专题3.3 直线与椭圆的位置关系【八大题型】（举一反三）（人教A版2019选择性必修第一册）（解析版）

专题3.3直线与椭圆的位置关系【八大题型】【人教A版（2019）】TOC\o"1-3"\h\u【题型1点与椭圆的位置关系】 1【题型2直线与椭圆的位置关系的判定】 3【题型3根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围】 5【题型4椭圆的弦长问题】 8【题型5椭圆的“中点弦”问题】 10【题型6椭圆中的面积问题】 12【题型7椭圆中的定点、定值、定直线问题】 17【题型8椭圆中的最值问题】 22【知识点1点与椭圆的位置关系】1．点与椭圆的位置关系(1)点与椭圆的位置关系：(2)对于点与椭圆的位置关系，有如下结论：点在椭圆外+>1;

点在椭圆内+<1;

点在椭圆上+=1.【题型1点与椭圆的位置关系】【例1】（2022·全国·高二假期作业）已知椭圆C:x24+y23=1，则下列各点不在椭圆内部的是（

）A．1,1 B．2C．2,2 D【解题思路】根据点和椭圆位置关系的判断方法，分别把点的坐标代入椭圆方程的左侧部分，计算其数值大于1的点即为答案.【解答过程】由椭圆方程为C:因为14+13=因为24+13=因为24+23=因为144+13=故选：C.【变式1-1】（2023·高二课时练习）点Aa,1在椭圆x24+A．-2,2C．-2,2 D．【解题思路】根据点在椭圆外部得不等式，解不等式得结果.【解答过程】因为点Aa,1在椭圆所以a24+1故选：B.【变式1-2】（2023·高二课时练习）点P(4cosα，23sinα)(α∈R)与椭圆C：x24＋y23＝A．点P在椭圆C上 B．点P与椭圆C的位置关系不能确定，与α的取值有关C．点P在椭圆C内 D．点P在椭圆C外【解题思路】将P的坐标代入到椭圆方程的左边，结合同角三角函数的基本关系即可判断点和椭圆的位置关系.【解答过程】把点P(2cosα，3sinα)(α∈R)代入椭圆方程的左边为4cosα＝4（cos2α＋sin2α）＝4>1，因此点P在椭圆外．故选:D.【变式1-3】（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆C关于x轴､y轴均对称，焦点在y轴上，且焦距为2c(c>0)，若点Ac,6A．33,1 BC．63,1 D【解题思路】设出椭圆方程，由于Ac,62c不在椭圆C的外部，得到6c【解答过程】设椭圆C的方程为y2因为Ac,6所以6c24所以6c24同除以a4得：6e4解得：0<e故e∈故选：B.【知识点2直线与椭圆的位置关系】1．直线与椭圆的位置关系(1)直线与椭圆的三种位置关系

类比直线与圆的位置关系，直线与椭圆有相离、相切、相交三种位置关系，如图所示.(2)利用方程讨论直线与椭圆的位置关系：>0直线与椭圆相交有两个公共点;

=0直线与椭圆相切有且只有一个公共点;

