专题3.3 直线与椭圆的位置关系【八大题型】(举一反三)(人教A版2019选择性必修第一册)(解析版)_第1页
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文档简介

专题3.3直线与椭圆的位置关系【八大题型】【人教A版(2019)】TOC\o"1-3"\h\u【题型1点与椭圆的位置关系】 1【题型2直线与椭圆的位置关系的判定】 3【题型3根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围】 5【题型4椭圆的弦长问题】 8【题型5椭圆的“中点弦”问题】 10【题型6椭圆中的面积问题】 12【题型7椭圆中的定点、定值、定直线问题】 17【题型8椭圆中的最值问题】 22【知识点1点与椭圆的位置关系】1.点与椭圆的位置关系(1)点与椭圆的位置关系:(2)对于点与椭圆的位置关系,有如下结论:点在椭圆外+>1;

点在椭圆内+<1;

点在椭圆上+=1.【题型1点与椭圆的位置关系】【例1】(2022·全国·高二假期作业)已知椭圆C:x24+y23=1,则下列各点不在椭圆内部的是(

)A.1,1 B.2C.2,2 D【解题思路】根据点和椭圆位置关系的判断方法,分别把点的坐标代入椭圆方程的左侧部分,计算其数值大于1的点即为答案.【解答过程】由椭圆方程为C:因为14+13=因为24+13=因为24+23=因为144+13=故选:C.【变式1-1】(2023·高二课时练习)点Aa,1在椭圆x24+A.-2,2C.-2,2 D.【解题思路】根据点在椭圆外部得不等式,解不等式得结果.【解答过程】因为点Aa,1在椭圆所以a24+1故选:B.【变式1-2】(2023·高二课时练习)点P(4cosα,23sinα)(α∈R)与椭圆C:x24+y23=A.点P在椭圆C上 B.点P与椭圆C的位置关系不能确定,与α的取值有关C.点P在椭圆C内 D.点P在椭圆C外【解题思路】将P的坐标代入到椭圆方程的左边,结合同角三角函数的基本关系即可判断点和椭圆的位置关系.【解答过程】把点P(2cosα,3sinα)(α∈R)代入椭圆方程的左边为4cosα=4(cos2α+sin2α)=4>1,因此点P在椭圆外.故选:D.【变式1-3】(2023·全国·高三专题练习)已知椭圆C关于x轴、y轴均对称,焦点在y轴上,且焦距为2c(c>0),若点Ac,6A.33,1 BC.63,1 D【解题思路】设出椭圆方程,由于Ac,62c不在椭圆C的外部,得到6c【解答过程】设椭圆C的方程为y2因为Ac,6所以6c24所以6c24同除以a4得:6e4解得:0<e故e∈故选:B.【知识点2直线与椭圆的位置关系】1.直线与椭圆的位置关系(1)直线与椭圆的三种位置关系

类比直线与圆的位置关系,直线与椭圆有相离、相切、相交三种位置关系,如图所示.(2)利用方程讨论直线与椭圆的位置关系:>0直线与椭圆相交有两个公共点;

=0直线与椭圆相切有且只有一个公共点;

