下方的圆弧完全重合，因此图形F关于点O对称.回顾3.4函数的奇偶性平面上建立直角坐标系xOy，平面上任一点Pa，b关于原点O的对称点Q的坐标是什么？如图3-11，由于点O是线段PQ的中点，因此点Q的坐标是（-a，-b）.观察3.4函数的奇偶性设函数y=f（x）的定义域为A，它的图像为F，如图3-12.⇔F上每一个点P（a，f（a））关于原点O的对称点Q（-a，-f（a））仍在F上探索试问：在什么条件下，y=fx的图像F关于原点O对称？函数y=f（x）的图像F关于原点O对称⇔-a∈A，且f(-a)=f(a)，对于一切a∈A.3.4函数的奇偶性从上述探索得出的结论，我们引出下述概念，并且得到下面的定理2：那么称y=f（x）是奇函数.探索定义2

设函数y=f（x）的定义域为A.如果对于任意的a∈A都有-a∈A，且

f(-a)=-f(a)，（2）定理2

函数y=f（x）是奇函数⇔y=f（x）的图像关于原点对称.3.4函数的奇偶性解(1)f(x)的定义域是R.对于任意x∈R，有f(-x)=(-x)3=-x3=-f(x),例2：下列函数哪些是奇函数，哪些不是奇函数？（1）f(x)=x3;(2)g(x)=-2x;(3)h(x)=2x+1;（4）p(x)=.因此f(x)是奇函数.(2)g(x)的定义域是R.对于任意x∈R，有g(-x)=-2(-x)=2x=-(-2x)=-g(x),因此g(x)是奇函数.3.4函数的奇偶性（3）h(x)的定义域是R.由于h(-1)=2·(-1)+1=-1,h(1)=2·1+1=3,例2：下列函数哪些是奇函数，哪些不是奇函数？（1）f(x)=x3;(2)g(x)=-2x;(3)h(x)=2x+1;（4）p(x)=.因此h(-1)≠-h(1),从而h(x)不是奇函数.（4）p(x)的定义域是（-∞，0）∪(0,+∞).对于任意x∈(-∞,0)∪(0,+∞),都有-x∈(-∞,0)∪(0,+∞),并且因此p(x)是奇函数.3.4函数的奇偶性解：y=x3的定义域是（-∞，+∞）,根据例2（1），y=x3是奇函数，从而它的图像关于原点对称.因此首先画出y=x3，x∈(0，+∞)的图像.例3：画出y=x3的图像.第一步：列表.第二步：建立直角坐标系xOy，按照上述表格描点.3.4函数的奇偶性第三步：任给x1，x2∈0，+∞，且x1<x2.根据2.2节的例题得因此y=x3在(0，+∞)上是增函数，从而可以把描出的各点用一条光滑曲线顺次连接起来，如图3-13.例3：画出y=x3的图像.第四步：利用y=x3的图像关于原点对称，画出y=x3，x∈(-∞，0)的图像.这样就得到了y=x3的图像，如图3-13.从例3看到，利用函数的奇偶性可以减少画函数图像的工作量.3.5一元二次函数的性质与图像3.5一元二次函数的性质与图像我们在2.3节介绍了解一元二次不等式的图像法，其中用到同学们在初中学习的二次函数的图像与性质.现在我们利用函数的单调性和图像关于直线的对称性得出一元二次函数的性质，从而可以简洁、正确地画出一元二次函数的图像.回顾观察在平面上建立直角坐标系xOy，直线l经过点D（d，0）并且与y轴平行，如图3-14.3.5一元二次函数的性质与图像点M（x，y）在直线l上x=d，我们把x=d称为直线l的方程.点P（a，b）关于直线l的对称点Q的坐标是什么？由于直线l是线段PQ的垂直平分线，因此点Q的横坐标是a-2a-d=2d-a，观察