<0直线与椭圆相离无公共点.【题型2直线与椭圆的位置关系的判定】【例2】（2023·全国·高二专题练习）已知直线l：x+y-A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定【解题思路】联立直线和椭圆方程，根据所得到的方程的解的个数来判断直线和椭圆的位置关系.【解答过程】联立x24+y2=1x+故选：C.【变式2-1】（2023·全国·高三专题练习）已知直线l：kx+y+1=0，曲线C：x216+yA．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定【解题思路】求出直线所过的定点，证明该定点在椭圆内部即可得出结论.【解答过程】解：由直线l：kx+y+1=0，得直线l因为016+14<1，所以该点在曲线所以直线l与曲线C相交.故选：C.【变式2-2】（2023秋·内蒙古包头·高二校考期末）若直线mx+ny=4和圆x2+y2A．2个 B．至少一个 C．1个 D．0个【解题思路】根据直线与圆的位置关系，求得点m,n【解答过程】∵直线mx+ny=4和圆x2+y∴4m∴点Pm,n又椭圆x29+y24=1短轴长为4，∴圆则过点(m,n)的直线与椭圆x故选：A.【变式2-3】（2023·全国·高三专题练习）已知直线l:x0xa2+A．若点A在椭圆C外，则直线l与椭圆C相离B．若点A在椭圆C上，则直线l与椭圆C相切C．若点A在椭圆C内，则直线l与椭圆C相交D．若点A在直线l上，则直线l与椭圆C的位置关系不确定【解题思路】考虑y0=0和y0≠0【解答过程】当y0=0，则x0①若点A在椭圆C外，则x0>a，则|x|=②若点A在椭圆C上，则x0=a，则|x|=③若点A在椭圆C内，则x0<a，则|x|=当y0≠0时，联立方程x0a2所以Δ=4①若点A在椭圆C外，则x02a2+y0②若点A在椭圆C上，则手x02a2+y0③若点A在椭圆C内，则x02a2+y0若点A在直线l上，则满足x02a2+y02b2=1，即点综上所述：B正确；故选：B.【题型3根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围】【例3】（2023·全国·高三对口高考）若直线y=x-1与椭圆x2A．12 B．23 C．34【解题思路】分析可知a>0，将直线方程与椭圆方程联立，由Δ=0可求得实数a【解答过程】因为方程x2+3y将直线y=x-1的方程与椭圆的方程联立，则Δ=36-4×4×3-a故选：C.【变式3-1】（2023秋·高二单元测试）若直线y=mx+2与焦点在x轴上的椭圆x29A．0,4 B．4,9 C．4,9 D．4,9【解题思路】由题得直线所过定点0,2在椭圆上或椭圆内，代入椭圆得到不等式，再结合椭圆焦点在x轴上即可.【解答过程】直线y=mx+2则定点0,2在椭圆上或椭圆内，∴4n≤1，解得n又∵x29+y2n故选：C.【变式3-2】（2023春·福建莆田·高二校考阶段练习）若方程3-3x24=A．-7,7 B．-2,7 C【解题思路】根据题意画出椭圆的部分，利用数形结合求出直线与椭圆相切时的b值，再求出直线过椭圆右端点时的b值，即可得到b得范围.【解答过程】设y=3-3x24，y≥0则其所表示的图形为椭圆x24+则题目转化为直线y=设椭圆的右端点为A，易得其坐标为2,0，当直线y=x+b与半椭圆相切时，联立x24+则Δ化简得b2=7，解得b=当直线y=x+b经过点A2,0则b∈故选：B.【变式3-3】（2023秋·广东深圳·高三统考期末）已知交于点P的直线l1，l2相互垂直，且均与椭圆C:x23+y2A．2,3 B．1,3 C．3【解题思路】根据题意，设Pm,n，由条件联立直线与椭圆方程，得到点【解答过程】当椭圆的切线斜率存在时，设Pm,n，且过P联立直线与椭圆方程x2消去y可得，(所以Δ=4即3-m设k1,k所以1-n23-m2当椭圆的切线斜率不存在时，此时，m=±所以m2+n2=4又因为A为椭圆上顶点，所以A0,1当点P位于圆的上顶点时，PAmin当点P位于圆的下顶点时，PAmax所以PA∈故选:D.【知识点3弦长与“中点弦问题”】1．弦长问题(1)定义：直线与椭圆的交点间的线段叫作椭圆的弦.

(2)弦长公式：设直线l:y=kx+m交椭圆+=1(a>b>0)于，两点，则或.2．“中点弦问题”(1)解决椭圆中点弦问题的两种方法

①根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决.

②点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，将端点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系.

设，，代入椭圆方程+=1(a>b>0)，得，

①-②可得+=0，

设线段AB的中点为，当时，有+=0.