<0直线与椭圆相离无公共点.【题型2直线与椭圆的位置关系的判定】【例2】(2023·全国·高二专题练习)已知直线l:x+y-A.相交 B.相切 C.相离 D.无法确定【解题思路】联立直线和椭圆方程,根据所得到的方程的解的个数来判断直线和椭圆的位置关系.【解答过程】联立x24+y2=1x+故选:C.【变式2-1】(2023·全国·高三专题练习)已知直线l:kx+y+1=0,曲线C:x216+yA.相离 B.相切 C.相交 D.无法确定【解题思路】求出直线所过的定点,证明该定点在椭圆内部即可得出结论.【解答过程】解:由直线l:kx+y+1=0,得直线l因为016+14<1,所以该点在曲线所以直线l与曲线C相交.故选:C.【变式2-2】(2023秋·内蒙古包头·高二校考期末)若直线mx+ny=4和圆x2+y2A.2个 B.至少一个 C.1个 D.0个【解题思路】根据直线与圆的位置关系,求得点m,n【解答过程】∵直线mx+ny=4和圆x2+y∴4m∴点Pm,n又椭圆x29+y24=1短轴长为4,∴圆则过点(m,n)的直线与椭圆x故选:A.【变式2-3】(2023·全国·高三专题练习)已知直线l:x0xa2+A.若点A在椭圆C外,则直线l与椭圆C相离B.若点A在椭圆C上,则直线l与椭圆C相切C.若点A在椭圆C内,则直线l与椭圆C相交D.若点A在直线l上,则直线l与椭圆C的位置关系不确定【解题思路】考虑y0=0和y0≠0【解答过程】当y0=0,则x0①若点A在椭圆C外,则x0>a,则|x|=②若点A在椭圆C上,则x0=a,则|x|=③若点A在椭圆C内,则x0<a,则|x|=当y0≠0时,联立方程x0a2所以Δ=4①若点A在椭圆C外,则x02a2+y0②若点A在椭圆C上,则手x02a2+y0③若点A在椭圆C内,则x02a2+y0若点A在直线l上,则满足x02a2+y02b2=1,即点综上所述:B正确;故选:B.【题型3根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围】【例3】(2023·全国·高三对口高考)若直线y=x-1与椭圆x2A.12 B.23 C.34【解题思路】分析可知a>0,将直线方程与椭圆方程联立,由Δ=0可求得实数a【解答过程】因为方程x2+3y将直线y=x-1的方程与椭圆的方程联立,则Δ=36-4×4×3-a故选:C.【变式3-1】(2023秋·高二单元测试)若直线y=mx+2与焦点在x轴上的椭圆x29A.0,4 B.4,9 C.4,9 D.4,9【解题思路】由题得直线所过定点0,2在椭圆上或椭圆内,代入椭圆得到不等式,再结合椭圆焦点在x轴上即可.【解答过程】直线y=mx+2则定点0,2在椭圆上或椭圆内,∴4n≤1,解得n又∵x29+y2n故选:C.【变式3-2】(2023春·福建莆田·高二校考阶段练习)若方程3-3x24=A.-7,7 B.-2,7 C【解题思路】根据题意画出椭圆的部分,利用数形结合求出直线与椭圆相切时的b值,再求出直线过椭圆右端点时的b值,即可得到b得范围.【解答过程】设y=3-3x24,y≥0则其所表示的图形为椭圆x24+则题目转化为直线y=设椭圆的右端点为A,易得其坐标为2,0,当直线y=x+b与半椭圆相切时,联立x24+则Δ化简得b2=7,解得b=当直线y=x+b经过点A2,0则b∈故选:B.【变式3-3】(2023秋·广东深圳·高三统考期末)已知交于点P的直线l1,l2相互垂直,且均与椭圆C:x23+y2A.2,3 B.1,3 C.3【解题思路】根据题意,设Pm,n,由条件联立直线与椭圆方程,得到点【解答过程】当椭圆的切线斜率存在时,设Pm,n,且过P联立直线与椭圆方程x2消去y可得,(所以Δ=4即3-m设k1,k所以1-n23-m2当椭圆的切线斜率不存在时,此时,m=±所以m2+n2=4又因为A为椭圆上顶点,所以A0,1当点P位于圆的上顶点时,PAmin当点P位于圆的下顶点时,PAmax所以PA∈故选:D.【知识点3弦长与“中点弦问题”】1.弦长问题(1)定义:直线与椭圆的交点间的线段叫作椭圆的弦.

(2)弦长公式:设直线l:y=kx+m交椭圆+=1(a>b>0)于,两点,则或.2.“中点弦问题”(1)解决椭圆中点弦问题的两种方法

①根与系数的关系法:联立直线方程和椭圆方程构成方程组,消去一个未知数,利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决.

②点差法:利用端点在曲线上,坐标满足方程,将端点坐标分别代入椭圆方程,然后作差,构造出中点坐标和斜率的关系.

设,,代入椭圆方程+=1(a>b>0),得,

①-②可得+=0,

设线段AB的中点为,当时,有+=0.