因为为弦AB的中点，从而转化为中点与直线AB的斜率之间的关系，这就是处理弦中点轨迹问题的常用方法.(2)弦的中点与直线的斜率的关系

线段AB是椭圆+=1(a>b>0)的一条弦，当弦AB所在直线的斜率存在时，弦AB的中点M的坐标为，则弦AB所在直线的斜率为，即.【题型4椭圆的弦长问题】【例4】（2023·全国·高三专题练习）已知斜率为1的直线l过椭圆x24+y23=1的右焦点，交椭圆于AA．207 B．227 C．247【解题思路】根据题意求得直线l的方程，设Ax1,y【解答过程】由椭圆知，a2=4,b所以右焦点坐标为1,0，则直线l的方程为y=设Ax联立y=x-1x则x1所以AB=即弦AB长为247故选：C.【变式4-1】（2022秋·广西钦州·高二校考阶段练习）已知椭圆x22+y2=1与直线y=x+m交于A．±1 B．±1C．2 D．±2【解题思路】联立方程，写出关于交点坐标的韦达定理，用两点的距离公式AB=x1-【解答过程】由x22+得3x2＋4mx＋2m2－2＝0．设A(x则x1+x由题意，得AB=解得m=±1故选:A.【变式4-2】（2023·全国·高三对口高考）过椭圆x29+y2=1的左焦点作直线和椭圆交于A、A．0 B．1 C．2 D．3【解题思路】先求过左焦点的通径长度，由椭圆的性质：过左焦点的弦长最短为通径长，最长为长轴长，结合已知弦长判断直线的条数即可.【解答过程】左焦点为(-22,0)，若直线垂直x轴，则直线为代入椭圆方程得89+y2=1所以，由椭圆性质知：AB=2故选：B.【变式4-3】（2023·全国·高三专题练习）斜率为1的直线l与椭圆x22+y2=1相交于A，A．2 B．233 C．263【解题思路】设直线方程y=x+m【解答过程】设A，B两点的坐标分别为(x1,y1由y=x+mx则x1+x∴AB=2∴当m=0时，AB取得最大值4故选:D.【题型5椭圆的“中点弦”问题】【例5】（2023秋·四川凉山·高二统考期末）若椭圆x24+y23=1的弦AB被点MA．3x-4yC．4x-3【解题思路】采用点差法，设Ax1【解答过程】设Ax1,两式作差得x12-又AB被点M-1,1平分，故x1所以，整理得y1-y则AB所在直线方程为y=化简得3x故选：A.【变式5-1】（2023春·陕西汉中·高二校联考期中）已知直线l交椭圆x24+y22=1于A，B两点，且线段ABA．-2 B．-12 C．2 D【解题思路】设出A，B坐标，列出坐标所满足的方程，将两方程相减得到l的斜率与线段AB中点坐标的关系，由此求解出直线l的斜率.【解答过程】设Ax1,y1，B所以x124得y1又因为线段AB中点坐标为-1,1，x1+所以kAB故选：D.【变式5-2】（2023春·湖北荆州·高二校考阶段练习）若椭圆x29+y24=1的弦ABA．4x+9yC．x+2y-3=0【解题思路】利用点差法求解得kAB=-【解答过程】设Ax1所以x12-因为P1,1所以x1所以kAB所以弦AB所在直线的方程为y-1=-4故选：A.【变式5-3】（2023·贵州·统考模拟预测）已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F4,0，过点A．x245+C．x232+【解题思路】设Ax1,y1,【解答过程】设Ax1,由已知有，x1作差得x1则y1所以a2=3b则E的方程为x2故选：D．【题型6椭圆中的面积问题】【例6】（2023春·广东广州·高二统考期末）已知椭圆C:x2a2+y2b2(1)求椭圆C的标准方程；(2)经过点F2且倾斜角为45∘的直线l与椭圆C相交于M、N两点，O为坐标原点，求△【解题思路】（1）由椭圆的定义求出a的值，结合c的值可得出b的值，由此可得出椭圆C的标准方程；（2）设点Mx1,y1、Nx2,y2，写出直线l的方程，将直线l【解答过程】（1）解：由椭圆的定义可得2a所以，a=2，又因为c=1所以，椭圆C的标准方程为x2（2）解：设点Mx1,y1、Nx2联立x=y+1x2+2y

所以，S△【变式6-1】（2023·安徽·合肥一中校联考模拟预测）已知点M1,1为椭圆C:x24+y2b2=l(1)当t=1时，求△(2)设直线AM和BM分别与直线x=4交于点P，Q，若△ABM与△PQM的面积满足S△【解题思路】（1）先求出椭圆方程，设Ax1,y1,Bx2（2）设Ax1,y1,Bx2,y2，利用韦达定理求出y1+y2,y1y【解答过程】（1）将M1,1代入x24+y所以椭圆C:联立x24+3y则x1则AB=点M到直线l的距离为1+1-11+1故△ABM的面积S（2）设Ax联立x24+Δ=4t则y1则AB=点M到直线l的距离d=则S△直线AM的方程为y-令x=4，则y即P4,同理Q4,PQ因为y2所以PQ=因为S△PQM=5化简得3t2+3【变式6-2】（2023春·黑龙江大庆·高二校考期末）已知F1,F2分别为椭圆M:x2a2+y(1)求椭圆M的离心率；(2)直线l2过点F2，且与l1垂直，l2交椭圆M于C,D【解题思路】（1）设F1-c,0,（2）先讨论两直线l1,l2中的一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，四边形ACBD的面积；再讨论两直线l1,l2的斜率都存在，且都不为0时，分别联立直线与椭圆方程求得AB【解答过程】（1）设F1-c,0,F2c,0（2）由（1）可知ca=22，又所以椭圆M的方程为x2①当直线l1,l2中的一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，四边形②当直线l1,l2的斜率都存在，且都不为0时，设l1的方程为y=kx-c所以AB=设l2的方程为y=1所以四边形ACBD的面积S=4因为k+1k2=k2+1由①②可知，四边形ACBD面积的范围为169【变式6-3】（2023·四川成都·校考模拟预测）已知椭圆C:x2a2+y

(1)求椭圆C方程；(2)直线y=kx(k>0)与椭圆C交于点M、N,F为C的右焦点，直线MF、NF分别交C于另一点M【解题思路】（1）由离心率为22，且C经过点1,（2）设Mx0,y0，令MF=λFM1可得M1坐标，代入椭圆方程得λ【解答过程】（1）由离心率为22，且C经过点1,22可得c解得a2=2,b2=1（2）设Mx0,y0令MF=λF可得M1代入x22+又x022设NF=μF可得N1代入x22+又x022∵|MF|FM∵x0∈0,2，x【题型7椭圆中的定点、定值、定直线问题】【例7】（2023·浙江·校联考模拟预测）已知点A(2,0)，B-65,-(1)求椭圆M的方程；(2)直线l与椭圆M交于C,D两个不同的点（异于A,B），过C作x轴的垂线分别交直线AB,AD于点P,Q【解题思路】（1）根据椭圆所经过的点列方程求出其方程；（2）设出CD方程，结合韦达定理和P是CQ中点的条件，找到直线CD中两个参数的关系，从而求出定点.【解答过程】（1）由题知a=2，又椭圆经过B-65,-故椭圆的方程为：x（2）由题意知，当l⊥x轴时，不符合题意，故l的斜率存在，设l的方程为联立y=kx+mx2则Δ=64即4设Cx1,y1，AB的方程为y=14(xAD的方程为y=y2x2-由P是CQ中点，得x1-2即kx即(1-4k即4m2+(16k得m=-2k-当m=-2k-2，此时由当m=-2k，此时直线l经过点A所以l的方程为y=kx-所以l过定点(2,-2).【变式7-1】（2023·江西赣州·统考二模）已知椭圆C:x2a2(1)求椭圆C的方程；(2)过点P1,2的直线l交C于A、B两点时，在线段AB上取点M，满足AP⋅MB=AM【解题思路】（1）根据已知条件可得出关于a、b、c的方程组，解出这三个量的值，即可得出椭圆C的方程；（2）设点Ax1,y1、Bx2,y2、Mx,y，记【解答过程】（1）解：由题意可得e=ca所以，椭圆C的方程为x2（2）解：设点Ax1,y1因为AP⋅MB=AM⋅PB，记又因为点P在椭圆外，且P、A、M、B四点共线，所以，AP=-λPB所以，1-x1,2-所以，1-x1=所以，x1-λ又因为x124+y即x1即x4+2故点M总在定直线3x+8【变式7-2】（2023春·云南曲靖·高二统考期末）已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(1)求椭圆E的方程．(2)设A、B是椭圆E上关于x轴对称的不同两点，P在椭圆E上，且点P异于A、B两点，O为原点，直线AP交x轴于点M，直线BP交x轴于点N，试问OM⋅【解题思路】（1）求出椭圆E上任意一点到其焦点距离的最大值，结合离心率可得出a、c的值，进而求出b的值，由此可得出椭圆E的标准方程；（2）设点Ax1,y1，Bx1,-y1，Px2,y2，Mm,0，Nn,0，将直线【解答过程】（1）解：设点Px0,y0为椭圆EP=a所以，椭圆E上的点到焦点的距离的最大值为a+又因为椭圆E的离心率为e=所以，a=2，c=1，则因此，椭圆E的标准方程为x2（2）解：设点Ax1,y1，Bx1则直线AP的方程为y=y1x1