因为为弦AB的中点,从而转化为中点与直线AB的斜率之间的关系,这就是处理弦中点轨迹问题的常用方法.(2)弦的中点与直线的斜率的关系

线段AB是椭圆+=1(a>b>0)的一条弦,当弦AB所在直线的斜率存在时,弦AB的中点M的坐标为,则弦AB所在直线的斜率为,即.【题型4椭圆的弦长问题】【例4】(2023·全国·高三专题练习)已知斜率为1的直线l过椭圆x24+y23=1的右焦点,交椭圆于AA.207 B.227 C.247【解题思路】根据题意求得直线l的方程,设Ax1,y【解答过程】由椭圆知,a2=4,b所以右焦点坐标为1,0,则直线l的方程为y=设Ax联立y=x-1x则x1所以AB=即弦AB长为247故选:C.【变式4-1】(2022秋·广西钦州·高二校考阶段练习)已知椭圆x22+y2=1与直线y=x+m交于A.±1 B.±1C.2 D.±2【解题思路】联立方程,写出关于交点坐标的韦达定理,用两点的距离公式AB=x1-【解答过程】由x22+得3x2+4mx+2m2-2=0.设A(x则x1+x由题意,得AB=解得m=±1故选:A.【变式4-2】(2023·全国·高三对口高考)过椭圆x29+y2=1的左焦点作直线和椭圆交于A、A.0 B.1 C.2 D.3【解题思路】先求过左焦点的通径长度,由椭圆的性质:过左焦点的弦长最短为通径长,最长为长轴长,结合已知弦长判断直线的条数即可.【解答过程】左焦点为(-22,0),若直线垂直x轴,则直线为代入椭圆方程得89+y2=1所以,由椭圆性质知:AB=2故选:B.【变式4-3】(2023·全国·高三专题练习)斜率为1的直线l与椭圆x22+y2=1相交于A,A.2 B.233 C.263【解题思路】设直线方程y=x+m【解答过程】设A,B两点的坐标分别为(x1,y1由y=x+mx则x1+x∴AB=2∴当m=0时,AB取得最大值4故选:D.【题型5椭圆的“中点弦”问题】【例5】(2023秋·四川凉山·高二统考期末)若椭圆x24+y23=1的弦AB被点MA.3x-4yC.4x-3【解题思路】采用点差法,设Ax1【解答过程】设Ax1,两式作差得x12-又AB被点M-1,1平分,故x1所以,整理得y1-y则AB所在直线方程为y=化简得3x故选:A.【变式5-1】(2023春·陕西汉中·高二校联考期中)已知直线l交椭圆x24+y22=1于A,B两点,且线段ABA.-2 B.-12 C.2 D【解题思路】设出A,B坐标,列出坐标所满足的方程,将两方程相减得到l的斜率与线段AB中点坐标的关系,由此求解出直线l的斜率.【解答过程】设Ax1,y1,B所以x124得y1又因为线段AB中点坐标为-1,1,x1+所以kAB故选:D.【变式5-2】(2023春·湖北荆州·高二校考阶段练习)若椭圆x29+y24=1的弦ABA.4x+9yC.x+2y-3=0【解题思路】利用点差法求解得kAB=-【解答过程】设Ax1所以x12-因为P1,1所以x1所以kAB所以弦AB所在直线的方程为y-1=-4故选:A.【变式5-3】(2023·贵州·统考模拟预测)已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F4,0,过点A.x245+C.x232+【解题思路】设Ax1,y1,【解答过程】设Ax1,由已知有,x1作差得x1则y1所以a2=3b则E的方程为x2故选:D.【题型6椭圆中的面积问题】【例6】(2023春·广东广州·高二统考期末)已知椭圆C:x2a2+y2b2(1)求椭圆C的标准方程;(2)经过点F2且倾斜角为45∘的直线l与椭圆C相交于M、N两点,O为坐标原点,求△【解题思路】(1)由椭圆的定义求出a的值,结合c的值可得出b的值,由此可得出椭圆C的标准方程;(2)设点Mx1,y1、Nx2,y2,写出直线l的方程,将直线l【解答过程】(1)解:由椭圆的定义可得2a所以,a=2,又因为c=1所以,椭圆C的标准方程为x2(2)解:设点Mx1,y1、Nx2联立x=y+1x2+2y

所以,S△【变式6-1】(2023·安徽·合肥一中校联考模拟预测)已知点M1,1为椭圆C:x24+y2b2=l(1)当t=1时,求△(2)设直线AM和BM分别与直线x=4交于点P,Q,若△ABM与△PQM的面积满足S△【解题思路】(1)先求出椭圆方程,设Ax1,y1,Bx2(2)设Ax1,y1,Bx2,y2,利用韦达定理求出y1+y2,y1y【解答过程】(1)将M1,1代入x24+y所以椭圆C:联立x24+3y则x1则AB=点M到直线l的距离为1+1-11+1故△ABM的面积S(2)设Ax联立x24+Δ=4t则y1则AB=点M到直线l的距离d=则S△直线AM的方程为y-令x=4,则y即P4,同理Q4,PQ因为y2所以PQ=因为S△PQM=5化简得3t2+3【变式6-2】(2023春·黑龙江大庆·高二校考期末)已知F1,F2分别为椭圆M:x2a2+y(1)求椭圆M的离心率;(2)直线l2过点F2,且与l1垂直,l2交椭圆M于C,D【解题思路】(1)设F1-c,0,(2)先讨论两直线l1,l2中的一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率为0时,四边形ACBD的面积;再讨论两直线l1,l2的斜率都存在,且都不为0时,分别联立直线与椭圆方程求得AB【解答过程】(1)设F1-c,0,F2c,0(2)由(1)可知ca=22,又所以椭圆M的方程为x2①当直线l1,l2中的一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率为0时,四边形②当直线l1,l2的斜率都存在,且都不为0时,设l1的方程为y=kx-c所以AB=设l2的方程为y=1所以四边形ACBD的面积S=4因为k+1k2=k2+1由①②可知,四边形ACBD面积的范围为169【变式6-3】(2023·四川成都·校考模拟预测)已知椭圆C:x2a2+y

(1)求椭圆C方程;(2)直线y=kx(k>0)与椭圆C交于点M、N,F为C的右焦点,直线MF、NF分别交C于另一点M【解题思路】(1)由离心率为22,且C经过点1,(2)设Mx0,y0,令MF=λFM1可得M1坐标,代入椭圆方程得λ【解答过程】(1)由离心率为22,且C经过点1,22可得c解得a2=2,b2=1(2)设Mx0,y0令MF=λF可得M1代入x22+又x022设NF=μF可得N1代入x22+又x022∵|MF|FM∵x0∈0,2,x【题型7椭圆中的定点、定值、定直线问题】【例7】(2023·浙江·校联考模拟预测)已知点A(2,0),B-65,-(1)求椭圆M的方程;(2)直线l与椭圆M交于C,D两个不同的点(异于A,B),过C作x轴的垂线分别交直线AB,AD于点P,Q【解题思路】(1)根据椭圆所经过的点列方程求出其方程;(2)设出CD方程,结合韦达定理和P是CQ中点的条件,找到直线CD中两个参数的关系,从而求出定点.【解答过程】(1)由题知a=2,又椭圆经过B-65,-故椭圆的方程为:x(2)由题意知,当l⊥x轴时,不符合题意,故l的斜率存在,设l的方程为联立y=kx+mx2则Δ=64即4设Cx1,y1,AB的方程为y=14(xAD的方程为y=y2x2-由P是CQ中点,得x1-2即kx即(1-4k即4m2+(16k得m=-2k-当m=-2k-2,此时由当m=-2k,此时直线l经过点A所以l的方程为y=kx-所以l过定点(2,-2).【变式7-1】(2023·江西赣州·统考二模)已知椭圆C:x2a2(1)求椭圆C的方程;(2)过点P1,2的直线l交C于A、B两点时,在线段AB上取点M,满足AP⋅MB=AM【解题思路】(1)根据已知条件可得出关于a、b、c的方程组,解出这三个量的值,即可得出椭圆C的方程;(2)设点Ax1,y1、Bx2,y2、Mx,y,记【解答过程】(1)解:由题意可得e=ca所以,椭圆C的方程为x2(2)解:设点Ax1,y1因为AP⋅MB=AM⋅PB,记又因为点P在椭圆外,且P、A、M、B四点共线,所以,AP=-λPB所以,1-x1,2-所以,1-x1=所以,x1-λ又因为x124+y即x1即x4+2故点M总在定直线3x+8【变式7-2】(2023春·云南曲靖·高二统考期末)已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(1)求椭圆E的方程.(2)设A、B是椭圆E上关于x轴对称的不同两点,P在椭圆E上,且点P异于A、B两点,O为原点,直线AP交x轴于点M,直线BP交x轴于点N,试问OM⋅【解题思路】(1)求出椭圆E上任意一点到其焦点距离的最大值,结合离心率可得出a、c的值,进而求出b的值,由此可得出椭圆E的标准方程;(2)设点Ax1,y1,Bx1,-y1,Px2,y2,Mm,0,Nn,0,将直线【解答过程】(1)解:设点Px0,y0为椭圆EP=a所以,椭圆E上的点到焦点的距离的最大值为a+又因为椭圆E的离心率为e=所以,a=2,c=1,则因此,椭圆E的标准方程为x2(2)解:设点Ax1,y1,Bx1则直线AP的方程为y=y1x1