联立y=y1x1因为点A在椭圆E上，则直线AP与椭圆E必有公共点，所以，x1同理可得x所以，8m所以，m3化简可得3m当m≠n时，则3mn当m=n时，M、N、P三点重合，此时，综上所述，OM⋅ON=mn=4【变式7-3】（2023春·上海浦东新·高二校考期末）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b(1)求椭圆C的方程；(2)过点D1,0作斜率不为0的直线l，直线l与椭圆C交于P，Q两点，记直线AP的斜率为k1，直线BQ的斜率为k2(3)在（2）的条件下，直线AP与直线BQ交于点M，求证：点M在定直线上.【解题思路】（1）根据椭圆的几何性质列出方程组求出a,b,（2）设Px1,y1，Qx2,y2，直线（3）根据（1）中的结论，设k1=m，则k2=3m，求出直线【解答过程】（1）依题可得e=ca=3所以椭圆C的方程为x2（2）设Px1,y1，Qx2所以可设l的方程为x=ty+1，代入椭圆方程x其判别式Δ=4t2+12t两式相除得y1+y因为A,B分别为椭圆C的左、右顶点，所以点A的坐标为-2,0，点B所以k1=y1从而k1（3）由（1）知k1k2=1所以直线AP的方程为y=mx+2m，直线联立y=mx+2所以直线AP与直线BQ的交点M的坐标为4,6m所以点M在定直线x=4上【知识点4椭圆中的最值问题】1．椭圆中的最值问题求解此类问题一般有以下两种思路：(1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法.解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相应曲线的定义求解.(2)代数法：若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可建立目标函数，将目标变量表示为一个(或多个)变量的函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用配方法、判别式法，应用基本不等式以及三角函数的最值求法求出最大值、最小值或范围，但要注意自变量的取值范围对最值的影响.【题型8椭圆中的最值问题】【例8】（2023·湖北武汉·武汉二中校联考模拟预测）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)(1)求椭圆C的方程；(2)P,Q为椭圆C上两个动点，且直线AP与AQ的斜率之积为-16【解题思路】（1）由点关于直线对称，以及椭圆过点M1,62（2）设直线PQ方程，联立椭圆方程，根据韦达定理，利用直线AP与AQ的斜率之积为-16，整理化简证明直线过定点，进而求出D【解答过程】（1）设椭圆C的中心O关于直线2x-y则有n∴m=4,n=-2,∵椭圆C的中心O关于直线∴又椭圆C过点M1,62，可得1所以椭圆C的方程x2（2）设Px1,y1由x=my+t,所以y由kAPkAQ=-1所以6y6+m所以6+m2t所以t=1或t若t=-2，则直线lPQ:所以lPQ:x=my所以D在以MS为直径的圆上，MS=62,MS所以AT=所以AD的最大值为AT+即AD的最大值为36【变式8-1】（2023春·江西宜春·高二校考期末）已知点A是圆E:x-12+y2=16(1)求动点P的轨迹Γ的方程；(2)若过点F的直线交轨迹Γ于M、N两点，B是FM的中点，点O是坐标原点，记△MEB与△ONF的面积之和为S，求S【解题思路】（1）由题意可知PE+PF=（2）分析出S=S△MOF+S△OFN=S△MON，直线MN的斜率不存在时，S△MON【解答过程】（1）由题意可知PE+所以动点P的轨迹Γ是以E,F为焦点且长轴长为则2a=4,2c因此动点P的轨迹Γ的方程是x2（2）如图：

不妨设点M在x轴上方，连接OM，因为O