联立y=y1x1因为点A在椭圆E上,则直线AP与椭圆E必有公共点,所以,x1同理可得x所以,8m所以,m3化简可得3m当m≠n时,则3mn当m=n时,M、N、P三点重合,此时,综上所述,OM⋅ON=mn=4【变式7-3】(2023春·上海浦东新·高二校考期末)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b(1)求椭圆C的方程;(2)过点D1,0作斜率不为0的直线l,直线l与椭圆C交于P,Q两点,记直线AP的斜率为k1,直线BQ的斜率为k2(3)在(2)的条件下,直线AP与直线BQ交于点M,求证:点M在定直线上.【解题思路】(1)根据椭圆的几何性质列出方程组求出a,b,(2)设Px1,y1,Qx2,y2,直线(3)根据(1)中的结论,设k1=m,则k2=3m,求出直线【解答过程】(1)依题可得e=ca=3所以椭圆C的方程为x2(2)设Px1,y1,Qx2所以可设l的方程为x=ty+1,代入椭圆方程x其判别式Δ=4t2+12t两式相除得y1+y因为A,B分别为椭圆C的左、右顶点,所以点A的坐标为-2,0,点B所以k1=y1从而k1(3)由(1)知k1k2=1所以直线AP的方程为y=mx+2m,直线联立y=mx+2所以直线AP与直线BQ的交点M的坐标为4,6m所以点M在定直线x=4上【知识点4椭圆中的最值问题】1.椭圆中的最值问题求解此类问题一般有以下两种思路:(1)几何法:若题目中的条件和结论能明显体现几何特征及意义,则考虑利用图形性质来解决,这就是几何法.解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义,并能借助相应曲线的定义求解.(2)代数法:若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系,则可建立目标函数,将目标变量表示为一个(或多个)变量的函数关系式,然后根据函数关系式的特征选用配方法、判别式法,应用基本不等式以及三角函数的最值求法求出最大值、最小值或范围,但要注意自变量的取值范围对最值的影响.【题型8椭圆中的最值问题】【例8】(2023·湖北武汉·武汉二中校联考模拟预测)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)(1)求椭圆C的方程;(2)P,Q为椭圆C上两个动点,且直线AP与AQ的斜率之积为-16【解题思路】(1)由点关于直线对称,以及椭圆过点M1,62(2)设直线PQ方程,联立椭圆方程,根据韦达定理,利用直线AP与AQ的斜率之积为-16,整理化简证明直线过定点,进而求出D【解答过程】(1)设椭圆C的中心O关于直线2x-y则有n∴m=4,n=-2,∵椭圆C的中心O关于直线∴又椭圆C过点M1,62,可得1所以椭圆C的方程x2(2)设Px1,y1由x=my+t,所以y由kAPkAQ=-1所以6y6+m所以6+m2t所以t=1或t若t=-2,则直线lPQ:所以lPQ:x=my所以D在以MS为直径的圆上,MS=62,MS所以AT=所以AD的最大值为AT+即AD的最大值为36【变式8-1】(2023春·江西宜春·高二校考期末)已知点A是圆E:x-12+y2=16(1)求动点P的轨迹Γ的方程;(2)若过点F的直线交轨迹Γ于M、N两点,B是FM的中点,点O是坐标原点,记△MEB与△ONF的面积之和为S,求S【解题思路】(1)由题意可知PE+PF=(2)分析出S=S△MOF+S△OFN=S△MON,直线MN的斜率不存在时,S△MON【解答过程】(1)由题意可知PE+所以动点P的轨迹Γ是以E,F为焦点且长轴长为则2a=4,2c因此动点P的轨迹Γ的方程是x2(2)如图:

不妨设点M在x轴上方,连接OM,因为O

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